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1 (version 2011/9/27)

2 2 1 H i

3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 22 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 23 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 24 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 25 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8 26 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 27 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 28 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31 ii

4 45 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Maxwell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Landau : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 75 iii

5 83 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : (Wikipedia ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 81 9 minimum : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 100 iv

6 1113 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Legendre : : : : : : : : : : : : : : Legendre : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Maxwell : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 129 v

7 vi

8 x y z a b c

9 t! t 100 A B 100% 100% A A

10 A B C A U s I U(s)ds = U(A! A) (11) = U(A! B)ds + U(B! C)ds + ::: + U(X! A)ds (12) = f[u(b) U(A)] + [U(C) U(B)] + ::: [U(A) U(X)]g ds (13) = U(A) U(A) =0 (14) ds = d0 Q (15) d 0 Q ds ' ds d0 Q (16) (16) (15) du du = d 0 Q + d 0 W (17) d 0 W (16) 3

11 (16) 4

12 2 21 U V N 1 N 2 (U; V; N 1 ;N 2 ;:::) U U 22 5

13 220-1: p V ± ± ± 6

14 p V 230-2: ± ± pdv p dv p = nr (21) V 230-3) 7

15 p 230-3: V 24 ff ff 0 fi fi 0 ff 0 ff fi 0 fi (ff; fi)! (ff 0 ;fi 0 )

16 26 1 du = A(x)dx (22) A(x) u x f(x) =Z x A(x 0 )dx 0 (23) u = f(x) (24) 2 du = A(x; y; :::)dx + B(x; y; :::)dy + ::: (25) u = f(x; y; :::) (26) f(x; y; :::) (26) 2 f=@x@y (27) 27 F dr d 0 W = F dr (28) d 0 W 0 V (r) F = d V (r) (29) dr 9

17 Z dw = Z r1 r 0 d dr V (r) dr = V (r 0) V (r 1 ) (210) r 0 r cal = 4:1855J (211) 1 A B x x A B x Z B A dx = x(b) x(a) (212) x dx (213) A B C A x I dx = x(a) x(a) =0 (214) A H A A A 28 (;V;N) 10

18 29 A B B C A C : A = B ; B = C A = C (215) y y Celsius K t = 273:15 + t (216) 11

19 3 31 d 0 Q d 0 W du du = d 0 Q d 0 W (31) d 0 W < 0 (31) d 0 W d 0 Q 311 (31) d 0 Q =0 du = d 0 W (32) A B Z B A du = U(B) U(A) (33) Z B W d 0 W = U(B) U(A) (34) A 12

20 A B Z B A d 0 Q = Z B A du Z B A = U(B) U(A) d 0 W (35) Z B A d 0 W (36) A B C A C W A!B!C = W A!B W B!C = U(B) U(A)+U(C) U(B) (37) = U(C) U(A) (38) W A!C = U(C) U(A) (39) 312 A dx p dx p = F=A d 0 W = F dx = F A dx = pdv (310) A V = A dx 312-1) du = d 0 Q pdv (311) R b p V pdv a a b d 0 W d 0 W = pdv p 13

21 d'q p dx dv 312-1: d 0 Q dx pdv p a A b B V V a V b 312-2: d 0 W = pdv A B 14

22 U du A A I du = U(A) U(A) =0 (312) I I du = d 0 W + I d 0 Q (313) d 0 Q =0 1 I d 0 W =0( (314) 322 d 0 Q = du + pdv (315) 2 U = du = d + V 15

23 C V dv =0 1K»» d 0 Q C V = = = (317) d dv =0 dv =0 [] d 0 Q = du + pdv = C V d + + p dv: C @V dv = d + dp = @ C p = p» d 0 Q d = C V = C V + ff p = 1 @ p + p p p V (320) (321) (322) (323) pv = nr (324) ff p = nr pv ( C p = C V + Vff p + p = C V + nr (327) H = U + pv dh = du + Vdp+ pdv =(d 0 Q pdv )+Vdp+ pdv (328) = d 0 Q + Vdp (329) d 0 Q = dh Vdp (330) 16

24 C p =» d 0 Q = p C V C p ff p (331) d 0 Q = C V d + C p C V Vff p dv (332) (d 0 Q =0) (;V ) : C V d + C p C V Vff p dv =0 (333) : pv = R R =8:31[J=mol K] (334) : (7:11) ((327 )) C p C V = R! R C V = C p C V C V = fl 1 (335) fl = C p =C V 1 d 0 Q = C V d + pdv =0 (336) p = R=V dv V = C V d (337) R = 1 fl 1 d (338) (fl 1) log V +log =! V fl 1 = (339) 17

25 PV P PV 324-1: PV V V fl 1 = (340) PV fl = (341) fl p fl 1 = (342) fl (341) PV fl = (343) PV = (= nr ) (344) PV fl > 1 (324-1 ) 18

26 C Q Q W 330-2: A A! B B! C C! D D! A ( 330-3,330-4) 1 A! B : Q 2 B! C! 0 3 C! D C! A 0! = 1 A! B Q W 1 du = 19

27 1 C Q W 1 2 C W 2 4 C W 4 3 C Q W : p A B D C 330-4: p V A 4 B C D A V 20

28 d 0 Q pdv =0 Q = W 1 d 0 Q = pdv! Q = R B A p = R V Q = Z B A R V dv = R log VB V A p(v )dv (345) W 1 : W 1 = Q = R log VB V A (346) 2 B! C (d 0 Q =0) d 0 Q = du + pdv =0 U = Z C B du = U( 0 ) U( ) < 0 (347) W 2 = U( ) U( 0 ) (348) (340) V fl 1 = V C = 1 fl 1 (349) V B fl 1 3 C! D Q 0 W Q 0 = W 3 = R 0 log VD V C jq 0 j = Q 0 = R 0 log VC V D (350) (351) 4 D! A (d 0 Q =0) du = pdv W 4 U = U( ) U( 0 ) W 4 = U( 0 ) U( ) (352) V D = V A 21 1 fl fl 1 (353)

29 W 1 = R log VB V A > 0 (354) Q = W 1 > 0 (355) W 2 = U( ) U( 0 ) > 0 (356) W 3 = R log 0 VD < 0 (357) V C Q 0 = W 3 < 0 (358) W 4 = U( 0 ) U( )= W 2 < 0 (359) (360) V C = V B V D V A = 1 fl fl 1 1 fl fl 1 (361) (362)! V B V A = V C V D (363) Q jq 0 j = R log(v B=V A ) R 0 log(v C =V D ) = 0 (364) Q = jq0 j 0! jq0 j Q = 0 1 W (365) W = W 1 + W 2 + W 3 + W 4 = W 1 + W 3 = Q jq 0 j (366) ( = = Q jq0 j Q (367) (368) c = Q jq0 j Q = 0 =1 0 (» 1) (369) 22

30 100% 100% 90% Q 1 1 Q 2 C W 1 Q Q 0 1 C0 C 00 Q = Q 1 Q 0 1 Q0 = Q 2 Q 0 2 ( C00 ( ) Q = Q 0 0 (370) C C 0 C 00 Q = Q 0 =0 Q = Q 0 =0 (371) Q 1 = Q 0 1 (372) Q 2 = Q 0 2 (373) Q 2 = Q0 2 Q 1 Q 0 1 C C 0 (374) =1 Q 2 Q 1 =1 Q0 2 Q 0 1 (375) 23

31 2 2 1 Q' 1 CQ W C' Q 2 Q' 2 = C'' Q=Q 1 -Q' 1 Q'=Q' 2 -Q' : ( ) C C 0 ( C S S = Q (376) 1 S = Q 2 S = jq0 j 0 = c = Q jq0 j Q Q = jq0 j 0 (377) =1 jq0 j Q =1 0 (378) jq 00 j > jq 0 j = Q jq00 j =1 jq00 j Q Q» 1 jq0 j Q = c (379) 24

32 34 1 d d 0 Q x 2 0 C x + x (380) U p 2 C V C p C p = C V + R (381) R 3 pv fl = 5 6 n V V 0 0 V

33 , p, V ', p', V', p, V '', p'', V' 340-1: V 0 V 0 V 0 26

34 ( ) n R 1 R 2 R n A R 1 Q 1 R 1 R 2 Q 2 R n Q n A X i Q i i» 0 ( ) (41) I d 0 Q» 0 ( ) (42) d0 Q ds S d 0 Q ds = 27 (43)

35 d Z 0 Q 1 d 0 Q I d 0 Q = Z » 0 (44) ds Z 2 d Z 0 Q 1 + ds» 0 (45) 1 ψ Z 2 Z 2 d 0 Q ds (46) 1 1 d 0 Q! ds = 1 (du + d0 W ) (47) d 0 Q = 0 ds 0 (48) ds C P P 2 d Cd C( 2 1 ) Z P2 P 1 d 0 Q = 1 2 Z 2 1 Cd = C( 2 1 ) 2 (49) 28

36 1 2 S = Z P2 P 1 dq = C Z 2 1 d = C log 2 1 (410) S Z P2 P 1 d 0 Q = C = C Z 2 Z 1 2 d C 2 Z d (411) d (412) 1 2 S Z P2 P 1 d 0 Q (413) (46) P 1 S = S(P 1 ) S(P 1 )=0 I d 0 Q» 0 (414) 422 d 0 Q = ds (415) du = d 0 Q pdv (416)! du = ds pdv (417) du = d 0 Q d 0 W (418) ( d 0 W d 0 Q = ds d 0 Q =0 ds =0 29

37 A 2 B 1 C 1 Q W (= Q) A 2 C + A Q ( 431-1) 30

38 2 A C W = Q>0 Q>0 1 2 Q = C + A Q> : 2 C Q Q B W Q W 1 C 0 + B Q Q 0 = Q (Q W )=W ( 431-2) 44 ((47) ) d 0 Q ds = 1 (du + d0 W ) (419) d 0 W d 0 W = pdv μdn (420) ds 1 (du + pdv μdn) 0 (421) 31

39 2 2 Q C' Q>0 Q B W (>0) Q' (=Q-W) = Q C' W (>0) Q B Q-Q' (=W)> : ds = 1 (du + pdv V;N U;N U;V = 1 = p = μ (423) (424) (425) I II I II 32

40 5 S; V; N U x y z a b c U du 51 N ( ) ( ) ffl : ffl : U; N; V; S ; p; μ U N V S p μ ( 1 ) ds = d0 Q (51) d 0 Q du = d 0 Q d 0 W (52) d 0 Q = ds; (53) d 0 W = pdv (54) 33

41 1 d 0 W = pdv μdn (55) du = ds pdv + μdn (56) du = ds pdv + X i μ i dn i (57) (U ) (56) S V N U = U(S; V; N) (58) (S; V; N) = = p = μ (56) (S; V; N) U V V V;N ;V U = U( S; V; N) (512) N) (513) = S pv + μn (514) U = S pv + μn (515) 34

42 du = ds pdv + μdn + Sd Vdp+ Ndμ (516) du = ds pdv + μdn (517) Sd Vdp+ Ndμ =0 (518) Sd Vdp+ X i N i dμ i =0 (519) 52 (421) ds + du + pdv μdn» 0 (520) d(u S)+Sd + pdv μdn» 0 (521) d = dv = dn =0 U S F F = U S (522) (515) F = U S (523) = pv + μn (524) df = du ds Sd = Sd pdv + μdn (525) F (;V;N) U (S; V; N) F = U S S Legendre 35

43 F = F (;V;N) F = U S = pv + μn df = Sd pdv + μdn (526) F F 53 d(u S)+Sd + pdv μdn» 0 (527) d(u S + pv )+Sd Vdp μdn» 0 (528) U S+ pv = F + pv dg = df + pdv + Vdp= Sd + Vdp+ μdn (529) G = F + pv = μn (530) dg = Sd + Vdp+ μdn G (; p; N) G = μn N (;p) μ @p p;n ;N @p p = S (531) = V (532) (529) G = G(; p; N) G = F + pv = U S + pv = μ(;p)n dg = Sd + Vdp+ μdn (533) 54 (527) d(u S μn)+sd + pdv + Ndμ» 0 (534) 36

44 U S μn J (;V;μ) (515) J = pv dj = Sd pdv Ndμ (535) V;μ ;V = S (536) = N (537) J = J(;V;μ) (538) J = U S μn = F μn = p(;μ)v (539) dj = Sd pdv Ndμ (540) 55 H H = U + pv (541) dh = du +pdv +Vdp= ds pdv +μdn +pdv +Vdp= ds+vdp+μdn (542) (S; p; N) dn =0 L ds L =(ds) p;n = dh (543) H = H(S; p; N) (544) H = U + pv (545) dh = ds + Vdp+ μdn (546)

45 U S; V; N U = S pv + μn du = ds pdv + μdn F ;V;N F = U S = pv + μn df = Sd pdv + μdn G ; p; N G = F + pv = μ(;v )N dg = Sd Vdp+ μdn J ;V;μ J = F μn = p(;μ)v dj = Sd pdv Ndμ H S; p; N H = U + pv dh = ds + Vdp+ μdn 560-1: 57 Maxwell U = F + S H = G + S S = @ V;N = p = @V S;N μ = = = @μ V = = N ;V V;N p;n = = @ p;n ;V V;N p;n = (547) V;μ (550) (551) (552) V;N U;N U;V 38 = 1 = p = μ (555) (556) (557)

46 Maxwell : du = ds pdv + = ; @μ = ; @μ S;V dh = ds + Vdp+ = ; @μ = ; @μ S;p S;N df = Sd pdv + = ; @μ = ;V dg = Sd Vdp+ = @μ = ;p S;N ;N = V;N p;n (574) (575) V = V (;p) 39

47 58 U S = 1 (U + pv μn) (576) ds = 1 (du + pdv V;N U;N U;V = 1 = p = μ (578) (579) (580) (13110),(13111) @U p μ = V;N = @S U;V @U S;N = S;V S;N S;V (581) (582) (583) 59 1 S; V; p; ; U; N 2 U = U(S; V; N) U

48 U S; V; N U = S pv + μn du = ds pdv + μdn F F = U S = df = G G = F + pv = dg = J J = F μn = dj = H H = U + pv dh = 590-2: = = = U;V (584) (585) (586) 41

49

50 2 I II d(s I + S II )=0 (61) ds I = 1 I (du I + p I dv I μ I N I ) (62) ds I = 1 II (du II + p II dv II μ I N II ) (63) 61) d(u I + U II ) = d(v I + V II ) = d(n I + N II )=0 1 1 pi du I II I + p II μi dv I II I μ dn I II I =0 (64) du I dv I dn I I = II (65) p I = p II (66) μ I = μ II (67) p 2 p d(g I + G II )=0 (68) dg = Sd + Vdp+ μdn (69) dg I = μ I dn I (610) dg II = μ II dn II (611) d(n I + N II )=0 μ I = μ II (612) 43

51 G = μn (613) (612) N G I = G II (614) (612) 62 2 (;p) dg = Sd + Vdp S V d dp G 1 1 = S! = V! 2 2 = p C p! (617) = = C p - ( 2 ) (l) g) 44

52 G G G S S S V CP CP S V C P 620-1:

53 G G = Nμ (619) N = N a G l g G l (;p)=g g (;p) (620) 2 1 p 2 (915) p (;p) - ) - 2 A(;p) A 0 ( + d; p + dp) G 2 G l (;p) = G g (;p) (621) G l ( + d; p + dp) = G g ( + d; p + dp) (622) G l (;p) S l d + V l dp = G g (;p) S g d + V g dp (623) (S g S l )d =(V g V l )dp (624) ( ) (625) dp d = S g S l L b = V g V l (V g V l ) = L b V (626) L b (S g S l )=H g H l (627) V = V g V l V g >> V l cal/g ο J/kg 0598kg/m kg/m 3 =37315K dp=d =3: Pa/K 100 p(102 )= Pa p(98 )= Pa 46

54 630-2: [p(102 )-p(98 )]/4= Pa/K 1 pv g = R (628) V g >> V l V g V l ο V g - dp d = L b = L bp (629) V g R 2 (s)- L b = R 2 p dp d (630) dp d = S l S s V l V s = L m V (631) L m (V l ο V s ) V s <V l V s >V l dp=d < 0 (;p) K Kelvin K 47

55 p 3 t= / C,p= P/P C,v= V/V C t= 115 t= 100 t= 085 v 641-1: t =1: p + a V 2 (V b) =R (632) a b V 2 (pv 2 + a)(v b) R V 2 =0 (633) 3 (;p) c 641 t = c = 48

56 Pgiven G l b G g 642-1: b 642 (t <t c ) G l = G g (634) F l + p s V l = F g + p s V g (635) p s F = pdv Sd = pdv p s (V g V l )= (F g F l )= Z Vg V l p(;v )dv (636) p V p s» F g F = p s = (637) V g V V =V l ;V g V = V l V = V g F ν n p ν 49

57 P P s 0 V l V g V 642-2: F V V l V g 642-3: V l V g 50

58 nν n n 2n + nν p I = p II = ::: = p n (638) I = II = ::: = n (639) p I = p II ;p II = p III ;:::;p n 1 = p n (640) I = II ; II = III ;:::; n 1 = n (641) n 1 2(n 1) i k μ k i μ I i = μ II i = ::: = μ n i (642) n 1 ν ν(n 1) S (k) d (k) V (k) dp (k) + X r=1 νn (k) r dμ (k) r =0 (643) n 2n + nμ (644) 2(n 1) + ν(n 1) + n = nν +3n 2 (645) 2n + nμ (nν +3n 2) = 2 + ν n (646) 0 ν(= )+2 n(= ) (647) 1 (ν =1) n =3 n =

59 n 0 1 n 0 2 n00 1 n00 2 μ 0 1 >μ 00 1 (648) (G = μ) μ 0 1 = μ 00 1 (649) μ 0 2 = μ 00 2 (650) p x 0 = x 00 = n 0 2 n n 0 2 n 00 2 n n 00 2 (651) (652) μ 0 1(; p; x 0 ) = μ 00 1(; p; x 00 ) (653) μ 0 2(; p; x 0 ) = μ 00 2(; p; x 00 ) (654) 4 p x 0 x x 0 x 00 f 0 (; p; x 0 ) = 0 (655) f 00 (; p; x 00 ) = 0 (656) (655) p x 0 (656) p x 00 p x 0 x 00 x 0 x x 0 x A x 00 A C C x 0 x 00 2 C B ECF EBF 52

60 E B,C A x'' f' x' C f'' A C' B B' F 0 x : 2 2 -x B B E B C' B' 67 Landau F = U S F ο ο F ο (order parameter) F ο F L (ο;) F L (ο;) =U(ο;) S(ο;) (657) ο ο 0 F L F ( )=F L (ο 0 ;)» F L (ο;) (658) 53

61 F L ο F L ο F L (ο;) =g 0 ( )+ 1 2 g 2( )ο g 4( )ο g 6( )ο 6 + ::: (659) F L g n (n =0; 2; 4; 6;:::) g 2 ( ) 0 g 4 g 6 g 2 ( ) g 2 ( )=( 0 )ff (660) g 4 > 0 F L (ο;) =g 0 ( )+ 1 2 ff( 0)ο g 4ο 4 (661) xi ο =( 0 )ffο + g 4 ο 3 =0 ο = 0 (663) ο 2 = ( 0 ) ff g 4 (664) 0 ff g 4 0 ο =0 F L F ( )=g 0 ( ) (665) ο 2 =( 0 ) ff g 4» 0 F L F ( )=g 0 ( ) ff2 4g 4 ( 0 ) 2 (666) 0 ο (667) 54

62 671-1: Landau 2 ο F L 55

63 = M M B E B E = M (668) μ M U(M) = 1 2 M B E = 1 2 M 2 (669) S(M) = M 2 2nμ 2 (670) F L (M) =U S = 1 2 M 2 nμ 2 (671) ( ) M 2 0 = nμ 2 (672) = g 4 g 6 F L (ο;) =g 0 ( )+ 1 2 ff( 0)ο jg 4( )j ο ο6 + ::: L =@ο =0 ff( 0 )ο jg 4 ( )j ο 3 + g y ο 5 =0 (674) 56

64 ο =0 ff( 0 ) jg 4 ( )j ο 2 + g y ο 4 =0 (675) c ο =0 ο 6= 0 F L c 6= 0 ο c g 1000cm cm 3 1g 80cal cc 650cc [kcal/kg] [W] 1[cal]=42[J]

65 7 71 dn =0 du = ds pdv (71) p (@U) = (@S) p(@v ) (72) p U S V V @V = V;N V;N (75) p (76) V;N p = nr V ; (78) 58 = nr V (79)

66 = = nr p V;N p = p p =0 (711) 72 (d = dv = dn =0) (;V 1 ;N 1 ) (;V 2 ;N 2 ) F (;V 1 ;N 1 )+F (;V 2 ;N 2 ) V = V 1 + V 2 N = N 1 + N 2 F (;V;N) F (;V;N)» F (;V 1 ;N 1 )+F (;V 2 ;N 2 ) (712) 0 < <1 F (; V 1 +(1 )V 2 ; N 1 +(1 )N 2 )» F (;V 1 ;N 1 )+(1 )F (;V 2 ;N 2 ) (713) 0 <V <V + ffl<v 0 <V 0 + ffl V V 0, ffl =(V 0 V )(V 0 V + ffl) F (;V 0 ;N) = F (; (V 0 + ffl)+(1 )V; N +(1 )N) (714)» F (;V 0 + ffl; N)+(1 )F (;V;N) (715) F (;V + ffl; N) = F (;(1 )(V 0 + ffl)+ V; (1 )N + N) (716)» (1 )F (;V 0 + ffl; N)+ F (;V;N) (717) F (;V + ffl; N)+F (;V 0 ;N)» F (;V 0 + ffl; N)+F (;V;N) p ;N (719) 59

67 p(;v 0 ;N) p(;v;n) (720)» = lim F (;V 0 + ffl; N) F (;V 0 ;N) F (;V + ffl; N) F (;V;N) + (721) ffl!0 ffl ffl = F (;V + ffl; N)+F (;V 0 ;N) [F (;V 0 + ffl; N)+F (;V;N)] (722) ffl» 0 (723) V 0 0 ;N 73» d 0 Q C V = d V;N (725) d 0 Q [] d 0 Q = ds pdv + μdn S V;N C F C V 2 V;N (727) (728) (729) 60

68 F F C p» d 0 Q C p = = d G 2p;N p;n G C p C V C p C @p (13111) @ p;n p;n p;n (730) (731) (732) (733) (734) (735) = p;n @p p;n ;N (Λ) = p;n = 1 (737) (738) (739) (740) = Vff2 p» (741) ff p = = p;n ;N (742) (743) 61

69 C p C V = Vff2 p» 0 (744) fl = C p C V 1 (745)» > (13110) (13111) (S; ; p; V; N) dn =0 N dffi = p;v ffi(; p; V )=0 (746) V; dp dv =0 p; dp =0 @V + = = @V p p = @ p p; p; p; p; p; (750) (751) (752) (753) (738) (746) p ffi = @p + = 0 @p = = @V @V! = @p V 62 p

70 p H (a) (b) L H (c) (d) L V V 740-1: p V (a) (b) (c) (d) (a) (737) (737) N H, L ( 0 H;V;N) 0 H < H (a) H H (b) V V 0 0 L (c) L 63

71 L L < 0 L (d) V 0 V 0 H (c) (a) H Q H = NR( H 0 ) H (c) L Q L = NR( 0 L L ) ffl o = Q H Q L Q H =1 0 L L H 0 H (757) 1 fl 1 H V = fl 1 L V 0 = 0 1 fl 1 L V 0 (758) fl 1 H V (759) 0 L = L = V 0fl 1 H (760) V V 0fl 1 0 H (761) V (762) (757) ffl o =1 V V 0fl 1 =1 L 0 H (763) 0 H < H ffl c ffl o =1 L 0 H < 1 1 L H = ffl c (764) 75 64

72 dg = Sd + Vdp+ μdn (765) d = dn =0 dg = Vdp (766) (p 0 ) (p 1 ) Z p1 p 0 dg = G 0 ( )+ Z p1 p 0 Vdp= G 0 ( )+ = G 0 ( )+nr log p1 p 0 G n = G 0( ) + R log p1 n p 0 Z p1 p 0 nr p dp (767) (768) (769) G (G = μn) μ = μ 0 + R ln p (770) V p n i p i V = n i R (771) p = X i n = X i p i (772) n i (773) x i x i n i P n j j = p i P p j j (774) p i = px i μ i = μ i0 + R ln p i = μ i0 + R ln p + R ln x i (775) μ i0 + R ln p i p μ i(pure) μ i = μ i(pure) + R ln x i (776) 65

73 p i(i =1::n) V i V = P i V i V G i(pure) = n i μ i(pure) (777) G (pure )= X i n i μ i(pure) (778) G = X i n i μ i = X i n i (μ i(pure) + R ln x i ) (779) dg mix = G G (pure) = X i n i R ln x i = nr X i x i ln x i (780) 2 x 1 = x x 2 =1 x dg mix = nr [x ln x +(1 x)ln(1 x)] (781) x =1=2 ds mix = nr X i S = x p;n i X x i ln x i = Nk B x i ln x i (783) i 76 d = dp =0 dg = μdn (784) 66

74 dg = X i μ i dn i =0 (785) ff 1 N 1 + ff 2 N 2 + ::: + ff ν N ν =0 (786) dn i = ff i dn X i μ i ff i dn = 0 (787) X! μ i ff i (788) i ff i i x i ln x i 776) Y i [i][j]::: [k][l]::: [i] x i x ff i i = (789) = (790) ff i i + ff j j + :::! ff k k + ff l l + ::: (791) ff i i + ff j j + ::: ff k k ff l l + ::: =0 (792)

75 % 31% 370 Au-Si Au Si (783) X ds mix = Nk B x i ln x i (793) pv =0 A B 2 A B u A B N B =(N A + N B ) x x <<1 A B Nxu (N = N A + N B ) A X F = U S = Nxu+ Nk B x i ln x i (794) i i = NxU + Nk B [x ln x +(1 x)ln(1 x)] (795) ο NxU + Nk B x ln = N(u + k B ln x + k B )=0 (797) u x = e k B 1 (798) A B u B

76 A Liquid B α α L β L β α β A B B 770-2: 2 A B B A 100% B 100% ff A B ff fi B A A B ff + L ff ff fi 69

77 78 = U=V = u( ) 2 p = V p = 3 du d u 3 (799) = U V = u (7100) u = du 3 d u 3! 4 3 u = du 3 d! du u = 4 d (7101) (7102) (7103) log u = 4 log (7104)! u = ff 4 (7105) C V = 4ff 3 ( ) (7106) u 3 70

78 ds = du + pdv = d(ff 4 V )+ ff 4 3 dv =4ff 3 Vd + 4ff 4 dv (7107) 3! ds = 4ff 2 Vd + 4ff 3 4ff 3 3 d = d V (7108) 3 S = 4ff 3 V 3 F = U S = ff 4 V 3 (7109) (7110) J u c=4 J = c 4 ff 4 = ff 4 (7111) ff ff = 2ß5 k 4 B 15c 2 h 3 (7112) 5: [W=m 2 K 4 ] 79 75% 25% : fl = p fl

79 790-3: r r K R s = cm D= cm 2 07 ßR 2 R 07ßR 2 Q s Q s 1353W/m 2 72

80 4ßR 2 (=5770K W/m 2 393K W/m 2 6 ( ) sin ß D t (D ) 1/10 1/10 ( 10W/m kw 100W 73

81 8 81 x N x 1 ;x 2 ; :::; x N x x <x>= 1 N x ff 2 = 1 N 1 x ff = NX NX i=1 vu u t 1 N 1 i=1 x i (81) NX i=1 (x <x>) 2 (82) (x <x>) 2 (83) x x x + dx P (x)dx P (x) x Z b a P (x) 0 (84) P (x)dx = 1 x [a; b] (85) <x> = ff 2 = Z b a Z b a xp (x)dx (86) (x <x>) 2 P (x)dx =< x 2 > <x> 2 (87)!< (x <x>) 2 > = <x 2 > <x> 2 (88) 74

82 82 x y x x x + dx y y dy P (x; y)dxdy x y P (x; y)dxdy = P x (x)p y (y)dxdy (89) P x (x)dx x x y Z xmax Z ymax Z xmax Z ymax <x> = xp (x; y)dxdy = xp x (x)dx P y (y)dy (810) y min y min = <y> = ff 2 x = = ff 2 y = x Z min xmax Z xmax Z ymax x min x min xp x (x)dx (811) x Z min xmax Z ymax x Z min xmax Z xmax Z ymax y min yp(x; y)dxdy = Z xmax x min xp x (x)dx (812) y min (x <x>) 2 P (x; y)dxdy (813) x min (x <x>) 2 P x (x)dx (814) x Z min ymax y min (y <y>) 2 P (x; y)dxdy (815) = (y <y>) 2 P y (y)dy (816) y min ff xy < (x <x>)(y <y>) >= 0 (817) x + y <x+ y> = <x>+ <y> (818) ff 2 x+y = < (x + y <x+ y>) 2 > (819) = < (x + y) 2 > 2 < (x + y) <x+ y>>+(< x+ y>) 2 (820) = < (x 2 +2xy + y 2 ) > 2 <x+ y> 2 +(< x>+ <y>) 2 (821) = <x 2 > +2 <x><y>+ <y 2 > (822) 2(< x> 2 +2 <x><y>+ <y> 2 ) (823) + <x> 2 +2 <x><y>+ <y> 2 (824) = <x 2 > <x> 2 + <y 2 > <y> 2 (825) = ff 2 x + ff 2 y (826) 2 N x i ;i =1::N m ff X = x 1 + x 2 + ::: + x N X 75

83 Nm Nff 2 X p Nff p Nff Nm = p 1 ff (827) N m ff 1 m X p 1 N N ( ) N ο P (X) < X > <A>= Z A(X)P (X)dX ο A(X Λ )dx Λ (828) X Λ <X> dx Λ <X> 83 dt dt N d dn = Ndt (829) dn = N (830) d t =0 N 0 N(t) =N 0 e t (831) t dt p p = dt q q =1 p p + q =1 dt 1 0 x x x p 1 q 0 <x>=1 p +0 q = p (832) 76

84 < (x <x>) 2 > = (1 p) 2 p + p 2 q (833) = (1 p) 2 p + p 2 (1 p) (834) = p(1 p) = pq (835) N dt X P x i (i =1::N) N X = x i=1 i <X> ffx 2 N <X> = Np m (836) ff 2 X = Npq (837) 84 N dt X n (X + n = N) P (X) = N C X p X q n (838) N C X N X N!1 P (X) P (X) = N! X!(N X)! px (1 p) N X (839) p = m N N! m X h m i N X P (X) = 1 (840) X!(N X)! N N = = mx X! = mx X! m N X N(N 1):::(N X +1) X! 1 m N 1 m N N(N 1):::(N X +1) 1 N N X 1 m N» ::: 1 X 1 N N N m=n N 1 Λ X h1 m N i N (841) 1 m X (842) N Λ 1 1 m X (843) N Λ P (X) = mx X! e m (844) 77

85 lim N!1 1 m N N = e m (845) m(= Np) ff 2 = Npq = mq (846) dt p ο 0 q =1 p ο 1 ff 2 = Np = m (847) ff m = 1 p m (848) 841 (Wikipedia ) m` Web

86 (1 061 ) 85 P (X) = N! X!(N X)! px (1 p) N X (849) p X (1 p) N X (850) N X dt N X W (X) N! X!(N X)! (851) X X 86 f(x) x = x Λ f(x) = f(x Λ + x x Λ ) (852) = f(x Λ )+(x x Λ )f 0 (x Λ )+ 1 2 (x xλ ) 2 f 00 (x Λ )+::: (853) = f(x Λ )+ 1 2 (x xλ ) 2 f 00 (x Λ ) (854) f 0 (x Λ ) =0 x = x Λ f 00 (x Λ ) f 00 (x Λ )= 1 2 ff 2 f(x) =f(x Λ ) (x xλ ) 2 ο f(x Λ )e (x x Λ ) 2 2ff 2 2ff 2 (855) 79

87 x R 1 xf(x)dx 0 <x> = R 1 f(x)dx = xλ (856) 0 <x <x>> 2 = R 1 0 (x <x>)2 f(x)dx R 1 0 f(x)dx f(x) dx Λ = p 2ßff = Z 1 0 q Z 1 0 = ff 2 (857) f(x)dx = p 2ßfff(x Λ ) (858) 2ß jf 00 (x Λ )j f(x)dx = f(x Λ )dx Λ (859) Z = Z 1 0 Ω(E)e E k B de (860) Ω(E) E e k E B E E Λ i f(e) = ln hω(e)e k E B S = k B ln Ω(E)dE de de = q 2ß jf 00 (E Λ )j deλ»z 1 Ω(E)e k E B de k B ln Z = k B ln 0 = k B ln»ω(e Λ )de Λ e EΛ E Λ E k B (861) (862) = S(E Λ ) + E Λ (863) k B ln Z = E S (864) F ( E U ) F = k B ln Z (865) 80

88 87 1 x <x> <x 2 > <x> 2 2 N ( m ff 2 ) 3 m 81

89 9 minimum ffl ffl ffl ν E p E = hν (91) p = h (92) ( ) h E = pc 92 82

90 93 1 ff 2 fi 2 ff 1 fi N N N N! N N! N! 94 (1/2, 3/2, ) x y z S z z S; S +1;:::;S 1;S 2S +1 2S +1 2S +1 1 ln 1 = 0 k B ln(2s +1)

91 2 1/2 2S m V ffi 2m +V μh2 ffi = Effi (93) E μh h 2ß jffi(r)j 2 r E E = E 1 ;E 2 ;E 3 ;::: (94) E 1» E 2» E 3 ::: (95) (1051) s E s (s =1; 2; 3:::) 961 p x = x x = p2 x 2m! ^ x = 2 (97) 2 84

92 962 (V = 0) ffi = Effi (98) ffi(x; y; z) =X(x)Y (y)z(z) (99) μh2 d2 X(x) Y (y)z(z)+ d2 Y (y) X(x)Z(x)+ d2 Z(z) X(x)Y (y) 2m dx 2 dy 2 dz 2 X(x)Y (y)z(z) μh2 2m = EX(x)Y (y)z(z) (910) 1 d 2 X(x) + 1 d 2 Y (y) + 1 d 2 Z(z) = E (911) X(x) dx 2 Y (y) dy 2 Z(z) dz 2 (x; y; z) E μh2 1 d 2 X(x) 2m X(x) dx 2 = ffl x (912) μh2 1 d 2 Y (y) 2m Y (y) dy 2 = ffl y (913) μh2 1 d 2 Z(z) 2m Z(z) dz 2 = ffl z (914) ffl x + ffl y + ffl z = E (915) 97 μh2 1 d 2 X(x) = ffl x (916) 2m X(x) dx 2 p 2mfflx X(x) = exp i x μh (917) 85

93 exp x e x y z p! 2mffly ffi(x; y; z) =A exp p ψ 2mfflx i x exp i μh μh y p 2mfflz exp i z μh (918) A L L X(x) X(x + L) =x(x) (919) p p 2mfflx 2mfflx exp i (x + L) = exp i x (920) μh μh p 2mfflx! L = 2n x ß (921) μh! ffl x = 1 2 2nx ßμh (922) 2m L n x p x ffl x = p2 x 2m (923) (922) p x = 2n xßμh L = n xh L (924) p x L =0; ± h; ± 2h; ± 3h; ::: (925) ffi(x; y; z) = A 0 exp i p x μh x exp i p y μh y exp i p z μh z (926) = A 00 exp A 0 A 00 i 2ßn x L x exp i 2ßn y L y exp i 2ßn z L z (927) 86

94 98 ((925) ) x h y z 1 h 3 N 3N h 3N 6N h h 3N N! p p + dp V 4ß(p + dp) 3 4ßp3 =4ßp 2 dp (928) 3 3 V 4ßV p 2 dpv (929) dw = 4ßV p2 dp h 3 (930) N N ( 3N )Vp N N V N h 3N N! g g = 2 (931) g = 2 (932) S g = (2S +1) (933) W = g V p N V N h 3N N! (934) 87

95 99 p59 V = L 3 nx ßx ny ßy nz ßz ψ(x; y; z) =A sin sin sin (935) L L L n x n y n z (927) n x e i =cos + i sin (936) p x ffi ffi = 2n xß ffi (937) L sin( ) = sin( ) n x n x exp( i ) exp(i ) n x 2 1 h=2 3 h 3 = =8 n x n y n z 8 p75 (17) 8 h 3N 910 dw = g 4ßV p2 dp (938) h 3 ffl 9101 ffl = p2 2m 88 (939)

96 p 2 = 2mffl (940) r dp = 2m m 2p dffl = dffl (941) 2ffl p 2 dp = p 2fflm 3 dffl (942) 2ßV (2m)3=2 p dw = g ffldffl (943) h ffl = pc (944) p 2 = ffl2 c 2 (945) dp = dffl c (946) dw = g 4ßV h 3 c 3 ffl2 dffl (947) e i =cos + i sin 2 p x 3 E = p2 2m 4 89

97 U U = S pv + μn (101) du = ds pdv + μdn (102) 90

98 S = 1 ds = 1 (U + pv μn) (103) (du + pdv V;N U;N U;V = 1 = p = μ (105) (106) (107) S = k B ln W (U; V; N) (108) k B W (U; V; N) (U; V; N) U Ω(U; V; N) U U + du Ω(U; V; N)dU S = k B ln Ω(U; V; N)dU (109) U E S = k B ln Ω(E;V;N)dE (1010) 91

99 102 N p q 6N (E;E+dE) (E E + de;v;n) (1010) E V N 92

100 105 E N V Ω (E ;N ;V ) b E E E ( S S = k B ln Ω(E)dE S b ds =0 S (E ) = S(E)+S b (E E) =S(E)+S b (E E (1011) = k B ln Ω(E)dE + S b (E ) E (1012) i = k B ln hω(e)e k E B de + S b (E ) (1013) S = E i S 0 = k B ln hω(e)e Λ k E B de = k B ln Ω(E)e fie de (1014) fi 1 k B (1015) ds =0 S (E ) S b (E ) E ο E + de Ω(E)dE e k E B E ο E + de e k E B E ο E + de P (E)dE = Z 1 Ω(E)e E k B de (1016) Z Z Z Ω(E)e E k B de (1017) E e E k B de Z Ω E Λ E Λ E Z =Ω(E)e E k B de (1018) 93

101 k B ln Z = k B ln hω(e)e k E B de i» ln Ω(E)dE = k B E (1019) k B = E S (1020) F F = U S (1021) (E U) F = k B ln Z (1022) 106 E N S (E ;N ) = S(E;N)+S b (E E;N N) (1023) = S(E;N)+S b (E E;V N(1024) = k B ln Ω(E;N)dE + S b (E ;N ) E + μn (1025) i = k B ln hω(e;n)dee E μn k B + S b (E ;N ) (1026) E N S 0 (E;N)=k B ln hω(e;n)e E μn k B i de (1027) P (E;N)dE =Ξ 1 Ω(E;N)e E μn k B de (1028) Ξ= Z X N Ω(E;N)e E μn k B de (1029) i k B ln Ξ = k B ln hω(e;n)dee E μn k B = E S μn = J (1030) 94

102 J J = pv = k B ln Ξ (1031) e E μn k B (1032) 107 S(E;V )=k B ln Ω(E;V )dedv S (E ;V ) = S(E;V )+S b (E E;V V ) (1033) k B ln Y = k B = S(E;V )+S b (E E;N V (1034) = k B ln Ω(E;V )dedv + S b (E ;V ) E + pv (1035) i = k B ln hω(e;v )e E+pV k B dedv + S b (E ;V ) (1036) P (E;V )de = Y 1 Ω(E;V )e E+pV k B dedv (1037) Y = Z hω(e;v )e E+pV k B Ω(E;V )e E+pV k B dedv (1038) dedv G i = E S + pv = G (1039) G = k B ln Y (1040) X A = k B p i ln p i (1041) i 95

103 S = k B ln Ω(E)dE R F = U S = k B ln Z Z Ω(E)e k E P B de R J = F μn = k B ln Ξ Ξ= N Ω(E;N)e E μn R k B de G = F + pv = k B ln Y Y = Ω(E;V )e E+pV k B dedv : p i i p i = e fie i Z (1042) Z fi =1=(k B ) X A = k B p i (fie i +lnz) (1043) E i = E + k B ln Z (1044) E X i p i E i (1045) F = k B ln Z = E S (1046) A = E F (1047) A = S (1048) X S = k B p i ln p i (1049) i 1010 Z Ω(E)e E k B :::de (1050) 96

104 X s e Es k B ::: (1051) s <E> = = 1 Z Ps 1 e Es k B X s X s E s e Es k B (1052) E s e Es k B (1053) d = ln Z (1054) 1 d(k B ) = k B d 2 ln Z (1055) d 1011 N E = E 1 ff + E 2 fi + ::: (1056) ff fi X Z = e E1 ff +E2 fi +::: k B (1057) ff;fi;::: X X = e E1 ff k B e E2 fi k B ::: (1058) ff fi = Z 1 Z 2 ::: (1059) = Z N 1 (1060) Z N! Z = 1 N! ZN 1 (1061) N N! N 97

105 E 2 98

106 11 g =1 ln N! = N ln N 1 (111) N N N! = (112) e N p (1469) p = p 2mE 3N 3N 4ßem 2 E v 3N = (113) 3 N 2ße v 3N = 3 p 2 N 3N 2 p p + dp (114) V p (p p + dp) = = = 2ße (p + dp) 2 3 N 3N 2ße 1 3 N 3N 2ße 3N 3N 2 2ße 3 p 2 N 3N 2 (115) 2 (p + dp) 3N p 3NΛ (116) 2 3Np 3N 1 dp (117) (118) 99

107 dw = V pv N (119) N!h 3N Ω(E) 3N 1 2ße 2 = 3Np 3N 1 dpv N (1110) N!h 3N 3N e N 3N 2ße 2 = 3Np 3N 1 dpv N (1111) h 3 N 3N V N e N 3N 2ße 2 3N = 3N (2mE) N h 3 2 de (1112) 3N N 3N V 4ßmE 2 5N = 3N e N 3h 2 2 de (1113) N Ω(E)dE (1114) Ω(E) = V Ω(E) =3N N dw (E) de N 4ßmE 3h 2 N (1115) 3N 2 e 5N 2 (1116) 1112 S = k B ln ΩdE (1117) " V N 3N # 4ßmE 2 5N = k B ln 3N e N 3h 2 2 de (1118) N» 3 4ßm = k B N 2 ln E V +ln k B ln(3nde) (1119) 3h 2 N N 2» 3 4ßm = k B N 2 ln E V +ln + 5 (1120) 3h 2 N N 2 N N ln N ln 3 de ds =3N ln 2 (1121) 2V V 100

108 1113 = 3k BN 2E 2E! = 3k B N N;V (1122) (1123) (1124) (1125) E N = 3k B 2 (1126) 1 2 k B E;N (1127) = k BN (1128) V! pv = Nk B (1129) = 5k B 2 k B» 3 4ßm 2 ln E 3h 2 N E +ln 3h 2 N E;V» 3 4ßm = k B 2 " ln 4ßmE = k B ln 3h 2 N 3=2 V N "! μ = 2E 3=2 4ßmE 3N ln V 3h 2 N N # # V +ln N V N (1130) (1131) (1132) (1133) (1134) (

109 Z 1 = Z 1 0 e p2 =(2m) k B dw (1135) Z = g 4ßV 1 p 2 e p2 2mk B dp (1136) h 3 0 = g 4ßV q 1 ß(2mk B ) h 3 4 3=2 (1137) 3=2 2ßmkB = gv (1138) h 2 3=2 mkb = gv (1139) 2ßμh 2 μh = h 2ß g =1 3=2 mkb Z 1 = V (1140) 2ßμh 2 p59 (62) 3=2 mkb n 2ßμh 2 Q (1141) N N! Z N = 1 N! ZN 1 = 1 3N=2 mkb V N (1142) N! 2ßμh F = k B ln Z N (1143) " # 3N=2 1 mkb = k B ln V N (1144) N! 2ßμh ( 2 " #) 3N=2 1 mkb = k B N ln N + N +ln V N (1145) N! 2ßμh ( " #) 2 mkb 3=2 V = k B N 1+ln (1146) 2ßμh 2 N p62 (71) 102

110 S = k B N = k B N = k B N ( V;N " mkb 1+ln 2ßμh» 2 ln(n Q V=N)+ 5 2» nq ln + 5 n 2 3=2 V N #) (1147) k BN (1148) (1149) (1150) n = N=V 1124 E = F + S (1151) = 3 2 Nk B (1152) p ;N = k BN V (1153) pv = Nk B (1154) 3N 3 103

111 113 dw = v 4ßV p2 h 3 dp = 4ßV m3 v 2 h 3 dv (1155) B = e mv2 2k B (1156) P (v)dv = Z 1 4ßV m3 v 2 Z Z = = = Z 1 0 h 3 4ßV m 3 v 2 h 3 Z 4ßV 1 m3 h 3 4ßV m3 h 3 0 p ß 4 e mv2 2k B dv (1157) e mv2 2k B dv (1158) v 2 e mv2 2k B dv (1159) 2kB m 3=2 (1160) P (v)dv = p 4 3=2 m e 2k mv2 B v 2 dv (1161) ß 2k B N N v v + dv v 2 dv = 1 4ß dv xdv y dv z (1162) v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z (1163) P (v x ;v y ;v z )dv x dv y dv z = v = p m P (p x ;p y ;p z )dp x dp y dp z = (1164) 3=2 m e 2k m B (v2 x +v2 y +v2 z ) dv x dv y dv z (1165) 2ßk B P (p)dp = p 4 1 ß 2mk B 1 2mßk B 3=2 e p2 2mk B p 2 dp (1166) 3=2 e p2 x +p2 y +p2 z 2mk B dp x dp y dp z (1167) 104

112 114 1» 3 4ßm S = k B N 2 ln E V +ln + 5 3h 2 N N 2 (1168) (a) (b) (c) (E;V;N) (d) (e) (f) V N E = 2 # (1169) 3 2 Nk B 3 (1165) k B 4 105

113 ffl F N N = Z fflf g =2» ffl F = μh2 3 (2ß) 3 2m 2 4ß 0 dw (121) Z fflf 2ßV (2m)3=2 p = g ffldffl (122) h 3 0 2ßV (2m)3=2 2 = g h 3 3 ffl3=2 F (123)» 3 h 3 2=3 ffl F = 2 2gßV (2m) N (124)» 3=2 3 (2ßμh) 3 2=3 = 2 2gßV (2m) N (125)» 3=2 = μh2 3 (2ß) 3 2=3 N (126) 2m 2 2gß V = μh2 2m 2=3 N (127) V 3ß 2 N V 2=3 (128) = μh2 2m 3ß2 n 2=3 p152 (7) n = N V 106 (129)

114 1212 s e ns(ffls μ) k B (1210) n s s 0 1 f FD (ffl) < n s > = = = ffls μ e k B 1+e ffls μ k B e ffls μ k B 1+e ffls μ k B 1 e ffls μ k B +1 (1211) (1212) (1213) s 1213 Ξ = X s = Z e ffls μ k B (1214) Ω(ffl) 1+e ffl μ k B dffl (1215) 122 Ξ s = = 1X s=0 e ns(ffls μ) k B (1216) 1 1 e (ffls μ) k B (1217) 107

115 f BE (ffl) < n s > = Ξ 1 s 1X s=0 = k B Ξ 1 s n s e ns(ffls μ) k 1X s=0 e ns(ffls μ) k B (1219) = ln Ξ s (1220) = = e (ffls μ) k B 1 e (ffls μ) k B 1 e (ffls μ) k B 1 (1221) (1222) 1221 Ξ = X s Ξ s (1223) = X s = Z e (ffls μ) k B Ω(ffl) 1 1 e (ffl μ) k B (1224) dffl (1225) 108

116 U ( ) : du = ds pdv + μdn (131) : df = Sd pdv + μdv (132) : dg = Sd + Vdp+ μdn (133) : dj = Sd pdv Ndμ (134) : dh = ds + Vdp+ μdn (135) : ff p = (136) p;n :» = (137) : fl = : C V = : C p = S p V N μ ) 109 p;n

117 132 1 u = f(x) x f(x + h) f(x) lim (1311) h!0 h x df dx ; du dx ; f 0 (x) (1312) u = f(x; y) (1313) y f x = lim f(x + h; y) f(x; y) f x(x; y) (1314) y 1 f(x; (x; y) @f f @x@y f(x; 2 (1316) 133 x u = f 0 (x) (1317) du = f 0 (x)dx (1318) 110

118 u x du dx 2 3 f(x + dx) =f(x)+f 0 (x)dx (1319) d(cx) =cdx; d(xy)ydx + xdy; dy = dy dx (1320) dx (dx) u dy =0 du dx u = f(x; y) dy = f x(x; y)dx + f y (x; y)dy (1322) du = A(x)dx (1323) A(x) f(x) =Z x A(x 0 )dx 0 (1324) u x u = f(x) (1325) 2 du = A(x; y; :::)dx + B(x; y; :::)dy + ::: (1326) u = f(x; y; :::) (1327) 111

119 f(x; y; :::) (1327) du : xdx + ydy = d(x 2 =2+y 2 =2); ydx + xdy = d(xy) (1328) : ydx + xdy ψ = d(:::) @x 2 f=@x@y 135 (x; y; :::) du A(x; y; :::) B(x; y; :::) = dx + dy + ::: (1331) (x; y; :::) (x;y:;;;) (x; y; :::) ydx + xdy y = d tan 1 (1332) x 2 + y 2 x d tan 1 x=dx =1=(1 + x 2 ) 2 A(x; y) B(x; y) d 0 Q = A(x; y)dx + B(x; y)dy (1333) d 0 Q (x; y) = A(x; y) (x; y) B(x; y) dx + dy (1334) (x; y) (x; y) d 0 Q =0 (x; y) dy dx = A(x; y) B(x; y) (1335) S(x; y) S(x; y) = (1336) 112

120 dx + dy d 0 Q =0 dy=dx (x; A(x; y) B(x; y) A(x; y) B(x; A(x; y) = B(x; y) = d 0 Q= S 3 d 0 Q d 0 Q = (1338) (1339) dx + dx = A i (x 1 ;x 2 ;:::)dx i =0 (1342) S(x 1 ;x 2 ;:::)= (1343) d 0 Q = i dx i = ds (1344) S d 0 Q ds = d0 Q (1345) ds e ds d0 Q (1346) d 0 Q = ds 0 (1347) ds i ds d0 Q (1348) 113

121 136 u = f(x; y) x; y u u = f(x; y) y x z y(x; z) u y x; z u = f(x; y(z)) = g(x; z) u @z x (1350) @f dx dy dx @z u f u = @x y (1354) x z x x y x u U (x; y; z)=(;v;p) d 0 Q d 0 Q = du + pdv 114

122 d 0 Q = du + = d + dv + pdv = d + + p V» = d + + p d + dp V @V = + + p d V p» + + p (1361) C V d 0 Q d V d 0 Q C p @V = + = C V + @U + d 0 Q = C V d + =(C p C V ) = C V d +(C p C V p p p (1362) (1363) (1364) (1365) + p (1367) 1 1 = C V d +(C p C V ) dv (1369) Vff p ff p (136) ff S d 0 Q = 0 S ff S (1370) 115 d 0 Q=0 p

123 (1369) ff S = 1 V C V C p C V Vff p (1371) = C V ff p (1372) C p C V ff p (1373) ff p ff S (d 0 Q = 0) V p :C V d + C p C V Vff p dv =0 (1374) pv = = p p = V (1375) (1368) = C p C C V V = (fl 1) V ; fl C p (1376) C V S V fl 1 = (1377) pv fl = ; (1378) fl p fl 1 = (1379) 137 u y y x Z Z Z u(y)dy = u(x(y)) dy dx dx = u(x)jdx (1380) J dy dx 116 (1381)

124 2 Z Z Z Z u(x; y)dxdy = u(a; b)jdadb (1382) J = J = fi fi fi @(x; b) fi fi fi fi fi (1383) y) = @a y (1385) (1386) 2 a y y) @yfi fi (1387) fi = fi fi 2» d 0 C V = C p = d» d 0 Q d V p V y (1388) (1389) C V = ) = C p @(;V p (1390) (1391) (1392) 117

125 C p C V = C p = (;V @p p (1393) C p C V @V (1396) (724 ) C p >C V (1397) 1 C p C V = R (1398) x; y; z ffi(x; y; z) =0 (1399) 2 ffi x y; z z dy + dz =0 dy = dz (13101) ; (13102) ; (13103)

126 y x; z @y @z x ; (13105) ; (13106) z x; y @z @y x ; (13108) z z x = 1 z y (1368) x d 0 Q = C V d +(C p C V ) 119 (13112) (13113) dv p

127 : ff p = (13116) p :» = : fl = V V p = fl p = 1 ff p V (13121) (13122) =» V (13123) fl» V ff p V = 1! fl = ff p» (13124) 139 Legendre S V N p U U = U(S; V; N) (13125) μ du = ds pdv + μdn (13126) 120

128 μ V;N S;N S;V (13127) (13128) (13129) H Helmholtz F Gibbs G H = U + pv (13130) F = U S (13131) G = F + pv = U S + pv (13132) Legendre H = H(S; p; N) (13133) F = F (;V;N) (13134) G = G(; p; N) = V = μ = S = p = μ = S = V = μ = 121 ;p

129 (13130), (13131), (13132) Legendre 1310 Legendre n u 1 u 2 u n F = F (u 1 ;u 2 ;:::;u n ) (13145) i ; (i =1; 2;:::;n) (13146) v i u i v j (j =1; 2; :::; n) G = X i u i v i F (u 1 ;u 2 ;:::;u n ) (13147) u i (13148) (13147) Legendre (139) (13130), (13131), (13132) Legendre v i G X ffig = X i = X i;j = X i;j i ffiv i = X X i v i ffiv j j ( P i u iv i F (u 1 ;u 2 ;:::;u n j ffiv j (13149) u i ffiv i X i;j @v j ffiv j + j ffiv j (13150) u i ffiv i (13151) u i ffiv i (13152) F = U S u i (13153) df = du d S ds (13154) = ds pdv + μdn d S ds (13155) = Sd pdv + μdn (13156) 122

130 @F μ ;V V;N ;N (13157) (13158) (13159) = @S V;N p;n V;N = = S;N S;N ;N ;N (13161) (13162) (13163) (13124) 2 (1368) V fl 1 = (13164) pv fl = ; (13165) fl p fl 1 = (13166) 123

131 N N! ln (N!) = (ln N +ln(n 1) + ::: +ln2+ln1) (141) ο Z N 0 ln xdx (142) = [x ln x x] N = N ln N N (143) 0 N! = N N e (144) log N! =N(log N 1) + 1 log(2ßn) (145) (1) = (x) Z 1 Z 1 (146) 0 0 e t t x 1 dt: (146) e t dt = e tλ 1 (x) = e t t x 1Λ Z 1 = 0+(x 1) Z =1 (147) e t (x 1)t x 2 dt (148) e t (x 1)t x 1 1 dt (149) = (x 1) (x 1) (1410) 124

132 n (n +1) = n (n) =n(n 1) (n 1) = ::: (1) = n(n 1):::1 (1411) = n! (1412) 143 I = Z 1 1 e ax2 dx (1413) y I 2 = I = Z 1 1 Z 1 Z e ay2 dy (1414) e a(x2 +y 2 ) dxdy (1415) x y x = r cos (1416) y = r sin (1417) r 2 = x 2 + y 2 (1418) r ß J dxdy = Jdrd (1419) J = = fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi fi cos r sin sin r cos fi fi fi fi fi (1420) (1421) = r (1422) dxdy = rdrd (1423) 125

133 r t = r 2 dt =2rdr Z 1 Z 2ß I 2 = dr d re ar2 (1424) = 2ß = 2ß = 2ß 1 2 = ß 0 Z 1» 0 Z 1 0 0Z 1 0 re ar2 dr (1425) re 1 at dt (1426) 2r 1 a e at 1 0 e at dt (1427) (1428) = ß a (1429) I Z 1 I 2 1 Z 1 e ax2 dx = 1 r ß a (1430) x 2 e ax2 dx (1431) I 2 = d da I (1432) I 2 = Z 1 1 x 2 e ax2 dx = 1 2 r ß a 3 (1433) I 4 = Z 1 1 I 2n 0 r x 4 e ax2 dx = d da I 2 = 3 ß (1434) 4 a 5 Z 1 1 x 2n e ax2 dx = d da I 2n 2 (1435) I 0 = Z 1 0 e ax2 dx = 1 2 Z 1 1 e ax2 dx = r ß 4a (1436) 126

134 144 n 3 N E 1 2m NX i=1 Z Z p 2 x i + p 2 y i + p 2 z i = E (1437) Z ::: dp1dp2:::dpn (1438) 3N r 2 = NX i=1 p 2 x i + p 2 y i + p 2 z i =2mE (1439) 145 n R x 2 + y 2 + z 2 = r 2 (1440) v 3 = 4ß 3 r3 (1441) S S 3 =4ßr 2 = d dr v 3 (1442) 1452 n n x x ::: + x 2 n = r 2 n (1443) rn n n v n v n = c n r n (1444) 127

135 c n 3 S n = d dr v n (1445) v n = Z r 0 S n dr (1446) 3 n I n = Z 1 Z S n = d dr v n = nc n r n 1 (1447) ::: Z 1 1 e (x2 1 +x2 2 +:::+x3 n ) dx 1 dx 2 :::dx n (1448) I n =»Z 1 1 n e x2 dx = ß n 2 (1449) Z 1 e x2 dx = ß 1 2 (1450) 1 I n I n = = Z 1 0 Z 1 t = r 2 0 e r2 S n dr (1451) e r2 nc n r n 1 dr (1452) Z 1 = nc n e r2 r n 1 dr (1453) I n = nc n Z 1 = n 2 c n = n 2 c n 0 Z n 2 e t t n t 1 2 dt (1454) e t t dt (1455) (1456) (x) Z 1 0 e t t x 1 dt (1457) (n +1)=n (n) (1458) 128

136 n (n +1)=n! (1459) I n = n n 2 c n 2 n 2 +1 = c n (1460) (1461) (1462) ß n 2 c n = n 2 ß n 2 +1 (1463) n v n = c n r n = ß n 2 n 2 +1 rn (1464) n n (n +1)=n! = (1465) e n =3N n n = 2e n n 2 +1 = 3N 3N 2 2e (1466) (1467) r = p 2mE v 3N = = ß 3N 2 3N 2e 3N 2 4ßem 3 (2mE) 3N 2 (1468) 3N 2 E N (1469) 146 I 1 = Z 1 0 dffi 1 du (1470) du e fi(u u 0)

137 I 1 = = Z u0 0 Z u0 0 Z dffi u0 du du + dffi 1 dffi 1 du + 0 du u 0 du e fi(u u 0) +1 Z du dffi u0 Z du du dffi 1 1 du 1+e du + dffi 1 du (1471) fi(u 0 u) du 1+e fi(u u 0) 0 e fi(u u 0) u = u 0 (1 t) 3 u = u 0 (1 + t) I 1 = Z u0 0 dffi du du u 0 Z 1 0 u 0 ffi 0 [u 0 (1 t)] 1+e fiu 0t dt + u 0 Z 1 0 Z 1 ffi 0 [u 0 (1 + t)] 1+e fiu 0t dt (1472) 2 e fiu 0 I 1 = Z u0 2 Z dffi du du + u 0 Z 1 ffi 0 [u 0 (1 + t)] ffi 0 [u 0 (1 t)] = ffi 0 [u 0 ]+ ψ = 2 ffi 0 [u 0 ]+ X n=2;4;6:::: ffi 0 [u 0 (1 + t)] ffi 0 [u 0 (1 t)] 1+e fiu 0t I 1 = Z u0 0 dffi X du +2 du 1 1+e fiu 0t = e fiu0t 1+e fiu 0t = e fiu 0t Z 1 0 t n 1 0 1X n=2 ffi 0 [u 0 (1 + t)] ffi 0 [u 0 (1 t)] 1+e fiu 0t dt (1473) ( ) n+1 1 1X 1 (n 1)! ffi(n) [u 0 ](u 0 t) n 1 (1474) n=2! (n 1)! ffi(n) [u 0 ](u 0 t) n 1 (1475) 1 (n 1)! ffi(n) [u 0 ](u 0 t) n 1 (1476) dt =2 n=2;4;6:::: X n=2;4;6:::: Z u n 1 0 ffi (n) [u 0 ] 1 t n 1 dt (1477) (n 1)! 0 1+e fiu 0t u n 0ffi (n) [u 0 ] (n 1)! 1X ( ) m e 0t mfiu = m=0 1+e fiu 0t dt = 1 X m=1 mfiu 0 t = x Z 1 0 t n 1 e mfiu 0t dt = Z 1 1 (mfiu 0 ) n 0 Z 1 0 t n 1 dt (1478) 1+e fiu 0t 1X ( ) m+1 e 0t mfiu (1479) m=1 Z 1 ( 1) m+1 t n 1 e mfiu0t dt (1480) e x x n 1 dx = (n 1)! (n) = (1481) (mfiu 0 ) n (mfiu 0 ) n

138 Z 1 0 t X n 1 1» 1+e dt = m+1 (n 1)! (n 1)! ( 1) = 1 1 fiu 0t (mfiu 0 ) n (fiu 0 ) n n 3 ::: n m=1 (1482) I 1 = = = = Z u0 0 Z u0 0 Z u0 0 Z u0 0 dffi du dffi du dffi du dffi du du +2 X du +2 X du +2 X du +2 X n=2;4;6:::: n=2;4;6:::: n=2;4;6:::: n=2;4;6:::: u n 0ffi (n) [u 0 ] (n 1)! u n 0ffi (n) [u 0 ] (n 1)! ffi (n) [u 0 ] (fi) n 1X m=1 Z 1 0 1X m=1 t n 1 dt (1483) 1+e fiu 0t m+1 (n 1)! ( 1) (1484) (mfiu 0 ) n ( 1) m+1 1 m n (1485) ffi (n) [u 0 ] (fi) n c n (1486) c n 1X m=1 c n» ::: = n n» ( 1) 1 m+1 m = 1 1 n n 3 ::: n (n) 1X m=1 1X m=1 (1487) 1 m n (1488) 1 X 1 m 2 1 n (2m) =(1 n 21 n ) (n) (1489) m=1 (2) = ß2 6 ; (1490) (4) = ß4 90 ; (1491) (6) = ß6 ;:: (1492) 945 c 2 = (1 2 1 ) (2) = ß2 12 ; (1493) c 4 = (1 2 3 ) (4) = 7ß4 720 ; (1494) c 6 = (1 2 5 ) (6) = 31ß (1495) 131

139 I 1 = = Z u0 0 Z u0 0» dffi du du +2 c2 ffi (2) [u 0 ] + c 4ffi (4) fi 2 fi 4 [u 0 ] + ::: (1496) dffi ß2 ffi (2) [u 0 ] du + + 7ß4 ffi (4) [u 0 ] + ::: (1497) du 6 fi fi 4 I 1 = Z 1 0 dffi du = g(u) (1498) 1 g(u) du (1499) e fi(u u 0) +1 I 1 = Z 1 0 Z 1 u0 g(u) e fi(u u 0) +1 du = u = r u 0 =R fi =1=a Z 1 0 g(r) 1 1+e r R a 0 dr = g(u)du + ß2 6 Z R 0 g 0 (u 0 ) fi 2 + 7ß4 g 000 (u 0 ) + ::: (14100) 360 fi 4 g(r)dr + ß2 6 a2 g 0 (R)+::: (14101) 132