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ゆきさふじつぐ
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Issue Date 2005-10 URL http://hdl.handle.

1 Title 半 Abel 多様体に付随するMilnor $K$- 群のmotif 論的解釈 ( 代数的整数論とその周辺 ) Author(s) 望月, 哲史 Citation 数理解析研究所講究録 (2005), 1451: Issue Date URL Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University

2 [bica]) our gmeff means Abel Milnor $K$ - motif (Mochizuki Satoshi) * Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo mo chi@ms.u-tokyo.ac.jp 0 12 survey [MI1], [MI2] [MI3] [Som90] p ( ) We define and study Milnor $K$ -groups $K(k, G_{1}, \ldots, G_{r})$ attached to a finite family of semi-abelian varieties $G_{1},$ over a field $G_{r}$ $\ldots,$ ( ) In the philosophy of $K$ $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{s}_{7}$ -group should $K(k_{7}G_{\mathrm{I}}, \ldots, G_{r})$ be interpreted as follows. ( ), the Milnor -group $K$ $K_{r}^{M}(k)$ is thought $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{r}_{k}$ $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\lambda 4_{k}}^{r}(\mathbb{Z}.\mathbb{Z}(r))$ of as the motivic cohomology, where the $\mathcal{m}_{k}$ higher extension for the category of motives over. ( ), Deligne construct 1-motives over from $G_{i}[-1]$ $G_{i}$. I expect that $K(k, G_{1}, \ldots, G_{r})$ $\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}_{\mathcal{m}_{k}}^{r}$ is isomorphic to $(\mathbb{z}, G_{1}[-1]\otimes\ldots\otimes G_{r}[-1])$. $\mathrm{c}.\mathrm{f}$ [Org04] ( 02([RiCa] 3.4, [Org04] Theoreme 3.4.1). $\mathcal{d}^{b}$ $\mathrm{d}\mathrm{m}$ (l-isomot(k))\rightarrow Iso (k) abel $G_{1},\ldots,G_{r}$ $K(k, G_{1},...G_{r})\mathbb{Q}arrow \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)}\sim(\mathbb{z}, G_{1}\otimes\ldots\otimes G_{r})$ *This research is supported by the 21 century COE program at Graduate School of Mathematical Sciences, the University of Tokyo.

3 Proposition 158 $\nabla$ 1-motif $G_{1},$ $\ldots,$ $G_{r}$ 04. notaiton $+[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{h}]$ ( $\mathrm{c}.\mathrm{f}$. [BKcon] Theorem 3.4 [TriCa] $)$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ 02 Iso $G_{1}=\cdots=G_{r}=\mathrm{G}_{m}$ $+$ $f_{i\backslash }\not\in$ Bruno Kahn 1 notation 1.1 abel Milnor $K$ LL abel $G_{1},\ldots,G_{r}$ $K(k, G_{1}, \ldots, G_{r})=$ $G_{1}(L)\otimes\cdots\otimes G_{r}(L)\ni a_{1}\otimes\cdots\otimes a_{r}$ $\{a_{1}, \ldots, a_{r}\}_{l/k}$. $\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{i}1\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{b}\text{ }\not\in \text{ _{}\backslash }^{\mathrm{g}_{\acute{\nearrow}}}\mathrm{b}\nearrow\ovalbox{\tt\small REJECT}\backslash 2_{\Delta \mathrm{a}^{\backslash }}^{\mathit{1}\iota_{j}}$ $\}$ L2. $G_{1}=\cdots=G_{r}=\mathrm{G}_{m}$ Milnor $K$ $K_{r}^{M}(k)$ $x^{\tau}\mathrm{f}_{r}^{m}(k)\ni\{a_{1}, \cdots, a_{r}\}\vdash+\{a_{1}, \ldots,a_{r}\}_{k/k}\in K(k, \mathrm{g}_{m}, \cdots, \mathrm{g}_{m})$ L3. $C$ $K$ ( $\mathrm{g}_{m}$, Jac $C,$ ) $\ni\{a, b\}_{e/k} arrow \mathrm{n}_{e/k}(a\cdot b)\in V(C)$ $V(C)$ S. Bloch ( $\mathrm{c}.\mathrm{f}$. [Blo81]) $\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\oplus k(x)^{\mathrm{x}^{\sigma \mathrm{n}_{k}}}\prec^{(x)/k}k^{\mathrm{x}}\}$ $V(C)= \frac{x\in C^{1}}{{\rm Im}(K_{2}(K(C))arrow\bigoplus_{\not\subset\epsilon c^{1}}k(x)^{\mathrm{x}})\oplus o\partial_{e}}$ $\mathrm{g}_{m}$ abel MilnorK Jacobian ( [MI1] )

4 $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}$ : \mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{n}}^{\mathrm{e}_{\mathrm{l}}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ motif 1A. transfer smooth scheme $Sm/k$ SmCor(k) SmCor(k) tensor : smooth scheme $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(y, X):=$ $Y$ { $X$ $X\otimes Y:=X\mathrm{x}Y$ $K$ smooth scheme $f$ : $Xarrow Y$ $f$ ${}^{t}f$ : $Yarrow X$ SmCor(k) $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{c}\text{ }\mathrm{r}(k.)(y, X)_{\text{ }}$ switch $s:x\cross Yarrow Y\mathrm{x}X$ } 15. motif $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)=\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\iota \mathrm{y}1}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)[\mathbb{z}(1)^{-1}]$ $\mathrm{e}\text{ }$ j }\cong$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{n}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $\overline{\mathrm{e}}\mathrm{a}^{\backslash tensor. $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}^{1}$-homotopy. Mayer-Vietoris $\}$ abel $\mathcal{h}^{b}(-)$ homotopy [BSOI] smooth scheme motif $\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}(k\ranglearrow $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k)$ $\mathbb{z}$ tensor $i:\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}larrow \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k$ L6. $L/K/k$ $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(^{t}\mathrm{i})$ : $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k)arrow \mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}l)$ $\text{ }\#\backslash \not\equiv\text{ }$ $\mathrm{n}_{l/^{s}k}$ $\urcorner :\mathrm{f}\phi$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}l), \mathbb{z}\{n\})arrow\sim K_{n}^{M}(L)$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{n}_{l/k\}}\mathbb{z}\{n\})\downarrow$ $\downarrow \mathrm{n}_{l/k}$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k), \mathbb{z}\{n\})arrow\sim K_{n}^{M}(K)$. ( $\mathrm{c}.\mathrm{f}$. [BKcon] Lemma )

5 $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)arrow \mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ 158 $\mathbb{z}(1)$ 17. Tate bundle $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{p}^{1})=\mathbb{z}\oplus \mathbb{z}(1)[2]$ $\mathbb{z}(1):=\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$ $\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{r}$( $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{p}^{1})$ Mg r.) $\mathbb{z})[-2]$ $\mathbb{z}(n)=\mathbb{z}(1)^{\otimes n}$ $A\in \mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ \uparrow$\sqrt$ $A(n)=A\otimes \mathbb{z}(n)$ $\{$ $A\{n\}=A\otimes \mathbb{z}(n)[n]$ $A((n))=\mathrm{A}\otimes \mathbb{z}(n)[2n]$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ $[Voe\mathit{0}\mathit{2}f$ 18. ($c.f$. ) $B\in, \mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $?\otimes \mathrm{i}\mathrm{d}_{\mathbb{z}(1\}}$ : $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)}(a, B)arrow \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)}(a(1), B(1))$ 1.3 l-motif Deligne 1-motif([De174]) 1.9. $C$ Q Iso $C$ Ob Iso $\mathrm{c}=\mathrm{o}\mathrm{b}c$ $\mathrm{h}_{\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{i}\mathrm{s}\text{ }\mathrm{c}}}(-, -):=\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{c}(-, -)\otimes_{\mathbb{z}}\mathbb{q}$ (l-motif). 1-motif l-mot(k) $C((\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k)_{fppf})$ scheme 1 $M=[Xarrow S]$ k- $X$ -1 \ etale local Abel $S$ 0 Abel

6 [BKcon] 159 $(\mathrm{i}-\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{f})$ 1.11 Iso l-mot (k) l-isomot (k) l-isomot (k) l-isomotif $(forg\mathit{0}\mathit{4}f\mathit{3}.\mathit{2}.\mathit{2}_{\text{ }}\mathit{3}.\mathit{2}.\mathit{4})$ $\leqq 1$ l-isomot (k) $Abel$ cohomology 2 Motif 03 $\mathrm{h}_{0}\mathrm{m}_{\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k\rangle(\mathbb{z},g_{1}\otimes\ldots\otimes G_{r})}$ $arrow>$ $\mathrm{v}^{\mathrm{a}}$ Weil? Weil [MI1] 2.1. $f,g\in k(t)$ $\sum$ $v:k(t)/k$ place de$g(v)v(f)=0$ $\prod$ $\mathrm{n}_{k(v)/k}(f,$ $g)_{v}=1$ $v:k(t)/k$ piace [Wei67]Ch. $\mathrm{i}\mathrm{i}\mathrm{i}$ $(\mathrm{c}.\mathrm{f}$ ( Weil. [\mathrm{m}\mathrm{i}170])_{\text{ }}$ $(\mathrm{c}.\mathrm{f}. Milnor Bass $(\mathrm{c}.\mathrm{f}.[\mathrm{b}\mathrm{t}73])_{\text{ }}$ Tate Suslin Milnor $K$. $n^{\text{ }}4)$ ) 22. (Milnor $K$ $c.f$. $[Sus\mathit{8}\mathit{2}]$) $K$ $n$ $K_{n+1}^{M}(K)arrow\oplus\partial_{v}\oplus K_{n}^{M}(k(v))\Sigma$ N ) k $K_{n}^{M}(k)$ $v$ 2.3. Milnor $K$ motivic cohomology $F$ $K_{n}^{M}(F)=\mathrm{H}_{\mathcal{M}}^{n}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}F, \mathbb{z}(n))$ $\mathrm{c}.\mathrm{f}.$ ( Theorem 34) motivic cohomolgy motivic cohomolgy ( motivic cohomology )

7 (Motif ) 22 notahon motif pro- $\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}- \mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k)\{1\}arrow\prod\sigma \mathrm{n}_{k(v)/k}\{1\}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k(v))\{1\}arrow \mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k)\pi\partial_{v}$ 25. statement? I}\in \mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}- \mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ $A\in \mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ $\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(x)=\{\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(x_{l} )\}_{i\in motif motivic cohomology o $\mathrm{h}_{\mathrm{a}4}^{\mathrm{n}}(x, A(q))=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{j}\lim \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)}(\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(x_{i}), A(q)[n])$. L8 motif $n$ $q$ $\mathrm{h}_{\mathrm{a}4}^{n+1}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k, A(q+1))\oplus\partial_{v}arrow\oplus \mathrm{h}_{\mathcal{m}}^{n}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k(v), A(q))4^{v)/k}\mathrm{H}_{\mathcal{M}}^{n}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k, A(q))\Sigma \mathrm{n}_{k}$ $v$ (fmotinf Corollary 5.25) m0tif Mitnor $K$ $0.4_{\backslash }1.6$ promotif residue tame? $K/k$ $v$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}_{1}\mathrm{c}k), \mathbb{z}\{n+1\})\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(\partial_{v},\mathrm{z}\{n+1\})-k_{n+1}^{w\mathit{1}}(k,)\downarrow(-\mathrm{i}^{\mathrm{a}n}\partial_{v}$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k(v)\{1\}, \mathbb{z}\{n+1\})arrow K_{n}^{M}(k(v))\sim$ tame ( [MJ1] 2.13 ). 28. ($fmotin]$ Iheorem 5.18) motif 3 Jacobi 23 Milnor $K$ motivic cohomology $K$ motivic cohomology motivic

8 $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ [TriCa] [TriCa] 161 $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}$ cohomology motoivc cohomology 3.1 $\text{ _{}\overline{\overline{\overline{\overline{\mathrm{p}}}}}\mathrm{r}\mathrm{f}\grave{\mathrm{l}}}^{\delta}$ [IkiCa] Voevodsky $\mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ tensor $\text{ }l\mathrm{b}$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}(k)$ $\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}$ hyper cohomology $\grave{\backslash }\mathrm{i}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\mathrm{L}^{\text{ }}},\not\in\ddagger$ hyper cohomology $\mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ 31. $Sm/k$ transfer Nisnevich SmCor(k) abel $Sm/k$ Nisnevich $\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}}$ (SmCor(&)) transfer Nisnevich 32. smooth scheme $X$ transfer $(\mathrm{c}.\mathrm{f}.$ Nisnevich $\mathbb{z}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}(x).--\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}(k)}$ [EiCa] Lemma 3 $1.2)_{0}$ $($?, $X)$ 3.3. $\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}}$(smcor(k)) ( $\mathrm{c}.\mathrm{f}.$ abel ( Theorem 3.1.4) $D^{-}$ ( $\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}}$(smcor(k))) $\mathrm{a}_{\mathrm{k}^{-}}^{1}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$ effective motivic DM -(effk) cohomology $\mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ [TriCa] Proposition $3.1.13)_{0}$ $(\mathrm{c}.\mathrm{f}.$ SmCor(k) $X><\mathrm{A}_{\mathrm{k}}^{1}arrow X$ $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}^{1}$-homotopy $X\in Sm/k$ $F(X)arrow F(X\mathrm{x}\mathrm{A}_{\mathrm{k}}^{1})$ $\ovalbox{\tt\small REJECT}^{\backslash }--\ovalbox{\tt\small REJECT}$ 3.4. $\Delta$. $F$ $Sm/k$ $\mathrm{e}^{\backslash }${B $Sm/k$ transfer $\mathrm{f}\ovalbox{\tt\small REJECT}_{\overline{\mathrm{l}}}^{\succ}l\Phi$ $Sm/k$ $C_{n}(F)=\underline{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}(\Delta^{n}, F)$ $\Delta$. $F$ 7. $\overline{\mathrm{z}}$ $Sm/k$ transfer $F$ $C_{*}(F)$ cohomology $h_{i}(f)$ Nisnevich $h_{i}^{nis}(f)$ ( $\mathrm{a}_{\mathrm{k}^{-}}^{1}\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$ Lemma 3.2.1). ( $\mathrm{c}.\mathrm{f}.$ $C_{*}(?)$ : $\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}}(\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}(k))arrow $C_{*}(?)$ $\hslash_{\mathrm{f}}^{7\mathrm{j}}\ell \text{ }$ \mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ $\mathcal{r}c:d^{-}(\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}}(\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}(k)))arrow \mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$

9 [EiCa] $\downarrow$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{\mathrm{g}\mathrm{m}}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)$ DM 182 $\mathcal{r}c$ $\mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)=d^{-}(\mathrm{s}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{s}}(\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}(k))/\langle$ $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}^{1}-\mathrm{b}\circ \mathrm{m}\text{ }\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{y}$ $\rangle$ $\mathrm{c}.\mathrm{f}.$ ( Proposition 323) $D^{-}(\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{N}\mathrm{i}\mathrm{s}}$(SmCor(k)) 35. DMr ( tensor tensor $D^{-}(\mathrm{S}\mathrm{h}\mathrm{v}_{\mathrm{N}\mathrm{i}\mathrm{s}}$(SmCor(k)) tensor smooth schemes $X,Y$ $\mathbb{z}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}(x)\otimes \mathbb{z}_{\mathrm{t}_{\overline{\wedge}}}(y):=\mathbb{z}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}(x\}\langle Y)$ $\mathbb{z}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}$ transfer (?) 36 ( $c.f.$ [TriCa] Theorem 32.6) $\mathrm{i}$ 1, dense $L$ $\mathcal{h}^{b}(\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{r}(k))arrow D^{-}$ (ShvNis (SmCor(k)) $\mathcal{r}c\downarrow$ $i$ -(effk) 2. smooth scheme $X$ $RC(L(X))$ $C_{*}(\mathbb{Z}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}(X))$ 3. $r$ tenso 32 motivic Jacobi 3.7. smooffi ( $C_{\mathrm{I}},$ $x_{1,}1,\ldots,(c_{r}, x_{r})$ motivic $\mathbb{z}((c_{\mathrm{i}}, x_{1})\lambda\ldots\lambda$ (,xr) $C_{r}$ $\mathbb{z}$ $)$ ( A ) $C_{1}\Lambda\ldots$ $C_{r}$ $\mathbb{z}(c_{1}\lambda\ldots\lambda C_{T})=C^{*}(\mathbb{Z}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}(C_{1}, x_{1})\otimes\ldots\otimes \mathbb{z}_{\mathrm{t}\mathrm{r}}(c_{r}, x_{r}))[-r]$ 38. $\mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{r}(c_{i)}x_{i}))$ $X\in Sm/k$ Zarisski motivic cohomology $\mathrm{h}_{\lambda 4}^{n}(X,\bigwedge_{i=1}^{r}(C_{i}, x_{i}))_{\text{ }}$ $\mathrm{t} [perp]"\ovalbox{\tt\small REJECT} \mathrm{r}$ $\mathrm{h}_{\mathcal{m}}^{n}(x,\bigwedge_{i=1}^{r}c_{r})$ Zariski motivic $\mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{r}(c_{i}, x_{i}))$ cohomology : hyper $\mathrm{h}_{m}^{n}$ $X, \bigwedge_{i=\mathrm{i}}^{r}$ ( ( C$i$ ) $x_{i})$ $= \mathbb{h}_{zar}^{n}(x_{?}\mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{r}(c_{i}, x_{i})))$

10 [TriCa] $\mathbb{h}_{nis}^{n}(x, \mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{\mathcal{t}}(c_{i}, x_{i})) x)=\mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{d}\mathrm{m}_{-}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}(k)}(m(x), \mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{\gamma}(c_{i}, x_{i}))[n])$ [CohTh] Proposition $\mathbb{h}_{zar}^{n}(x,\mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{r}(c_{i}, x_{i})) x)=\mathbb{h}_{nis}^{n}(x, \mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{r}(c_{i},x_{i})) _{X})$ $(C, x)$ $\mathrm{h}_{\mathfrak{u}j}^{1}(k, (C, x))=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathrm{c}\mathrm{h}_{0}(c)arrow \mathbb{z})\deg$ 31L $X$ $\overline{x}$ $X$ compact $\overline{x}$ $X_{\infty}=\overline{X}-X$ $\overline{x}$ affine $X\zetaarrow\overline{X}j$ $(\overline{x}_{7}x_{\infty})$ $(C, x)$ ne compact $\mathrm{h}_{\mathcal{m}}^{1}(k_{7}(c, x))=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}(\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{c}(\overline{x}, X_{\infty})arrow \mathbb{z})\deg$ $\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{c}(\overline{x}, X_{\infty})$ Picard $\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{c}(\overline{x}, X_{\infty})=$ { $(\mathcal{l},$ $t);\mathcal{l}$ : X- $t:x_{\infty}$ $/$ } $\otimes$, i.e., $(\mathcal{l}, t)\otimes(\mathcal{l}_{2} t )=(\mathcal{l}\otimes \mathcal{l}, t\otimes t )$ $\mathfrak{s}_{\sqrt}\mathrm{a}$ (fmotinj Iheorem 5.31) $(C_{1}, a_{1}),$ $\ldots,$ $K$ (, Jac $C_{1},$ $(C_{n}, a_{n})$ $\ldots,$ $arrow $\mathrm{j}\mathrm{a}\mathrm{c}c_{n}$ ) \mathrm{h}\mathrm{o}\mathrm{m}_{\mathrm{d}\mathrm{m}_{-(k)}^{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}}(\sim M(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}k), \mathbb{z}(\bigwedge_{i=1}^{n}c_{i})[n])$ [BSOI] P. Balmer, M. Schlichting, Idempotent cornptetion of triangulated $\mathrm{p}.$ categories, J. Algebra 236 (2001), S19-S34. [BT73] H. Bass a$\mathrm{n}\mathrm{d}$ J. Tate, The Milnor ring of global field, Springer Lecture $\mathrm{p}$ Notes in Math. 342 (1973), $ $. [Blo81] S. Bloch, Algebraic $K$ -theory and class field theory for arithmetic surface, Ann. of Math. 114, (1981), p [De174] P. Deligne, Th\ eorie de Hodge $III,$ Publ. Math. I.H.E.S. 44 (1974), p.5-78.

11 \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}/\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{o}\mathrm{u}/\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{l}$ \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}_{\acute{1}}/\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{o}\mathrm{u}/\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}2.$ \mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}/\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{y}\mathrm{o}\mathrm{u}/\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}3.$,. 164 [Mi170] J. Milnor, Algebraic $K$ theory and quadratic forms, Inventions Math. (1970), p [MI1] S. Mochizuki, Motivic interpretation of Milnor $K$ -groups attachel to semi-abelian varieties $I,$ private note, tokyo. $\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}/\sim [MI2] S. Mochizuki, Motivic interpretation of Milnor $K$ -groups attached to semi-abelian varieties $II,$ private note, $/\sim html. [MI3] S. Mochizuki, Motivic interpretation of Milnor $K$ -gromps attached to semi-abelian varieties $III,$ private note, html. tokyo. $\mathrm{a}\mathrm{c}.\mathrm{j}\mathrm{p}/\sim [MotIn] S. Mochizuki, Motivic interpretation of Milnor -gromps attached $K$ to Jacob $ian$ varieties, thesis. [Org04] F. Orgogozo, Isomotifs de dimension inferieure ou egale \ a on, manuscripta math. 115 (2004), p [Som90] M. Somekawa, On Milnor $K$ -groups attachea at semi-abelian va- 4 (1990), p rieties, $\mathrm{k}$-theory, [Sus82] A. Suslin, Menicke symbols and their applications in the K-theory of fields, Procedings of a Conference held at Oberwolfach, June 16-20, 1980, Springer-Verlag, Berlin, 1982, p [BKcon] A. Suslin and V. Voevodsky, Bloch-Kato conjecture ant motivic cohornology with finite coefficients, The Arithmetic and Geometry of $\mathrm{c}$ Algebraic Cycles, Nato ASI series 189. vol. 548, Kluwer, (2000), $\mathrm{p}$ $117-$ [CohTh] V. Voevodsky, Cohomological theory of presheaves uzith transfers, in Cycles, transfers, and motivic homology theories, Annals of Mathematics Studies,, Princeton University press, (2000), p. $\mathrm{v}\mathrm{o}\mathrm{l}143$ [TriCa] V. Voevodsky, Triangulated categories of motives over field, in Cycles, transfers, and motivic homology theories, Annals of Mathematics Studies, vo1143, Princeton University press, (2000), p [Voe02] V. Voevodsky, Cancellation theorem, preprint, http: $//\mathrm{w}\mathrm{w}\mathrm{w}$.math.uiuc.edu/k-theory/0541/. [Wei67] A. Weil, Basic Number Iheory, Springer-V erlag (1967)

~ ご再 ~

~ ご再 ~ Title 經濟法令 Author(s) Citation 經濟論叢 (1925), 20(5): 925-942 Issue Date 1925-05-01 URL http://dx.doi.org/10.14989/128271 Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University ~ ご再