A protocol analysis of students interaction in a cooperative solution process of a mathematical problem High school students research on a problem sol

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1 >> 愛媛大学 - Ehime University Title 数学問題の協力的解決過程におけるプロトコル分析 (III) : 高校生を対象とした調査結果より Author(s) 吉村, 直道 Citation 愛媛大学教育学部紀要. vol.57, no., p Issue Date URL Rights Note This document is downloaded IYOKAN - Institutional Repository : the EHIME area

2 A protocol analysis of students interaction in a cooperative solution process of a mathematical problem High school students research on a problem solving Naomichi YOSHIMURA 1. はじめに 表 1: 今回の調査データ 2. 調査 2.1. 調査の概要 89

3 2.2. 各集団における解決過程 高校 2 年生 A a62: 三角形でいいんちゃうん? b63: 三角形よねぇ 三角形で拡がっていく a64: 俺もそう思う b65: 真ん中で a66:(b65の話を遮って ) 一緒やん そんな気がせん? b67: 三角形で c68: ちょっと あぁ三角形や a69: 三角形やろ c70: 正三角形 a71: が, どんどん広がっていくね 真ん中になるときは, 高さの中点, ここやろ c72: うん, ここ a73: つないだら, これが全部正方形の対角線だから, 対角線, 対角線, 対角線で辺が同じになる a90: 正三角形が拡がっていくのはどう説明する c91: ここの3 点結んだのが, ずーと上がっていく で, 最終的に, この3 点で止まる ( 図 1) 図 高校 2 年生 B d 9: 六角形になる気がする 90

4 f10: それをどう証明するかよ d11: 証明せないかんのかぁ f12: ある程度は そう思う, じゃ, いかんやろ 八角形 八? 俺, 空間図形イメージするの苦手だから, 図を描いて そういう図って一番難しいやん 図 2 おうおう 図 3 f32: とりあえずここの頂点 2つは固定 ( 図 3, 右上, 左下の丸二つ ) それに接している 3つの頂点は等しく水に沈む ( 図 3に, 緑色と橙色の蛍光色をそれぞれ右上と左下に塗る ) 実際には, 上の緑色の3 辺は水には沈まないが, それについては議論の必要なく受け入れられていた f33: で, あと6 辺それぞれが, 等分されたそれぞれの所で水につかったらいいから, 断面はその中点を結んだこんな図になる ( 図 3に, 青色で六角形を書き込む 中央部 ) f34: で, これは1 辺 2 って考えたら, ここ1だから, 全部の長さが 2 になって正六角形になる f35: ていうのが, 俺の考え どう? d36: 俺も六角形だと思う e37: んー, なるほど e38: きたやん f39: きたね e40: 限りなく正解ってかんじ f41: どうですか? これでいいですか? d42: これでいいと思う 高校 1 年生 C r57: 上から吊して下ろしたら, 四角形になることは確かなんよ けど, 長さが分からん l58: 長さ? r59: だから, この辺の長さが ( 聞き取れない ) l60: 立方体だろ? r61: 四角形になる?( 半信半疑 ) o62: 四角形にはなる l106: 半分まで沈んでなかったら三角形じゃない? r109: あぁ, ここまでだったら三角形か l110: 三角形から, 最後三角形に戻る その間, どう 91

5 なってるかだよ l141: うーとね,3 点 ( 点 E,G,D) 越えてこの真ん中同士 ( 辺 AE,EF,CG,DCの中点 ) をとると長方形になるんだけど うーん, どうだろう ( 図 4) r148: で, この点の所で切れるとなると ( 辺 AE,E F,FG,GCの中点 ) なんか中途半端な形ができる気がする ( 図 5) l149: 俺はじめからそれを言ってるんよ とりあえず四角形の中途半端な形ができそう 全員 150:( しばらく個々で考える ) 図 4 図 5 図 6 l151: 六角形になるんじゃない? r152: 六角形? l153: だから,( 人差し指と親指を合わせたその指でフレームを辺 BF,FE FG,BC,CG CD, BA,AE ADと逆 Y 字になぞりながら ) こうなって, ちょっとずつ出るやん で, こう出て一点一点結んでいけばさぁ, 六角形になるんじゃない? r154: こう あぁ l155: 図を描いた方がわかりやすいかも 上から見たときに, この状態で, この3 点からちょっとずつこう見えるやん こんな感じで ( 図 7) で, これを全部つなげるとさ図 7 ぁ, 六角形になる でも正六角形じゃないよ r156: 正じゃないけど, 六角形になるんかぁ l157: うん, 六角形だと思うけど うん? 正六角形になるんかな? l167: だって, 中点中点やろ? 中点同士, 中点同士, 中点同士で あっそこの通る場所が違うから正六角形にはならんわ r168: 中点通るとは限らないんかなぁ? l169: だって, 半分じゃないとさぁいかんことない? l177: この3 点は沈むし, この3 点は上に出る r178: あぁ, そうかぁ l179: うん, 六にはなると思うんよ r180: 六角形? l181: うん, 六角形やろ r182: 正六にはならん? l183: うん, 正六にはならんけど, 六角形であることは間違いないと思う r184: あぁ, だったら3 辺が一緒でそれが交互に並んでるって l185: うん, だから, こことこことここは長さが同じだけど, ここだけちょっと長さが違うみたいな r186: そういう感じがする l187: うん, こんなやつになると思うんやけどな 向かい合う辺の長さは違うけど っていう感じ? だから, こんな感じになると思うんだけどな ( 図 8) 図 8 92

6 ***** ( 最初から計って31 分過ぎ ) ***** r232: 全部の中点で切れるとかじゃない気がする l233: うーん, 俺は中点で切れる気がする スパッと, 正六 r234: それで切れるとしたら計算できることない? l235: うん 計算できるはずだと思うけど (rとlは模型を使って考える oは個別に検討中 ) r240: うーん, 合いそうかな r241: てか, これさ, 中点同士が合って正六になるんじゃねえって, 今思ったんだけど どう? l242: そう中点同士 r243: うん, 中点同士じゃないとさ, だって半分沈めるって言う条件満たせんことない? l244: うーん ( 考える ) ( 最初から計って35 分過ぎ ) o254: 実際どんな形かを考えるんやろ? r255: うん どんな形か, だから証明いるんかなぁ? l261: 正六角形っぽい r262: うん, 正六角形だと思うんやけどな l263: 中点同士が結びつけば絶対そうなるよね r264: うん, でも中点同士じゃないところでやってしまうとならんし, l265: 中点ぽいよね ぽいでいいかどうか分からんけど r266: てか, 中点だと思うで, 本当に 中点じゃないとちょうど真ん中で沈まん l267: 真ん中やけん r268: ちょうど真ん中やけん, 半分沈むから, 真ん中のはずやけん l269: ( 聞き取れない ) r270: うん 中点で沈んでちょうど六になると思うんやけどな o271: これの証明って r272: そうか, 証明いるんか 証明どうしようかな l273: 証明 か (lは計算を中心に証明を考え,rはいくつか未熟な証明を提案するがどれもlとoに取り上げられない程度のものである oは個別に検討中 ) ( 最初から計って45 分経過 ) o302: 証明できる r303: できる? o304: 口頭ならできる 立体やろ 体積同じってことは, 半分だから, 上の立体と下の立体が同じ形になればいいんだろ全て さっき言いよったことを参考にして, 上 3 点と下 3 点は消して, この6つやろ, で, 中点だろ こことここ結ぶだろ l305: ん, ここ結んで, 結んで, 結んで (6 辺を示す ) o306: 同じ長さってことは直角二等辺やろ, 比で求めるとするならば, 今日やったように1:1: 2 で全部同じ長さってことになるやろ r307: ん, それでいいんやない? 結論 l308: うん ( 聞き取れない ) r309: そう考えんとできんよな 一応それを結論とする? l310: うん あぁなんか悔しい 図形を計算で求めたい 3. 調査過程の解釈とその整理 3.1. 高校 2 年生 A 93

7 表 2: 事例から見られた多様な共有過程 3.3. 高校 1 年生 C 4. 考察 3.2 高校 2 年生 B 4.1. 解決の共有過程は能力や発達段階によって線型的に特徴づけられるか 94

8 証明に対する認識の差

9 4.3. 非成功的な答えを共有した原因 a62:a 君の主張 b63:b 君の主張とその根拠 ( 論拠 : 模型の観察から, 1つの頂点から伸びた3 辺を水面は横切りながら上昇していくことがイメージできるから ) a64:b63に賛同することによって,a62の根拠を表明 ( 論拠 : 前述 ) c70:c 君の主張 a71 c72:c70の根拠 ( 論拠 : 半分沈むとき, 水面は立方体の中心を通っており, その中心は最下点と最上点の中点だから ) a73:c70の根拠のつづき ( 論拠 :1 辺を共有する正方形だから3つの面を構成する正方形はすべて合同であり, その対角線は同じだから ) 96

10 97 図 9 図 10

11 表 5: 問題解決に要した時間 P.Scott 5. おわりに -まとめと課題 - 謝辞 98

12 付記 B 引用 参考文献 pp. -. pp. -. pp. -. R.K... P.Scott, 'Talking a Way to Understanding in Science Classrooms', N. Mercer & S.Hodgkinson, "Exploring Talk in School", SAGE,. 99

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