出力 V [V], 出力抵抗 [Ω] の回路が [Ω] の負荷抵抗に供給できる電力は, V = のとき最大 4 となる 有能電力は, 出力電圧が高いほど, 出力抵抗が小さいほど大きくなることがわかる 同様の関係は, 等価回路が出力インピーダンスを持つ場合も成立する 出力電圧が ˆ j t V e ω

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1 第 9 回,C, で構成される回路 目標 : 回路から取り出せる最大電力に関する補足説明回路の周波数特性 -C 一次遅れ回路 中間試験前までの講義と演習により, 素子の性質, 回路の動作を規定している法則, 複素関数による正弦波の表現とインピーダンスの概念など, 回路の動作を理解するための最低限の知識が得られた 今回は, 基礎的な概念の修得を優先して後回しにした項目の つである 回路から取り出せる最大電力 について解説する 次に, 基本素子を組み合わせた回路の動作を理解していく 最大電力 等価回路の考え方によれば, 電圧源や電流源と受動素子で構成される 端子回路は, 電圧源と, それと直列にインピーダンス素子を接続した等価回路として扱うことができる このような 端子回路に負荷となる抵抗やインピーダンス素子を接続した場合, 負荷で消費される電力について考えてみよう 抵抗素子のみののみの場合抵抗のみで構成されている回路の場合, 等価出力インピーダンスは純抵抗となるので, これを とする この端子に負荷として抵抗 を接続する ( 図 9.) この負荷抵抗で消費される電力は, 以下のように計算される V + ( + ) P = i = = V [W] (9.) 図 9. 最大の電力を消費する今, 端子回路の出力抵抗 は一定とし, 負荷抵抗 の値を変化させ の値は? て消費電力を計算してみる 出力抵抗 = 50 Ωの場合に負荷抵抗 を 0 ~500 Ωの範囲で変化させて消費電力を計算すると, 図 9. のようなグラフが得られる V P [ Ω ] 図 9. 出力抵抗 50Ωに接続された0~500Ωの負荷抵抗での消費電力 ( 最大値で規格化 ) 消費電力は負荷抵抗 がある値のときに最大になる (9.) 式を で微分すると, dp ( ) V d = 3 ( + ) (9.) dp d d d V V V = = 3 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) 3 3 ( + ) ( + ) V V = = となるので, 微分が 0 になる = のとき最大になることがわかる このときの消費電力は, V V V V = = + 4 = ( ) 4 (9.3) となる このような, 回路から取り出せる最大の電力のことを有能電力有能電力と呼ぶ 有能電力 (available power) 電気回路配布資料 9-

2 出力 V [V], 出力抵抗 [Ω] の回路が [Ω] の負荷抵抗に供給できる電力は, V = のとき最大 4 となる 有能電力は, 出力電圧が高いほど, 出力抵抗が小さいほど大きくなることがわかる 同様の関係は, 等価回路が出力インピーダンスを持つ場合も成立する 出力電圧が ˆ j t V e ω [V], 出力インピーダンスが + jx [Ω] の回路に負荷インピーダンス + jx [Ω] を接続したとき, 負荷で消費される電力は, X = かつ = X のとき最大となる 負荷のインピーダンスの実部 ( レジスタンス ) を出力インピーダンスの実部と等しく, 虚部 ( リアクタンス ) は大きさが等しく符号が反対になるように設定するとき, 最大の電力が消費される 整合負荷のインピーダンスを出力インピーダンスに合わせて最大電力が負荷で消費されるようにすることを整合 ( マッチング ) と呼ぶ 負荷を整合させたとき回路から取り出せる最大電力は, 式 (9.3) のように回路の等価出力電圧と等価出力インピーダンスの値で制限されている しかし交流信号の場合には, トランスを用いることで, この最大電力の値を向上させることができる ( 詳細は < 付録 > を参照 ) 回路と 隠された回路 抵抗 (), キャパシタ (C), インダクタ () などの受動 端子素子やトランスは, 電力を消費または一時的に蓄積したり伝送したりする しかし, 自ら電力を発生することはできない これらの受動素子に加え, トランジスタや FET などの能動素子を用いることで, 電子回路が構成される 能動素子については, 電子回路 の講義で学ぶことになる 回路は, 部品としての素子を回路図にしたがって相互に接続することで作られる, 一方, 回路を実際に使うときは, 回路図に現れない 素子や回路があることに注意しなければならない 例えば 素子を接続するリード線やプリント基板上の銅箔パターン 抵抗は 0 ではない 回路上で電位の異なる複数の導体が存在 キャパシタとして働く 電流が流れる 磁界が発生 インダクタとしての性質 3 回路図に描かれていない素子 は, 多くの場合, その影響を無視できる しかし, 条件によっては, 意図したのとは異なる動作を引き起こすことがある また, モータやソレノイド アクチュエータなどを駆動する場合, その回路としての特性を知っていないで使うと, 性能の低下や, 時として回路の破損を招くことがある 回路動作動作の特性 回路動作の特性を調べる場合, 大きく分けて つの考え方がある つは, 周波数応答の解析であり, 直 トランジスタ (transistor),fet FET(Field Effect Transistor) えふいーてぃー または ふぇっと と読む, 電界効果トランジスタ, 受動素子 (passive element,passive component), 能動素子 (active element,active component), プリント基板 (printed circuit board), ソレノイド アクチュエータ (solenoid actuator) 電気信号を機械的な直線運動に変換する素子, 周波数応答 (frequency response), 過渡応答 (transient response), ラプラス変換 (aplace transform) 9- 電気回路配布資料

3 流信号や正弦波を入力し, 定状状態で出力される直流信号のレベルや, 正弦波の振幅と位相のずれを問題にする もう つの方法は, 回路の状態が定常状態に達するまでの変動を扱う, 過渡応答の解析である 過渡応答の解析は, 一般的には微分方程式を用いる しかし ラプラス変換 を使うことにより容易に解くことができる ラプラス変換に関しては, 線形システム入門 で学ぶことになる C 回路の動作 抵抗とキャパシタを組み合わせた回路の代表的な例を示す [] C 直列接続回路 ( 一次遅れ回路 ) C C a) 回路構成 b) 入出力 図 9.3 C 直列回路 図 9.3 に C 直列回路を示す 図の a) のように抵抗とキャパシタを直列に接続した逆 字型構成の 4 端子回路である 抵抗側を入力端子, キャパシタ側を出力端子とする 図の b) は, 信号源と負荷の接続の例である これ以降の回路では, この図 9.3b のように, 信号源は出力インピーダンスが 0 Ω の電圧源, 負荷は開放として, 入力電圧と出力電圧の関係を示すことにする C 直列回路の周波数周波数応答図 9.3b の構成で, 信号源から正弦波信号を入力する 端子間の電圧が 0 の状態から回路に信号を入力した場合は, 抵抗 とキャパシタ C の値で定まる時定数 T = C よりも十分長い時間が経過した後に, 出力は定常状態に達する 定常状態では, 出力端には入力と同じ周波数の正弦波が観測される 入力する正弦波信号の角周波数をω, 複素振幅を とすると, 出力の複素振幅 は, V out ( jωc) = V + ( jωc) in 分母分子に jωc を乗算して, = (9.4) + jωc 4 となる 式 (9.4) は, 入力された周波数 ωの正弦波が,/ ( + jωc) 倍になって出力されるという形になっている このように, 回路の動作が定常状態に達したときは, 入出力関係は複素数を比例係数とする比例関係になっている 周波数応答と伝達関数入力した正弦波の振幅が何倍になり, 位相がどれくらいずれたかを, 周波数毎に求めたものを, 周波数応答と呼ぶ 振幅の倍率を利得と呼ぶ C 直列の一次遅れ回路では, 利得と位相ずれは周波数の関数となり, 利得 : 位相ずれ : G( ω) = = + jωc + ω ( C) θ ( ω) = = tan ( ωc) + jωc (9.5) (9.6) となる また, 入出力の比例係数は周波数 ω を変数とする複素関数となっていて, これを伝達関数伝達関数と呼ぶ 一次遅れ (first order lag), 時定数 (time constant), 伝達関数 (transfer function) 電気回路配布資料 9-3

4 伝達関数 H(ω) と周波数応答の関係絶対値 周波数応答の利得 G( ω) = H ( ω) 位相角 周波数応答の位相に対応する H ( ω) = θ ( ω) 5 C 一次遅れ回路回路の周波数応答 C 一次遅れ回路の周波数応答を求めてみよう このようなときは, まず, 特別に低い, あるいは逆に特に高い周波数での回路図がどのように描けるか, 考えると良い C 直流 ( 周波数 0) では 周波数 では 例題 C 一次遅れ回路の周波数応答を, 角周波数 ω を横軸とするグラフで示せ ただし, 角周波数はキャパシタンス C と抵抗 の積 C で正規化した対数尺度とし, 利得はdB て表せ H( ω) = + jωc ω のとき, H( ω) C ω = のとき, C ω のとき, C 0dB H( ω ) = + j H( ω) H (db) H ( ω ) = なので, jωc H ( ω) = より,-6dB/oct, H ( ω) = 90 ωc 以下のグラフでは時定数 C= T としている 0dB 0log 0 H( ω ) = 0 [db], H ( ω) = 0 H ( ω ) = / より,-3dB, H ( ω) = 45-0dB 実は, ここで -3dB -0dB/decade decade 90 H (deg.) ω ~0./Tまでは0 5/Tから先は-90 0./T 5/T 0./T /T 0/T ω db(deci Bell, でしべる, ディービー ), 9-4 電気回路配布資料

5 db( デシベル ) って何だ? 音の強さ, 信号のレベル ( 振幅 ), あるいは増幅回路の倍率 ( 利得 ) の単位として使われる 広い範囲の振幅の変化を表すことができる また, 複数の回路を多段接続した回路や無線やレーダでの信号レベルを求めるとき,dB を使うことにより, 乗算ではなく加算により計算ができる db( デシベル ) 出力振幅利得の場合, 0 log0 = 0log 0 増幅器の倍率, 入力振幅 振幅の場合,a を振幅値, a ref を基準とする振幅値とするとき, 0log 0 a a ref のようにして計算する もともとは,B(Bell, ベル ) と呼ばれる単位が, log 0 a / aref で定義されていた (Bell は電話の発明者とし て有名なグラハム ベル ) ref log a log a = となることからわかるように, パワー 0 0 パワーが一桁違一桁違うと,B の差になるになる ような単位 a a ref であった しかし, これでは, 通常使用する場合に値が小さくなりすぎる ( 人間の体重をトンで表すようなも の ) そこで,/0 B である db を単位として使うようになった db 値と倍率のリニアスケール値の関係 db 値 振幅の倍率 パワーの倍率 60dB 000 倍 6 0 倍 40dB 00 倍 4 0 倍 0dB 0 倍 00 倍 4dB 5 倍 5 倍 db 4 倍 6 倍 0dB 3.6 倍 0 倍 6dB 倍 4 倍 3dB 倍 ( 約.4 倍 ) 倍 0dB 倍 倍 -3dB / 倍 ( 約 0.7 倍 ) 0.5 倍 -6dB 0.5 倍 0.5 倍 -0dB 0.36 倍 0. 倍 -db 0.5 倍 (/4 倍 ) /6 倍 -4dB 0. 倍 0.04 倍 -0dB 0 倍 0 倍 -40dB 0 倍 0 4 倍 -60dB 0 3 倍 0 6 倍 * 網掛けしているけしている部分部分を暗記暗記しておくとしておくと便利 +db は. 倍 (.% 増 ) +0.dB は.0 倍 (.% 増 ) 振幅.4 倍 ( パワーは 倍 ) は +3dB 振幅 倍は +6dB 振幅 0 倍は +0dB くらいは覚えておこう 周波数の目盛目盛について対数スケールとリニア スケールのどちらかを使う 対数スケールの方が一般的 対数スケール : 一定の比率での周波数の変化が一定の間隔になるようにスケール ( 目盛 ) を付ける 例えば, Hz から0Hz までの間隔とKHz と0KHz までの間隔が同じ幅になるように目盛が付けられる 広い範囲の周波数に対する変化を表したいときや, 利得の変化をグラフ化する場合に便利 なお 0Hz ( 直流 ) での値は表示できないことに注意 リニア スケール : 周波数の値に比例するような ( 普通の ) 目盛付け 限定された周波数の範囲での変化や直流付近での特性を表したいときに使う 電気回路配布資料 9-5

6 演習問題 [] 以下に示す回路の周波数応答の, 周波数 f を横軸とするグラフの概形を示せ 8 [k Ω] 000 [pf] H (db) 0dB -0dB 90 H (deg.) f [khz] 注意 :000pF は nf と表記すべきであるが, 日本国内では,nF はあまり使用されていないので, 上のような表記にしてある C 一次遅れ回路の使用例 出現例 回路要素として, 信号の平滑化に使われる 高い周波数の成分を遮断し低い周波数成分や直流成分を通過させる, 低域通過フィルタとして働くが, 減衰量の変化は緩やかで, フィルタとしての特性は, それほどよくない また, 信号を回路に入力する場合, 信号源の出力抵抗と回路の入力容量で一次遅れ回路が構成されるため, 高速に動作させるときは, その影響が無視できなくなる 9-6 電気回路配布資料

7 演習問題 [] 解答例周波数 f に関する伝達関数を求めると, 与えられた回路の抵抗値を, キャパシタンスを C とすると, H ( f ) = = + jπ fc + jf / f C 8 [k Ω] 000 [pf] f C = πc 3 となる f C を計算すると, f C = = = 0 0 より,0kHz 3 π C 利得と位相をプロットすると, 以下のようになる 0dB -0dB H (db) 0dB -3dB -0dB/decade decade H (deg.) 0~4kHz までは kHz から先は -90 f [khz] 電気回路配布資料 9-7

8 < 付録 > トランス ( 変成器 ) 図 A. のように, つの導線をコイルに巻いて, 発生する磁界がお互いに錯交するように構成した部品が, トランス ( 変成器 ) である トランスは, 電圧の変換 ( 昇圧や降圧 ), インピーダンス変換, 極性の反転, 基準電位の分離 ( グランド分離 ) などに用いられる i i トランスの機能トランスは, 多くの場合, 図 A.. に示すような 対の 端子を持つ4 端子の素子である コイルに巻いた導線の途中に端子を設けた 中点タップ付き の素子もある トランスは通常, 一方のコイルを入力に使い 次側 と呼び, もう一方を出力として負荷を接続して用い 次側 と呼ぶ 以下では, トランスを 理想トランス として扱い, 図 A..3 のような構成で使う場合について考える 動作原理の詳しい解説は割愛する ( 秋月, 橋本 : 電気回路教本, オーム社 (00) などを参照 ) 次側と 次側のコイルの巻き数をそれぞれ n,n とする 理想的なトランスでは, 巻き数比 r = n / n とするとき, 組の端子間の電位差と電流に関して, 以下のような関係が成りたつ n v = v = rv () n Z 図 A. トランスの構造の概念 図 A. 回路図上での記号の例 ( コア付トランス ) i i n i = i = i () n r v v Z v i = v i (3) 図 A.3 トランスの動作 Z v i r Z = i v = r Z Z V v r v Z V Z r 図 A.4 次側から見ると, 負荷インピーダンスが/ r 倍になる Z i = r i i r Z V v r v Z rv Z 図 A.5 次側から見ると, 電圧が r 倍, 出力インピーダンスが r 倍になる トランス (transformer) 電圧の振幅を変換する目的では変圧器と呼ぶが, 英語ではどちらも同じ 整合 (matching) 高周波回路で伝送線路の端で反射波が発生しないようにするために, 受信回路を伝送線路の固有インピーダンスと同じ値の抵抗で終端することも, 整合と呼ぶ 9-8 電気回路配布資料

9 303式 () は, トランスの 次側に加えた電圧の巻き数比倍の電圧が 次側に現れることを意味している 一方, 電流に関しては逆になり, 次側の電流は 次側の電流の巻き数分の一となる 図 A.4 で, 次側から見て負荷がどのように見えるかについて, 説明する 次側では 次側の端子間電圧の r 倍の電圧が発生する このため, 流れる電流は rv / Z となる 次側の電流は, 次側電流の r 倍となるので r v / Z となる この値は r v / Z = v / ( Z / r ) と書けるので, 次側から見た負荷インピーダンス が Z r, つまり巻き数比の 乗分の一に見えることを意味する / 一方, 図 A.5 に示すように, 次側から見ると, 次側の等価出力電圧が巻き数比 r 倍になる 次側の負荷に流れる電流 i の r 倍が 次側で流れ込むので, 等価出力インピーダンスによる電圧降下は r iz となる この電圧降下は 次側では r 倍となって現れるので, r iz = ( r Z) i だけの電圧降下となる つまり, 等価出力インピーダンスが, 巻き数の 乗である r 倍になったと考えることができる 例題 [] ) トランスを通した場合, 信号源の有能電力は変わらないことを示せ V 電圧 V, 出力抵抗 の回路の有能電力は 4 巻き数比 r のトランスを通すと, 電圧は rv, 出力抵抗は r となる ( rv ) r V V 有能電力は = = となり, 変わらない // 4( r ) 4r 4 ) 次側巻き数が 600, 次側巻き数が 00 のトランスの 次側に入力インピーダンス 8Ω のスピーカを接続した 次側から見たスピーカの等価インピーダンスを求めよ 巻き数比 r は, r = 00 /600 = /6 等価インピーダンスは, e = 8 / r = 8 / (/6) = 8 6 = [kω] トランスによるによるインピーダンスインピーダンス整合入力インピーダンスが 8Ωのスピーカを, トランジスタを用いた出力インピータンス k Ω, 最大振幅電圧 50V の増幅回路で駆動する場合の, 負荷で消費される電力のピーク値 ( 瞬間的な最大値 ) を考える ⅰ) 直結の場合 P = V ( + ) 8 = 50 (000+8) ⅱ) トランスを介した場合 [mW] 50V kω トランスの 次側にある駆動回路からは, 負荷インピーダンス は k に見えるので, 8Ω P = V ( + ) 000 = 50 ( ) [mW] 50V kω kω 直結の場合の約 60 倍になっているいことがわかる 電気回路配布資料 9-9

10 トランスによるによる高圧送電 発電所から電力を送る場合を考える 計算を簡単にするため, 図のようなモデルで考える 発電機の出力抵抗は 0 Ω, 送電線の抵抗は片側で 5Ω, 負荷抵抗を 0 Ω とする ( 数値は四捨五入により少数点以下 桁まで求めている ) ⅰ)00V で送電 00 i = = 5[A] Ω 00V 0Ω 5Ω 図直接送電した場合 送電線に流れる電流 i は 5.0[A] 負荷で消費される電力は i = 0 5 = 50 [W] 送電線で消費される電力 : (5 + 5) i = 0 5 = 50 [W] となる 送電線で, 負荷で消費されるのと同じ電力を消費している ⅱ)000V に昇圧して送電 000 = [A] i 3 000V 5Ω 0Ω 000V 5Ω r 000Ω 5Ω 0: 図高電圧で送電し, 負荷の前で降圧 5Ω 図発電機側から見た回路 一方,000V で送電し, 負荷の直前で巻き数比 0: のトランス ( r = /0 ) により降圧する場合は, 負荷 抵抗は / r = 0 0 = 000 と,00 倍の 000[Ω] に見える したがって, 送電線に流れる電流 i は.0[A] 負荷で消費される電力は i = 000 = 000 [W] 送電線で消費される電力 : (5 + 5) i = 0 = 0 [W] となり, 昇圧 降圧をしない場合に比べ, 負荷で消費される電力が 4 倍, 送電線で消費される電力は /5 になっていることがわかる 9-0 電気回路配布資料