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1 音響キャビテーション ヤング ラプラスの式 A B dl g C ヤングは 二つの流体の境界に厚さの無視できる架空の膜が存在し しかもこの膜には張力が作用するというモデルを考えた. すなわち 図に示すように 気泡表面と交わる平面 ABC を考えたとき 表面の接線方向の単位長さ dl 当たり g の力が作用していると考え この力を表面張力とよんだ. 次元は [N/m][J/m] となる. 気相と液相が接する界面には表面張力が働く 図のような半径 と の楕円の気泡 を考える

2 上の図に示す微小部分に注目すると ここに働く力は気泡内外の圧力と表面張力 σ である 注目する微小部分について切り口は円と考え表面張力は接点方向に働くとする また面積は平面として近似するとδ の線状 AE の部分と C の部分 に働く表面張力の気泡内部の方向の力の総和は *σ*δ* sinθ 同様にしてδE の部分と AC の部分 の線状に働く液滴内部方向の表面張力の総和は *σ*δ*sinθ となる また 微小部分に働く外圧による力は *δ*δ である 一方 気泡の内圧を Δ とすると 微小部分には気泡の外側方向に Δδδ の力が作用する これらの力の釣り合いから *σ*δ* sinθ *σ*δ*sinθ *δ*δ Δδδ が得られる θθ は微小であるから sinθθ sinθθ と近似すると *σ*δ*θ *σ*δ*θ Δδδ ここで δ**θ δ**θ なので Δσ/σ/ を得る これがヤング ラプラスの式です 球の場合は より Δσ/ となる 尚 シャボン玉のようなものであれ ば 表裏で 枚の膜があるので 表面張力を 倍して考えることになる

3 aleigh-plesse の式 非圧縮性ニュートン流体中の単一球形気泡の膨張 収縮運動を記述する式である 以下 その式を導く C o 次元空間に を中心とする直方体を考えて 各辺の幅をそれぞれδδδ とする 各面に対して座標の値の小さなほうから流入し 座標の値の大きな面から流出すると考える δ 秒間で考える 流入量と流出量の差は 微小体積内の質量の変化となる 軸方向の流入と流出については 流入は δ*δ*-δ/*δ 流出は -δ*δ*δ/ *δ 軸 軸方向についても同様にして 流入は δ*δ*-δ/ *δ 流出は -δ*δ*δ/ *δ 流入は δ*δ*-δ/ *δ 流出は -δ*δ*δ/ *δ より 微小部分の質量の変化は

4 δ-* δ*δ*δ δ*δ*-δ/-δ*δ* δ/ δ*δ* -δ/-δ*δ* δ/ δ*δ* -δ/-δ*δ* δ/*δ 両辺を δ*δ*δ*δ で割って極限値をとれば 流体の圧縮が無ければ 流入量と流出量は等しいので 球の中心から半径方向に向かっての流れを考える 半径 と半径 δ の間の薄い部分について考える δ 秒間での流入は 面積が π* 流速が 密度 とすると π***δ

5 流出は -πδ*δ*δ*δ 薄い皮の部分の体積は π**δとして δ-* π**δ π***δ - πδ*δ*δ*δ 両辺を π**δ*δ で割って極限値を考えると 流体が圧縮されないと考えると.. となる 気泡中心を原点とする球座標系を考える すべての運動が球対称だとすれば運動を支配する物理量は気泡中心からの距離 と時刻 の関数となる 非圧縮球対象流れに対する連続の式.5.8 と運動方程式.5.9 は cons..5.8 を得ることになる なお の右辺を微分すると を得る. 次は 運動方程式であるが 最初に連続物質の運動について考えます 時刻 において 点 P にある粒子が速度ベクトル を持つとする 時刻 において 点 P にあった粒子が移動して 時刻 での位置が P になったとする この点 P にある粒子は速度 を持たなくてはならない したがって 時刻 に点 P にある粒子は加速度 5

6 6 lim α lim lim となります 演算子 gad を agange 的な微分演算子と言う この記号を使えば α gad とかける 粒子の移動が半径方向だけだとすれば V δ

7 7 時刻 において 点 P にある粒子が速度ベクトル を持つとする 時刻 において 点 P にあった粒子が移動して 時刻 での位置が P になったとする この点 P にある粒子は速度 を持たなくてはならない したがって 時刻 に点 P にある粒子は加速度 lim α lim となります 演算子 が agange 的な微分演算子となる この記号を使えば α とかける Fmα より * * * * s s となるので.5.9 ただし は密度 は半径方向流速を表す は圧力を表す 添え字 は液体を表す を得る 気液界面の位置を とする この位置における流速は d d.5. となる

8 8 Q P o 時刻 において 点 P にある微小部分が密度 速度ベクトル を持つとする この点 P の近傍における点 Q を考える もし Q の速度ベクトルが P の速度ベクトルと同じなら P と Q は平行移動をする ほかの点の速度ベクトルもすべて等しいなら 全体として平行移動をしていて変形や回転は起きない P の近傍の点の速度ベクトルが異なると 引っ張られたり押し合ったり 回転したりすることになる そこで P の近傍での速度ベクトルの差について考える 点 P を原点とする座標系を考を考える 軸を ベクトル の方向に つとり これに垂直な平面内に 軸 軸を考える OQ とおけば 点 Q における速度は とかける

9 9 行列表現をすれば となる この行列 と の転置行列 T を考える ここで / / T T となり T / E T / Ω とおけば T / E は対称行列 T / Ω は反対称行列となる さらに E E δ ω δ δ δ Ω となる この式の第 項は角速度 ω/ の回転を表す

10 E したがって E δ この点は 速度ベクトル を持つとする このとき したがって 時刻 に点 P にある粒子は加速度 lim α

11 lim となります 演算子 が agange 的な微分演算子となる この記号を使えば α とかける Fmα より * * * * s s となるので.5.9 ただし は密度 は半径方向流速を表す は圧力を表す 添え字 は液体を表す を得る 気液界面の位置を とする この位置における流速は d d.5. となる

12 半径 の球を考える 球面上に一般の長さが d θ 厚さが h の球面の一部を考える 半径がΔ 秒間に * だけ増加すると 下側の辺の長さは * * dθ とな り 上側の辺の長さは h h * * d となる 球面全体を考えると π * h π * h 辺の長さの差は つの面の速度差となる θ F / S µ h / h F/SμΔ/????????????????????????????? さらに 半径方向応力 圧力 粘性応力 および表面張力との釣り合いから G σ W η W GW η G W.5. が成り立つ ただし ηは粘性率を σは気液間の表面張力と表し 添え字 W は気泡表面を 添え字 G は気体を表す??????????????????????????????????

13 式.5.8 式.5. を合わせると 任意の位置 における流速は d.5. d 式.5. を運動方程式.5.9 に代入すると d d d.5. 5 d d d 式.5. を からまで積分すると 式.5. が得られる d d KW d d ただし 無限遠 での液体圧力を 式.5. を式.5. に代入して とした.5. キャビテーションとは 圧力変動に伴う液体中の発泡減少です 音場中の気泡の成長 圧力一定のもとでは 不凝縮ガスが過飽和でない限り 気泡は消滅する これに対して 音響場の中に置かれた気泡では不足飽和状態でも 不凝縮ガスの析出による気泡の成長が 見られる この現象が音響キャビテーション発生の原因となり また 液体中の溶存ガス 除去促進にも利用される d d 気泡への不凝縮ガス析出量は式 π g による π g g W.5.55 液体中の濃度境界層厚さをδ とすれば 単位時期あたりのガス析出 溶解量は

14 m& / δ.5.6 g gi giw となる これに踏まえて 図.5.6 に示す現象のメカニズムを説明する 図.5.6 収縮時平衡時膨張時 g > g g g < g < > δ > δ δ δ < δ まず 気泡表面液体の不凝縮ガス濃度 はヘンリーの法則 gw gw α g.5.58 にしたがって 収縮 膨張する圧力変動とともに 上昇 低下する 濃度が上昇する凝縮 時には気泡内の不凝縮ガスが液体に溶解し 濃度が低下する膨張時にはガスは気泡へ析出 する この際 気泡表面積は膨張時のほうが大きいため 膨張 収縮の サイクルで見るとわ ずかながら析出量が勝ると考えられる 音波の振動数が大きな場合には 液体内に溶けているガスの拡散が起こらないので 気 泡の成長は鈍る 振動数が小さい場合は 膨張したときは 液体内のガスが気泡内に析出し 気泡の周囲 のガスの濃度が減少する 収縮が始まる前に液体内に溶け込んでいるガスの拡散によって 濃度が元に戻る 収縮によって 気泡内のガスが周囲の溶液に溶け込む 周囲の液体内に溶けているガス の濃度があまり下がっていないので溶け込む量は少なくなる この過程を繰り返して 低周波の場合のほうが気泡は成長すると考えられる

15 次に 表面近傍液体中の不凝縮ガス濃度境界層は 膨張時には薄く 収縮時には厚くな る 境界層厚さが薄くなるにつれて 拡散による物質輸送が顕著になることを考えると やはり 膨張による析出量が収縮による溶解量を上回ることになる 5.. 微小 線形 振動 音響場中の気泡膨張 収縮運動は バネーマス系の強制振動とみなせる 気泡運動の d d d d σ η d d GW.5.6 を Chch は直接解いて キャビテーション発生の閾値を求めた その結果 加振周波数が低くなるにつれて音圧閾値が低くなる ただしその値は気泡核のサイズに依存する と要約されている. キャビテーションにおける泡の発生と膨張 一般にキャビテーションとは 液体の圧力低下にともなって その中の多数の微小な空 気泡の核から気泡が発生する現象と考えられている その後の気泡の膨張や収縮の過程では 泡の内部や泡の境界での相変化や熱 気体の拡 散が起こる したがって キャビテーションは熱 物質移動を伴う泡の膨張 収縮の過程といえる 最初に 微小な空気泡からキャビテーションが発生するための条件について平衡理論を 用いて考察する 半径 の泡が周囲の液体と平衡を保って安全に存在しているとすれば g σ 5

16 が成立する g は泡の中のガスの圧力 は泡の中の蒸気の圧力 は泡の周囲の液 体圧力 σ は液体の表面張力 ここで 液体の圧力が から PP> だけゆっくり減少して 泡が新しい平衡状態に なったとすると P g σ ここで は新しい平衡状態での泡の半径????????????????????????? この式は f P P f と見ることができる の値が極小値となるときの の値を見つける 極小値ならば中立安定な状態と言える d dp この式に をかけて σ g P P で微分して d P σ dp d dp???????????????????????????? この式に をかけて σ g P で微分して P σ よって P これが臨界半径 である c σ このときの 液体圧 c P は σ c P 8 σ / 6

17 この式は 圧力 の液体中にある半径 の泡は液体の圧力が c P 以下になると 際限なく膨張することを意味している の水では c.* Pa のときの臨界半径は c 9.* mm である. 液体の慣性力が支配する場合の泡の膨張 収縮運動 この場合次の方程式を用いる と 境界で V & d d σ µ V が成立する V?????????? 7

18 8. 境界の膨張 収縮速度が液体の音速よりも十分小さい場合この場合は液体の密度 を一定として扱うことができる d d.5. 式.5. を運動方程式.5.9 に代入すると d d d d d d 5.5. 式.5. を から まで積分すると d d 5 より d d d d d d d d d d d d を得る これを. 式に代入して とすると σ µ & & & &.5 を得る aleigh-lesse の式 いま.5 式で. cons. cons > μ σ の特別な場合について考える > は泡がつぶれる場合に対する条件である このとき.5 は積分できて &.6 を得る ここで はつぶれる前の泡の初期半径である.6 式は 泡の境界の速度を表している この式をもう一度積分すれば 半径が零となるまでの時間

19 .95.7 τ を得る ここで τ 9.5* 5 m kpa s となる kg / m とすると つぎに 泡の周辺の液体中に発生する圧力について調べる 5 式から &.8 を得る.8 式の右辺第 項は正で大きく / で正の極大値 / 8 & また での最大圧力の漸近値 ma は / ma ~.9 となる / / を持っている kpa の圧力差で静止状態からつぶれていく泡に対して 液体中の最大圧力 は 半径が初期半径の. 倍 収縮速度が 6m/s のときに約 6MPa に達し 泡がつぶれ ていくにつれてどんどん大きくなっていく 次に 泡の中に蒸気とガスの混合気体が入っている場合の泡の膨張 収縮運動を解析す る 蒸気圧 は一定 ガス圧 g は断熱変化の式に従うものとすると.5 式の は δ.5 ここで は液体の初期圧力である.5 式を用いると.5 式は次のようになる σ µ & & & σ.5 この.5 式を用いて 蒸気 ガスの混合ガスを含む泡にステップ状の圧力が加えられた 場合の 泡の運動を調べる 9

20 今. cons とする.5 式は積分できて & とすると σ γ σ &.5 min のとき & となるから min << として min σ σ γ.5 を得る このとき 境界のところでの液体圧力は最大となり. 式で とおいて & & を.5 式を用いて消去すると min min ma σ σ.5 となる

2 図微小要素の流体の流入出 方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は 以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量 密度 流速 断面 Ⅰ の面積 微小要素の断面 Ⅰ から だけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように

2 図微小要素の流体の流入出 方向の断面の流体の流入出の収支断面 Ⅰ から微小要素に流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅰ は 以下のように定式化できる Q 断面 Ⅰ 流量 密度 流速 断面 Ⅰ の面積 微小要素の断面 Ⅰ から だけ移動した断面 Ⅱ を流入出する流体の流量 Q 断面 Ⅱ は以下のように 3 章 Web に Link 解説 連続式 微分表示 の誘導.64 *4. 連続式連続式は ある領域の内部にある流体の質量の収支が その表面からの流入出の合計と等しくなることを定式化したものであり 流体における質量保存則を示したものである 2. 連続式 微分表示 の誘導図のような微小要素 コントロールボリューム の領域内の流体の増減と外部からの流体の流入出を考えることで定式化できる 微小要素 流入

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