入試の軌跡

Size: px
Start display at page:

Download "入試の軌跡"

Transcription

1 4 y O x 4 Typed by L A TEX ε

2 ) ) ) 6 4 ) 4 75 ) PDF) Ctrl +L) Ctrl +) Ctrl + Ctrl + ) ) Alt + ) Alt + ) ESC. kiseki ri i.pdf 6 i

3

4 i. I) II) II) II) III) III) A) B) B) B) C) ) ) ) ) ) ) ) ) iii

5 ) ) ) ) iv

6 . I) ) p.69) ) k x x k = k ) x a )x + a + )x + a + = a. II) a > a > p > l : y = x l : y = a S l x T y P, p) l A, ) l Qq, a) PQS = 5 AQS = 45 ) p.7) ) p q a ) PAT = QAS p a C : x + y = C : x ) + y 4) = 5 P P C C : P 4) p.7) 4 xy, ) y C ) p.7) ) C ) x + y = 9 4 C x 5 xy, ) y C ) p.74) ) C ) a x + y = a C a

7 . II) 6 PQR PQ QR RP A B C PCA QAB RBC O O O r r r ABC a = BC b = CA c = AB ) p.76) ) r r r a b c ) O O O 7 m n m < n 4) p.77) ) x > mx )nx ) > x + ) tan α = m tan β = n tanα + β) α β m, n) 8 y = sin x cos x + sin x cos x ) p.79) ) sin x cos x = t y t ) x π y.4 II) 9 a C : y = x, C : y = x ) + a 7) p.8) ) C C a ) C C a π ) C C 4 a

8 .5. III) y = 4x + C x Pp, ) p ) C Ap, 4p + ) A C l x Qq, ) Bq, 4q + ) C m 8) p.8) ) q p ) m P p q ) ) p q C l m.5 III) x {P n } C : y = x {Q n} P a, ) a > ) P n n ) P n y C Q n Q n C x P n+ 5) p.8) ) P n a n, ) a n a ) P n P n+ Q n S n S n a n= < a < {a n } { a = a a n+ = log + a n ) n =,,, ) lim a n 9 ) p.84) n ) < x < < log + x) < x 6 x.69 < log <.7 ) < a n < 6 n + n =,,, ) lim n a n

9 4 r r > {a n } a =, a n+ = a n + r a n + 4 ) p.86) ) n a n < r n a n > r ) n a n+ r a n r ) n a n+ r a n r < ) r r + 4) lim a n lim a n+ n n.6 III) 4 ) p.88) ) x < e x x + ) y = xe x y = xx + ) x = 5 E : x 8 + y = ) p.9) ) E a, b) E x y a fa) fa) a > b > ) fa) a 6 a > fx) = x e x a ) p.9) ) x = c fx) c a c ) fx) dx a

10 .6. III) 5 x 7 fx) = ) p.9) x ) fx) dx ) gx) k x k + k =,,, ) gx) = ) k fx k) a n = n gx) dx n =,,, ) {a n } 8 fx) gx) fx) = x gt) + t cos t) dt + sin x, gx) = sin x + π π f t) cos t) dt ) p.9) ) fx) gx) ) π fx) gx)) dx 9 4) p.9) ) n x e x > xn n! ) ) lim x x e x = ) y = xe x a, ae a ) x P Q a > PQ la) lim la) a

11 6 E : x ) + y b = b 4) p.95) ) E r = fθ) fθ) ) P E O P OP, ) b ) b ) OP θ θ < θ π ) fθ) θ fθ) dθ b x, y) r, θ) r = fθ) C 5) p.97) ) ) dx dy ) C x, y) + fθ) f θ) dθ dθ ) fθ) = sin θ C θ π n 6) p.98) ) n fx) = x) x n ) a n = x) x n dx ) a n n= x + tan t fx) = + x + e dt π tan t < x < π ) 6) p.99) ) u = e tan t t ) fx) ) y = fx) x x = x = π 4 x

12 .6. III) 7 4 A xy, ), ), ), ) 7) p.) ) A ) y = e x Pt, e t ) P C < t < e + e ) x ) D y = x + log x < e + e C D 5 a log x) = ax x > ) 7) p.) log x) ) lim = x x ) p q < p < q) q p e e + < p < 6 C : y = 4 x F, ) O 8) p.5) ) C Ax, y) x > ) θ = OFA r = FA r θ ) C n A x, y ) A x, y ) A n x n, y n ) x k > OFA k = kπ n k =,,,, n) n lim FA k n n k= 7 p fx) fx) = p p x t 6 + t )dt 9 ) p.6) ) f x) x = p + ) fp + ) p >

13 8 8 9 ) p.7) ) π x π cos x sin x > x π 6 ) 4 sin x dx cos x sin x π 9 fx) = x x t x t + gt) ) p.) ) gt) ) gt) dt π 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) π ) ) f f) 8 x π ) 8 ) p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n π 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) ) f) x π ) 8 ) p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n ) p.) ) p fx) = ae x sin px+be x cos px f x) = e x sin px a b ) St) = t e x sin x t St) ) lim t t dx t ) St)

14 .6. III) 9 f n x) n =,,,, ) f x) = f n x) = x t f n t) dt n =,,, ) ) p.5) ) f x) f x) f x) ) n f n x) f n x) x n ) n f n) C : x + 4y = P, ) ) p.7) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b 5 C : x + 4y = 4 P, ) ) p.8) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b 6 xyz P,, ) Q,, ) Rt, t t +, ) t t PQR K ) p.9) ) K xy ) K

15 7 fx) = x e t sin t + cos t)dt gx) = x e t cos t sin t)dt ) p.) fx) gx) f n) x) g n) x) fx) gx) n ) n f n) x) g n) x) f n ) x) g n ) x) ) {f n) x)} + {g n) x)} e a ) a {f n) a)} + {g n) a)} 8 fx) fx) = π n= sin t x cos t dt x > ) ) p.) ) a > a = tan θ θ < θ < π ) cos θ a ) fx) ) fx) x 9 a fx) fx) = π sin t ax cos t dt ) p.4) ) fx) ) fx) x

16 .6. III) 4 θ < θ < π) fθ) ) p.6) ) fθ) ) < θ < π fθ) f θ) ) π π fθ) dθ 4 a cos θ sin θ = a sin θ cos θ, < θ < π θ 4 ) p.7) ) θ < θ < π ) θ 4 4 ) p.8) ) a b c log a a + log b b + log c c < log 4 log e >.7 log >.6 ) a b c d a bc b ca c ab = d abc, a b c, d 4 a xy C : y = e ax l C l y S 4 ) p.9) ) S x V ) S y V ) V = V a

17 44 a a > xy C : y = < x < π ) sin x cos x y = a x α, β α < β) 4 ) p.) ) tan α tan β a ) C x x = α x = β S S a ) S x V a.7 A) S ) p.) ) S ) S 46 n X n a n = X X X n n a n 9 ) p.) 47 6 m n m n ) p.) ) m = n ) y = x + c m, n) S S ) S c 48 4 X ) b a X 4 a b b a 5) p.4) ) Z Z m a ) m a

18 .7. A) 49 a b 6) p.5) ) y = ax + x b 5 ) y = ax + x b x x x ) y = ax + x b y = bx 5 xy P x x 4 5 y 6 y 7) p.6) ) 5 P, ) ) n P x ) P x 5 p q y = px y = qx + x A B 9 ) p.7) ) AB y ) A x ) OAB 9 O ) p.9) ) )

19 4 5 a b a b P Q P = {x x + ax + b > } Q = {x 5x + a } ) p.4) ) P ) Q P 54 x y ) p.4) ) x 5 x ) x 5 y xy 5 55 n 4 n 4) 4 a k k =,,, n) ) p.4) ) {a k } ) {a k } k b k = a a a k k =,,, n) b + b + + b n ) b + b + + b n {a k } 56 X Y {,,, 4, 5, 6} X Y n A B i) A X A X B Y B ii) n ) p.44) ) X Y p q A ) A B X, Y )

20 .8 B).8. B) 5 57 P n n, ) n =,, P O P n n ) P Q n OP Q n P θ n ) p.45) ) Q n P ) cos θ n ) tan θ n <. n 58 C : x +y = x, y ) A < θ < π 4 X s OA t POR = θ, ) P, ) Q, ) ) C Rs, t) C OX t OA s OX ) p.46) ) OA OX θ ) X AP θ ) ) θ ROX.9 B) 59 4 A,, ) B,, ) C,, ) D,, ) CD Px,, ) PAB S 5) p.48) ) APB = θ cos θ x ) S 6 O 4 A,, ) B,, ) C,, ) P,, ) OAC OBC ABC Q R S PQ PR PS OAC OBC ABC 6) p.49) ) PQ ) PS ) QRS

21 6 6 O A4,, ) B,, ) C,, ) BC t : t) < t < ) P ) p.5) ) OAP t ) C O A P xy D D OAB t 6 OADB-CEGF OA M AD : N DG : L OC k : k < k < ) K ) p.54) ) OA = a OB = b OC = c MN ML MK a b c ) M N K L k ) M N K GF k F G C E B D O A 6 OABC AB M BC : N OC L a = OA b = OB c = OC ) p.55) ) L M N OA D OD a b c ) OB K DN P KP OP a b c

22 .9. B) 7 64 O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D ) p.56) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) s + t s t OR = s OA + t OB R E D E 65 O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D ) p.59) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) C 6 D OC C 66 OABC OA = a OB = b OC = c D OD = b a E OE = c a P OA 4 ) p.6) ) < t < BD t : t) R CE t) : t S OB PR M OC PS N OM ON t b c ) OMN t ) t < t < OMN 67 OABC OA = a OB = b OC = c OA P 4 ) p.6) ) < t < BC t : t) Q PM + MQ OB M PN + NQ OC N OM ON t b c ) QMN t ) t < t < QMN

23 8. B) 68 a x n = n an n =,,, ) {x n } x > x > > x 4 > x 5, x 5 < x 6 < x 7 < a ) p.66) 69 {a n } a =, a n = n )n ) n + a k n =,, 4, ) k= 8) p.68) n ) b n = n + a n n =,,, ) b n = + b k n =,, 4, ) ) {b n } ) a n n 4) a k k= k=

24 .. C) 9 7 p > {a n } {b n } a =, b = a n a n = b n b n + n =,, 4, ) a n + b n )b n b n ) = pn + b n n =,, 4, ) 9 ) p.69) ) a n b n ) a n b n a n + b n ) lim n a n b fp) lim log fp) n p p 7 {a n } n S n S n = a n + n ) p.7) ) a n+ a n ) a n n. C) a 7 y = x + l A l b c A l 8) p.7) ) b c a ) a l P A P ) l Q A Q l a c )

25 7 ) t, ), t) l l m l m Px, y) 9 ) p.75) ) x y t ) t P 74 c A = c c ) T ) p.77) ) T ) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR c ) c = E : x 4 + y = T E E E E E 75 c A = c c ) T ) p.78) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR k k ) c ) E : x 4 + y = T E E E c

26 8 ) )) ) ) )) )) 4 4,4,4 4

27 9 9 )) 4 4

28 ) ) 9 ) III III A 4 III ) gt) Gt) fx) = Gp) Gp x) ) fp + ) = Gp) G ) fp + ) Gp) ) fx) = x 6 ) x log + x) ) < a n < 6 n + ) a n ) A B α, qα + ) β, qβ + ) AB y q α + β + α β px qx = ) px qx = q + 4p ) AO AB 4 ) )

29 4 ) II B III 4 III ) ) y t ) s = cos θ t = sin θ ) OA OX α cos α ) sin θ ) ROX sin ROX ) ft) ft) = ft + ) t gt) ) ) 4 ) f x) = π ) ) f = ) fx) x 8 f) ) ) a = π 6 a n+ = a n + π 6 a n

30 5 ) A B III 4 III ) 6,7,9) ) P Q Q P ) ) M N K α α A a) B b) C c) L a b c k ) GF a b c ) ) ) ) f n x) f n x) ) ) ) 4 ) )

31 6 ) I C III 4 III n ) x k = x k ) a + l a + = l l a = ) ) cos θ = + c sin θ = c + c ) A B detab) = det A det B ) e x sin t) = e x sin x + cos x) e x cos x) = e x cos x sin x) ) f x) = e x sin x + e x cos x g x) = e x cos x e x sin x e x sin x e x cos x ) ) ) ) 4 ) x ) x > sin θ = θ < θ < π ) + x cos θ = sin t x cos t = + x sint θ) + x ) )

32 7 ) B B III 4 II ) a n+ = S n+ S n ) ) a n+ = a n n n n n fn) fn+) = fn) n ) Q D OA OQ OB OQ 6k k + 9 ) D AB Q D P OP = µ OQ µ ) ) OAB P OP AB i) OP AB R OP = µ OR µ ) P D OA OP OB OP µ OA OR µ OB OR OR = k OA + k ) OB k ) µ6k ) µ k + 9) ) OP = µ OQ µ > ) µ < k ) ii) OP AB OP = µ AB µ ) P D OA OP OB OP µ = D OP = µ OQ µ ) P

33 8 ) ) ) fθ) = sin θ + sin θ = + sin θ f θ) = cos θ + sin θ ), f θ) = sin θ 4 ) + sin θ < θ < π f θ) > f θ) < ) x = θ 4 ) x ) + y + x = x ) + y = x y = x 4 x + x x x ) + y = x x x x φ y = x x = y y ) y ) y = fx) y = gx) fx) = gx) x C C y x < x < x =,

34 9 4 ) B III III n 4 III ) ) ) ) ) a θ a < θ < π ) a = fθ) y = a ) a n r a n + r a n r a n + r ) ) ) 4) ) ) 4 ) ) )

35 -5) I 4 5 II III A B C

36 6-4) I II 4 III A B C 4 III

37 ) 9 ) C B A 4 III ) l m x y ) t P t ) a n b n = a n b n + {a n b n } ) ) ) ) ) a n > b n > a n +b n = a n b n ) + 4a n b n = n + ) + 4{pn + p + )n p} a n b n lim n n = lim n a n b n n = p lim n a n + b n n = + 4p ) A B α, qα + ) β, qβ + ) AB y q α + β + α β px qx = ) px qx = q + 4p ) AO AB 4 ) )

38 ) B A III 4 III ) P x ) D x D y ) ) ) ) f x) = π ) ) f = ) 8 fx) x f) ) ) a = π 6 a n+ = a n + π 6 a n 4 ) ) ) p = t St) ) sin t lim t t =, lim t e t cos t =, lim = t t t

39 4 ) A B III 4 III ) x 5 x = xx + )x ) = x{x 4) + 5}x ) = xx + )x )x + )x ) + 5xx + )x ) x 5 x = xx + )x )x + ) x = 5k x = 5k ± x = 5k ± k ) x p x p x p x p x p p ) ) ) ) ) M N K α α A a) B b) C c) L a b c k ) GF a b c ) ) ) 4 ) OR )

40 5 ) A C III 4 B ) n 4) 4 ) b + b + + b n {a n } b + b + + b n {a n } a = a n = ) ) ) A B detab) = det A det B ) sin θ cos θ sin θ cos θ ) ) ax ) x sin θ = + a x θ π < θ < π ) cos θ = + a x sin t ax cos t = + a x sint θ) ) ) 4 ) L M N OA OD DK DN ) DK DN θ cos θ = DP = DN DK cos θ DN = DK DN) DN DN DK DN

41 6 ) A B III 4 II ) A k k n) ) B ) ) 7 ) ) ) l = OL m = OM m OL + l OM LMO m l l m) m OLM m m e OLM H OM OH e ) 8 ) 4 8 ) ) ) C

42 7 4 ) B III III 4 III ) ) OMN + BQM + CQN = OBC QMN ) ) ) a θ a < θ < π ) a = fθ) y = a ) fx) = log x x ) fx) n fn) f) 4 ) y = tan x + tan x ) sin x cos x = tan x) = tan x cos x tan x ) sin x cos x = + tan x ) cos x = + tan x ) tan x)

43 8 6-4) I II 4 III A B 4 C ) 9 4 III ) 4 4 A 9,,) ),) B,,,) 4

44 9 III 6 4 ) ) 4 fx) = + x x + tan t dt π + e tan t < x < π ) ) u = e tan t t ) fx) ) y = fx) x x = x = π 4 x ) du dt = etan t tan t) = etan t cos t ) u = e tan t ) + tan t = cos t fx) = + = + [ = + x x e tan x e tan t + e ) etan t tan t cos t dt u + u) du ] log u e tan x + u e tan x) e tan x e tan x = + log + e log e tan x tan x + e tan x = + log e tan x = + tan x ) p.99) 6 ) 4

45 4. 4 p.88) ) x < e x x + ) y = xe x y = xx + ) x = P n n, ) n =,, P O P n n ) P Q n OP Q n P θ n 57 p.45) ) Q n P ) cos θ n ) tan θ n <. n a x n = n an n =,,, ) {x n } x > x > > x 4 > x 5, x 5 < x 6 < x 7 < a 68 p.66) S 45 p.) ) S ) S

46 .. 4. n X n a n = X X X n n a n 9 46 p.) a > a > p > l : y = x l : y = a S l x T y P, p) l A, ) l Qq, a) PQS = 5 AQS = 45 p.7) ) p q a ) PAT = QAS p a E : x 8 + y = 5 p.9) ) E a, b) E x y a fa) fa) a > b > ) fa) a 4 a > fx) = x e x a 6 p.9) ) x = c fx) c a c ) fx) dx a

47 4. 6 m n m n 47 p.) ) m = n ) y = x + c m, n) S S ) S c PQR PQ QR RP A B C PCA QAB RBC O O O r r r ABC a = BC b = CA c = AB 6 p.76) ) r r r a b c ) O O O x fx) = 7 p.9) x ) fx) dx ) gx) k x k + k =,,, ) ) k gx) = fx k) a n = n gx) dx n =,,, ) {a n } 4 fx) gx) fx) = x gt) + t cos t) dt + sin x, gx) = sin x + π π f t) cos t) dt 8 p.9) ) fx) gx) ) π fx) gx)) dx

48 C : x + y = C : x ) + y 4) = 5 P P C C : P p.7) m n m < n 7 p.77) ) x > mx )nx ) > x + ) tan α = m tan β = n tanα + β) α β m, n) 9 p.9) ) n x e x > xn n! ) ) lim x x e x = ) y = xe x a, ae a ) x P Q a > PQ la) lim la) a 4 E : x ) + y b = b p.95) ) E r = fθ) fθ) ) P E O P OP, ) b ) b ) OP θ θ < θ π ) fθ) θ fθ) dθ b

49 A,, ) B,, ) C,, ) D,, ) CD Px,, ) PAB S 59 p.48) ) APB = θ cos θ x ) S 4 X X 4 a b b a 48 p.4) ) b a ) Z Z m a ) m a x {P n } C : y = x {Q n} P a, ) a > ) P n n ) P n y C Q n Q n C x P n+ p.8) ) P n a n, ) a n a ) P n P n+ Q n S n S n a 4 x, y) r, θ) r = fθ) C p.97) ) ) dx dy ) C x, y) + fθ) f θ) dθ dθ ) fθ) = sin θ C θ π n=

50 a b 49 p.5) ) y = ax + x b 5 ) y = ax + x b x x x ) y = ax + x b y = bx O 4 A,, ) B,, ) C,, ) P,, ) OAC OBC ABC Q R S PQ PR PS OAC OBC ABC 6 p.49) ) PQ ) PS ) QRS n p.98) ) n fx) = x) x n ) a n = x) x n dx ) a n n= x + tan 4 t fx) = + dt π x + e tan t < x < π ) p.99) ) u = e tan t t ) fx) ) y = fx) x x = x = π 4 x

51 a C : y = x, C : y = x ) + a 9 p.8) ) C C a ) C C a π ) C C 4 a xy P x x 4 5 y 6 y 5 p.6) ) 5 P, ) ) n P x ) P x A xy, ), ), ), ) 4 p.) ) A ) y = e x Pt, e t ) P C < t < e + e ) x ) D y = x + log x < e + e C D 4 a log x) = ax x > ) 5 p.) log x) ) lim = x x ) p q < p < q) q p e e + < p <

52 y = 4x + C x Pp, ) p ) C Ap, 4p + ) A C l x Qq, ) Bq, 4q + ) C m p.8) ) q p ) m P p q ) ) p q C l m {a n } a =, a n = n )n ) n + a k n =,, 4, ) k= 69 p.68) n ) b n = n + a n n =,,, ) b n = + b k n =,, 4, ) ) {b n } ) a n n 4) a k k= ) a y = x + l A l b c A l 7 p.7) ) b c a ) a l P A P k= ) l Q A Q l a c

53 48 4 C : y = 4 x F, ) O 6 p.5) ) C Ax, y) x > ) θ = OFA r = FA r θ ) C n A x, y ) A x, y ) A n x n, y n ) x k > OFA k = kπ n k =,,,, n) n lim FA k n n k=

54 ) ) p fx) fx) = p p x t 6 + t )dt 7 p.6) ) f x) x = p + ) fp + ) p > < a < {a n } { a = a a n+ = log + a n ) n =,,, ) lim a n p.84) n ) < x < < log + x) < x 6 x.69 < log <.7 ) < a n < 6 n + n =,,, ) lim a n n p q y = px y = qx + x A B 5 p.7) ) AB y ) A x ) OAB 9 O 4 8 p.7) ) π x π cos x sin x > ) π 6 π 4 sin x cos x sin x dx x

55 5.9. t ), ), t) l l m l m Px, y) 7 p.75) ) x y t ) t P p > {a n } {b n } a =, b = a n a n = b n b n + n =,, 4, ) a n + b n )b n b n ) = pn + b n n =,, 4, ) 7 p.69) ) a n b n ) a n b n a n + b n ) lim n a n b fp) lim log fp) n p p p q y = px y = qx + x A B 5 p.7) ) AB y ) A x ) OAB 9 O 4 8 p.7) ) π x π cos x sin x > ) π 6 π 4 sin x cos x sin x dx x

56 ) ) y = sin x cos x + sin x cos x 8 p.79) ) sin x cos x = t y t ) x π y ) C : x + y = x, y ) A, P, ) Q, ) POR = θ < θ < π ) C Rs, t) 4 C X s OA t OX t OA s OX 58 p.46) ) OA OX θ ) X AP θ ) ) θ ROX fx) = x x t x t + gt) 9 p.) ) gt) ) gt) dt π 4 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) π ) ) f f) 8 x π ) 8 p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n

57 5.. O A4,, ) B,, ) C,, ) BC t : t) < t < ) P 6 p.5) ) OAP t ) C O A P xy D D OAB t p.9) ) ) π 4 x fx) = log 4 + tan t) dt x ) fx) f x) ) f) x π ) 8 p.) ) a = f) a n+ = fa n ) n =,,, ) {a n } a n 4 p.) ) p fx) = ae x sin px + be x cos px f x) = e x sin px a b ) St) = t e x sin x t St) ) lim t t dx t ) St)

58 ) ) a b a b P Q P = {x x + ax + b > } Q = {x 5x + a } 5 p.4) ) P ) Q P OADB-CEGF OA M AD : N DG : L OC k : k < k < ) K 6 p.54) ) OA = a OB = b OC = c MN ML MK a b c ) M N K L k ) M N K GF k F G C E B D O A

59 54 f n x) n =,,,, ) f x) = f n x) = x t f n t) dt n =,,, ) p.5) ) f x) f x) f x) ) n f n x) f n x) x n ) n f n) C : x +4y = P, ) 4 p.7) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b

60 x y 54 p.4) ) x 5 x ) x 5 y xy 5 OADB-CEGF OA M AD : N DG : L OC k : k < k < ) K 6 p.54) ) OA = a OB = b OC = c MN ML MK a b c ) M N K L k ) M N K GF k F G C E B D O A

61 56 C : x +4y = 4 P, ) 5 p.8) ) y = x + b C b ) ) A B PAB b 4 xyz P,, ) Q,, ) Rt, t t +, ) t t PQR K 6 p.9) ) K xy ) K

62 ) ) p.69) ) k x x k = k ) x a )x + a + )x + a + = a c ) c A = c T 74 p.77) ) T ) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR c ) c = E : x 4 + y = T E E E E E

63 58 fx) = x e t sin t + cos t)dt gx) = x fx) gx) e t cos t sin t)dt 7 p.) f n) x) g n) x) fx) gx) n ) n f n) x) g n) x) f n ) x) g n ) x) ) {f n) x)} + {g n) x)} e a ) a {f n) a)} + {g n) a)} 4 fx) fx) = π n= sin t x cos t dt x > ) 8 p.) ) a > a = tan θ θ < θ < π ) ) fx) ) fx) x cos θ a

64 n 4 n 4) 4 a k k =,,, n) 55 p.4) ) {a k } ) {a k } k b k = a a a k k =,,, n) b + b + + b n ) b + b + + b n {a k } c ) c A = c T 75 p.78) ) xy P Q R T P Q R P Q R PQR k k ) c ) E : x 4 + y = T E E E c

65 6 a fx) fx) = π sin t ax cos t dt 9 p.4) ) fx) ) fx) x 4 OABC AB M BC : N OC L a = OA b = OB c = OC 6 p.55) ) L M N OA D OD a b c ) OB K DN P KP OP a b c

66 ) ) {a n } n S n S n = a n + n 7 p.7) ) a n+ a n ) a n n O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D 64 p.56) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) s + t s t OR = s OA + t OB R E D E

67 6 θ < θ < π) fθ) 4 p.6) ) fθ) ) < θ < π fθ) f θ) ) π π fθ) dθ 4 xy, ) y C 4 p.7) ) C ) x + y = 9 4 C x

68 X Y {,,, 4, 5, 6} X Y n A B i) A X A X B Y B ii) n 56 p.44) ) X Y p q A ) A B X, Y ) O A,, ) B,, ) OA OP OB OP OAB P D 65 p.59) ) k OQ = k OA + k) OB Q D k ) C 6 D OC C

69 64 θ < θ < π) fθ) 4 p.6) ) fθ) ) < θ < π fθ) f θ) ) π π fθ) dθ 4 xy, ) y C 5 p.74) ) C ) a x + y = a C a

70 ) ) OABC OA = a OB = b OC = c D OD = b a E OE = c a P OA 66 p.6) ) < t < BD t : t) R CE t) : t S OB PR M OC PS N OM ON t b c ) OMN t ) t < t < OMN a cos θ sin θ = a sin θ cos θ, < θ < π θ 4 p.7) ) θ < θ < π ) θ

71 66 r r > {a n } a =, a n+ = a n + r a n + p.86) ) n a n < r n a n > r ) n a n+ r a n r ) n a n+ r a n r < ) r r + 4) lim a n lim a n+ n n 4 a xy C : y = e ax l C l y S 4 p.9) ) S x V ) S y V ) V = V a

72 OABC OA = a OB = b OC = c OA P 67 p.6) ) < t < BC t : t) Q PM + MQ OB M PN + NQ OC N OM ON t b c ) QMN t ) t < t < QMN a cos θ sin θ = a sin θ cos θ, < θ < π θ 4 p.7) ) θ < θ < π ) θ

73 68 4 p.8) ) a b c log a a + log b b + log c c < log 4 log e >.7 log >.6 ) a b c d a bc b ca c ab = d abc, a b c, d 4 a a > xy C : y = sin x cos x y = a x ) tan α tan β a < x < π ) α, β α < β) 44 p.) ) C x x = α x = β S S a ) S x V a

74 69 ) p.) ) m m k = m k = m + k ) m k ) = m + k = m k ) + k m + k m k { m + k = 6 m k = k = ± ) a a m = 4, k = x a )x + a + )x + a + = x = a + ) ± a + ) 4a )a + ) a ) = a + ) ± a + a ) l = a + l a = l ) a = ± a = x =, a = x =, 4 5 a = x = a = x =

75 7 ) p.) ) a > a > p PQS = 5 AQS = 45 AQ PQ AQ y = x ) y = x + l : y = a Q Q a, a) y l P p O a Q T 45 S l A, ) P x PQ Q y a = {x a)} y = x + a P, a ) p = a, q = a ) l P P s, t) l PP t a + l PP s t a + s s PP, a + t a + t = s + t = 4a 4 ) l = s s t = a 4 s = 8a 4 t = 6a a 4 P, 5 ) 6a 8 5 PAT = QAS P 6a 8 5 = 8a a = 7 ) p = 8 7

76 7 4) p.) C C O A P C C Q R P x, y) P 4 A PQ : PR = : PQ = PR 4PQ = PR OQP ARP OQP = 9 ARP = 9 PQ = OP OQ = x + y C PR = AP AR = x ) + y 4) 5 y 5 O P Q R C x 4x + y ) = x ) + y 4) 5 x + y + 4x + 8y 9 = x + + y + ) 4 ) = 77 9 C C r r r = r = 5 OA = 5 r + r < OA C C P ), 4 77

77 7 4 ) p.) ) C Px, y) x ) + y + x = x ) + y = x y = x 4 x + x x 4 x + 4 x x + x + ) 4x x + x x C : y = x 4 x + C x y = x + x < y = 6x + x = y ), x = 6 y ) C ) S S = = 4 = 4 [ { y ) } 6 y ) dy y ) dy y y ] = 8 y O C x

78 7 ) x + y = 9 4 C : y = x 4 x + x y x + x 4 x + 4 = x ) ) i) x x x + 4 = x x =, ii) x < x + 6x + 4 = x x = 6 + x x =,, 6 + C x ) < x < x =, x =, 6+ x = 5

79 74 5 ) p.) ) C Px, y) x ) + y + x = x ) + y = x y = x 4 x + x x 4 x + 4 x x + x + ) 4x x + x x C : y = x 4 x + C x y = x + x < y = 6x + x = y ), x = 6 y ) C ) S S = = 4 = 4 [ { y ) } 6 y ) dy y ) dy y y ] = 8 y O C x

80 75 ) x + y = a C : y = x 4 x + x y x + x 4 x + = a x ) ) ) xz C : z = x +x 4 x + x ) z = a x z, 9 4 ) C C x < z = x + ) 6 x z = x ) +, 4 ) O x C x ) < x < x =, < a < 4 a = 4 < a < 4 a = 4 < a < a = < a < 4 4 a = < a

81 76 6 ) p.) ) CPA AQB BRC r = r = r = b sin CPA = b sin 6 = b c sin AQB = c sin 6 = c a sin BRC = b sin 6 = a ) ) = ) CO A = CPA = 6 = AO B = AQB = 6 = BO C = BRC = 6 = CO A AO B BO C O AO CAB ) CAB > ) O AO = 6 + CAB O AO = CAB) cos O AO = cos6 + CAB) Q A O c P O b a B O C R A O P C a O c O Q B b R

82 77 O AO ) O O = r + r r r cos O AO = b + c bc cos6 + CAB) = b + c bc cos 6 cos CAB sin 6 sin CAB) = b + c bc cos CAB + bc sin CAB ABC S O O = b + c bc b + c a bc = 6 a + b + c ) + S + S O O = O O = 6 a + b + c ) + S O O = O O = O O O O O 7 4) p.) ) fx) = mx )nx ) x +) y y = fx) fx) = mn )x m + n)x m < n mn > y = fx) O m + n x x x mn x =, m + n mn m + n mn mn ) m + n) = mn 9mn m n + ) = mn ) m )n ) = mn )

83 78 m n m < n n m n 5 mn > m )n ) 5 m + n mn m + n mn x > fx) > x > mx )nx ) > x + ) tanα + β) = tan α + tan β tan α tan β = + m n m n = m + n mn m < n tanα + β) tanα + β) = m + n mn = m )n ) = m < n m =, n = m, n) =, ) tanα + β) = m + n mn = m )n ) = 5 m < n m =, n = 5 m, n) =, ) tanα + β) = m + n mn = m )n ) = m < n m =, n = 5 m, n) =, ) m, n) =, ),, ),, )

84 79 8 ) p.) ) t = sin x cos x = sin x π ) x π = θ t = sin θ sin x cos x = sin x π ) { = sin θ + π ) π } 6 6 = sin θ + π ) = cos θ = sin θ) = sin θ) = t sin x cos x = sin x cos x) = t y = t ) + t = t + t + ) x π π θ π t ) y = t ) + t = t = θ = π x = π ) 6 θ = π x = )

85 8 9 7) p.) ) y = x y = x C t, t ) l l t y t ) = tx t) y = tx + t l C x x ) + a = tx + t x + t )x t + a + = l C t ) t + a + ) = 4t 6t a = l D D > D/4 = ) 4 a) > a > 4 C C C C C C y = x y = x ) + a y x = x ) + a 4x 6x + a + = D D < D/4 = ) 4 a + ) < a > 4

86 8 ) α β α, α ) β, β ) α β y C α β = αβ = 4 αβ = a α 4 a O 4 = 4 β x a > 4 a = C ) l α, α ) β, β ) y x θ θ C tan θ = α tan θ = β θ θ = π 4, 4 π α tanθ θ ) = O tan θ tan θ + tan θ tan θ = β α) + 4αβ = C 4β α) = + 4αβ) 4{α + β) 4αβ} = + 4αβ) β x α + β = αβ = a 4 ) a = a) 9a 8a 8 = a > 4 a = ± 7

87 8 8) p.) ) y = 4x + y = 8x Ap, 4p + ) l 8p y 4p B + ) = 8px p) y = 8px 4p + l Qq, ) y A C l = 8pq 4p + p Q q O P p x q = 4p 8p m ) Bq, 4q + ) m ) y = 8qx 4q + y C l Pp, ) = 8pq 4q + B A q = ±p q = p 4p + = q = p Q q = p + p, q) = ±, ) O P p x m ) ) ) y = 4x + y = 4x + y S S = = {4x + ) 4x + )} dx [ ] x ) dx = x ) =

88 8 5) p.) ) P n a n, ) Q n a n, ) a n y C y = x y = x Q n y a = n a x a n) O n y = x a n + a n Q n P n P n+ x x x y = x = a n P n+ x a n+ = a n ) n` P a, ) a n = a ) a > ) S n = a n+ a n ) a n = ) a n a n = = 4a n 4a a n ) n S n 4a n= < n= S n = 4a = 4a

89 84 9 ) p.) ) x > + x > log + x) > fx) = x 6 ) x log + x) f x) = x + x = x x) + x) fx) x x f x) + fx) log <.7 4 log 4 log > < x fx) > log + x) < x 6 x < x < log + x) < x 6 x < x < < log + x) < x 6 x ) < a n < 6 n + n =,,, ) A) n = < a = a < < a < 6 + A) n = k A) < a k < 6 k + < + a k < + 6 k + log < log + a k ) < log < a k+ < log + 6 ) k k + 4 )

90 85 < 6 k + log ) < 6 k + k + ) 6 = 6 k + < a k+ < < 6k k + k = 6 k + ) + 6 k + ) + 6k k + ) 5 n = k + A), n A) lim n 6 n + = A) lim a n = n

91 86 4 ) p.4) ) a n+ = a n + r a n + ) a = n a n > ) a n+ r = r) a n r a n + a n+ + r = + r) a n + r a n + a n+ r a n+ + r = r + r a n r a n + r a n r a n + r = r > r + r < ) ) n r a r + r a + r = ) n r + r n a n r > n a n r < a n > r a n < r ) ) ) a n+ r = r) a n+ r a n+ + r) a n r a = r) n + a n + r a n + + = r) a n r) a n + r + ) ) a n > r ) a n+ r = r) a n r) a n + r + a n+ r a n r < ) r r + < r) a n r) r + r + = ) r a n r) r +

92 87 ) r 4) ) λ = r + < a 4 r a r < λ, < a 6 r a 4 r < λ,, < a n r a n r < λ < a n r a r < λn < a n r < a r)λ n r > < λ < lim a r)λ n = n lim a n r) = n lim a n = r n! ) lim a a n + r n+ = lim n n a n + = r + r r + = r r > ) a n r n ) r n r a n + r = = + r r + < r ) n r r + < lim = n r + a n r lim n a n + r = lim a n = r n { ) n } r r + + r a n = ) n r + r < r + r < lim a n n ) n r r + r a n r = ) n r + r n a n r > n a n r < a n > r a n < r

93 88 4 ) p.4) ) ) ft) = e t + t + t + t 6 ) f t) = e t + t + t f t) = e t + t) f t) = e t t > f t) > f ) = t > f t) > t > f t) > f ) = t > f t) > t > f t) > f) = t > ft) > t > e t > + t + t + t 6 + t + t + t 6 = + t + t 6 t t + 6) { = + t + t t ) } > + t t > e t > + t t = x x < e`x > + x e t = + t + t! + t! + t > e t > + t + t, et > + t + t! + t!

94 89 x + e x = e x {x + )e x } gx) = x + )e x g x) = xe x + x + )e x = x + ) e x g x) = x = gx) x g x) + + gx) e x < gx) < x < x + < e`x ) x < e x > x + x = xe x = xx + ) x > e x < < x + xe x < xx + ) xe x < xx + ) y = xe x y = xx + ) x x = S S = = {xx + ) xe x } dx [ 4 x4 + x + x + )e x ] = 4

95 9 5 ) p.4) ) E : x 8 + y = a, b) ax 8 + by = x y a b 8 fa) = 8 a + b a, b) E a > b > a 8 + b = b = 8 a fa) = 8 a + 8 a < a < ) ) a f a) = 8 a b b f a) = 6 a + b ) b a b b 4 a 4 + bb = 5 b = a 8b 5 f a) = 8 a + a 8b = a 4b)a + 4ab + 6b ) 8a b 5 a 4 + b ) + bb = 5 5 b b = 4b 64b f a) = 6 a + 4b + a 64a 5 4 a > b > f a) > a 6 f a) = fa) f a) = a = 4b 7 7 a > a = 4

96 9 6 ) p.4) ) fx) = x e x a x a f x) = xe x a + x ) f x) + x a e a fx) = x a x a)e x a a > c = a ) ) c fx) dx = a x e x a dx [ = a x + ax + a )e x a = a 5 ) e ] a 7 ) p.5) ) fx) dx = ) a n = k n ) [ x dx = x + ] x = 4 x n gx) dx = k= k+ k n gx) dx = k= k+ k ) k fx k) dx x k = t ) k+ ) k ) k fx k) dx = ft) dt = 4 ) k ) n a n = 4 ) k ) k= = 4 ) ) n lim n! a n = 4 ) = 4 { ) ) n }

97 9 8 ) p.5) ) π π π f t) cos t) dt f t) cos t) dt = k π gx) = sin x + k fx) = x x gt) + t cos t) dt + sin x = sin t + k + t cos t) dt + sin x [ ] x = t sin t + kt + sin x = x + ) sin x + kx k = π π [ f t) cos t) dt = [ = {t + ) sin t + kt} sin t [ = t sin t + kt ] π π = kπ ] π ft) sin t ] π π π k = fx) = x + ) sin x, gx) = sin x ) ) π {fx) gx)} dx = π π x sin x dx = x cos x) dx = [ x x sin x x cos x + sin x 4 = π 6 π 4 ] π

98 9 9 4) p.5) ) A) x = A) x > A) t x e t x e t dt > x dt e x > x e x > x n = A) n = k A) x e t dt > x e x > k + )! t k dt k! ex > xk+ xk+ k + )! n = k + A), n A) n = e x > + x x > e x > + x + x! + + xn n! ) ) x > e x > x! < x e x < 6 x 6 lim x x = lim x x e x =

99 94 ) y = xe x y = x)e x y = xe x a, ae a ) y ae a = a)e a x a) y = e a { a)x + a } ) a P y = a, y = xe x a, ae a ) y ae a = ea x a) a y = ea x a) + ae a a Q y = a aa )e a, ) P Q x x p x q x p x q = a a {a aa )e a } = + a = + a + + aa )e a a ) a a e a e la) = x p x q ) lim a a e a = lim la) = a!

100 95 4) p.6) ) x ) + y = x = r cos θ y = r sin θ b r cos θ ) + r sin θ) b = r cos θ r cos θ + r sin θ b = r { r b cos θ + sin θ ) b cos θ } = y b O θ r P x b b cos θ r = r = b cos θ + sin θ cos θ = r = E fθ) = b cos θ b cos θ + sin θ ) ) E fθ) = b cos θ b ) cos θ + π θ π ) fθ) b < b b ) cos θ +, b cos θ b θ = b ) cos θ + = b b cos θ = b fθ), ) b = fθ) = cos θ θ =, ) fθ)

101 96 b > fθ) θ = ± π u = cos θ, ) < u < fθ) = b cos θ b ) cos θ + = b u b )u + = b b )u + u gu) = b )u + u gu) < u < g u) = b u = b u u + ) u b ) b gu) b u b g u) + < b < gu) b > b > ) ) cos θ = b < θ < π sin θ = θ fθ) dθ = θ b b b cos θ b b ) sin θ dθ t = dt b sin θ dθ = b cos θ θ θ t b θ t θ fθ)dθ = = = = b b b b b b b b b t dt b b + t + b t [ ] log b + t b b t b b log b + b b b ) dt

102 97 5) p.6) ) x = r cos θ y = r sin θ θ dx dθ = dr dy cos θ r sin θ, dθ dθ = dr sin θ + r cos θ dθ ) dx + dθ ) dy dr = dθ dθ = dr dθ ) dr cos θ r sin θ + dθ ) + r = {f θ)} + {fθ)} ) sin θ + r cos θ ) fθ) = sin θ f θ) = sin θ cos θ = sin θ cos θ {f θ)} + {fθ)} = l π dx ) ) dy l = + dθ dθ dθ π = {f θ)} + {fθ)} dθ π = sin 4 θ π dθ = sin θ dθ = = [ θ sin θ ] π = π 4 8 sin θ ) cos θ + sin θ ) = sin 4 θ π cos ) θ dθ

103 98 6) p.6) ) n fx) = x) x n f x) = x) ) x n n + x) nx = x) x n {n n + )x} n x n n+ f x) + + fx) 7n n n+) n+ n x n n+ f x) + fx) 7n n n+) n+ ) n x = n n + 7nn n + ) n+ n x = x = n n + 7nn n + ) n+ a n = = [ = x) x n dx x n x n+ + x n+ x n+ ) dx n + xn+ n + xn+ + n + xn+ n + 4 xn+4 = n + n + + n + n + 4 ] ) a n = n + n + + n + n + 4 = n + ) n + n + ) n + + n + ) n + 4

104 99 n + ) n + n + ) n + n + ) n + 4 n= n= n= n= = + = = + = = + = 4 a n = + 4 = 6) p.6) ) u = e tan t tan t) = etan t cos t ) u = e tan t ) + tan t = cos t fx) = + = + [ = + x x e tan x e tan t + e ) etan t tan t cos t dt u + u) du ] log u e tan x + u e tan x) e tan x e tan x = + log + e log e tan x tan x + e tan x = + log e tan x = + tan x

105 x + tan t + tan t x + tan t dt = dt + dt x + e tan t x + e tan t + e tan t x + tan t dt t = s dt + e tan t ds = t s x + tan t + e tan t dt = = = = x x x x + tan s) + e tan s) ) ds + tan s ds + e tan s e tan s + tan s) e tan s + ds e tan t + tan t) + e tan t dt x x + tan t + e tan t dt = = = x x x fx) = + tan x e tan t + tan t) + e tan t dt + + tan t) dt [ cos t dt = tan t ] x x + tan t + e tan t dt = tan x ) V ) V = π = π = π π 4 π 4 π 4 + tan x) dx + tan x + tan x) dx ) cos x + tan x dx [ = π tan x log cos x = π log ) = π + log ) ] π 4 t x s x

106 4 7) p.7) ) ) A = ) ) = A = = ) = = ) ) ) ) = ) = ) Pt, e t ) A x, y) ) ) ) x t = y e t x = e t y = t + e t < t < x = e t > t = log x C y = log x + x ) C D x log x + x = x + log e + e ) x log x = log e + ) e x x = e + e x x e + ) x + = e [ ] e, e e x + e ) x = x ) ) x = e, e = x { x e + ) } x + e x ) x e) e

107 e + e x x log e + e ) x log x x + log e + e ) x log x + x e < x < e D C S e { S = x + log e + e ) } x log x + x) dx e e log = e e e { log e + e ) } x + log x dx e + e x ) dx e + e x = t dx dt = x t e log e + e ) x dx e x e e e t e e = log t )dt = e e e log t dt = S = b a e e e e log x dx [ log x dx = ] e x log x x e = 4 e fa + b x) dx a + b x = t dx dt = x t = = b a a b b a fa + b x) dx ft) )dt ft) dt = b a fx) dx x t a b b a

108 5 7) p.7) log x) ) x fx) = x log x log x) f x) = x x log x log x) = x x fx) x e f x) + fx) log x) lim fx) = lim x + x + x 4 e = log x) lim fx) = lim = x x x y = fx) y 4 e O e x y = a a < a > 4 e, a = a = 4 e < a < 4 e

109 4 ) a = 4 e < p < q p q y 4 k = e O p e q e e + x fk ) = log k ) k = = 4 e { e + ) log e + e ) { log k e + ) = log k e } } e e + gx) = log x e, e + ) g x) = x [e, e + ] loge + ) log e e + ) e = c, e < c < e + c e + < log e + e e + ) log e + e < e > fp ) = 4 e fk ) > fp ) k < p < q = e < p < q e e + < p < q = e

110 5 6 8) p.7) ) F y = 4 x y y = A y y = r cos θ A AH AH = r cos θ) ) = r cos θ A FA = AH r = r cos θ ) ) FA k = lim n n n k= FA k = lim n n = = = r = + cos θ + cos kπ n n k= + cos kπ n + cos πx dx cos πx 4 [ 4 πx tan π 4 dx ] = 4 π F r A θ O y = 4 x x y = H

111 6 7 9 ) p.7) ) gt) = t 6 + t Gt) p [ ] p fx) = gt)dt = Gt) p x p x = Gp) Gp x) x f x) = G p x) p x) = gp x) ) = gp x) = p x) 6 + p x) = {p x) + } 4 f x) p x) + = x = p + ) x = p + fp + ) = Gp) G ) fp + ) Gp) G p) = gp) = p 6 + p = p )p + ) = p )p + p + )p + ) Gp) p > p G p) + Gp) p = G) G ) = = gt) dt = t 6 ) dt [ t 7 = 7 t ] t 6 + t ) dt = 4 7

112 7 8 9 ) p.8) ) sin x cos x < sin x π ) < sin x π ) < π x π 4 π x π π π < x π < π < x < π ) ) π x π 6 cos x sin x > π 6 4 sin x dx cos x sin x = π π π 4 sin x 6 dx + cos x sin x 4 sin x cos x sin x dx 4 sin x = a cos x sin x) + b cos x sin x) a b 4 sin x = a cos x sin x) + b sin x cos x) = a b) sin x + a b) cos x 4 = a b = a b a =, b = 4 sin x = cos x sin x) cos x sin x cos x sin x

113 8 = = π π 4 sin x cos x sin x dx { cos x sin x) cos x sin x } dx [ x log cos x sin x ] = π π = π 6 π 6 4 sin x dx cos x sin x { } cos x sin x) dx cos x sin x [ = x log cos x sin x ] π 6 = π 6 + log 4 π sin x dx = π cos x sin x 6 + log π

114 9 ) π 6 I = π x π 6 cos x sin x > = π = π π 4 sin x cos x sin x dx π 4 sin x 6 dx + cos x sin x sin x sin x π ) dx π 6 sin x sin x π t = x π dt dx = sin x = sin t + π ) = sin t + cos t I = = π [ π + cos t sin t t + log sin t ) π 6 dt ] π π = π π 6 + log ) = π 6 + log [ π 4 sin x cos x sin x dx ) dx + cos t sin t t + log sin t x π π 6 t π π π 6 ) dt ] π 6 π

115 9 ) p.8) ) fx) = x x f x) = x x x log = x x log ) f x) = x = log fx) y x log f x) + fx) e log lim fx) = x lim fx) = x e log O log x ft) = ft + ) t t = t + ) t+) t = t < gt) = ft) t gt) = ft + ) gt) = { t `t t < ) t + ) `t+) t ) gt) = t t gt) = t + ) t+) ) ) gt) dt = = t t dt + t t dt + t + ) t+) dt t t dt = [ t ] t log t + [ t ] t log ) log t log ) { = } { } log + + log ) 8 log + 8log ) = 8 log + 5 8log )

116 ) p.8) ) fx) = π 4 x x log 4 + tan t) dt x π ) x 8 π )} π ) f x) = log 4 { + tan 4 x 4 x log4 + tan x) x) π )} = log 4 { + tan 4 x log 4 + tan x) { = log 4 + tan π tan x } 4 + tan π tan x log 4 + tan x) 4 = log 4 + tan x log 4 + tan x) = log 4 = π ) ) f = 8 π 4 π 8 ) π ) fx) = f + 8 = + x π 8 f) = π 8 x π 8 log 4 + tan t) dt = f t) dt ) dt = π ) = π 8 6 x π ) 8 ) ) a = f) = π 6 a n+ = a n + π 6 a n π ) 4 a n+ π 4 = { a n π } a π 4 4 a n π 4 = ) n a π ) 4 a n = π 4 + π 48 ) n = π { ) n } 4

117 ) p.8) ) fx) = π 4 x x log 4 + tan t) dt x π ) x 8 π )} π ) f x) = log 4 { + tan 4 x 4 x log4 + tan x) x) π )} = log 4 { + tan 4 x log 4 + tan x) { = log 4 + tan π tan x } 4 + tan π tan x log 4 + tan x) 4 = log 4 + tan x log 4 + tan x) = log 4 = π ) ) f = 8 π 4 π 8 π 8 log 4 + tan t) dt = ) π ) fx) = f + 8 = + x π 8 f) = x π 8 f t) dt ) dt = π ) = π 8 6 x π ) 8 ) ) a = f) = π 6 a n+ = a n + π 6 a n π ) 4 a n+ π 4 = { a n π } a π 4 4 a n π 4 = ) n a π ) 4 a n = π 4 + π 48 ) n = π { ) n } 4

118 ) p.8) ) fx) = e x a sin px + b cos px) f x) = e x a sin px + b cos px) + e x ap cos px bp sin px) = e x { a + bp) sin px + ap b) cos px} f x) = e x sin px e x { a + bp) sin px + ap b) cos px} = e x sin px e x { a + bp + ) sin px + ap b) cos px} = π x x =, p ap b =, a + bp + = a = + p, b = p + p e x sin px e x cos px e x sin px) = e x sin px + e x p cos px = e x sin px + pe x cos px e x cos px) = e x cos px + e x p sin px) = pe x sin px e x cos px ) ) ) e x sin px) p e x sin px = e x cos px) p e x cos px ) ) p p p p ) ) p e x sin px) = + p p e x cos px) e x sin px e x cos px,) + p e x sin px p ) + p e x cos px = e x sin px a = + p, b = p + p )

119 4 ) p = t t ) ) St) = = t t + e x sin x t t t + e x cos x ) = e x sin x t t t e x sin x t dx [ t t + e x sin x t = t t + e`t sin t + ) ) t t + e x cos x t t t + ] t e`t cos t ) St) t = e t t + sin t + t = e t t + sin t + t t + = e t t + sin t + t t + t + e t cos t { t e t t + e t } cos t) t { e t + e t cos t t t } lim t sin t t =, lim t e t t e h = lim h h = cos t lim t t = lim t + cos t sin t t ) = St) lim = + + ) = t t

120 5 ) p.9) ) f x) = x = x f x) = x tf t) dt = tf t) dt = = x + 8 x4 f x) = x tf t) dt = x x x = x + 8 x4 48 x6 t dt t ) t dt t t + 8 ) t4 dt ) ) f n x) f n x) = ) n xn n! ) n = ) ) n = k ) f k x) f k x) = ) k xk k! f k+ x) f k x) = = = = x x x tf k t) dt tf k t) f k t))dt t ) k t k k! dt ) k+ xk+) k + )! x ) tf k t) dt n = k + ), n n )

121 6 ) ) f ) =, f ) = 5 8, f ) = 9 48 n =,, f n) 5 8 ) ) n 4 f n ) f n ) = n f k ) f k ) 4! k=4 k=4 < 9 ) n n! 4! n k=4 ) k = 4! ) n { ) ) } n n n f k ) f k ) f k ) f k )) = f n) f ) k=4 f n ) f ) < 9 n 4 f ) 9 < f n) < f ) < f n) < < 5 9 < f n) < 7 9 < 5 8 n )

122 7 4 ) p.9) ) C : x + 4y = l : y = x + b x y C : x + y = l : y = x + b C l C l b ) < < b < ) C l A B PAB PA B S S S = S S S S b O l d d = b 5 A B = d = 5 4b 5 A B d y O y =x 4 5 P x S b l C 5 < b < P l h h = b + 4 = b + 4, S = A B h = 5 b + ) 5 b S = S = 5 b + ) 5 4b = 5 b + ) 5 4b ) fb) = b + ) 5 4b ) < b < ) 5 b f b) = b + )8b + bb 5) 5 4 < b < f b) = b = 4 fb) b b ) 4 5 f b) + 4 b = fb) 4 )

123 8 5 ) p.9) ) C : x + 4y = 4 l : y = x + b x y C : x + y = 4 l : y = x + b C l C l b + ) < 5 < b < 5 ) C l A B PAB PA B S S S = S S S S b O l d d = b 5 A B = d = 4 5 b 5 A B d y O y =x 4 5 P x S b < b < 5 l C P l h h = b = b + 4 5, S = A B h = 4 5 b + ) 5 b S = S = 5 b + ) 5 b = 5 b + ) 5 b ) fb) = b + ) 5 b ) < b < 5) b f b) = b + )b + b 5) < b < 5 f b) = b = + fb) + b ) b b = + 5 ) f b) + fb)

124 9 6 ) p.9) ) R xy y = x x + x ) y = kx k y x x + = kx x k + )x + = D = x = k + k + ) 4 =, k + y k = y = x, ), ) y = x, ) 4 O S S = = {x x + ) x}dx + x ) dx x ) 4 { } x x x + ) dx x ) dx = 4 48 x r = OR ) r = x + y = x + tan θ) = x cos θ tan θ = y x = x x + x x cos θ dθ dx = x r dθ = x ) dx S ) S = r dθ + C r dθ C C C = x ) dx + x ) dx = 4 O x 48 ) K xy V V = 4 S OP = = y

125 7 ) p.) x [ fx) = e t sin t + cos t)dt = e t sin t gx) = x ) fx) = [ e t cos t sin t)dt = e t cos t x ] x ] x e t sin t + cos t)dt gx) = f x) = e x sin x + e x cos x g x) = e x cos x e x sin x = e x sin x = e x cos x x e t cos t sin t)dt x e x sin x = fx) e x cos x = gx) + f x) = fx) + {gx) + } g x) = {gx) + } fx) n ) n ) ) ) f n) x)= f n`) x) + g n`) x) g n) x)= f n`) x) + g n`) x) {f n) x)} + {g n) x)} ={f n ) x) + g n ) x)} + { f n ) x) + g n ) x)} = [ {f n ) x)} + {g n ) x)} ] {f n) x)} + {g n) x)} = n [ {f x)} + {g x)} ] {f x)} + {g x)} = e x sin x + e x cos x) + e x cos x e x sin x) = e x {f n) x)} + {g n) x)} = n ex = n e x ) ) n= e a {f n) a)} + {g n) a)} = n= e a n e = a n= ) n = =

126 n ) ) ) f n) x) f n ) x) = g n) x) g n ) x) ) = ) cos π sin π 4 4 sin π cos π 4 4 ) f n) x) = ) ) ) n cos πn ) sin π n ) f x) g n) 4 4 x) sin πn ) cos π n ) g x) 4 4 ) f x) = e x sin ) ) x + π 4 g x) cos ) x + π 4 ) f n) x) = ) n e x sin ) x + nπ) 4 g n) x) cos x + nπ) 4 n = )

127 8 ) p.) ) + tan θ = tan θ = a cos θ + a = cos θ cos θ = + a < θ < π cos θ > cos θ = + a ) x > θ < θ < π ) sin θ = x + x cos θ = + x sin t x cos t = + x sint θ) fx) = π sin t x cos t dt = π + x sint θ) dt < θ < π fx) = { θ + x { sint θ)} dt + = + x { [ cost θ) ] θ = + x sin θ cos θ) = + x x [ + π θ cost θ) sint θ) dt ] π θ } }

128 ) ) f x) = = x + x = x + x + x x + x x + + x ) fx) x f x) + fx) x = ) + x = cos θ, x = tan θ gθ) = fx) gθ) = cos θ tan θ < θ < π ) g θ) = sin θ cos θ gθ) π π θ 6 g θ) + gθ) x = tan θ θ = π 6 x = x =

129 4 9 ) p.) ) x θ π < θ < π) sin θ = ax + a x cos θ = + a x sin t ax cos t = + a x sint θ) fx) = π sin t ax cos t dt = π + a x sint θ) dt i) x θ < π fx) = { θ + a x { sint θ)} dt + = + a x { [ cost θ) ] θ = + a x sin θ cos θ) = + a x ax [ + ii) x < π < θ < fx) = + a x π sint θ) dt ] π = + a x [ cost θ) = + a x sin θ + cos θ) = ax + i) ii) fx) = { π θ cost θ) + a x ax x ) ax + x < ) sint θ) dt ] π θ } }

130 5 ) x < fx) x f x) = = a x + a x a = aax + a x ) + a x aa x ) + a x ax + + a x ) fx) x a f x) + fx) x = a x < fx) x fx) ) + a x = cos θ, ax = tan θ gθ) = fx) gθ) = cos θ tan θ θ < π ) g θ) = sin θ cos θ gθ) π π θ 6 g θ) + gθ) ax = tan θ θ = π 6 x = a x = a )

131 6 4 ) p.) ) r = fθ) r) sin θ = r r = sin θ + sin θ fθ) = sin + sin θ r r ) < θ < π sin θ > cos θ > r > r > θ r sin θ + r) cos θ = r + sin θ ) r = r) cos θ + sin θ > r > cos θ > r > θ r cos θ + + sin θ ) r = r cos θ 4 r) sin θ + sin θ ) { r = r cos θ + 4 r) sin θ } r > r > sin θ > cos θ > r < < θ < π r > r < < θ < π fθ) f θ)

132 7 ) x = θ dθ π π fθ) dθ = π dx = θ x = = = π [ = π π 4 π 6 π 4 π 6 π 4 π 6 sin θ π π π 6 4 π 4 dθ = π 6 + sin θ sin x sin x) + sin x) sin x) dx cos x + sin x dx cos x + sin x cos x cos x x + cos x tan x ] π 4 π 6 = π 6 + sin x + sin x dx ) dx 4 4 ) p.7) ) cos θ sin θ = a sin θ cos θ < θ < π) ) < θ < π sin θ cos θ a = sin θ cos θ fθ) = sin θ cos θ f θ) = cos θ sin θ sin θ cos θ < θ < π f θ) < fθ) lim fθ) =, lim θ + fθ) = θ π < θ < π fθ) = a θ ) θ = π ) π < θ < π f θ) = sin θ + cos θ sin θ + cos θ) sin θ cos θ) sin = θ cos θ sin θ cos θ sin θ + π ) ) 4 sin θ = sin θ cos θ

133 8 fθ) y θ π ) 4 π π) f θ) + fθ) lim fθ) =, lim θ π + fθ) = θ π O ) y = fθ) y = fθ) y = a ) < a < a = < a 4 4 ) p.) π 4 π π 4 π θ ) fx) = log x x f x) = log x x fx) x ) e f x) + fx) e a b c fa) + fb) + fc) fe) = e <.7 log a + log b a b + log c c < log 4 ) a b c d <.6 < log = log 4 a bc b ca c ab = d abc ) bc log a + ca log b + ab log c = abc log d log a a + log b b + log c c = log d

134 9 d ) d = ) f) < f), f) > f4) > f5) > f) = log f) = log = log 6 = log 6 = log 8 6 = log 9 6 f) < f) < f) > f4) > f5) > log a a log, log b b log, log c c log a + log b + log c a b c log log a b c a = b = c = 4 4 ) p.) ) y = e ax y = ae ax C t, e at ) e y e at = ae at x t) y C l y = ae at x + at)e at at = t = a O a x l y = aex V = π a = πe ) a ) y = e ax x = a log y e ax ) dx πe a = π [ a πe a = πe ) 6a e ex ] a πe a

135 V = ) π e π e log y) dy a a = πe a π [ y{log y) log y + } a = πe πe ) = a a [ a V = π xe ax aex) dx = π π e) a e ax x a a ) ] e ae ] a x = π e) a a x b fx) y = fx) x x = a x = b y V V = π b a xfx) dx ) ) ) V = V πe ) 6a = π e) a a = 4 e) e 44 4 ) p.) ) sin x cos x = sin x + cos x sin x cos x y = tan x + tan x = tan x + tan x < x < π ) y = a y tan x + tan x = a tan x a tan x + = ) α β α < β) a > tan α = a a 4, tan β = a + a 4

136 ) ) tan α tan β = y S S = = β α β α β sin x cos x dx = α tan x cos x dx [ ] tan x) β tan x dx = log tan x = log tan β tan α = log tan β = log a + a 4 α a O α π 4 β π x ) tan α tan β = tan β tan α = a 4 V V β π = = [ = α β α sin x cos x dx = + tan x tan x tan x β α ) tan x) dx = ] β α = sin x + cos x sin x cos x dx β {tan x) + α tan β tan β ) tan x) tan x } dx tan α tan α = tan β tan α) tan α tan β) = tan β tan α) = a 4 V = π a 4 45 ) p.) ) S S 6C + 6 C 9C 5C = = ) 5 7 S,, ),, ),, ),, ) S ) + 5 C + 7 C + C 5C 7C 5C = = 5 455

137 46 ) p.) a n 9 p n n = X a = X 9 p = n = 5 C ) 6 X, X ) =, ),, ),, ),, 4), 4, ),, ) p = + 5 C + 6 = n n n ) 5 n C ) n ) 6 n C ), ),, ),, ),, 4), 4, ),, ) n ),, ) n C ) p n = nc n + 6 n C + n C ) = 6 n { + 5n + nn ) + nn )n ) 6 = 6 n+ n + 5n + 4n + 6) n = n = p n = 6 n+ n + 5n + 4n + 6) }

138 47 ) p.) ) 6 6C = 6 5 = 5 ) m = n m, n) =, ),, ),, ) 5 = 5 ) m, n) y = x + c x y + c = ) d d = m n + c m n + c = + ) S = d = m n + c) m n = m, n) =, ),, ) = 8 5 m n = m, n) =, ) 5 = 4 5 ) S E E = c c) c) 4 5 = 5c + c + 4) ) ) E = c + 6 ) E c c = 6 5

139 4 48 5) p.) ) X = X = 4 a + b + b + a = b b = a a b b = a a ) ) a) = 4a a + b) = a + a ) = 4 a + a + 4 a) = a a + P Z = ) = 4a P Z = ) = 4 a + a + ) 4a = a + a + 4 P Z = ) = a a + ) 4 a + a + ) = 4 4 a 5 a + 4 P Z = 4) = a a + ) = a + a m m = 4 k P Z = k) k= = 4a + 5 = 4 a + a + 4 ) ) m = 4 a ) a + a + ) a 5 a + ) + 4 a + a ) 4 a ) a ) m a = 7

140 5 49 6) p.) ) y = ax + x b = a x + ) a a b a > a b a b < 5 5 b < a < a 5 b 5 b b = 5, 6 a = ) fx) = ax + x b f) = b < y a > f) < f) < O x f) = a + b < b > a + b a, b) =, 4),, 5),, 6),, 5),, 6),, 6) = 6 ) ax + x b = bx a b)x + x b = a b D > D/4 = + ba b) > bb a) < bb a) a b bb a) < b < a b < a a b 6C 6C 6 = 5

141 6 5 7) p.) ) P, ) x y 5 x y 5 6 ) ) 5C = ) x P x x n n m = n ) m ) m mc m = m)! 6 6 m!) 8m m n = m n = m m)! m!) 8 m ) P y x, ) x, ),, ) x, ),, ),, ) x, ),, ) O x, ) ) x = 6 6 x C C 6 6 = 6 6 ) x + C 6 6 ) 6 + = 6 6 x C C 6 6 = 6 ) x = P x ) 6 + ) = x

142 7 5 9 ) p.) ) y = px y = qx + y px qx = D D = q) 4 p ) = q + 4p p > D > α β α < β) α + β = q p, αβ = p p > αβ < A B x α β AB y q α + β + = q q p + = q p + q p + < q < p 6 q q = p 6 6 q = p 6 4 q = 5 p =

143 8 ) A x α p α = q q + 4p p q q + 4p q + 4p p, q) 6 p, q) =, ),, ), 4, ), 5, 4), 6, ), 6, 5) 6 6 = 6 ) Aα, qα + ) AO qα + α = q + α = q + p q q + 4p = q q + 4p A B AB q AO AB q ) q u =, + 4p v =, q) OAB u v OAB 9 u v < + q q + 4p q < + q < q q + 4p p > + q q = p 6 4 q 6 p = 9 6

144 9 5 ) p.) ), 6 4C C 6 C 8C = = 4 5 4C 6 C C 8 = = 5, = 9 7 ) 4C C + C 6 C = 6 C 8C =, 5 + = 4

145 4 5 ) p.4) ) x + ax + b > D = a 4b P D < a 4b < a 4 < b 6 a 4 a = b 6 6 a = b 6 5 a = b 6 4 a = 4 5 b = ) Q x a 5 Q P D D < Q P ) 7 D fx) = x + ax + b fx) = x + a ) a + b 4 a > a < a 5 y = fx) y = fx) f a) > 5 y b b 4a 5 > a 4a 4b 5 < b a 4 a a 5 O x a, b) 7, ),, ), 4, ), 4, 4) 5, 5), 5, 6), 6, 6), =

146 4 Q x a 5 Q P D D < Q P ) 7 D P x < a a 4b, a + a 4b < x Q P a + a 4b < a 5 5 a 4b < a 4a 5b < a 4a 4b 5 < b a 4 a, b) 7, ),, ), 4, ), 4, 4) 5, 5), 5, 6), 6, 6), =

147 4 54 ) p.4) ) x 5 x = xx + )x ) = x{x 4) + 5}x ) = x )x )xx + )x + ) + 5x )xx + ) x )x )xx + )x + ) 5 5! 5x )xx + ) 5! x 5 x a + b) 5 a 5 b 5 = 4 5C j a 5 j b j j= 5C j j 4) 5 a b 5 k a = k b = {a k } a k = k 5 k ) 5 n n a k = n 5 n k= a k 5 n n 5 n 5 m m = n m 5 m = n) 5 n) = n 5 n) 5 x = x 5 x 5 x x 5 x 5 x 5 x = x )xx + )x + ) x 5 x 5 ) x 5 y xy 5 = yx 5 x) xy 5 y) ) x y x 5 x y 5 y

148 4 55 ) p.4) ) n 4) 4 n! n )!4! = nn )n )n ) 4 ) ) b + b + + b n {a n } {b n } n n ) + ) = n 4 b + b + + b n {a n } a = a n = {b n } n n ) ) + = n + 4 ) b + b + + b n {a n } c n 4 c n )! n 4)!! = n )n ) ) b + b + + b n {a n } a = a n = d n 4 d n )! n 4)!! = n )

149 44 56 ) p.4) ) A k k n) p) k q) k p < p < < q < p) q) n p) k q) k p = p{ p)n q) n } p) q) k= ) B k k n) p) k q) k q ) B n k= p) k q) k q = q p){ p)n q) n } p) q) A B ) p > q p) p + q q + q < p q p q j 6 j =,,, 4, 5) i) q = 6 7 < p 5 6 ii) q = 6 4 < p 4 6 iii) q = 6 < p 6 iv) q = < p 6 v) q = < p 6 p = 6, 6, 6, 4 6, 5 6 p = 6, 6, 4 6 p = 6 p p X, Y ) 6C 5 5C k + 6 C k= 4 4C k + 6 C C k= =6 5 ) ) + = 7

150 45 57 ) p.5) ) OP =, ) OP n = n, ) y OP OP n = n +, OP n = n + Q n P = OP ) n OP OPn OP n =, ) n + n, ) n + ) n = n +, n n n + ) OP OP n α n cos α n = OP OP n OP OP n = n + n + O θ n P Q n P n α n x sin α n = cos n + ) n ) α n = = n + ) n + ) n sin α n > sin α n = n + ) θ n = 9 α n cos θ n = cos9 α n ) = sin α n = n n + ) ) tan α n = = n + ) n ) = cos α n n + ) n + ) < α n < 9 tan α n > tan α n = n n + θ n = 9 α n tan θ n = tan9 α n ) = tan α n = n + n tan θ n <. n n + n <. n > n

151 46 OA OP θ e P e = OA OA O e θ Q A P OA Q OQ = OP cos θ) e OP OA cos θ = OP OA OP cos θ = ) OP OA OQ = OA QP = OP OQ = ) OP OA OP OA OA OP OA OA OA 58 ) p.5) ) s OA t OX t OA s OX s OA t OX) t OA s OX) = st OA s + t ) OA OX + st OX = OA = OX = POR = θ s = cos θ t = sin θ cos θ sin θ cos θ + sin θ) OA OX + cos θ sin θ = OA OX = sin θ cos θ = sin θ ) OA OX α OA OX = OA OX cos α = cos α π ) ) cos α = cos θ

152 47 X AP POA = π 6 α π 6 < θ < π 4 < π θ < π α = π θ 4 4 π θ π 6 π 6 θ < π 4 y Q O α Rcos θ, sin θ) Acos π, sin π) 6 6 X P x ) ) POX = π 6 α = π π ) 6 θ = θ π ROX = POR POX = θ θ π ) = π θ ROX = OX OR sin ROX = π ) sin θ = sin π θ ) ) θ = π 6 4

153 ) p.5) ) P CD x PA =,, ) x,, ) = x,, ) PB =,, ) x,, ) = x,, ) z B x x A O θ D P C y PA PB = x) x) + ) + = x x cos θ = PA = x) + ) + = x 6x + PB = x) + + = x + PA PB PA PB = ) PAB S S = PA PB PA PB) x x x 6x + x + = x 6x + )x x) x x) = 5x 6x + = 5 x ) x ) 56 x S 5 = 7 5

154 49 6 6) p.5) ) Q OAC OQ = s OA + t OC PQ = OQ OP = s OA + t OC OP PQ OAC PQ OA PQ OC s, t ) PQ OA = s OA + t OC OP) OA = s OA + t OC OA OP OA = PQ OC = s OA + t OC OP) OC = s OA OC + t OC OP OC = OA =,, ) OC =,, ) OP =,, ) s + 6t =, 6s + 8t = s = 5 t = PQ = OA + OC OP 5 = 5,, ) +,, ),, ) ) = 5, 5, 5

155 5 ) S ABC PS ABC PS AB PS yz M,, ) S CM OS = k OC + k) OM PS = OS OP = k OC + k) OM OP k ) = k,, ) + k),, ),, ) =, k, k) PS CM CM = OM OC =,, ),, ) =,, ) PS CM = + k) + k ) = k = 5 PS =, 8 5, 4 ) 5 z C x O P A B y

156 5 ) ) OQ = OP + PQ =,, ) + ) = 5, 4 5, 5 5, 5, 5 ) ) OS = OP + PS =,, ) +, ) =, 5, 4 5 ) 8 5, 4 5 OABC yz Q R yz R ) 5, 4 5, 5 QRS QS = RS QR T ST = QR = 5 ) + T, ) 4 5, 5 QRS 4 5 ) ) = 5 5 QR ST = 5 5 = 5

157 5 6 ) p.6) ) P BC t : t) < t < ) OP = t) OB + t OC OP = t),, ) + t,, ) = + t, t, t) OA H + t,, ) HP =, t, t) OA HP OAP = OA HP HP OAP HP = t) + t) = 5t 4t + 4 = 5 t ) t < t < t = 5 z C H O P B y 4 A x l l l P l Q PQ PQ l PQ l OA BC HP BC HP BC = t

158 ) D xy a, b, ) CD = a, b, ),, ) = a, b, ) OA CD OP CD OA CD = 4a ) + b ) + ) = OP CD = + t)a ) + t)b ) + t ) = t a = b = + t t ) + t D, t, E,, ) AB x F A F B x F AB : ) ) 4 + +, + +, + 4, +, D OAB D EF < + t t < 4 < t < < t < z 5 C E O P B D F, 4, ) y 4 A x

159 54 6 ) p.6) ) MN = MA + AN a + b 5 = ML = MA + AD + DL a + b + c = MK = MO + OK = a + k c k K k O C B M F A E N L D G ) M N K α α P p ) s t p = OM + smn + tmk = ) a + s a + b + t ) a + k c 5 = + s t) a + 5 s b + tk c ) L a + b + c L α a b c + s t) =, 5 s =, tk = s = 5 t = k = 9 ) OF = b + c FG = a GF x OF + x FG = x a + b + c x ) α GF ) + s t) = x, s =, tk = 5 t = 7 x x t 7 < k < 7 k

160 55 6 ) p.6) ) OL = a + b c, OM =, b + c ON = L M N s t ) OL + s LM + t LN = a + b c + s c + t b + ) c c = s s a + + ) t b + s t 6 ) c OA D s + t =, s t 6 = s = 4, OD = a t = ) a = b = c = a b = b c = c a = DK = b a DN = b + c a DK DN = 4 9 a + b 7 a b + b c c a = DN = 4 9 a b + 9 c 8 4 a b + 4 b c c a = DP = DK ) DN) DN = b + c a DN OP = OD + DP = 7 a + b + c 6 O a A D M L K c C P b N B D θ K P N

161 56 64 ) p.7) ) OA =,, ) OB =,, ) OA =, OB = 9, OA OB = OA OQ = OA {k OA + k) OB} = k OA + k) OA OB = k + k) ) = 6k OB OQ = OB {k OA + k) OB} = k OA OB + k) OB = k ) + k) 9 = k + 9 Q D OA OQ OB OQ { 6k k + 9 k 4 ) D P x y OP = x OA + y OB OA OP = OA x OA + y OB) = x OA + y OA OB = x + y ) = x y) OB OP = OB x OA + y OB) = x OA OB + y OB = x ) + y 9 = x + y) OA OP OB OP x y = α, x + y = β α β x = α + β, y = α + β

162 57 OP = α + ) β OA + α + ) β OB = α OA + OB) + β OA + OB) = α OA + OB OA + OB + β 4 AB : L M OP = α OL + β OM α, β ) P D B M O D L A s + t = λ λ s = s λ t = t λ s + t = OA = λ OA OB = λ OB A B OR = s OA + t OB = λ λ s OA + λ λ t OB = s OA + t OB s + t = ) R A B

163 58 OL = OL OM = OM L M λ D E LMM L S B M O M D E L A L S = OLM, OLM = 4 OAB S = 4 OAB OAB OAB = OA OB OA OB) = 9 ) = S = 4 OAB = 4 9 = 8

164 59 65 ) p.7) ) OA =,, ) OB =,, ) OA =, OB = 9, OA OB = OA OQ = OA {k OA + k) OB} = k OA + k) OA OB = k + k) ) = 6k OB OQ = OB {k OA + k) OB} = k OA OB + k) OB = k ) + k) 9 = k + 9 Q D OA OQ OB OQ { 6k k + 9 k 4 ) D P s t OP = s OA + t OB OA OP = OA s OA + t OB) = s OA + t OA OB = s + t ) = s t) OB OP = OB s OA + t OB) = s OA OB + t OB = s ) + t 9 = s + t) OA OP OB OP s t = α, s + t = β α β s = α + β, t = α + β

165 6 OP = α + ) β OA + α + ) β OB = α OA + OB) + β OA + OB) = α OA + OB OA + OB + β 4 AB : L M OP = α OL + β OM α, β ) P D B OL = OA + OB 4 OA + OB OM = M O D L A =, 4, ) 4 =,, ) l =, 4, ) m =,, ) l = 8, m = 6 l : m = : D H OH = l + m = +, 4 +, ) H LOM m l l m) m = 6, 4, ) 6,, ) =,, ) OLM m e =,, )

166 H OM OH e = OC C OC OH 6 OC = OH = +, 4 +, ) + 6 =, + ) 6 6, 6 C + 6, + 6, ) 6 OA m e OA HOM OM e OH e θ H OM d d = M OH cos θ θ OH e = OH e cos θ = O OH cos θ d = OH e e d H

167 ) p.7) ) OPM BRM OPN CSN OM : MB = : t, ON : NC = : t) OM = + t OB = b, + t ON = OC = c + t) t O c a E a A P b a B c a b b a c D C a A P O N c c a C c a E t S t a A P b a O M b t B R b a D t A P O M B N C ) b = c = ) OM = + t ON = t OMN = OM ON sin 6 = + t t = 4 + t) t)

熊本県数学問題正解

熊本県数学問題正解 00 y O x Typed by L A TEX ε ( ) (00 ) 5 4 4 ( ) http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/. ( ) (009 ) ( ).. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/eng.html 8 i i..................................... ( )0... (

More information

( )

( ) 18 10 01 ( ) 1 2018 4 1.1 2018............................... 4 1.2 2018......................... 5 2 2017 7 2.1 2017............................... 7 2.2 2017......................... 8 3 2016 9 3.1 2016...............................

More information

4 4 4 a b c d a b A c d A a da ad bce O E O n A n O ad bc a d n A n O 5 {a n } S n a k n a n + k S n a a n+ S n n S n n log x x {xy } x, y x + y 7 fx

4 4 4 a b c d a b A c d A a da ad bce O E O n A n O ad bc a d n A n O 5 {a n } S n a k n a n + k S n a a n+ S n n S n n log x x {xy } x, y x + y 7 fx 4 4 5 4 I II III A B C, 5 7 I II A B,, 8, 9 I II A B O A,, Bb, b, Cc, c, c b c b b c c c OA BC P BC OP BC P AP BC n f n x xn e x! e n! n f n x f n x f n x f k x k 4 e > f n x dx k k! fx sin x cos x tan

More information

ORIGINAL TEXT I II A B 1 4 13 21 27 44 54 64 84 98 113 126 138 146 165 175 181 188 198 213 225 234 244 261 268 273 2 281 I II A B 292 3 I II A B c 1 1 (1) x 2 + 4xy + 4y 2 x 2y 2 (2) 8x 2 + 16xy + 6y 2

More information

17 ( ) II III A B C(100 ) 1, 2, 6, 7 II A B (100 ) 2, 5, 6 II A B (80 ) 8 10 I II III A B C(80 ) 1 a 1 = 1 2 a n+1 = a n + 2n + 1 (n = 1,

17 ( ) II III A B C(100 ) 1, 2, 6, 7 II A B (100 ) 2, 5, 6 II A B (80 ) 8 10 I II III A B C(80 ) 1 a 1 = 1 2 a n+1 = a n + 2n + 1 (n = 1, 17 ( ) 17 5 1 4 II III A B C(1 ) 1,, 6, 7 II A B (1 ), 5, 6 II A B (8 ) 8 1 I II III A B C(8 ) 1 a 1 1 a n+1 a n + n + 1 (n 1,,, ) {a n+1 n } (1) a 4 () a n OA OB AOB 6 OAB AB : 1 P OB Q OP AQ R (1) PQ

More information

名古屋工業大の数学 2000 年 ~2015 年 大学入試数学動画解説サイト

名古屋工業大の数学 2000 年 ~2015 年 大学入試数学動画解説サイト 名古屋工業大の数学 年 ~5 年 大学入試数学動画解説サイト http://mathroom.jugem.jp/ 68 i 4 3 III III 3 5 3 ii 5 6 45 99 5 4 3. () r \= S n = r + r + 3r 3 + + nr n () x > f n (x) = e x + e x + 3e 3x + + ne nx f(x) = lim f n(x) lim

More information

2 (1) a = ( 2, 2), b = (1, 2), c = (4, 4) c = l a + k b l, k (2) a = (3, 5) (1) (4, 4) = l( 2, 2) + k(1, 2), (4, 4) = ( 2l + k, 2l 2k) 2l + k = 4, 2l

2 (1) a = ( 2, 2), b = (1, 2), c = (4, 4) c = l a + k b l, k (2) a = (3, 5) (1) (4, 4) = l( 2, 2) + k(1, 2), (4, 4) = ( 2l + k, 2l 2k) 2l + k = 4, 2l ABCDEF a = AB, b = a b (1) AC (3) CD (2) AD (4) CE AF B C a A D b F E (1) AC = AB + BC = AB + AO = AB + ( AB + AF) = a + ( a + b) = 2 a + b (2) AD = 2 AO = 2( AB + AF) = 2( a + b) (3) CD = AF = b (4) CE

More information

高校生の就職への数学II

高校生の就職への数学II II O Tped b L A TEX ε . II. 3. 4. 5. http://www.ocn.ne.jp/ oboetene/plan/ 7 9 i .......................................................................................... 3..3...............................

More information

18 ( ) I II III A B C(100 ) 1, 2, 3, 5 I II A B (100 ) 1, 2, 3 I II A B (80 ) 6 8 I II III A B C(80 ) 1 n (1 + x) n (1) n C 1 + n C

18 ( ) I II III A B C(100 ) 1, 2, 3, 5 I II A B (100 ) 1, 2, 3 I II A B (80 ) 6 8 I II III A B C(80 ) 1 n (1 + x) n (1) n C 1 + n C 8 ( ) 8 5 4 I II III A B C( ),,, 5 I II A B ( ),, I II A B (8 ) 6 8 I II III A B C(8 ) n ( + x) n () n C + n C + + n C n = 7 n () 7 9 C : y = x x A(, 6) () A C () C P AP Q () () () 4 A(,, ) B(,, ) C(,,

More information

OABC OA OC 4, OB, AOB BOC COA 60 OA a OB b OC c () AB AC () ABC D OD ABC OD OA + p AB + q AC p q () OABC 4 f(x) + x ( ), () y f(x) P l 4 () y f(x) l P

OABC OA OC 4, OB, AOB BOC COA 60 OA a OB b OC c () AB AC () ABC D OD ABC OD OA + p AB + q AC p q () OABC 4 f(x) + x ( ), () y f(x) P l 4 () y f(x) l P 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 5 II III A B (0 ) 4, 6, 7 II III A B (0 ) ( ),, 6, 8, 9 II III A B (0 ) ( [ ] ) 5, 0, II A B (90 ) log x x () (a) y x + x (b) y sin (x + ) () (a) (b) (c) (d) 0 e π 0 x x x + dx e

More information

1 12 ( )150 ( ( ) ) x M x 0 1 M 2 5x 2 + 4x + 3 x 2 1 M x M 2 1 M x (x + 1) 2 (1) x 2 + x + 1 M (2) 1 3 M (3) x 4 +

1 12 ( )150 ( ( ) ) x M x 0 1 M 2 5x 2 + 4x + 3 x 2 1 M x M 2 1 M x (x + 1) 2 (1) x 2 + x + 1 M (2) 1 3 M (3) x 4 + ( )5 ( ( ) ) 4 6 7 9 M M 5 + 4 + M + M M + ( + ) () + + M () M () 4 + + M a b y = a + b a > () a b () y V a () V a b V n f() = n k= k k () < f() = log( ) t dt log () n+ (i) dt t (n + ) (ii) < t dt n+ n

More information

29

29 9 .,,, 3 () C k k C k C + C + C + + C 8 + C 9 + C k C + C + C + C 3 + C 4 + C 5 + + 45 + + + 5 + + 9 + 4 + 4 + 5 4 C k k k ( + ) 4 C k k ( k) 3 n( ) n n n ( ) n ( ) n 3 ( ) 3 3 3 n 4 ( ) 4 4 4 ( ) n n

More information

1 29 ( ) I II III A B (120 ) 2 5 I II III A B (120 ) 1, 6 8 I II A B (120 ) 1, 6, 7 I II A B (100 ) 1 OAB A B OA = 2 OA OB = 3 OB A B 2 :

1 29 ( ) I II III A B (120 ) 2 5 I II III A B (120 ) 1, 6 8 I II A B (120 ) 1, 6, 7 I II A B (100 ) 1 OAB A B OA = 2 OA OB = 3 OB A B 2 : 9 ( ) 9 5 I II III A B (0 ) 5 I II III A B (0 ), 6 8 I II A B (0 ), 6, 7 I II A B (00 ) OAB A B OA = OA OB = OB A B : P OP AB Q OA = a OB = b () OP a b () OP OQ () a = 5 b = OP AB OAB PAB a f(x) = (log

More information

18 ( ) ( ) [ ] [ ) II III A B (120 ) 1, 2, 3, 5, 6 II III A B (120 ) ( ) 1, 2, 3, 7, 8 II III A B (120 ) ( [ ]) 1, 2, 3, 5, 7 II III A B (

18 ( ) ( ) [ ] [ ) II III A B (120 ) 1, 2, 3, 5, 6 II III A B (120 ) ( ) 1, 2, 3, 7, 8 II III A B (120 ) ( [ ]) 1, 2, 3, 5, 7 II III A B ( 8 ) ) [ ] [ ) 8 5 5 II III A B ),,, 5, 6 II III A B ) ),,, 7, 8 II III A B ) [ ]),,, 5, 7 II III A B ) [ ] ) ) 7, 8, 9 II A B 9 ) ) 5, 7, 9 II B 9 ) A, ) B 6, ) l ) P, ) l A C ) ) C l l ) π < θ < π sin

More information

i

i i 3 4 4 7 5 6 3 ( ).. () 3 () (3) (4) /. 3. 4/3 7. /e 8. a > a, a = /, > a >. () a >, a =, > a > () a > b, a = b, a < b. c c n a n + b n + c n 3c n..... () /3 () + (3) / (4) /4 (5) m > n, a b >, m > n,

More information

x () g(x) = f(t) dt f(x), F (x) 3x () g(x) g (x) f(x), F (x) (3) h(x) = x 3x tf(t) dt.9 = {(x, y) ; x, y, x + y } f(x, y) = xy( x y). h (x) f(x), F (x

x () g(x) = f(t) dt f(x), F (x) 3x () g(x) g (x) f(x), F (x) (3) h(x) = x 3x tf(t) dt.9 = {(x, y) ; x, y, x + y } f(x, y) = xy( x y). h (x) f(x), F (x [ ] IC. f(x) = e x () f(x) f (x) () lim f(x) lim f(x) x + x (3) lim f(x) lim f(x) x + x (4) y = f(x) ( ) ( s46). < a < () a () lim a log xdx a log xdx ( ) n (3) lim log k log n n n k=.3 z = log(x + y ),

More information

1 1 3 ABCD ABD AC BD E E BD 1 : 2 (1) AB = AD =, AB AD = (2) AE = AB + (3) A F AD AE 2 = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD 1 1

1 1 3 ABCD ABD AC BD E E BD 1 : 2 (1) AB = AD =, AB AD = (2) AE = AB + (3) A F AD AE 2 = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD 1 1 ABCD ABD AC BD E E BD : () AB = AD =, AB AD = () AE = AB + () A F AD AE = AF = AB + AD AF AE = t AC = t AE AC FC = t = (4) ABD ABCD AB + AD AB + 7 9 AD AB + AD AB + 9 7 4 9 AD () AB sin π = AB = ABD AD

More information

入試の軌跡

入試の軌跡 4 y O x 7 8 6 Typed by L A TEX ε [ ] 6 4 http://kumamoto.s.xrea.com/plan/.. PDF Ctrl +L Ctrl + Ctrl + Ctrl + Alt + Alt + ESC. http://kumamoto.s.xrea.com/nyusi/qdai kiseki ri.pdf 6 i i..................................

More information

1 26 ( ) ( ) 1 4 I II III A B C (120 ) ( ) 1, 5 7 I II III A B C (120 ) 1 (1) 0 x π 0 y π 3 sin x sin y = 3, 3 cos x + cos y = 1 (2) a b c a +

1 26 ( ) ( ) 1 4 I II III A B C (120 ) ( ) 1, 5 7 I II III A B C (120 ) 1 (1) 0 x π 0 y π 3 sin x sin y = 3, 3 cos x + cos y = 1 (2) a b c a + 6 ( ) 6 5 ( ) 4 I II III A B C ( ) ( ), 5 7 I II III A B C ( ) () x π y π sin x sin y =, cos x + cos y = () b c + b + c = + b + = b c c () 4 5 6 n ( ) ( ) ( ) n ( ) n m n + m = 555 n OAB P k m n k PO +

More information

A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan A(0, 0) π A π

A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan A(0, 0) π A π 4 4.1 4.1.1 A = f() = f() = a f (a) = f() (a, f(a)) = f() (a, f(a)) f(a) = f 0 (a)( a) 4.1 (4, ) = f() = f () = 1 = f (4) = 1 4 4 (4, ) = 1 ( 4) 4 = 1 4 + 1 17 18 4 4.1 A (1) = 4 A( 1, 4) 1 A 4 () = tan

More information

No2 4 y =sinx (5) y = p sin(2x +3) (6) y = 1 tan(3x 2) (7) y =cos 2 (4x +5) (8) y = cos x 1+sinx 5 (1) y =sinx cos x 6 f(x) = sin(sin x) f 0 (π) (2) y

No2 4 y =sinx (5) y = p sin(2x +3) (6) y = 1 tan(3x 2) (7) y =cos 2 (4x +5) (8) y = cos x 1+sinx 5 (1) y =sinx cos x 6 f(x) = sin(sin x) f 0 (π) (2) y No1 1 (1) 2 f(x) =1+x + x 2 + + x n, g(x) = 1 (n +1)xn + nx n+1 (1 x) 2 x 6= 1 f 0 (x) =g(x) y = f(x)g(x) y 0 = f 0 (x)g(x)+f(x)g 0 (x) 3 (1) y = x2 x +1 x (2) y = 1 g(x) y0 = g0 (x) {g(x)} 2 (2) y = µ

More information

() x + y + y + x dy dx = 0 () dy + xy = x dx y + x y ( 5) ( s55906) 0.7. (). 5 (). ( 6) ( s6590) 0.8 m n. 0.9 n n A. ( 6) ( s6590) f A (λ) = det(a λi)

() x + y + y + x dy dx = 0 () dy + xy = x dx y + x y ( 5) ( s55906) 0.7. (). 5 (). ( 6) ( s6590) 0.8 m n. 0.9 n n A. ( 6) ( s6590) f A (λ) = det(a λi) 0. A A = 4 IC () det A () A () x + y + z = x y z X Y Z = A x y z ( 5) ( s5590) 0. a + b + c b c () a a + b + c c a b a + b + c 0 a b c () a 0 c b b c 0 a c b a 0 0. A A = 7 5 4 5 0 ( 5) ( s5590) () A ()

More information

x, y x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = 15 xy (x y) (x + y) xy (x y) (x y) ( x 2 + xy + y 2) = 15 (x y)

x, y x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = 15 xy (x y) (x + y) xy (x y) (x y) ( x 2 + xy + y 2) = 15 (x y) x, y x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = 15 1 1977 x 3 y xy 3 x 2 y + xy 2 x 3 + y 3 = 15 xy (x y) (x + y) xy (x y) (x y) ( x 2 + xy + y 2) = 15 (x y) ( x 2 y + xy 2 x 2 2xy y 2) = 15 (x y) (x + y) (xy

More information

A(6, 13) B(1, 1) 65 y C 2 A(2, 1) B( 3, 2) C 66 x + 2y 1 = 0 2 A(1, 1) B(3, 0) P 67 3 A(3, 3) B(1, 2) C(4, 0) (1) ABC G (2) 3 A B C P 6

A(6, 13) B(1, 1) 65 y C 2 A(2, 1) B( 3, 2) C 66 x + 2y 1 = 0 2 A(1, 1) B(3, 0) P 67 3 A(3, 3) B(1, 2) C(4, 0) (1) ABC G (2) 3 A B C P 6 1 1 1.1 64 A6, 1) B1, 1) 65 C A, 1) B, ) C 66 + 1 = 0 A1, 1) B, 0) P 67 A, ) B1, ) C4, 0) 1) ABC G ) A B C P 64 A 1, 1) B, ) AB AB = 1) + 1) A 1, 1) 1 B, ) 1 65 66 65 C0, k) 66 1 p, p) 1 1 A B AB A 67

More information

高等学校学習指導要領解説 数学編

高等学校学習指導要領解説 数学編 5 10 15 20 25 30 35 5 1 1 10 1 1 2 4 16 15 18 18 18 19 19 20 19 19 20 1 20 2 22 25 3 23 4 24 5 26 28 28 30 28 28 1 28 2 30 3 31 35 4 33 5 34 36 36 36 40 36 1 36 2 39 3 41 4 42 45 45 45 46 5 1 46 2 48 3

More information

2 2 MATHEMATICS.PDF 200-2-0 3 2 (p n ), ( ) 7 3 4 6 5 20 6 GL 2 (Z) SL 2 (Z) 27 7 29 8 SL 2 (Z) 35 9 2 40 0 2 46 48 2 2 5 3 2 2 58 4 2 6 5 2 65 6 2 67 7 2 69 2 , a 0 + a + a 2 +... b b 2 b 3 () + b n a

More information

y π π O π x 9 s94.5 y dy dx. y = x + 3 y = x logx + 9 s9.6 z z x, z y. z = xy + y 3 z = sinx y 9 s x dx π x cos xdx 9 s93.8 a, fx = e x ax,. a =

y π π O π x 9 s94.5 y dy dx. y = x + 3 y = x logx + 9 s9.6 z z x, z y. z = xy + y 3 z = sinx y 9 s x dx π x cos xdx 9 s93.8 a, fx = e x ax,. a = [ ] 9 IC. dx = 3x 4y dt dy dt = x y u xt = expλt u yt λ u u t = u u u + u = xt yt 6 3. u = x, y, z = x + y + z u u 9 s9 grad u ux, y, z = c c : grad u = u x i + u y j + u k i, j, k z x, y, z grad u v =

More information

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 P Q 3 R S T R S T P Q ( ) ( ) m n m n m n n n

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 P Q 3 R S T R S T P Q ( ) ( ) m n m n m n n n 1 1.1 1.1.1 A 2 P Q 3 R S T R S T P 80 50 60 Q 90 40 70 80 50 60 90 40 70 8 5 6 1 1 2 9 4 7 2 1 2 3 1 2 m n m n m n n n n 1.1 8 5 6 9 4 7 2 6 0 8 2 3 2 2 2 1 2 1 1.1 2 4 7 1 1 3 7 5 2 3 5 0 3 4 1 6 9 1

More information

() n C + n C + n C + + n C n n (3) n C + n C + n C 4 + n C + n C 3 + n C 5 + (5) (6 ) n C + nc + 3 nc n nc n (7 ) n C + nc + 3 nc n nc n (

() n C + n C + n C + + n C n n (3) n C + n C + n C 4 + n C + n C 3 + n C 5 + (5) (6 ) n C + nc + 3 nc n nc n (7 ) n C + nc + 3 nc n nc n ( 3 n nc k+ k + 3 () n C r n C n r nc r C r + C r ( r n ) () n C + n C + n C + + n C n n (3) n C + n C + n C 4 + n C + n C 3 + n C 5 + (4) n C n n C + n C + n C + + n C n (5) k k n C k n C k (6) n C + nc

More information

1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x x + 52 = 3 x x , A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7, A, B, C

1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x x + 52 = 3 x x , A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7, A, B, C 0 9 (1990 1999 ) 10 (2000 ) 1900 1994 1995 1999 2 SAT ACT 1 1990 IMO 1990/1/15 1:00-4:00 1 N 1990 9 N N 1, N 1 N 2, N 2 N 3 N 3 2 x 2 + 25x + 52 = 3 x 2 + 25x + 80 3 2, 3 0 4 A, B, C 3,, A B, C 2,,,, 7,

More information

Part () () Γ Part ,

Part () () Γ Part , Contents a 6 6 6 6 6 6 6 7 7. 8.. 8.. 8.3. 8 Part. 9. 9.. 9.. 3. 3.. 3.. 3 4. 5 4.. 5 4.. 9 4.3. 3 Part. 6 5. () 6 5.. () 7 5.. 9 5.3. Γ 3 6. 3 6.. 3 6.. 3 6.3. 33 Part 3. 34 7. 34 7.. 34 7.. 34 8. 35

More information

.3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x, x 0 x = 0 x = 4 x.4. ( z + z = 8 z, z 0 (z, z = (0, 8, (,, (8, 0 3 (0, 8, (,, (8, 0 z = z 4 z (g f(x = g(

.3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x, x 0 x = 0 x = 4 x.4. ( z + z = 8 z, z 0 (z, z = (0, 8, (,, (8, 0 3 (0, 8, (,, (8, 0 z = z 4 z (g f(x = g( 06 5.. ( y = x x y 5 y 5 = (x y = x + ( y = x + y = x y.. ( Y = C + I = 50 + 0.5Y + 50 r r = 00 0.5Y ( L = M Y r = 00 r = 0.5Y 50 (3 00 0.5Y = 0.5Y 50 Y = 50, r = 5 .3. (x, x = (, u = = 4 (, x x = 4 x,

More information

2012 A, N, Z, Q, R, C

2012 A, N, Z, Q, R, C 2012 A, N, Z, Q, R, C 1 2009 9 2 2011 2 3 2012 9 1 2 2 5 3 11 4 16 5 22 6 25 7 29 8 32 1 1 1.1 3 1 1 1 1 1 1? 3 3 3 3 3 3 3 1 1, 1 1 + 1 1 1+1 2 2 1 2+1 3 2 N 1.2 N (i) 2 a b a 1 b a < b a b b a a b (ii)

More information

0.6 A = ( 0 ),. () A. () x n+ = x n+ + x n (n ) {x n }, x, x., (x, x ) = (0, ) e, (x, x ) = (, 0) e, {x n }, T, e, e T A. (3) A n {x n }, (x, x ) = (,

0.6 A = ( 0 ),. () A. () x n+ = x n+ + x n (n ) {x n }, x, x., (x, x ) = (0, ) e, (x, x ) = (, 0) e, {x n }, T, e, e T A. (3) A n {x n }, (x, x ) = (, [ ], IC 0. A, B, C (, 0, 0), (0,, 0), (,, ) () CA CB ACBD D () ACB θ cos θ (3) ABC (4) ABC ( 9) ( s090304) 0. 3, O(0, 0, 0), A(,, 3), B( 3,, ),. () AOB () AOB ( 8) ( s8066) 0.3 O xyz, P x Q, OP = P Q =

More information

r 1 m A r/m i) t ii) m i) t B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m ii) B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m { ( = A 1 + r ) m } rt r m n = m r m n B

r 1 m A r/m i) t ii) m i) t B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m ii) B(t; m) ( B(t; m) = A 1 + r ) mt m { ( = A 1 + r ) m } rt r m n = m r m n B 1 1.1 1 r 1 m A r/m i) t ii) m i) t Bt; m) Bt; m) = A 1 + r ) mt m ii) Bt; m) Bt; m) = A 1 + r ) mt m { = A 1 + r ) m } rt r m n = m r m n Bt; m) Aert e lim 1 + 1 n 1.1) n!1 n) e a 1, a 2, a 3,... {a n

More information

II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka )

II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) II 214-1 : October 2, 214 Version : 1.1 Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/14w-biseki.html pdf 1 2 1 9 1 16 1 23 1 3 11 6 11 13 11 2 11 27 12 4 12 11

More information

Part y mx + n mt + n m 1 mt n + n t m 2 t + mn 0 t m 0 n 18 y n n a 7 3 ; x α α 1 7α +t t 3 4α + 3t t x α x α y mx + n

Part y mx + n mt + n m 1 mt n + n t m 2 t + mn 0 t m 0 n 18 y n n a 7 3 ; x α α 1 7α +t t 3 4α + 3t t x α x α y mx + n Part2 47 Example 161 93 1 T a a 2 M 1 a 1 T a 2 a Point 1 T L L L T T L L T L L L T T L L T detm a 1 aa 2 a 1 2 + 1 > 0 11 T T x x M λ 12 y y x y λ 2 a + 1λ + a 2 2a + 2 0 13 D D a + 1 2 4a 2 2a + 2 a

More information

[ ] 0.1 lim x 0 e 3x 1 x IC ( 11) ( s114901) 0.2 (1) y = e 2x (x 2 + 1) (2) y = x/(x 2 + 1) 0.3 dx (1) 1 4x 2 (2) e x sin 2xdx (3) sin 2 xdx ( 11) ( s

[ ] 0.1 lim x 0 e 3x 1 x IC ( 11) ( s114901) 0.2 (1) y = e 2x (x 2 + 1) (2) y = x/(x 2 + 1) 0.3 dx (1) 1 4x 2 (2) e x sin 2xdx (3) sin 2 xdx ( 11) ( s [ ]. lim e 3 IC ) s49). y = e + ) ) y = / + ).3 d 4 ) e sin d 3) sin d ) s49) s493).4 z = y z z y s494).5 + y = 4 =.6 s495) dy = 3e ) d dy d = y s496).7 lim ) lim e s49).8 y = e sin ) y = sin e 3) y =

More information

1 θ i (1) A B θ ( ) A = B = sin 3θ = sin θ (A B sin 2 θ) ( ) 1 2 π 3 < = θ < = 2 π 3 Ax Bx3 = 1 2 θ = π sin θ (2) a b c θ sin 5θ = sin θ f(sin 2 θ) 2

1 θ i (1) A B θ ( ) A = B = sin 3θ = sin θ (A B sin 2 θ) ( ) 1 2 π 3 < = θ < = 2 π 3 Ax Bx3 = 1 2 θ = π sin θ (2) a b c θ sin 5θ = sin θ f(sin 2 θ) 2 θ i ) AB θ ) A = B = sin θ = sin θ A B sin θ) ) < = θ < = Ax Bx = θ = sin θ ) abc θ sin 5θ = sin θ fsin θ) fx) = ax bx c ) cos 5 i sin 5 ) 5 ) αβ α iβ) 5 α 4 β α β β 5 ) a = b = c = ) fx) = 0 x x = x =

More information

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A a 1 a 2 a 3 a n {a n } a 1 a n n n 1 n n 0 a n = 1 n 1 n n O n {a n } n a n α {a n } α {a

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A a 1 a 2 a 3 a n {a n } a 1 a n n n 1 n n 0 a n = 1 n 1 n n O n {a n } n a n α {a n } α {a ... A a a a 3 a n {a n } a a n n 3 n n n 0 a n = n n n O 3 4 5 6 n {a n } n a n α {a n } α {a n } α α {a n } a n n a n α a n = α n n 0 n = 0 3 4. ()..0.00 + (0.) n () 0. 0.0 0.00 ( 0.) n 0 0 c c c c c

More information

IMO 1 n, 21n n (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a

IMO 1 n, 21n n (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a 1 40 (1959 1999 ) (IMO) 41 (2000 ) WEB 1 1959 1 IMO 1 n, 21n + 4 13n + 3 2 (x + 2x 1) + (x 2x 1) = A, x, (a) A = 2, (b) A = 1, (c) A = 2?, 3 a, b, c cos x a cos 2 x + b cos x + c = 0 cos 2x a = 4, b =

More information

.5 z = a + b + c n.6 = a sin t y = b cos t dy d a e e b e + e c e e e + e 3 s36 3 a + y = a, b > b 3 s363.7 y = + 3 y = + 3 s364.8 cos a 3 s365.9 y =,

.5 z = a + b + c n.6 = a sin t y = b cos t dy d a e e b e + e c e e e + e 3 s36 3 a + y = a, b > b 3 s363.7 y = + 3 y = + 3 s364.8 cos a 3 s365.9 y =, [ ] IC. r, θ r, θ π, y y = 3 3 = r cos θ r sin θ D D = {, y ; y }, y D r, θ ep y yddy D D 9 s96. d y dt + 3dy + y = cos t dt t = y = e π + e π +. t = π y =.9 s6.3 d y d + dy d + y = y =, dy d = 3 a, b

More information

, x R, f (x),, df dx : R R,, f : R R, f(x) ( ).,, f (a) d f dx (a), f (a) d3 f dx 3 (a),, f (n) (a) dn f dx n (a), f d f dx, f d3 f dx 3,, f (n) dn f

, x R, f (x),, df dx : R R,, f : R R, f(x) ( ).,, f (a) d f dx (a), f (a) d3 f dx 3 (a),, f (n) (a) dn f dx n (a), f d f dx, f d3 f dx 3,, f (n) dn f ,,,,.,,,. R f : R R R a R, f(a + ) f(a) lim 0 (), df dx (a) f (a), f(x) x a, f (a), f(x) x a ( ). y f(a + ) y f(x) f(a+) f(a) f(a + ) f(a) f(a) x a 0 a a + x 0 a a + x y y f(x) 0 : 0, f(a+) f(a)., f(x)

More information

5. F(, 0) = = 4 = 4 O = 4 =. ( = = 4 ) = 4 ( 4 ), 0 = 4 4 O 4 = 4. () = 8 () = 4

5. F(, 0) = = 4 = 4 O = 4 =. ( = = 4 ) = 4 ( 4 ), 0 = 4 4 O 4 = 4. () = 8 () = 4 ... A F F l F l F(p, 0) = p p > 0 l p 0 P(, ) H P(, ) P l PH F PF = PH PF = PH p O p ( p) + = { ( p)} = 4p l = 4p (p 0) F(p, 0) = p O 3 5 5. F(, 0) = = 4 = 4 O = 4 =. ( = = 4 ) = 4 ( 4 ), 0 = 4 4 O 4 =

More information

1 No.1 5 C 1 I III F 1 F 2 F 1 F 2 2 Φ 2 (t) = Φ 1 (t) Φ 1 (t t). = Φ 1(t) t = ( 1.5e 0.5t 2.4e 4t 2e 10t ) τ < 0 t > τ Φ 2 (t) < 0 lim t Φ 2 (t) = 0

1 No.1 5 C 1 I III F 1 F 2 F 1 F 2 2 Φ 2 (t) = Φ 1 (t) Φ 1 (t t). = Φ 1(t) t = ( 1.5e 0.5t 2.4e 4t 2e 10t ) τ < 0 t > τ Φ 2 (t) < 0 lim t Φ 2 (t) = 0 1 No.1 5 C 1 I III F 1 F 2 F 1 F 2 2 Φ 2 (t) = Φ 1 (t) Φ 1 (t t). = Φ 1(t) t = ( 1.5e 0.5t 2.4e 4t 2e 10t ) τ < 0 t > τ Φ 2 (t) < 0 lim t Φ 2 (t) = 0 0 < t < τ I II 0 No.2 2 C x y x y > 0 x 0 x > b a dx

More information

DVIOUT

DVIOUT A. A. A-- [ ] f(x) x = f 00 (x) f 0 () =0 f 00 () > 0= f(x) x = f 00 () < 0= f(x) x = A--2 [ ] f(x) D f 00 (x) > 0= y = f(x) f 00 (x) < 0= y = f(x) P (, f()) f 00 () =0 A--3 [ ] y = f(x) [, b] x = f (y)

More information

1

1 1 1 7 1.1.................................. 11 2 13 2.1............................ 13 2.2............................ 17 2.3.................................. 19 3 21 3.1.............................

More information

(3) (2),,. ( 20) ( s200103) 0.7 x C,, x 2 + y 2 + ax = 0 a.. D,. D, y C, C (x, y) (y 0) C m. (2) D y = y(x) (x ± y 0), (x, y) D, m, m = 1., D. (x 2 y

(3) (2),,. ( 20) ( s200103) 0.7 x C,, x 2 + y 2 + ax = 0 a.. D,. D, y C, C (x, y) (y 0) C m. (2) D y = y(x) (x ± y 0), (x, y) D, m, m = 1., D. (x 2 y [ ] 7 0.1 2 2 + y = t sin t IC ( 9) ( s090101) 0.2 y = d2 y 2, y = x 3 y + y 2 = 0 (2) y + 2y 3y = e 2x 0.3 1 ( y ) = f x C u = y x ( 15) ( s150102) [ ] y/x du x = Cexp f(u) u (2) x y = xey/x ( 16) ( s160101)

More information

,. Black-Scholes u t t, x c u 0 t, x x u t t, x c u t, x x u t t, x + σ x u t, x + rx ut, x rux, t 0 x x,,.,. Step 3, 7,,, Step 6., Step 4,. Step 5,,.

,. Black-Scholes u t t, x c u 0 t, x x u t t, x c u t, x x u t t, x + σ x u t, x + rx ut, x rux, t 0 x x,,.,. Step 3, 7,,, Step 6., Step 4,. Step 5,,. 9 α ν β Ξ ξ Γ γ o δ Π π ε ρ ζ Σ σ η τ Θ θ Υ υ ι Φ φ κ χ Λ λ Ψ ψ µ Ω ω Def, Prop, Th, Lem, Note, Remark, Ex,, Proof, R, N, Q, C [a, b {x R : a x b} : a, b {x R : a < x < b} : [a, b {x R : a x < b} : a,

More information

..3. Ω, Ω F, P Ω, F, P ). ) F a) A, A,..., A i,... F A i F. b) A F A c F c) Ω F. ) A F A P A),. a) 0 P A) b) P Ω) c) [ ] A, A,..., A i,... F i j A i A

..3. Ω, Ω F, P Ω, F, P ). ) F a) A, A,..., A i,... F A i F. b) A F A c F c) Ω F. ) A F A P A),. a) 0 P A) b) P Ω) c) [ ] A, A,..., A i,... F i j A i A .. Laplace ). A... i),. ω i i ). {ω,..., ω } Ω,. ii) Ω. Ω. A ) r, A P A) P A) r... ).. Ω {,, 3, 4, 5, 6}. i i 6). A {, 4, 6} P A) P A) 3 6. ).. i, j i, j) ) Ω {i, j) i 6, j 6}., 36. A. A {i, j) i j }.

More information

211 kotaro@math.titech.ac.jp 1 R *1 n n R n *2 R n = {(x 1,..., x n ) x 1,..., x n R}. R R 2 R 3 R n R n R n D D R n *3 ) (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) f D *4 n 2 n = 1 ( ) 1 f D R n f : D R 1.1. (x,

More information

.1 A cos 2π 3 sin 2π 3 sin 2π 3 cos 2π 3 T ra 2 deta T ra 2 deta T ra 2 deta a + d 2 ad bc a 2 + d 2 + ad + bc A 3 a b a 2 + bc ba + d c d ca + d bc +

.1 A cos 2π 3 sin 2π 3 sin 2π 3 cos 2π 3 T ra 2 deta T ra 2 deta T ra 2 deta a + d 2 ad bc a 2 + d 2 + ad + bc A 3 a b a 2 + bc ba + d c d ca + d bc + .1 n.1 1 A T ra A A a b c d A 2 a b a b c d c d a 2 + bc ab + bd ac + cd bc + d 2 a 2 + bc ba + d ca + d bc + d 2 A a + d b c T ra A T ra A 2 A 2 A A 2 A 2 A n A A n cos 2π sin 2π n n A k sin 2π cos 2π

More information

2016 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 1 16 2 1 () X O 3 (O1) X O, O (O2) O O (O3) O O O X (X, O) O X X (O1), (O2), (O3) (O2) (O3) n (O2) U 1,..., U n O U k O k=1 (O3) U λ O( λ Λ) λ Λ U λ O 0 X 0 (O2) n =

More information

function2.pdf

function2.pdf 2... 1 2009, http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/ nishioka/ 2 11 38 : 5) i) [], : 84 85 86 87 88 89 1000 ) 13 22 33 56 92 147 140 120 100 80 60 40 20 1 2 3 4 5 7.1 7 7.1 1. *1 e = 2.7182 ) fx) e x, x R : 7.1)

More information

[ ] Table

[ ] Table [] Te P AP OP [] OP c r de,,,, ' ' ' ' de,, c,, c, c ',, c mc ' ' m' c ' m m' OP OP p p p ( t p t p m ( m c e cd d e e c OP s( OP t( P s s t (, e e s t s 5 OP 5 5 s t t 5 OP ( 5 5 5 OAP ABP OBP ,, OP t(

More information

1 1.1 ( ). z = a + bi, a, b R 0 a, b 0 a 2 + b 2 0 z = a + bi = ( ) a 2 + b 2 a a 2 + b + b 2 a 2 + b i 2 r = a 2 + b 2 θ cos θ = a a 2 + b 2, sin θ =

1 1.1 ( ). z = a + bi, a, b R 0 a, b 0 a 2 + b 2 0 z = a + bi = ( ) a 2 + b 2 a a 2 + b + b 2 a 2 + b i 2 r = a 2 + b 2 θ cos θ = a a 2 + b 2, sin θ = 1 1.1 ( ). z = + bi,, b R 0, b 0 2 + b 2 0 z = + bi = ( ) 2 + b 2 2 + b + b 2 2 + b i 2 r = 2 + b 2 θ cos θ = 2 + b 2, sin θ = b 2 + b 2 2π z = r(cos θ + i sin θ) 1.2 (, ). 1. < 2. > 3. ±,, 1.3 ( ). A

More information

i I II I II II IC IIC I II ii 5 8 5 3 7 8 iii I 3........................... 5......................... 7........................... 4........................ 8.3......................... 33.4...................

More information

6. Euler x

6. Euler x ...............................................................................3......................................... 4.4................................... 5.5......................................

More information

2011de.dvi

2011de.dvi 211 ( 4 2 1. 3 1.1............................... 3 1.2 1- -......................... 13 1.3 2-1 -................... 19 1.4 3- -......................... 29 2. 37 2.1................................ 37

More information

(1) θ a = 5(cm) θ c = 4(cm) b = 3(cm) (2) ABC A A BC AD 10cm BC B D C 99 (1) A B 10m O AOB 37 sin 37 = cos 37 = tan 37

(1) θ a = 5(cm) θ c = 4(cm) b = 3(cm) (2) ABC A A BC AD 10cm BC B D C 99 (1) A B 10m O AOB 37 sin 37 = cos 37 = tan 37 4. 98 () θ a = 5(cm) θ c = 4(cm) b = (cm) () D 0cm 0 60 D 99 () 0m O O 7 sin 7 = 0.60 cos 7 = 0.799 tan 7 = 0.754 () xkm km R km 00 () θ cos θ = sin θ = () θ sin θ = 4 tan θ = () 0 < x < 90 tan x = 4 sin

More information

(1) (2) (1) (2) 2 3 {a n } a 2 + a 4 + a a n S n S n = n = S n

(1) (2) (1) (2) 2 3 {a n } a 2 + a 4 + a a n S n S n = n = S n . 99 () 0 0 0 () 0 00 0 350 300 () 5 0 () 3 {a n } a + a 4 + a 6 + + a 40 30 53 47 77 95 30 83 4 n S n S n = n = S n 303 9 k d 9 45 k =, d = 99 a d n a n d n a n = a + (n )d a n a n S n S n = n(a + a n

More information

II 2 II

II 2 II II 2 II 2005 yugami@cc.utsunomiya-u.ac.jp 2005 4 1 1 2 5 2.1.................................... 5 2.2................................. 6 2.3............................. 6 2.4.................................

More information

x = a 1 f (a r, a + r) f(a) r a f f(a) 2 2. (a, b) 2 f (a, b) r f(a, b) r (a, b) f f(a, b)

x = a 1 f (a r, a + r) f(a) r a f f(a) 2 2. (a, b) 2 f (a, b) r f(a, b) r (a, b) f f(a, b) 2011 I 2 II III 17, 18, 19 7 7 1 2 2 2 1 2 1 1 1.1.............................. 2 1.2 : 1.................... 4 1.2.1 2............................... 5 1.3 : 2.................... 5 1.3.1 2.....................................

More information

n ( (

n ( ( 1 2 27 6 1 1 m-mat@mathscihiroshima-uacjp 2 http://wwwmathscihiroshima-uacjp/~m-mat/teach/teachhtml 2 1 3 11 3 111 3 112 4 113 n 4 114 5 115 5 12 7 121 7 122 9 123 11 124 11 125 12 126 2 2 13 127 15 128

More information

S I. dy fx x fx y fx + C 3 C vt dy fx 4 x, y dy yt gt + Ct + C dt v e kt xt v e kt + C k x v k + C C xt v k 3 r r + dr e kt S Sr πr dt d v } dt k e kt

S I. dy fx x fx y fx + C 3 C vt dy fx 4 x, y dy yt gt + Ct + C dt v e kt xt v e kt + C k x v k + C C xt v k 3 r r + dr e kt S Sr πr dt d v } dt k e kt S I. x yx y y, y,. F x, y, y, y,, y n http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda n /TeX/lecture.html PDF PS yx.................................... 3.3.................... 9.4................5..............

More information

Chap10.dvi

Chap10.dvi =0. f = 2 +3 { 2 +3 0 2 f = 1 =0 { sin 0 3 f = 1 =0 2 sin 1 0 4 f = 0 =0 { 1 0 5 f = 0 =0 f 3 2 lim = lim 0 0 0 =0 =0. f 0 = 0. 2 =0. 3 4 f 1 lim 0 0 = lim 0 sin 2 cos 1 = lim 0 2 sin = lim =0 0 2 =0.

More information

2009 IA I 22, 23, 24, 25, 26, a h f(x) x x a h

2009 IA I 22, 23, 24, 25, 26, a h f(x) x x a h 009 IA I, 3, 4, 5, 6, 7 7 7 4 5 h fx) x x h 4 5 4 5 1 3 1.1........................... 3 1........................... 4 1.3..................................... 6 1.4.............................. 8 1.4.1..............................

More information

f(x) = x (1) f (1) (2) f (2) f(x) x = a y y = f(x) f (a) y = f(x) A(a, f(a)) f(a + h) f(x) = A f(a) A x (3, 3) O a a + h x 1 f(x) x = a

f(x) = x (1) f (1) (2) f (2) f(x) x = a y y = f(x) f (a) y = f(x) A(a, f(a)) f(a + h) f(x) = A f(a) A x (3, 3) O a a + h x 1 f(x) x = a 3 3.1 3.1.1 A f(a + h) f(a) f(x) lim f(x) x = a h 0 h f(x) x = a f 0 (a) f 0 (a) = lim h!0 f(a + h) f(a) h = lim x!a f(x) f(a) x a a + h = x h = x a h 0 x a 3.1 f(x) = x x = 3 f 0 (3) f (3) = lim h 0 (

More information

I A A441 : April 21, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) Google

I A A441 : April 21, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) Google I4 - : April, 4 Version :. Kwhir, Tomoki TA (Kondo, Hirotk) Google http://www.mth.ngoy-u.c.jp/~kwhir/courses/4s-biseki.html pdf 4 4 4 4 8 e 5 5 9 etc. 5 6 6 6 9 n etc. 6 6 6 3 6 3 7 7 etc 7 4 7 7 8 5 59

More information

1W II K =25 A (1) office(a439) (2) A4 etc. 12:00-13:30 Cafe David 1 2 TA appointment Cafe D

1W II K =25 A (1) office(a439) (2) A4 etc. 12:00-13:30 Cafe David 1 2 TA  appointment Cafe D 1W II K200 : October 6, 2004 Version : 1.2, kawahira@math.nagoa-u.ac.jp, http://www.math.nagoa-u.ac.jp/~kawahira/courses.htm TA M1, m0418c@math.nagoa-u.ac.jp TA Talor Jacobian 4 45 25 30 20 K2-1W04-00

More information

I II

I II I II I I 8 I I 5 I 5 9 I 6 6 I 7 7 I 8 87 I 9 96 I 7 I 8 I 9 I 7 I 95 I 5 I 6 II 7 6 II 8 II 9 59 II 67 II 76 II II 9 II 8 II 5 8 II 6 58 II 7 6 II 8 8 I.., < b, b, c, k, m. k + m + c + c b + k + m log

More information

2000年度『数学展望 I』講義録

2000年度『数学展望 I』講義録 2000 I I IV I II 2000 I I IV I-IV. i ii 3.10 (http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ kanai/) 2000 A....1 B....4 C....10 D....13 E....17 Brouwer A....21 B....26 C....33 D....39 E. Sperner...45 F....48 A....53

More information

6 2 2 x y x y t P P = P t P = I P P P ( ) ( ) ,, ( ) ( ) cos θ sin θ cos θ sin θ, sin θ cos θ sin θ cos θ y x θ x θ P

6 2 2 x y x y t P P = P t P = I P P P ( ) ( ) ,, ( ) ( ) cos θ sin θ cos θ sin θ, sin θ cos θ sin θ cos θ y x θ x θ P 6 x x 6.1 t P P = P t P = I P P P 1 0 1 0,, 0 1 0 1 cos θ sin θ cos θ sin θ, sin θ cos θ sin θ cos θ x θ x θ P x P x, P ) = t P x)p ) = t x t P P ) = t x = x, ) 6.1) x = Figure 6.1 Px = x, P=, θ = θ P

More information

1. (8) (1) (x + y) + (x + y) = 0 () (x + y ) 5xy = 0 (3) (x y + 3y 3 ) (x 3 + xy ) = 0 (4) x tan y x y + x = 0 (5) x = y + x + y (6) = x + y 1 x y 3 (

1. (8) (1) (x + y) + (x + y) = 0 () (x + y ) 5xy = 0 (3) (x y + 3y 3 ) (x 3 + xy ) = 0 (4) x tan y x y + x = 0 (5) x = y + x + y (6) = x + y 1 x y 3 ( 1 1.1 (1) (1 + x) + (1 + y) = 0 () x + y = 0 (3) xy = x (4) x(y + 3) + y(y + 3) = 0 (5) (a + y ) = x ax a (6) x y 1 + y x 1 = 0 (7) cos x + sin x cos y = 0 (8) = tan y tan x (9) = (y 1) tan x (10) (1 +

More information

v er.1/ c /(21)

v er.1/ c /(21) 12 -- 1 1 2009 1 17 1-1 1-2 1-3 1-4 2 2 2 1-5 1 1-6 1 1-7 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1-7 c 2011 1/(21) 12 -- 1 -- 1 1--1 1--1--1 1 2009 1 n n α { n } α α { n } lim n = α, n α n n ε n > N n α < ε N {1, 1,

More information

mugensho.dvi

mugensho.dvi 1 1 f (t) lim t a f (t) = 0 f (t) t a 1.1 (1) lim(t 1) 2 = 0 t 1 (t 1) 2 t 1 (2) lim(t 1) 3 = 0 t 1 (t 1) 3 t 1 2 f (t), g(t) t a lim t a f (t) g(t) g(t) f (t) = o(g(t)) (t a) = 0 f (t) (t 1) 3 1.2 lim

More information

f(x) = f(x ) + α(x)(x x ) α(x) x = x. x = f (y), x = f (y ) y = f f (y) = f f (y ) + α(f (y))(f (y) f (y )) f (y) = f (y ) + α(f (y)) (y y ) ( (2) ) f

f(x) = f(x ) + α(x)(x x ) α(x) x = x. x = f (y), x = f (y ) y = f f (y) = f f (y ) + α(f (y))(f (y) f (y )) f (y) = f (y ) + α(f (y)) (y y ) ( (2) ) f 22 A 3,4 No.3 () (2) (3) (4), (5) (6) (7) (8) () n x = (x,, x n ), = (,, n ), x = ( (x i i ) 2 ) /2 f(x) R n f(x) = f() + i α i (x ) i + o( x ) α,, α n g(x) = o( x )) lim x g(x) x = y = f() + i α i(x )

More information

(4) P θ P 3 P O O = θ OP = a n P n OP n = a n {a n } a = θ, a n = a n (n ) {a n } θ a n = ( ) n θ P n O = a a + a 3 + ( ) n a n a a + a 3 + ( ) n a n

(4) P θ P 3 P O O = θ OP = a n P n OP n = a n {a n } a = θ, a n = a n (n ) {a n } θ a n = ( ) n θ P n O = a a + a 3 + ( ) n a n a a + a 3 + ( ) n a n 3 () 3,,C = a, C = a, C = b, C = θ(0 < θ < π) cos θ = a + (a) b (a) = 5a b 4a b = 5a 4a cos θ b = a 5 4 cos θ a ( b > 0) C C l = a + a + a 5 4 cos θ = a(3 + 5 4 cos θ) C a l = 3 + 5 4 cos θ < cos θ < 4

More information

(1.2) T D = 0 T = D = 30 kn 1.2 (1.4) 2F W = 0 F = W/2 = 300 kn/2 = 150 kn 1.3 (1.9) R = W 1 + W 2 = = 1100 N. (1.9) W 2 b W 1 a = 0

(1.2) T D = 0 T = D = 30 kn 1.2 (1.4) 2F W = 0 F = W/2 = 300 kn/2 = 150 kn 1.3 (1.9) R = W 1 + W 2 = = 1100 N. (1.9) W 2 b W 1 a = 0 1 1 1.1 1.) T D = T = D = kn 1. 1.4) F W = F = W/ = kn/ = 15 kn 1. 1.9) R = W 1 + W = 6 + 5 = 11 N. 1.9) W b W 1 a = a = W /W 1 )b = 5/6) = 5 cm 1.4 AB AC P 1, P x, y x, y y x 1.4.) P sin 6 + P 1 sin 45

More information

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 2 Q ABC 2 1 BC AB, AC AB, BC AC 1 B BC AB = QR PQ = 1 2 AC AB = PR 3 PQ = 2 BC AC = QR PR = 1

さくらの個別指導 ( さくら教育研究所 ) A 2 2 Q ABC 2 1 BC AB, AC AB, BC AC 1 B BC AB = QR PQ = 1 2 AC AB = PR 3 PQ = 2 BC AC = QR PR = 1 ... 0 60 Q,, = QR PQ = = PR PQ = = QR PR = P 0 0 R 5 6 θ r xy r y y r, x r, y x θ x θ θ (sine) (cosine) (tangent) sin θ, cos θ, tan θ. θ sin θ = = 5 cos θ = = 4 5 tan θ = = 4 θ 5 4 sin θ = y r cos θ =

More information

S I. dy fx x fx y fx + C 3 C dy fx 4 x, y dy v C xt y C v e kt k > xt yt gt [ v dt dt v e kt xt v e kt + C k x v + C C k xt v k 3 r r + dr e kt S dt d

S I. dy fx x fx y fx + C 3 C dy fx 4 x, y dy v C xt y C v e kt k > xt yt gt [ v dt dt v e kt xt v e kt + C k x v + C C k xt v k 3 r r + dr e kt S dt d S I.. http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda /TeX/lecture.html PDF PS.................................... 3.3.................... 9.4................5.............. 3 5. Laplace................. 5....

More information

meiji_resume_1.PDF

meiji_resume_1.PDF β β β (q 1,q,..., q n ; p 1, p,..., p n ) H(q 1,q,..., q n ; p 1, p,..., p n ) Hψ = εψ ε k = k +1/ ε k = k(k 1) (x, y, z; p x, p y, p z ) (r; p r ), (θ; p θ ), (ϕ; p ϕ ) ε k = 1/ k p i dq i E total = E

More information

O E ( ) A a A A(a) O ( ) (1) O O () 467

O E ( ) A a A A(a) O ( ) (1) O O () 467 1 1.0 16 1 ( 1 1 ) 1 466 1.1 1.1.1 4 O E ( ) A a A A(a) O ( ) (1) O O () 467 ( ) A(a) O A 0 a x ( ) A(3), B( ), C 1, D( 5) DB C A x 5 4 3 1 0 1 3 4 5 16 A(1), B( 3) A(a) B(b) d ( ) A(a) B(b) d AB d = d(a,

More information

微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです.

微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます.   このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです. 微分積分 サンプルページ この本の定価 判型などは, 以下の URL からご覧いただけます. ttp://www.morikita.co.jp/books/mid/00571 このサンプルページの内容は, 初版 1 刷発行時のものです. i ii 014 10 iii [note] 1 3 iv 4 5 3 6 4 x 0 sin x x 1 5 6 z = f(x, y) 1 y = f(x)

More information

B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13:

B. 41 II: 2 ;; 4 B [ ] S 1 S 2 S 1 S O S 1 S P 2 3 P P : 2.13: B. 41 II: ;; 4 B [] S 1 S S 1 S.1 O S 1 S 1.13 P 3 P 5 7 P.1:.13: 4 4.14 C d A B x l l d C B 1 l.14: AB A 1 B 0 AB 0 O OP = x P l AP BP AB AP BP 1 (.4)(.5) x l x sin = p l + x x l (.4)(.5) m d A x P O

More information

1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 315 (2) π ( i ) (ii) π (iii) 7 12 π ( (3) r, AOB = θ 0 < θ < π ) OAB A 2 OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < π 2 sin θ

1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 315 (2) π ( i ) (ii) π (iii) 7 12 π ( (3) r, AOB = θ 0 < θ < π ) OAB A 2 OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < π 2 sin θ 1 (1) ( i ) 60 (ii) 75 (iii) 15 () ( i ) (ii) 4 (iii) 7 1 ( () r, AOB = θ 0 < θ < ) OAB A OB P ( AB ) < ( AP ) (4) 0 < θ < sin θ < θ < tan θ 0 x, 0 y (1) sin x = sin y (x, y) () cos x cos y (x, y) 1 c

More information

(u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) ( ) u(x) = u (x)v(x) u(x)v (x) v(x) v(x) 2 y = g(t), t = f(x) y = g(f(x)) dy dx dy dx = dy dt dt dx., y, f, g y = f (g(x))g (x). ( (f(g(x)). ). [ ] y = e ax+b (a, b )

More information

( z = x 3 y + y ( z = cos(x y ( 8 ( s8.7 y = xe x ( 8 ( s83.8 ( ( + xdx ( cos 3 xdx t = sin x ( 8 ( s84 ( 8 ( s85. C : y = x + 4, l : y = x + a,

( z = x 3 y + y ( z = cos(x y ( 8 ( s8.7 y = xe x ( 8 ( s83.8 ( ( + xdx ( cos 3 xdx t = sin x ( 8 ( s84 ( 8 ( s85. C : y = x + 4, l : y = x + a, [ ] 8 IC. y d y dx = ( dy dx ( p = dy p y dx ( ( ( 8 ( s8. 3 A A = ( A ( A (3 A P A P AP.3 π y(x = { ( 8 ( s8 x ( π < x x ( < x π y(x π π O π x ( 8 ( s83.4 f (x, y, z grad(f ( ( ( f f f grad(f = i + j

More information

4 5.............................................. 5............................................ 6.............................................. 7......................................... 8.3.................................................4.........................................4..............................................4................................................4.3...............................................

More information

2019 1 5 0 3 1 4 1.1.................... 4 1.1.1......................... 4 1.1.2........................ 5 1.1.3................... 5 1.1.4........................ 6 1.1.5......................... 6 1.2..........................

More information

untitled

untitled 0. =. =. (999). 3(983). (980). (985). (966). 3. := :=. A A. A A. := := 4 5 A B A B A B. A = B A B A B B A. A B A B, A B, B. AP { A, P } = { : A, P } = { A P }. A = {0, }, A, {0, }, {0}, {}, A {0}, {}.

More information

20 9 19 1 3 11 1 3 111 3 112 1 4 12 6 121 6 122 7 13 7 131 8 132 10 133 10 134 12 14 13 141 13 142 13 143 15 144 16 145 17 15 19 151 1 19 152 20 2 21 21 21 211 21 212 1 23 213 1 23 214 25 215 31 22 33

More information

III 1 (X, d) d U d X (X, d). 1. (X, d).. (i) d(x, y) d(z, y) d(x, z) (ii) d(x, y) d(z, w) d(x, z) + d(y, w) 2. (X, d). F X.. (1), X F, (2) F 1, F 2 F

III 1 (X, d) d U d X (X, d). 1. (X, d).. (i) d(x, y) d(z, y) d(x, z) (ii) d(x, y) d(z, w) d(x, z) + d(y, w) 2. (X, d). F X.. (1), X F, (2) F 1, F 2 F III 1 (X, d) d U d X (X, d). 1. (X, d).. (i) d(x, y) d(z, y) d(x, z) (ii) d(x, y) d(z, w) d(x, z) + d(y, w) 2. (X, d). F X.. (1), X F, (2) F 1, F 2 F F 1 F 2 F, (3) F λ F λ F λ F. 3., A λ λ A λ. B λ λ

More information

(1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10)

(1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10) 2017 12 9 4 1 30 4 10 3 1 30 3 30 2 1 30 2 50 1 1 30 2 10 (1) (2) (3) (4) HB B ( ) (5) (6) (7) 40 (8) (9) (10) (1) i 23 c 23 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b d e f g h i (2) 23 23 (3) 23 ( 23 ) 23 x 1 x 2 23 x

More information

( ) 2.1. C. (1) x 4 dx = 1 5 x5 + C 1 (2) x dx = x 2 dx = x 1 + C = 1 2 x + C xdx (3) = x dx = 3 x C (4) (x + 1) 3 dx = (x 3 + 3x 2 + 3x +

( ) 2.1. C. (1) x 4 dx = 1 5 x5 + C 1 (2) x dx = x 2 dx = x 1 + C = 1 2 x + C xdx (3) = x dx = 3 x C (4) (x + 1) 3 dx = (x 3 + 3x 2 + 3x + (.. C. ( d 5 5 + C ( d d + C + C d ( d + C ( ( + d ( + + + d + + + + C (5 9 + d + d tan + C cos (sin (6 sin d d log sin + C sin + (7 + + d ( + + + + d log( + + + C ( (8 d 7 6 d + 6 + C ( (9 ( d 6 + 8 d

More information

Chap11.dvi

Chap11.dvi . () x 3 + dx () (x )(x ) dx + sin x sin x( + cos x) dx () x 3 3 x + + 3 x + 3 x x + x 3 + dx 3 x + dx 6 x x x + dx + 3 log x + 6 log x x + + 3 rctn ( ) dx x + 3 4 ( x 3 ) + C x () t x t tn x dx x. t x

More information

1/1 lim f(x, y) (x,y) (a,b) ( ) ( ) lim limf(x, y) lim lim f(x, y) x a y b y b x a ( ) ( ) xy x lim lim lim lim x y x y x + y y x x + y x x lim x x 1

1/1 lim f(x, y) (x,y) (a,b) ( ) ( ) lim limf(x, y) lim lim f(x, y) x a y b y b x a ( ) ( ) xy x lim lim lim lim x y x y x + y y x x + y x x lim x x 1 1/5 ( ) Taylor ( 7.1) (x, y) f(x, y) f(x, y) x + y, xy, e x y,... 1 R {(x, y) x, y R} f(x, y) x y,xy e y log x,... R {(x, y, z) (x, y),z f(x, y)} R 3 z 1 (x + y ) z ax + by + c x 1 z ax + by + c y x +

More information

< 1 > (1) f 0 (a) =6a ; g 0 (a) =6a 2 (2) y = f(x) x = 1 f( 1) = 3 ( 1) 2 =3 ; f 0 ( 1) = 6 ( 1) = 6 ; ( 1; 3) 6 x =1 f(1) = 3 ; f 0 (1) = 6 ; (1; 3)

< 1 > (1) f 0 (a) =6a ; g 0 (a) =6a 2 (2) y = f(x) x = 1 f( 1) = 3 ( 1) 2 =3 ; f 0 ( 1) = 6 ( 1) = 6 ; ( 1; 3) 6 x =1 f(1) = 3 ; f 0 (1) = 6 ; (1; 3) < 1 > (1) f 0 (a) =6a ; g 0 (a) =6a 2 (2) y = f(x) x = 1 f( 1) = 3 ( 1) 2 =3 ; f 0 ( 1) = 6 ( 1) = 6 ; ( 1; 3) 6 x =1 f(1) = 3 ; f 0 (1) = 6 ; (1; 3) 6 y = g(x) x = 1 g( 1) = 2 ( 1) 3 = 2 ; g 0 ( 1) =

More information

(, Goo Ishikawa, Go-o Ishikawa) ( ) 1

(, Goo Ishikawa, Go-o Ishikawa) ( ) 1 (, Goo Ishikawa, Go-o Ishikawa) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) G7( ) ( ) ( ) () ( ) BD = 1 DC CE EA AF FB 0 0 BD DC CE EA AF FB =1 ( ) 2 (geometry) ( ) ( ) 3 (?) (Topology) ( ) DNA ( ) 4 ( ) ( ) 5 ( ) H. 1 : 1+ 5 2

More information

70 : 20 : A B (20 ) (30 ) 50 1

70 : 20 : A B (20 ) (30 ) 50 1 70 : 0 : A B (0 ) (30 ) 50 1 1 4 1.1................................................ 5 1. A............................................... 6 1.3 B............................................... 7 8.1 A...............................................

More information