2015-2018年度 2次数学セレクション(整数と数列)解答解説
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- うきえ ながおか
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1 05 次数学セレクション解答解説 [ 千葉大 文 ] () k を自然数, l, N を 0 以上の整数とするとき, k l+ l l (i) k= l+ のとき = = 8 = (7+ ) = (7N + ) = 7 N + これより, k を 7 で割った余りは である k l+ l l (ii) k= l+ のとき = = 4 8 = 4(7+ ) = 4(7N + ) = 7 4N + 4 これより, k を 7 で割った余りは 4 である k l+ l l (iii) k= l+ のとき = = 8 8 = 8(7+ ) = 8(7N + ) = 7(8N + ) + これより, k を 7 で割った余りは である (i)~(iii) より, k を 7 で割った余りが 4 のとき, k を で割った余りは である () m, を自然数で, 4m+ 5が で割り切れるとき, 4m+ 5= ( m+ ) + ( m- ) これより, m-は で割り切れる, すなわち m を で割った余りと を で割った余りは等しくなる そこで, m, を 0 以上の整数として, (i) m, を で割った余りが のとき m= m +, = + m = (m + )( + ) = ( m + m + ) + これより, m を で割った余りは である (ii) m, を で割った余りが のとき m= m +, = + m = (m + )( + ) = (m + m + + ) + これより, m を で割った余りは である (iii) m, を で割った余りが 0 のとき m= m +, = + m = (m + )( + ) = (m + m + + ) これより, m を で割った余りは 0 である (i)~(iii) より, m を で割った余りは 0 または であり, ではない したがって, () より, m を 7 で割った余りは 4 ではない テーマは整数の余りによる分類です () の最後の行は, () で証明した命題の対偶を利用しています なお, 合同式を用いて記述しても構いません -- 電送数学舎 05
2 05 次数学セレクション解答解説 [ 九州大 理 ] () が正の偶数のとき, l を自然数として, = lとおくと, l - = - = 4 - = (+ ) - l l l- l- l l l l- l- l- l- l l l l- = ( + C + C + + C + ) - = ( + C + C + + C ) よって, - は の倍数である () を自然数とするとき, + と -の最大公約数を g とおくと, + = g a, - = g b (a と b は互いに素 ) l -より, = g( a-b) となり, g = または g = である g = のとき, は + = a となり, 左辺は奇数, 右辺は偶数で成立しない よって, g = から, + と -は互いに素である () 異なる素数 p, q に対して, p - - = pq (i) p が偶数のとき p は素数より p =, すると, から - = q となり, 素数 q は存在しない (ii) p が奇数のとき p - は偶数となり, () の結果から p- -は の倍数である すると, から pq は の倍数となり, p = または q = である (ii-i) p = のとき は - = q となり, 素数 q は存在しない (ii-ii) q = のとき p は - - = 9p 4となり, k を自然数として, p= k+ とおくと, p - k k k - = - = ( + )( - ) () から k + と k k k -は互いに素で, 4は ( + )( - ) = 9(k + ) となり, k k ( +, - ) = (9, k + ) または (k +, 9) k k ( +, - ) = (9, k + ) のとき, k = すなわち p = 7 となる k k ( +, - ) = (k +, 9) のとき, 満たす k は存在しない (i)(ii) より, を満たす p, q の組は, ( p, q ) = (7, ) のみである 誘導つきの整数問題です なお, 4を満たす p を求めるために, () の結論を利用する方法で記しましたが, グラフをイメージして, 直接的に解いても構いません -- 電送数学舎 05
3 05 次数学セレクション解答解説 [ 京都大 理 ] a, b, c, d, e を正の実数とするとき, f ( x) = ax + bx+ c, g( x) = dx+ eに対して, f ( x ) を g( x ) で割った商を px + q, 余りを r とおくと, p, q, r は実数となり, f ( x) = g ( x)( px+ q) + r さて, ( x ) h( x) = f とおくと, から h( x) = px+ q+ r = px+ q+ r g( x ) g( x) dx+ e ここで, を 以上の整数とすると, 条件より, h( - ), h( ), h( + ) 整数なので, h( - ) + h( + ) - h( ) の値も整数となり, h( - ) + h( + ) - h( ) ( ) = p - p + q + r + p + p + q + r - p + q + r d- d+ e d+ d+ e d+ e = r + r - r d - d + e d + d + e d + e = dr ( d - d + e )( d + d + e )( d + e ) すると, 十分に大きい に対してもが整数となることより, r = 0 である よって, から, f ( x) = g( x)( px+ q) となり, f ( x ) は g( x ) で割り切れる はすべて 結論の r = 0 を示すために, h( ) の等差数列部分である p + q を消すことを考え, h( - ) + h( + ) - h( ) を計算しています そして, 得られた式がというわけ です 階差を 回とったと考えてもよいですが なお, 既視感があったので, 過去問を調べたところ, 99 年の後期に類題が出ていました -- 電送数学舎 05
4 05 次数学セレクション解答解説 4 [ 東北大 文 ] () 条件より, a - a a + a = ( a + a ) なので, a - a a + a = ( a + a ) - より, a+ - a - a ( a - a ) = ( a - a ) ここで, a+ > a+ > aから, a+ - a > 0 となり, a+ + a - a+ =, a+ + a = a+ + () より, a+ - a+ + a = となり, ( a+ -a+ ) -( a+ - a) = 4 ここで, b = a+ -aとおくと, 4より, b+ - b = となり, b = b + ( - ) 5 さて, より, a - a a + a = ( a + a ) となり, a = から, 9-6a + a = ( + a ), a - 9a = 0 すると, a > a = から a = 9 となり, b = a- a = 6 よって, 5から, b = 6 + ( - ) = ( + ) () () より, において, - a = + å ( k+ ) + ( = + -) ( ) = = ( ) + k= なお, この式は = のときも成立している 誘導つきの漸化式の問題です () の結果が () へとつながり, さらに () へとスムーズに解いていくことができます -4- 電送数学舎 05
5 05 次数学セレクション解答解説 5 [ 広島大 文 ] () r = log ( + ) = log ( + ) より, r + = log + ( + ) となり, r+ -r = log + ( + ) = log + ( + ) ( + ) よって, + r+ -r = ( + ) c () より, + - r = となり, + - c+ = r c c r + - r ここで, f ( ) = とおくと, c+ = f ( ) cとなり, において, さて, r - r r - r r - r r - r log ( + )- log log ( + )- c c = c f () f () f ( -) c - = = c = c = x - px+ q = 0 の実数解を, ( < ) とすると, - -4 p p q =, すると, c = p p q = = p -4q となり, log ( + ) - log ( + ) c = p - 4q = 4 = よって, より, c = = = ( + ) なお, は = のときも成立している () より, p - 4 q = ( + ) となり, そこで, p = のとき, p = となり, 4より, q { ( ) } = - + =- (+ ) ( ) p - q = + 4 次方程式の解を題材とした, 誘導つきの漸化式の問題です () の漸化式 c+ = f ( ) c を解くことがポイントとなっています 詳しくは ピンポイントレクチャー を参照してください -5- 電送数学舎 05
6 05 次数学セレクション解答解説 6 [ 千葉大 理 ] () b + 4c> 0のとき, x -bx- c= 0 の実数解, について, + = b, =- c 条件より, - - a = + から, と合わせて, - - ba+ + ca = ( + )( + )- ( + ) + + = ( + ) = + よって, a+ = ba+ + ca が成立する 0 0 () a がすべて整数のとき, から, a = + =, a + + = + = b これより b は整数となり, から, a = ba + ca, a4 = ba + caとなり, c= a- ba 4, bc = a4 - ba 5 また, から a = + = ( + ) - = b + cとなり, から, a5 = ba4 + ca, ( b + c) c= a - ba より, c, bc, ( b + c) cはすべて整数である さて, c が整数より, k を整数として c = k とおくことができる ここで, k が奇数と仮定すると, bc = bk が整数より b は偶数となる ( b + k) k ところが, ( b + c) c= は, 分子 ( b + k) kが奇数より, 整数ではない したがって, k は奇数ではなく偶数となり, c も整数である 逆に, b, c がともに整数であるとき, a =, a = bはともに整数であり, から, 帰納的に a ( =, 4, 5, ) はすべて整数となる 以上より, a がすべて整数であるための必要十分条件は, b, c がともに整数であることである 隣接 項間型の漸化式が題材となっている証明問題です () の設問は, 見かけよりは難しめで, 詰めに時間がかかりました -6- 電送数学舎 05
7 05 次数学セレクション解答解説 7 [ 東京大 理 ] () p+ + p+ + p + p =, p =, p+ = に対して, a = とおくと, p p+ p p+ + p+ + p+ p+ a+ = = + + p+ p+ p+ p+ p+ p+ p+ + p+ p p = + + p + p p+ + p+ ( p+ + ) ( p+ + ) + p+ p + p ( p+ + ) + p = = p+ p( p+ + ) p+ p = a これより, a a + + p+ + p + = = = となり, = p+ p () すべての自然数 に対し, 0 < p < p + であることを数学的帰納法で証明する (i) = のとき p =, p = より成立する (ii) = kのとき pk 0 < pk < p k + すなわち > と仮定すると, pk pk+ + pk+ pk+ pk+ 条件式より, pk+ = > から, > > となる pk pk pk+ pk (i)(ii) より, 0 < p < p + ( =,,, ) である さて, より, + p+ + p + = p p - p + p + = p p - ( ) - より, = ( + - -) p p p p p すると, p- < p < p+ より, p+ - p- > 0 なので, p+ + p- = p ( =,, 4, ) () () より, p =, p =, p+ = p+ - p ( =,,, ) ここで, q =, q =, q+ = q+ + q ( =,,, ) で定められる q に対して, p = q - であることを数学的帰納法で証明する (i) =, のとき p = q, q = q + q = から p = q となり成立する (ii) = k, k+ のとき pk = qk -, pk+ = qk+ と仮定する このとき, pk+ = pk+ - pk = qk+ -qk-となり, qk+ = qk+ + qk+ = qk+ + qk + qk+ = q + + q = qk+ + ( qk+ -qk-) = q k + - q k - (i)(ii) より, =,,, に対し, p = q - が成り立つ k k 複雑な漸化式ですが, 誘導に従うと道筋が見えてくるタイプです -7- 電送数学舎 05
8 06 次数学セレクション解答解説 8 [ 北海道大 文 ] () 自然数 x に対し, x x + が自然数であるためには, x x + が必要である x x +, x - x+ 0, ( x-)( x-) 0 よって, x となり, x = または x = である (i) x = のとき (ii) x = のとき x = = となり適する x + + x = 6 = となり適する x + 4+ (i)(ii) より, 求める x は, x =, である () 自然数 x, y に対し, x + が自然数である条件は, x + y (i) y = のとき y = から x x + が自然数となることより, () の結果から x =, (ii) y のとき 0 < y となり, (i) より x ¹, x ¹ なので, x である すると, () の結果から 0< x < となり, 0 x + < x x + y < から, + x + = (*) x + y (*) から, = - x = x - x+, y = x + y x + x + x - x + ここで, y から x + x - x+ となり, x - x+ = ( x-)( x- ) > 0より, x + ( x - x+ ), x - 6x+ 0 よって, - 7 x + 7 となり, x = または x = 4 または x = 5 (ii-i) x = のとき (ii-ii) x = 4 のとき (ii-iii) x = 5 のとき x = 9 x + x = = x + 8 x = 5 = 5 x となり, (*) より y = であるので不適 となり, (*) より y = であるので y = となり, (*) より 4 y = 9 (i)(ii) より, 求める ( x, y) は, ( x, y ) = (, ), (, ), (4, ) である であるので不適 値を絞り込むタイプの整数問題です 一見, 難問そうに見える () では, () での考察がたいへん役立っています なお, 記述は省きましたが, 方針を立てるとき, x に具体的な数値を入れて計算をしています -8- 電送数学舎 06
9 06 次数学セレクション解答解説 9 [ 大阪大 文 ] () 実数 a, k が a> 0, k のとき, 次方程式 x - kax+ a- k= 0 に対して, f ( x) = x - kax+ a-kとおくと, ( ) f - = + k+ a- k= + a> 0 a a a f () = - ka + a - k = ( a + )( -k ) 0 これより, は- <s を満たす実数解 s をもつ a () 整数 a,, k は, a,, k を満たすとする ここで, + aは a + で割り切れることから, - ka+ a- k= 0 + a= k( a+ ) と表せ, すると, は f ( ) = 0であり, さらに () から- <s なので, は異なる実数 a 解 s, ( s< ) をもつことになる さて, について, 解と係数の関係から s+ = kaとなり, s= ka- a,, k は整数なので, から s も整数となる さらに, a から- - <0 と a なり, - < s から s = 0, である a (i) s = 0 のとき f (0) = a- k= 0から k= aとなり, から = a そして, a 9 より は満たされている (ii) s = のとき f () = ( a+ )( - k) = 0 から k = となり, から = a- そして, a - より は満たされている (i)(ii) より, = a, a-である 一見, 無関係に思える つの小問です しかし, () を解いていくと, この整数問題への誘導として, () の 次方程式の解の配置についての設問がある, というのに気づきます -9- 電送数学舎 06
10 06 次数学セレクション解答解説 0 [ 神戸大 理 ] () (i) a = 8 = とb = 0 = 5 の公約数の集合 S は, S = {,,, 6} また, b = 0 = 5 と c =- 4 =- 7 の公約数の集合 T は, T = {,,, 6} (ii) a, b, c, p は 0 でない任意の整数, そして a と b の最大公約数を M, b と c の最大公約数を N とし, a = pb+ c を満たしている まず, N は b と c の公約数で, から N は a の約数でもある すると, N は a と b の公約数となり, a と b の最大公約数 M と比べると, N M である また, M は a と b の公約数で, から c= a-pbとなるので, M は c の約数でもあ る すると, M は b と c の公約数となり, b と c の最大公約数 N と比べると, M N である したがって, N M かつM N から, M = N である () (i) 0 でない任意の整数 l と m に対して, その最大公約数を G(, l m) で表す さて, a =, a = 4, a+ = 6a+ + a ( =,, ) で定められる自然数の列 { a } に対して, 帰納的に a ¹ 0 なので, () からG( a+, a+ ) = G( a+, a) G( a+, a) = G( a, a-) = =G( a, a) = G( a, a) = G(4, ) = (ii) a+ 4 = 6a+ + a+ = 6(6 a+ + a+ ) + a+ = 7a+ + 6a+ ここで, 6a + = a + -a から, a+ 4 = 7 a+ + ( a+ -a) = 8a + - a (iii) に () の結果を適用すると, G( a+ 4, a+ ) = G( a+, a) である ここで, a = 6a + a = 7, a4 = 6a + a = 66 なので, (a) が奇数のとき G( a, a ) G( a, a ) (b) が偶数のとき + = - = =G a a G( a, a ) G( a, a ) + = - = =G a4 a (, ) = G(7, ) = (, ) = G(66, 4) = ユークリッドの互除法に関する基本を確認した後, それを漸化式に適用する問題です 細かい誘導のため, 方針に迷いはないでしょう -0- 電送数学舎 06
11 06 次数学セレクション解答解説 [ 東京大 文 ] () を 0 で割った余りを a とすると, 数列 { a } は,, 9, 7,,, 9, 7,,, すると, { a } は, 9, 7, を繰り返す周期 4 の周期数列となるので, a = ( を 4 で割った余りが のとき ) a = 9 ( を 4 で割った余りが のとき ) a = 7 ( を 4 で割った余りが のとき ) a = ( を 4 で割った余りが 0 のとき ) () を 4 で割った余りをb とすると, 数列 { b } は,,,,,,, すると, { b } は, を繰り返す周期 の周期数列と予測できる そこで, + と の関係を調べると, + = (4 ) 9 = + = 4 + (*) (*) より, 4 は 4 の倍数であるので, った余りは等しい これより, { b } は周期 の周期数列となり, b = ( を で割った余りが のとき ) b = ( を で割った余りが 0 のとき ) () x =, x x + = で定義された数列 { x } に対して, x x x = = =, + を 4 で割った余りと を 4 で割 x 7 x = = = 7, x 4 = =, すると, の奇数乗は奇数より, 帰納的に x は奇数である よって, () の結論から, x を 4 で割った余りは である すなわち x x + = から, x ( ) を 4 で割った余りは である さらに, この結果を () の結論に適用すると, x を 0 で割った余りは 7 である すなわち x x + = から, x ( ) を 0 で割った余りは 7 である したがって, x0 を 0 で割った余りは 7 である 整数と数列の融合問題です 一見, 関連のわからない () と () の結果が, () でうまく利用できる誘導となっています -- 電送数学舎 06
12 06 次数学セレクション解答解説 [ 九州大 ] () 0 を で割った余りが a より, + = 0( q a) q を自然数として, 0 = q + a と表せ, = + = (0 q ) + 0a すると, 0 + を で割った余り a + は, 0a を で割った余りに等しい () 0 を で割った余りは 0 より, a = 0 である そして, () の結論を当てはめていくと, a は0a = 00 を で割った余りに等しく, 00 = より a = 9 である 0a = 90 を で割った余り (90= 6+ ) より, a = である a は 0a = 0 を で割った余り (0 = 9 + ) より, a 4 = である a4 は 0a = 0 を で割った余り (0= + 4) より, a 5 = 4 である a5 は 4 0a = 40 を で割った余り (40= + ) より, a 6 = である a6 は 5 () 自然数 N を十進法で表示したとき, 最初の桁の数字を k ( k 9), 最後の桁の数字を l (0 l 9) とおくと, 条件 (i)(ii) より, 5 4 N = k l ここで, () の結論を合同式を用い, mod で記すと, 5 0 º 4, 4 0 º, 0 º, 0 º 9, 0 º 0 これより, N º 4k l = 4k+ l+ 75 º 4k+ l+ 0 さらに, 条件 (iii) から N が で割り切れることから, 4k+ l+ 0が の倍数と なり, 4 4k+ l より, (a) 4k+ l+ 0 = 6 のとき 4k+ l= 6から ( k, l ) = (, 8), (, 4 ), ( 4, 0) (b) 4k+ l+ 0 = 9 のとき 4k+ l= 9から ( k, l ) = (5, 9), ( 6, 5), (7, ) (c) 4k+ l+ 0 = 5 のとき 4k+ l= 4から ( k, l ) = (9, 6) (a)~(c) より, 求める自然数 N は, 068, 064, 4060, 5069, 6065, 706, 9066 うまく誘導のついた整数問題です なお, () の不定方程式は, 一般的に解くよりは, 値を絞り込んで数値を代入していった方が簡単です また, () から合同式を利用してもよかったのですが -- 電送数学舎 06
13 06 次数学セレクション解答解説 [ 東北大 理 ] () 6 以上の整数 に対して, > + 7が成り立つことを数学的帰納法で示す (i) = 6 のとき = 64, + 7= 4より成り立つ k k (ii) = kのとき > k + 7と仮定すると, + > ( k + 7) となり, すると, ( k + 7) -{( k+ ) + 7} = k - k+ 6 = k( k- ) + 6 > 0 ( k + 7) > ( k+ ) + 7から, k + > + + ( k ) 7 これより, = k+ のときも成り立つ (i)(ii) より, 6 以上の整数 に対して, > + 7が成り立つ q p () 素数 p, q に対して, p = q + 7 q (i) p = のとき から = q + 7 q () から q 6 すなわち7 以上の素数について, > q + 7となりは成立しない そこで, q =,, 5 のときを調べる (a) q = のとき q = 4, q + 7= となり, は成立しない (b) q = のとき q = 8, q + 7= 6となり, は成立しない (c) q = 5 のとき q =, q + 7= となり, は成立する (ii) p のとき p は奇数となり, q すなわち q も奇数の場合については, p q はともに奇数から, は両辺の偶奇が異なり, 成立しない そこで, q = のときについて, から p p = + 7 p () から p 6 すなわち7 以上の素数について, + 7 > ( p + 7) + 7となりは成 立しない そこで, p =, 5 のときを調べる (a) p = のとき p = 9, + 7= 5となり, は成立しない (b) p = 5 のとき p = 5, + 7= 9となり, は成立しない (i)(ii) より, を満たす素数 p, q は, ( p, q ) = (, 5) のみである q p, 素数が題材の誘導つき不定方程式の問題です 素数で偶数なのは だけということ がポイントになっています なお, () で p と q の偶奇が異なる点に注目すると, 少 し解答例を短縮できます q p -- 電送数学舎 06
14 06 次数学セレクション解答解説 4 [ 東京工大 ] () が素数のとき, より小さい自然数 -, -, -,,,, は, いずれも と互いに素である すると, それらの数の積 ( -)! は と互いに素になり, で割り切れない また, = 4 のとき ( - )! =! = 6は で割り切れない () 素数でなくかつ 4 でもない は, 6 以上の合成数であり, (i) = pq( p は 以上の自然数, q は 以上の自然数, p¹ q ) のとき ( - )! = ( pq-)( pq-)( pq-) となり, pq - p = p( q -) は p の倍数, pq - q = q( p -) は q の倍数であるので, ( -)! は = pqで割り切れる (ii) = r ( r は 以上の素数 ) のとき ( - )! = ( r -)( r -)( r -) となり, r - r = r( r-) は r の倍数, r - r = r( r-) は r の倍数であるので, ( -)! は = r で割り切れる (i)(ii) より, が素数でなくかつ 4 でもないとき, ( -)! は で割り切れる 整数からむ証明問題です 方針を立てるために, まず具体例を考え, それを一般化して解答例を作りました -4- 電送数学舎 06
15 06 次数学セレクション解答解説 5 [ 京都大 理 ] q p 素数 p, q に対して, = p + q とおく ここで, が素数である p, q の条件を求めるとき, 対称性から p qとしても一般性は失われない まず, p が 以上のときは, 素数 p, q はともに奇数になり, ある よって, は偶数となり素数ではない これより, p = となり, さらに, q = のときは, また, q = のときは, q = + q と表される q p, = + = 8となり, は素数ではない = + = 7となり, は素数となる p q もともに奇数で さて, q が 5 以上の素数のとき, の倍数でもなく, かつ の倍数でもないことに着目すると, k を自然数として, q= 6k と表せる (i) q= 6k+ のとき 6k+ = + (6k+ ) k = k + k+ k ここで, N を整数とすると, 64 = ( + ) = N + となるので, = (N + ) + 6k + k+ = (N + k + 4k+ ) よって, は の倍数となり, 素数ではない (ii) q= 6k-のとき 6k- = + (6k-) ここで, N を整数とすると, k- = k - k+ k- k- k 64 = ( + ) = N + となるので, = (N + ) + 6k - k+ = (N + k - 4k+ ) よって, は の倍数となり, 素数ではない (i)(ii) より, q が 5 以上の素数のとき, は素数にならない 以上より, p q p + q と表される素数は 7 だけである 演習しておきたい素数がらみの整数問題です まず, 以外の素数は奇数という頻出事項でふるいにかけて p の値を決め, 次に q の値を,, 5, 7, として の値を計算すると, 5 以上では の倍数であることがわかります ただ, q が奇数ということだけでは, q = 9 で が素数となることから考え直し, その結果, q を 6 で割った余りで 分類とした解答例となったわけです なお, 二項展開を用いる箇所は, 省略気味に記しています -5- 電送数学舎 06
16 06 次数学セレクション解答解説 6 [ 名古屋大 文 ] () k を正の整数, p を 以上の素数とするとき, k p の正の約数は, (),,,, k, k したがって, その和 s( p) は,,,,, k p p p p k + - k k s( p) = ( )( + p) ( ) k+ = + p = ( - )( + p) = 7 より, その正の約数の和 s(06) は, 4 5 s (06) = ( )(+ + )(+ 7) = 6 8 = 655 () 06 の正の約数 は, () から a, b, c を整数として, a b c = 7 (0 a 5, 0 b, 0 c ) すると, の正の約数の和 s( ) は, a+ b+ c+ s( ) = ( a+ )( b+ )(7 c+ = ) 条件より, s( ) = 06 なので, ( a+ )( b+ )(7 c ) = 7 ここで, a+ b+ c+ 7 ( -)( -)(7 - ) = 7 (*) a+ -は奇数で b+ -と 7 c+ -は偶数, そして b+ -と 7 c+ -は 7 の倍数とはなりえないので, すると, (i) (ii) (iii) (iv) a+ -の値として, 7, 7, a+ - = 7のとき c = 0 のとき, c = のとき, a+ - = 7のとき a+ -が 7 の倍数となる 7, 7があげられる b+ a = となり, (*) は c+ ( -)(7 - ) = 7 6 b+ - = となり, b+ - = となり, a+ - = 7のとき 5 c = 0 のとき, c = のとき, 6 b+ - = となり, b+ = 577 より整数 b は存在しない b+ = 7より整数 b は存在しない a+ = より整数 a は存在しない b+ a = となり, (*) は ( c+ -)(7 - ) = 7 b+ - = となり, b = a+ - = 7のとき (i)~(iv) より, ( a, b, c ) = (5,, ) となり, b+ = 65より整数 b は存在しない である a+ = 90より整数 a は存在しない 5 = 7 = 67 である 正の約数すべての和という頻出事項が題材になっています () については, まず偶奇でふるいにかけたところ絞り込みが足らず, まだ候補が多いので, 次に 7 の倍数に注目しています -6- 電送数学舎 06
17 07 次数学セレクション解答解説 7 [ 一橋大 ] 連立方程式 x = yz+ 7, y = zx+ 7, z = xy+ 7 に対して, -より, x - y = z( y- x), ( x- y)( x+ y+ z) = 0 4 -より, y - z = x( z- y), ( y - z)( x+ y+ z) = 0 5 (i) x+ y+ z ¹ 0 のとき 45より x = y= zとなり, に代入すると x = x + 7 となり, 成立しない (ii) x+ y+ z = 0 のとき 45は満たされ, y =- ( x+ z) としてに代入すると, x + zx+ z - 7= 0 6 ここで, x は実数より, z -8 0, D= z -4( z -7) 0 となり, z 8 7 x =- ( x+ z) z+ 7となり, さて, 整数 x, y, z は, x+ y+ z = 0 かつ x y z より, x 0, 0 z 78より, z = 0,,, となる (ii-i) z = 0 のとき 6より x = 7 となり, x が整数というのに反する (ii-ii) z = のとき 6より x + x- 6= 0となり, ( x+ )( x- ) = 0 8から x =-, y =-( - + ) = となるが, x y z に反する (ii-iii) z = のとき 6より x + x- = 0となり, ( x+ )( x- ) = 0 8から x =-, y =-( - + ) = となり, x y z を満たす (ii-iv) z = のとき 6より x + x+ = 0となり, ( x+ )( x+ ) = 0 8から x =-, - となる x =-のとき, y =-( - + ) =-となり, x y z を満たす x =-のとき, y =-( - + ) =-となり, x y z に反する (i)(ii) より, ( x, y, z ) = (-,, ), (-, -, ) 8 連立方程式をまとめる問題です 上の解答例では, 8の条件に着目して, まず y を消去し, 0 以上である z の値から求めています -7-
18 07 次数学セレクション解答解説 8 [ 北海道大 理 ] () 自然数 a,, k に対して, ( + ) + a= ( + k) のとき, a= ( + k) - ( + ) = k + k - = k + (k- ) ここで,, k - より, ( k-) k- となり, a k + k- () が自然数で ( + ) + 4が平方数のとき, ( + ) + 4 = ( + k) (k は自然数 ) ( + ) + 4> より, から, すると, から, 4 k + k- となり, k + k-5 0 ( k+ 5)( k-) 0, -5 k k は自然数から, k =,, となる (i) k = のとき から, ( + ) + 4 = ( + ) となり, = (ii) k = のとき から, ( + ) + 4 = ( + ) となり, = 0 (iii) k = のとき から, ( + ) + 4 = ( + ) となり, = (i)~(iii) より, =, である より不適 整数問題ですが, () の誘導が強力なため, 基本的な内容になっています -8-
19 07 次数学セレクション解答解説 9 [ 九州大 文 ] () 自然数 a と b の最大公約数を G( a, b) と表すと, ユークリッドの互除法より, G(07, 5) = G(5, 7) = G( 7, 8) = G(8, ) = () 5 = 5 を約数にもつ 07 以下の自然数は, すると, 5, 5, 5,, = 5 から, 5 との最大公約数が 5 である自然数の個数は, 4 以下の自然数で の倍数でも 5 の倍数でもないものの個数となる ここで, 4 以下の自然数で の倍数となるものが 44 個, 5 の倍数となるものが 6 個, 5 の倍数となるものが 8 個である よって, 求める自然数の個数は, 4 -( ) = 7 である () = 7 を約数にもつ 07 以下の自然数は,,,,, ) 7 ) 5 ) すると, 998 = から, 998 との最大公約数が の自然数は, 8 以下の自然数で の倍数でも の倍数でもない数と との積になり,, 5, 7,,, 7 さらに, 5 との最大公約数が 5 から, 求める自然数は 5 = 555 である 約数と倍数の問題です () は年度の数が題材になっているため, 07 が素数という知識をもっていたとしても不思議ではありません ただ, これをストレートに利用して, いきなり結論とするのは避けた方がよいでしょう ふるい にかけて示せば別ですが -9-
20 07 次数学セレクション解答解説 0 [ 筑波大 理 ] () a =, a =, a = a - a a + a + a に対して, a - a = ( a - a ) b ここで, b = a+ -aとおくと, b = 0, b + = よって, 帰納的に, b 0 ( =,, ) である () 以下, b の一の位の数が であることを数学的帰納法を用いて証明する (i) = のとき b = より成立している (ii) = kのとき bk の一の位の数が であると仮定する これより, lk を 0 以上の整数として, bk = 0lk + とおくと, から, b k+ = bk = (0 + ) l k k = 00l + 0l + = 0(0l + l + ) + よって, b k + の一の位の数は である (i)(ii) より, b の一の位の数は である () () より, l を 0 以上の整数として, b = 0l + とおくことができ, a + - a = 0 + すると, において, から, a 07 l 06 å lk k= k - k= k a = a + å (0lk + ) となり, 06 k k= 06 å ( å k ) = = 0 l + 40 = 0 l したがって, a07 の一の位の数は である k= k 整数と漸化式の融合問題です () は簡単に記しましたが, 丁寧に書くなら数学的帰納法です また, ()() は合同式を用いると, 少し簡略になります -0-
21 07 次数学セレクション解答解説 [ 東京大 ] p = +, a p ( ) () 5 = + - に対し, q =- =- = - 5とおくと, p p + 5 a = p + q = (+ 5) + (- 5) これより, a = (+ 5) + (- 5) = 4, () で, aa ( )( = p+ q p + q ) a = (+ 5) + (- 5) = 8となる = p + q + pq( p + q ) すると, pq =-より, aa = a+ - a- () () より, a = a + -a -となり, a + = 4a + a - ( ) 4 ここで, a は自然数であることを数学的帰納法を用いて示す (i) =, のとき () より a は自然数である (ii) = k-, k ( k ) のとき ak-, akがともに自然数であると仮定する より, ak+ = 4ak + ak-となるので, a k + も自然数である (i)(ii) より, a は自然数である (4) まず, () より, a と a の最大公約数は である そして, a と a がともに偶数のとき, から, 帰納的に, すべての a は偶数であることがわかる そこで, a = b とおくと, すべてのb は自然数となり, b = 4, b = 8, b = 4 b + b から, + - b =, b = 9, b + = 4b + b - ( ) さて, b + とb が互いに素でないと仮定すると, 以上の自然数 g を用いて, b = g, b = g b ( b +, + b+ b は自然数 ) より, b- = b+ -4b = g( b+ -4 b ) となり, b - も約数 g をもつ 同様に繰り返すと, b とb はともに 以上の約数 g をもつことになるが, b =, b = 9 より不適である よって, b + とb は互いに素である 以上より, a + と a の最大公約数は である a の式から隣接 項間型漸化式を導き, この式と最大公約数を絡めた頻出問題です たとえば, 昨年は神戸大 理で類題が出ています --
22 07 次数学セレクション解答解説 [ 九州大 理 ] () 初項, 公差 4 の等差数列 { a } の一般項は, a = + 4( -) = 4 - さて, a が 7 の倍数となるのは, k を自然数として, 4- = 7k ここで, 4 - ( ) - = 7 - ( ) から, を変形すると, 4( + ) = 7( k+ ) すると, 4 と 7 は互いに素より, l を整数として + = 7l, k+ = 4lとなり, = 7l-, k= 4l- そこで, 600, k から, 7l - 600, 4l - となり, l 60 = これより, l =,,, 85 となり, 7 の倍数である項の個数は 85 である () { a } の初項から第 600 項のうち, 7 の倍数の項を取り出してb l とおくと, bl = a7l = 4(7l-) - = 8l -7 = 7(4l - ) ( l =,,, 85) - さて, a が7 の倍数, すなわちb l が 7 の倍数となるのは, m を自然数として, 4l- = 7m ここで, 4 - = 7 から, を変形すると, 4( l- ) = 7( m- ) すると, 4 と 7 は互いに素より, p を整数として l- = 7p, m- = 4pとなり, l= 7p+, m= 4p+ そこで, l 85, m から, 7p + 85, 4p + となり, 0 p 8 = これより, p = 0,,, となり, 7 の倍数である項の個数は である () a が 7 の倍数のとき, = 7l- ( l ) となり, この を書き並べると, 6,, 0, 7, 4, 4, 48 55, 6, 69, 76, 8, 90, 97 04,, 8, そして, この数列を 7 個ずつの区画に分け, 左から第 群, 第 群, と呼ぶ また, a が7 の倍数の項を取り出して c p とおくと, l= 7p+ から, = 7(7p+ ) - = 49p + ( p 0) すると, 上記の数列の下線をつけた数が対応して, さらに, cp = a49 p = 4(49p+ ) - = 96p + 49 = 7(4p+ ) ( p 0) + 0 以上の整数として, a が7 の倍数, すなわち c p が 7 の倍数になるのは, 同様にすると, q を 4p+ = 7q 4 そして, 4を満たす最小の p, q の値は ( p, q ) = (5, ) であり, このときの は, = = 58 となり, a 58 = = 09= 7 である --
23 07 次数学セレクション解答解説 この = 58 は, 7l - = 58からl = 7 となり, 上記の数列の第 6 群に属することがわかる さて, 積 aa a が7 45 の倍数となる最小の自然数 については, 素因数 7 の個数に注目し, これが合計 45 個以上となる最小の を考えればよい まず, 第 5 群までは a に7 の倍数がないので, つの群内に素因数 7 が7+ = 8 個ずつとなり, その総数は 8 5= 40個である すると, 素因数 7 の残り 5 個について調べるために, 第 6 群を書き並べると, 5, 58, 65, 7, これより, a5 は 7 の倍数, a58 は7 の倍数, a65 は 7 の倍数, となるので, 積 a5a58a65 に素因数 7 が 5 個あることがわかる 以上より, 積 aa a が7 45 の倍数となる最小の自然数 は, = 65 である 整数と数列の融合問題です 解答例では, 頻出の () の結果を利用して, () につなげています なお, () は群数列の考え方をもとにしていますが, 45 という数値が意味深長で, 詰めがかなり面倒でした --
24 07 次数学セレクション解答解説 [ 名古屋大 文 ] () 条件 (*) から, 自然数 a, b, cに対し, a< b< cかつ + + = a b c すると, > > > 0 となるので, から a b c a >, すなわち a < 6 また, + > 0 なので, から b c a <, すなわち a > より < a < 6となり, a =, 4, 5 である (i) a = のとき より + b + c = から, + = b c 6 となり, bc -6b - 6c = 0, ( b-6)( c- 6) = 6 ここで, < b< cから- < b- 6< c-6となり, ( b-6, c- 6) = (, 6), (, 8), (, ), ( 4, 9) よって, ( b, c ) = (7, 4), ( 8, 4 ), ( 9, 8), (0, 5) (ii) a = 4 のとき より 4 + b + c = から, + = b c 4 となり, bc -4b - 4c = 0, ( b-4 )( c- 4 ) = 6 ここで, 4 < b< cから 0< b- 4< c-4となり, ( b-4, c- 4) = (, 6), (, 8) よって, ( b, c ) = (5, 0 ), ( 6, ) (iii) a = 5 のとき より 5 b c b c 0 bc -0b - 0c = 0, 9bc -0b - 0c = 0, (b-0)(c- 0) = 00 5 < b< cから 5< b- 0< c-0となり, 適する (b-0, c-0) はない (i)~(iii) より, 自然数の組 ( a, b, c) は, ( a, b, c ) = (, 7, 4), (, 8, 4), (, 9, 8), (, 0, 5), (4, 5, 0), (4, 6, ) () の正の約数 p, q, r に対し, p> q> r かつ p+ q+ r = 4を満たす ( p, q, r) の個数を f ( ) とすると, 4から, p q + + r = 5 ここで, a p =, b q =, c r = とおくと, b, c は自然数となり, さらに, p> q> rから, < < すなわち a< b< cである p q r さらに, 5を a, b, cで表すと, + + = である a b c すなわち, 自然数の組 ( p, q, r) は, 条件 (*) を満たす自然数の組 ( a, b, c) に対応し, その個数 f ( ) の最大値 M は, () の結果から M 6 である -4-
25 07 次数学セレクション解答解説 以下, この 6 つの場合について, の条件を求める (i) ( a, b, c ) = (, 7, 4) のとき p =, 7 q =, 4 r = より, p=, 7q =, r= よって, このとき は の倍数である (ii) ( a, b, c ) = (, 8, 4) のとき p =, 8 q =, 4 r = より, p=, 4q=, r= よって, このとき は の倍数である (iii) ( a, b, c ) = (, 9, 8) のとき p =, 9 q =, 8 r = より, p=, 9q =, 9r= よって, このとき は 9 の倍数である (iv) ( a, b, c ) = (, 0, 5) のとき p =, 0 q =, 5 r = より, p=, 5q =, 5r= よって, このとき は 5 の倍数である (v) ( a, b, c ) = (4, 5, 0) のとき 4 p =, 5 q =, 0 r = より, p=, 5q=, 0r= よって, このとき は 0 の倍数である (vi) ( a, b, c ) = (4, 6, ) のとき 4 p =, 6 q =, r = より, p=, q=, 6r= よって, このとき は 6 の倍数である (i)~(vi) より, 自然数 が上記の条件をすべて満たすとき M = 6 となる ここで, = 7, =, 9=, 5 = 5, 0 = 5, 6= から, が 5 7 = 60 の倍数のとき, 条件をすべて満たす 以上より, M = 6 で, f ( ) = 6 となる最小の は = 60 である 質, 量ともにかなりハードな整数問題です ただ, () が () への秀逸な誘導となっており, 入試までに演習したい 題です なお, () は, 場合分けしたあと分母を払って因数分解をしていますが, 不等式を用いて評価しても構いません -5-
26 08 次数学セレクション解答解説 4 [ 九州大 文 ] () mod7 で記すと º から, を 7 で割った余り r は, k を 0 以上の整数として, (i) = k+ のとき k k k = ( ) º º より, r = (ii) = k+ のとき k k k = ( ) 4º 4º 4より, r = 4 (iii) = k+ のとき k+ k+ k+ = ( ) º º より, r = () m = () を 0 進法で表し, mod7 で記すと, m = º = 0 º したがって, m を 7 で割った余りは である 基本的な整数問題です いろいろな記述方法が考えられますが, 解答例では合同式を用いました -6- 電送数学舎 08
27 08 次数学セレクション解答解説 5 [ 京都大 ] 以下,mod で記すと, 9º 0に注意して, (i) º 0 のとき º = 0 (ii) º のとき º =- 6º 0 (iii) º のとき º =- 6º 0 (i)~(iii) より, はつねに の倍数である すると, が素数となるのは, = 0, ( -)( - )( + ) = 0 以上より, 求める整数 は, =,, - である = の場合だけであり, まず, の因数分解を考えたところうまくいかなかったため, 次の手は, = 0,,,, として実験です すると, すべて の倍数になることがわか り -7- 電送数学舎 08
28 08 次数学セレクション解答解説 6 [ 名古屋大 文 ] () 整数, の少なくとも一方が奇数のとき, 次の つの場合に分けて調べる (i), がともに奇数のとき,, はすべて奇数より, (ii) が偶数, が奇数のとき, は偶数, は奇数より, (iii) が奇数, が偶数のとき は奇数,, は偶数より, + + は奇数である + + は奇数である + + は奇数である (i)~(iii) より, いずれの場合も + + は奇数である () 条件より, 奇数 に対して, + + = まず, () より, 整数, の少なくとも一方が奇数のとき, + + は奇数 となるので, は成立しない これより, を満たす整数, は, ともに偶数である しかし,, がともに偶数のとき,,, はすべて 4 の倍数となり, + + は 4 の倍数である よって, は成立しない 以上より, を満たす整数, は存在しない () 次方程式 x - 08x+ c= 0 (c は実数 ) の解を, x =,, とおくと, + + = 0, + + =- 08 より =- ( + ) となり, に代入すると, -( + ) =- 08, + + = 08 4 ここで, 08 = 009 なので, () から4を満たす整数, は存在しない すなわち,,, のうち整数となるのは 個以下である 細かく誘導のついた整数問題です 方針に迷うことはないでしょう -8- 電送数学舎 08
29 08 次数学セレクション解答解説 7 [ 東北大 理 ] a b () 整数 a, b に対して, - = より, = + a b すると, = + > となるので, a であり, このときより, b a = - - = よって, b であり, a, b はともに正となる () b > すなわちb のとき, b が 4 の倍数であることに着目して, 以下, mod 4 で記述すると, の右辺は b + º である ここで, k を自然数として a を偶奇に分け, 9º に注意すると, (i) a= k のとき a k k k = = 9 º º ( ) (ii) a= k-のとき k- = = º º (i)(ii) より, が成り立つのは, a が偶数のときである () () より, a, b はともに自然数なので, (i) b = のとき より = + = となり, a = である (ii) b のとき () より a= k となり, より, k b k k b = +, ( - )( + ) = k k ここで, ( + ) -( - ) = であり, さらに b の約数が,,,, b であ ることに着目すると, より, k - =, k + = これより, k = から a = となり, また = b からb = である (i)(ii) より, ( a, b ) = (, ), (, ) a b 整数問題に誘導がついているものの, それがアバウトなタイプです そのため, 方針を決めるのに試行錯誤が必要になります -9- 電送数学舎 08
30 08 次数学セレクション解答解説 8 [ 千葉大 文 ] () 初項, 公差 6 である等差数列 { a } について, a = + 6( - ) = 6-5 また, 初項, 公差 4 である等差数列 { bm } について, bm = + 4( m- ) = 4m- ここで, { a }, { bm } { ck } とすると, a = bmから, に共通に現れる数すべてを小さい順に並べてできる数列を 6-5= 4m-, - m= を満たす つの解が (, m ) = (, ) より, - = より, ( -) -( m- ) = 0, ( - ) = ( m- ) ここで, と は互いに素なので, j を整数として, - = j, m- = jから, = j+, m= j+ ここで, m, より j 0 となるので, k= j+ とおくと, より, = ( k- ) + = k, m= ( k- ) + = k- よって, { ck } の一般項は, ck = ak = k-5 である () まず, { a }, { bm } の少なくとも つの項になっている数すべてを小さい順に並べてできる数列を { dl } とする ここで, ck = ak = bk - に注意して, { dl } の d 以降を項数 4 のグループに分け, c = 7 から 4 項を第 群, c = 9 から 4 項を第 群, c = から 4 項を第 群, と呼ぶ, 7,,, 5 9,, 5, 7, 5, 7, 9 第 群第 群第 群 さて, d000 が第 i 群に属するとすると, + 4( i- ) < i から, i = 50 となり, 第 50 群に属する さらに, 000 -( ) = から, 第 50 群の 項目となるので, d000 = c = ( 50-5) + 4 = 999 また, d00 は第 50 群の 項目となるので, d000 = c = ( 50-5) + 6 = 00 つの等差数列の共通数列が題材です () は頻出題ですが, () はあまり見かけませ ん 解答例では, { ck } に注目し, 群数列の考え方を利用して記しました -0- 電送数学舎 08
31 08 次数学セレクション解答解説 9 [ 東京大 理 ] + () C + P ( + )! a = = = に対して, のとき,! (!) (!) ( + )! a (+ )! {( -)!}! (+ ) ( + ) = = = = + a - (!) ( + )! (-)! ( + ) ( + ) ( + ) ここで, と + の最大公約数を g, i と j を自然数とすると, = g i, + = g j すると, = g ( j- i) となり g =, すなわち と + は互いに素である また, + と + の最大公約数を g, k と l を自然数とすると, + = g k, + = g l すると, = g ( k-l) となり g =, すなわち + と + は互いに素である さらに, ( + ) が偶数であることより ( + ) は自然数となり, また ( + ) a q と + は互いに素なので, 既約分数を用いて = と表したとき, a - p ( + ) p =, q = + a () まず, < とすると, ( + ) < ( + ) から, -- > 0 a - より > + 7 となり, は 4 以上の整数となる これより, 4 のとき a < a - となり, a > a4 > a5 > > 0 であり, P 5P 7P a = =, a = = 5, 5 (!) (!) a = (!) = 6, 9P4 a 4 = = (4!) 4 a P = (5!) = 0, a 7P8 4 8 = (8!) = 40 < a P6 4 6 = (6!) = 60, 5P7 a 4 7 = = (7!) よって, > a8 > a9 > > 0となるので, a が整数となるのは =, である 二項係数を題材にした数列の問題です 誘導の丁寧な類題が文系で出ており, それに引きずられた解法です 数値計算は少し面倒でした 漸化式を利用してもよかったのですが -- 電送数学舎 08
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2 逆行列 逆行列の計算は 連立一次方程式を数値的に解くために利用される 気象学の分野では線形系の応答問題を数値的に解くときに用いられることも多い ここでは計算機を用いて逆行列を求める方法を学ぶ 2.1 はじめにたとえば 次のような連立一次方程式を解くことを考える このような 2 元連立一次方程式は 代入法や消去法によって容易に解くことができる 解法をプログラミング言語によって記述することも困難ではない
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1 ⑴ 与式 =- 5 35 +14 35 =9 35 1 ⑵ 与式 =9-(-5)=9+5=14 1 ⑶ 与式 = 4(a-b)-3(5a-3b) = 8a-4b-15a+9b = -7a+5b 1 1 1 1 ⑷ 与式 =(²+ 1+1²)-{²+(-3+)+(-3) } 1 ⑷ 与式 =(²++1)-(²--6)=²++1-²++6=3+7 1 ⑸ 与式 = - ² + 16 = - +16
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