PP(tt) = (1 tt) qq 0 +(1 tt) tt qq 1 +(1 tt) tt qq + tt qq (0 ttt1) ここで制御点 qq 0 = (1,1), qq 1 = (,4), qq = (,4), qq = (,1) から定まるベジェ曲線を PP(tt) とし制御点 qq

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1 B- スプライン曲線の一考察 山本孝司 Consideration of the B-Spline Curves Takashi YAMAMOTO This paper proposes a method to describe and visualize B-spline curves for clear understanding of non-uniform rational B-spline curves used for designing software such as CAD. Particular attention is given to handling of the recursion formula to determine the basis functions, handling of the domain and the basis functions when increasing control points, and the effects of the knot vectors towards the B-spline curves. The paper also demonstrates how consideration of the B-spline curves helps solving certain problems associated with the Bezier curves used for drawing software such as Illustrator. Finally, the paper shows how the mathematics used in the process of describing the B-spline curves is related to the mathematics taught at Salesian Polytechnic. 1. はじめに山本 (011 1 ) ) は, イラストレーター等のコンピュータグラフィックス (CG) に使われるベジェ曲線の成り立ちを考察し, 次のベジェ曲線が放物線の一部であることを作図を通して確認した. その結果作図が正しいことの検証のために使われる数学には, 本校の 年前期くらいまでに学習する数学の内容が幅広く含まれることが分かった. 本論文は, ベジェ曲線の問題点を踏まえて, CAD 等の自由曲線に使われる非一様有理 B- スプライン曲線 (NURBS) 注 1) の理解に避けて通れない B- スプライン曲線注 ) を分かりやすく記述し視覚化することを主目的とするが,B - スプライン曲線で使われる数学が本校で学習する数学とどのように関わっているかも考察する..B- スプライン曲線の考察.1 スプラインとはスプラインとはもともと弾力性のある定規のことで, 自由曲線を描く際, 参照点にこの定規をあてて最も適当と思われる形に調整して使っていた. このようにして描かれた曲線がスプライン曲線と呼ばれるものである. これを CG に取り入れるにあたってはパラメトリック曲線を使うが, すべての参照点を通る曲線を描くこと は不可能で, 全体をいくつかの部分に分けて, その部分部分を多項式で表しそれをつないでいくという方法がとられる. 最も良く使われるのは 次式で, これを 自然なスプライン といっている. 自然なスプライン の問題点は多項式の係数を決めるための計算が面倒だということと, 参照点の変化に曲線が敏感になりすぎるということにある. これを改善しようとして考案されたのがベジェ曲線である. 自然なスプライン との大きな違いは曲線が必ずしも参照点を通らないということである.B- スプライン曲線の考察の前にベジェ曲線を簡単に振り返り, その問題点を挙げてみる.. ベジェ曲線の問題点 次のベジェ曲線 PP(tt) は, +1 個の制御点 qq ii と各制御点の重み関数 BB ii を使って, 次のようにパラメトリック曲線として定義されている. PP(tt) = BB ii (0 ttt1) (1) ここでBB ii (t) はバーンスタインの基底関数といい BB ii (tt) = ii CC ii (1 tt) n tt ii!, CC ii = ii! (n)! であった. 次のベジェ曲線は 4 個の制御点を使って次のようになる. 49

2 PP(tt) = (1 tt) qq 0 +(1 tt) tt qq 1 +(1 tt) tt qq + tt qq (0 ttt1) ここで制御点 qq 0 = (1,1), qq 1 = (,4), qq = (,4), qq = (,1) から定まるベジェ曲線を PP(tt) とし制御点 qq 0 = (1,1), qq 1 = (1,), qq = (,4), qq = (,1) から定まるベジェ曲線を PP (tt) として図 1 に示してみる. この図から一つの制御点の変化が, 曲線全体に大きく影響することが分かる. これがベジェ曲線の問題点の一つである. 図 1 制御点変更による影響さらに制御点 qq 0 = (1,1), qq 1 = (,), qq = (,1), qq = (4,) から定まるベジェ曲線をPP(tt) として図 に図示してみよう. 図 制御点が大きく変動する場合この図から制御点が波打つように大きく変動する場合に, ベジェ曲線はその変化に追随せず, なめらかになってしまっていることが分かる. これがベジェ曲線の問題点の つ目である. この主な原因は, 制御点の個数が増えると, 曲線の次数もそれにともなって上がっていくことにある. たとえば 10 個の制御点に対して 9 次のベジェ曲線が必要になり, それは大変複雑 な関数なので, 制御点の影響を受けやすかったり, 逆に制御点の変化に追随できないということが起きてしまう. 以上 点を改善するために考えられた曲線が B- スプライン曲線である. 非常に巧妙に組み立てられた B- スプライン曲線はどのように構成されているかを具体例を通してみていくことにする.. B- スプライン曲線の定義ベジェ曲線の場合の各制御点の重み関数 BB ii は次のようになる. 1=((1 t) + t) n = ii CC ii (1 tt) n tt ii n i=0 これは 1 の 項展開となっているので BB ii (tt) =1が常に成立している. ii=0 また明らかにBB ii (tt) >0が成立している. この つの性質があるおかげで, ベジェ曲線は制御点を繋ぐ凸多角形注 )( 凸閉包 ) の中に含まれる. これを閉包性という. この性質を保ったまま, 制御点の個数を増やしても曲線の次数を上げないで, なめらかに曲線を繋げていくのが B-スプライン曲線である. その定義を見ていくことにする. 次のB-スプライン曲線 PP(tt) は,m+1 個の制御点 qq ii と各制御点の n 次の重み関数 NN ii を使って次のように, パラメトリック曲線として定義される. mm ii=0 () 定義域は後に考察する. NN ii (t) は基底関数でpp +1 個のノットベクトル tt 0, tt 1, tt, tt,, tt pp を使って次の式で与えられる. ii (tt) = 1 tt ii tt< tt () 0 その他 NN ii (tt) = ttttt ii NN tt i tt ii (tt) + tt iii tt NN ii tt iii tt (tt) (4) ここでノットベクトルの成分 tt ii をノットといい, ノットはtt 0 tt 1 tt tt ppn1 tt pp を満たし 50

3 半開区間 [tt ii, tt ) を ii 番目のノット区間という. ノットベクトルには等しいノットがあっても良く, 例えば tt ii = tt = tt の場合に tt ii を多重ノットといい 重になっているので tt ii () のように表すこともある. 多重の場合は () 式の NN ii 0 (tt) は tt の範囲が 0 となるので 0 と定める. また (4) 式の NN ii (tt) に分母が 0 になるケースが出てくるがこの場合もすべて 0 と定める..4 基底関数の構成と制御点の個数 ii 番目のノット区間 [tt ii, tt ) で () 式が意味するのは, 0 次の基底関数 ii (tt) は ii 番目のノット区間のみで定値 1 をとり, その他の区間では定値 0 をとる定値関数であるということである. (4) 式は,n 次の基底関数は つの n1 次の基底関数とノットを使って再帰的に求まることを示している. この式を Cox-de Boor の再帰公式といっている. この節ではまずこの再帰公式に現れる基底関数とノットの間の関係を掴む. まず (4) 式の成り立ちを考える. (4) 式で =, ii =とする.NN (tt) は 次の 番目の基底関数で NN (tt) = ttttt NN tt 5 tt (tt) + tt 6 tt NN tt 6 tt (tt) (5) よりNN (tt) は, 次の 番目の基底関数 NN (tt) と 次の 番目の基底関数 NN (tt) に, ノットから決まる係数を乗じて求まる. このことを示したの が図 の太い矢印である. 同じことをNN (tt), NN について考えると, NN (tt) を求めるにはNN 1 1 とNN が必要になり,NN を求めるにはNN 1 とNN 1 4 が必要になる. 結局 NN (tt) を求めるには, 図 のNN を頂点とする三角形内の基底関数を下から上にさかのぼっていくことになり, 基底関数 NN (tt) が依存するノット区間は, 三角形の底辺から [tt, tt 6 ) であることが分かる. 同様に考えてNN (tt) を頂点とする三角形の底辺から基底関数 NN (tt) が依存するノット区間は [tt, tt 5 ) であることが分かり,NN (tt) を頂点とする三角形の底辺から基底関数 NN (tt) の依存するノット区間は [tt, tt 6 ) であることが分かる. (5) 式で,NN (tt), NN の係数の分母は, その基底関数が依存するノット区間の差になっていることが分かる. 一般に NN ii はノット区間 [t i,t i+n+1 ) に依存し, その中に含まれるノットの個数は + 個であることが図 から確認することができる. tt 0 tt 1 tt tt tt 4 tt 5 tt 6 tt NN NN NN 4 NN 5 NN NN 1 NN NN NN 4 NN 5 NN 1 NN NN NN 4 NN 1 NN NN NN ii NN NN ii 図 基底関数の構成図以上の考察をもとに (4) 式に現れるノットの関係を図解してみると次のようになる. t t i t i+n+1 t t i+n+1 t i+1 t i+n t i 図 4 再帰公式の図解次にノット区間とそのノット区間で値を持つ基底関数を調べることにより, 次数 と必要な制御点の個数との関係を考察する. ここは理解が難しいところである. 図 5の三角形内の基底関数に注目して0 番目のノット区間 [tt 0, tt 1 ) で値を持つ基底関数は 0 のみである. また1 番目のノット区間 [tt 1, tt ) で値を持つ基底関数は 1 1 と, NN 1 1 である. 更に 番目のノット区間 [tt, tt ) で値を持つ基底関数は 1 1 とNN 1, NN および, NN 1, NN である. tt 0 tt 1 tt tt tt 4 tt 5 tt 6 tt 7 tt pp 0 NN 1 0 NN NN 0 NN NN 5 NN NN NN NN NN 4 NN 5 NN 1 NN NN NN 4 NN 1 NN NN NN 1 NN mm 図 5 制御点とノットの関係 51

4 以上の考察から 1 つのノット区間で値を持つ基底関数の個数は,0 次の場合は 1 個,1 次の場合は 個, 次の場合は 個であることが分かる. () より基底関数と制御点の個数は一致していることに注意すると,1 つのノット区間が与えられた時, 制御点の個数は基底関数の次数に依存し,0 次の基底関数の場合は 1 個,1 次の基底関数の場合は 個, 次の基底関数の場合は 個, 一般に n 次の基底関数の場合は, 制御点の個数は n+1 個となることがわかる.( 三角形の底辺にある基底関数の個数 ).5 B- スプライン曲線の閉包性の確認. 節で見たようにベジェ曲線の基底関数は BB ii (tt) =1, BB ii (tt) >0 を常に満たしていた. これを閉包性といった. B-スプライン曲線の基底関数はどうだろうか. 具体的に確認してみる. まず1 次の場合. ノット区間は [tt 1, tt ) で考えるので 1 + NN 1 1 = tt + tt + ttttt 1 =1 tt 1 + tt tt 1 + tt 次に 次の場合. ノット区間は [tt, tt ) で考えるので NN 0 + NN 1 + NN = ( tt + tt ) ( tt 1 + tt )( tt + tt ) + (ttttt 1)( tt + tt ) ( tt 1 + tt )( tt + tt ) + (ttttt )( tt + tt 4 ) ( tt + tt )( tt + tt 4 ) + (ttttt ) ( tt + tt )( tt + tt 4 ) = ttttt + tt + tt = tt + tt + ttttt =1 tt tt tt tt tt + tt tt + tt 一般に tt + tt n+1 NN ii (tt) = + ttttt n =1 (6) tt n + tt n+1 tt n + tt が常に成立している. また図 4から (4) で定義される NN ii (tt) は常に NN ii (tt) >0 (7) を満たしていることは明らかである. (6) 式, (7) 式よりB-スプライン曲線も閉包性を持っていることが確認できた..6 B- スプライン曲線の成り立ち. 節で 次の B- スプライン曲線 PP(tt) は, m+1 個の制御点 qq ii と各制御点の重み関数 NN ii を使って次のようにパラメトリック曲線として定義した. mm このときの tt の範囲はノットを使ってどのように表されるのだろうか. また制御点が増えたときノットをどのように扱えばよいのだろうか. 具体的に考えてみる. まず制御点 個からなる 次 B-スプライン曲線を求めてみる. 次なので求めなければならない基底関数はNN 0, NN 1, NN のつだが, 基底関数は一つ一つがCox-de Boorの再帰公式によって再帰的に定義されているので, 結局図 5の太い台形の中のノットと基底関数が必要になる. またつの基底関数の定義域は, 図 5で基底関数 NN 0, NN 1, NN を底辺とする三角形の頂点が位置するノット区間 [tt, tt ) = [,) である. そして対象となるノットベクトルは tt 0, tt 1, tt, tt, tt 4, tt 5 で, これを {0,1,,,4,5} とする. この区間で台形内の基底関数を順に求めることにする. 定義域を [tt, tt ) = [,) で考えるので,() より 0 次の基底関数はノット区間 [,) のみで定値 1 をとり他の区間はすべて 0 である. すなわち 0 = 0, 1 = 0, = 1, = 0, 4 =0 (4) より NN 1 0 (tt) = ttttt 0 tt 1 tt 0 (tt) + tt tt 0 tt tt 1 (tt) 1 = ttt0 tt =0 同様にして NN 1 1 (tt) = tt, NN 1 (tt) = ttt, NN 1 (tt) = 0 (tt) = ( tt), NN 1 (tt) = tt +5ttt 11 NN (tt) = (ttt) 以上の基底関数をもとに制御点を qq 0 = (1,1), qq 1 = (,), qq = (4,1) とすると () から 次の B- スプライン曲線は 5

5 ( tt) = + tt +5ttt 11 qq 1 + (ttt) qq ( tt< ) (8) となり図 6のような曲線となる. qq 0 となり (8) 式, (9) 式をまとめて図示すると図 7 のように tt = で連続でなめらかな曲線となる. (8) 式, (9) 式をまとめて示すと ( tt<4) (10) のようになるが,(10) 式はあくまでも (8) 式, (9) 式をまとめたもので,tt の範囲によって採用する基底関数 NN ii (tt) を変えなければならない..5 節で見た閉包性は 4 個の基底関数の和で成立しているのではなく, あくまでも ( 次数 +1)= 個分の基底関数の和について成立していることに注意する必要がある. 図 6 次 B-スプライン ( 制御点 ) 次にこのまま制御点を1 個増やしてみる. 次 B-スプライン曲線はあくまでも 個の基底関数を持ち, それを繋いでいくという方法をとるので, 先に考えた図 5の三角形と台形をそのまま1つ分平行移動することになる. 求める基底関数はNN 1,NN,NN のつである. 基底関数の定義域は, 図 5で基底関数 NN 1,NN,NN を底辺とする一番右の三角形の頂点が位置するノット区間 [tt, tt 4 ) = [,4) である. そして対象となるノットベクトルは tt 1, tt, tt, tt 4, tt 5, tt 6 でこれを {1,,,4,5,6} とする. (8) 式を求めたときと同様に台形内の基底関数を求めると次のようになる. 1 = 0, = 0, = 1, 4 = 0, 5 =0 NN 1 1 = 0, NN 1 (tt) =4 tt, NN 1 (tt) = ttt, NN 1 4 =0 NN 1 (tt) = 1 (4 tt), NN (tt) = +7ttttt NN (tt) = 1 ( +tt) 以上の基底関数をもとに 4 番目の制御点を qq = (5,) とすると () から 次 B- スプライン曲線は (4 tt) QQ(tt) = NN ii = + +7ttttt qq + (ttt) qq ( tt< 4) qq 1 (9) 図 7 次 B-スプライン ( 制御点 4) この節の最後に制御点 qq ii の個数 m+1, ノットベクトルの個数 pp +1, 次数 の間に成立する関係を考察する. 基底関数を決定するのに必要なノットベクトルの個数は図 5の台形から容易に予想することができる. ノットベクトルを tt 0, tt 1, tt, tt, tt 4,, tt pp としn 次の基底関数を NN 0, NN 1, NN, NN mm として制御点を qq 0, qq 1, qq, qq,, qq mm とすると, 常に pp = mm + +1なる関係がある. そして 次の B-スプライン曲線は次のように表され, その定義域は 番目のノットからmm 番目のノットにわたっている. mm ( tt t < tt mmmm ) (11).7 つなぎ目での連続性ノットベクトルに対応する曲線上の点をノット点という. 図 7 で tt =に対するノット点 PP() と QQ() が一致し, 方向微分係数 PP () と QQ () が一致することを一般的に示してみよう. ノットベクトルを tt 0, tt 1, tt, tt, tt 4,, tt 5, とし制御点を qq 0, qq 1, qq とすると 5

6 = qq 0( tt + tt ) ( tt 1 + tt )( tt + tt ) + qq 1( (ttttt 1)( tt + tt ) ( tt 1 + tt )( tt + tt ) + (ttttt )( tt + tt 4 ) ( tt + tt )( tt + tt 4 ) )+ qq (ttttt ) ( tt + tt )( tt + tt 4 ) PP (tt) = qq 0 ( tt + tt ) ( tt 1 + tt )( tt + tt ) + qq 1 ( ttttt 1 ( tt 1 + tt )( tt + tt ) tt + tt + ( tt 1 + tt )( tt + tt ) ttttt ( tt + tt )( tt + tt 4 ) tt + tt 4 + ( tt + tt )( tt + tt 4 ) ) + qq (ttttt ) ( tt + tt )( tt + tt 4 ) これより PP(tt ) = qq (tt tt )+qq 1 (tt tt 4 ) tt tt 4 (1) PP (tt ) = qq 1 qq tt tt 4 (1) ノットベクトルを tt 1, tt, tt, tt 4, tt 5, tt 6 とし制御点を qq 1, qq, qq とすると QQ(tt) = NN ii qq 1 ( tt + tt 4 ) = ( tt + tt 4 )( tt + tt 4 ) + qq ( (ttttt )( tt + tt 4 ) ( tt + tt 4 )( tt + tt 4 ) + (ttttt )( tt + tt 5 ) ( tt + tt 4 )( tt + tt 5 ) )+ qq (ttttt ) ( tt + tt 4 )( tt + tt 5 ) QQ (tt)= qq 1 ( tt + tt 4 ) ( tt + tt 4 )( tt + tt 4 ) + qq ttttt ( ( tt + tt 4 )( tt + tt 4 ) tt + tt 4 + ( tt + tt 4 )( tt + tt 4 ) ttttt ( tt + tt 4 )( tt + tt 5 ) tt + tt 5 + ( tt + tt 4 )( tt + tt 5 ) )+ qq (ttttt ) ( tt + tt 4 )( tt + tt 5 ) これより QQ(tt ) = qq (tt tt )+qq 1 (tt tt 4 ) tt tt 4 (14) QQ (tt ) = qq 1 qq tt tt 4 (15) (1) 式と (14) 式より PP(tt ) = QQ(tt ), (1) 式と (15) 式より PP (tt ) = QQ (tt ) である. よってノットベクトル tt = tt におけるノット点で関数値および方向微分係数は一致する. こ れより B- スプライン曲線は制御点を増やしたとき, つなぎ目でなめらかに接続されることがわかる..8 ノットの変化と曲線の形状ノットベクトルが等間隔のとき一様といい, 等間隔でないとき非一様という. 一様のときは, 図 6, 図 7から分かるようにノット点は各制御点を結ぶ線分の中点を通り, 制御点の始点と終点を通らない. 興味深いのは非一様の場合である. この節ではノットベクトルが非一様の場合に, ノットベクトルとB-スプライン曲線の形状とにどのような関係があるかを具体的に見ていく. 以下 B-スプライン曲線の次数 =, 制御点の個数 mm =4の場合について考える. この場合のノット区間は.6 節でみたように [tt, tt ) と [tt, tt 4 ) なのでまずtt, tt を変化させて曲線の変化を考察してみる. 1{0,1,, a, 4,5,6} で<aa <4の場合. 図 8で曲線 Pのノットベクトルは aa =の場合で {0,1,,,4,5,6} である. これは一様である. 曲線 Qのノットベクトルはaa =.8の場合で {0,1,,.8,4,5,6} である. 曲線 Rのノットベクトルはaa =.の場合で {0,1,,.,4,5,6} である. 図 8から 番目のノット点は線分 qq 1 qq 上にあって aaaのとき制御点 qq 0, qq 1, qq からなるB- スプライン曲線は点 qq 1 に重複し, 制御点 qq 1, qq, qq に対するB-スプライン曲線は点 qq 1 を始点とする曲線となることが予想できる. 図 8 aa を と 4 の間で変化させた場合また aaa のとき制御点 qq 1, qq, qq からなる B- スプライン曲線は点 qq に重複し, 制御点 qq 0, qq 1, qq に対する B- スプライン曲線は点 qq を終点と 54

7 する曲線となることが予想できる. 次にこのことを確認する. {0,1,, a, 4,5,6} で aa = および aa =4 の場合. 曲線 P のノットベクトルは一様で {0,1,,,4,5,6} である. 図 9 aa = または aa =4 の場合図 9 から分かるように, 曲線 S のノットベクトルは {0,1,,,4,5,6} で tt = で制御点 qq 1 に重複し, ノット区間 [,4) で曲線 S となっている. 曲線 T のノットベクトルは {0,1,, 4,4,5,6} でノット区間 [,4) で曲線 T となり,tt =4 で制御点 qq に重複している. {0,1, a,,4,5,6} で<aa <4の場合. 図 10の曲線 Uのノットベクトルはaa = 1.の場合で, 曲線 Vのノットベクトルはaa =.8の場合である. 図 10から 番目のノット点は線分 qq 0 qq 1 上にあって aaa1のとき制御点 qq 0, qq 1, qq からなるB- スプライン曲線の始点は点 qq 0 に近づき,a のときは図 8の曲線 Rと同様に制御点 qq 0, qq 1, qq からなるB-スプライン曲線は制御点 qq 1 に重複することが予想できる. a の場合はすでに確認済なので次にaaa1の場合について確認する. 図 10 aa を 1 と の間で変化させた場合 4{0,1, a,,4,5,6} でaa =1の場合. ノットが重複しているのでCox-de Boorの再帰公式に従って制御点の個数 4の 次 B-スプライン曲線を丁寧に求めて見る. tt 0 tt 1 tt tt tt 4 tt 5 tt 6 tt NN 1 NN NN NN 4 NN 5 NN NN 1 NN NN NN 4 NN 5 NN 1 NN NN NN 4 NN 1 NN NN 図 11 多重ノットの場合の基底関数の構成図まず図 11 の左の三角形に注目し, 番目のノット区間 [tt, tt ) = [1,) を考え 次の基底関数, NN 1, NN を求める. 基底関数を決定するために必要なノットは, 図 11 の台形内にあるノットすなわちtt 0 からtt 5 までである. () より 0 次の基底関数はノット区間 [tt, tt ) = [1,) のみで定値 1 をとり他の区間はすべて 0 である. すなわち 0 = 0, 1 = 0, = 1, = 0, 4 =0 (4) より NN 1 0 (tt) = ttttt 0 tt 1 tt 0 (tt) + tt tt 0 tt tt 1 (tt) 1 = ttt0 tt 0+1 0となるが ここで分母が0の分数は0と取り決めてあるので NN 1 0 (tt) =0となる. 以上に注意して基底関数を求めると以下のようになる. NN 1 1 (tt) = tt (tt) =, NN 1 (tt) = ttt1, NN 1 (tt) = 0 ( tt), NN 4 1 (tt) = tt 6 5tt 1 NN (tt) = (ttt1) 6 以上の基底関数をもとに制御点を qq 0 = (1,1), qq 1 = (,4), qq = (5,1) とすると () から 次の B- スプライン曲線は次のようになる. = ( tt) 4 qq tt 6 5tt 1 qq 1 + (ttt1) 6 qq (1 tt<) (16) 55

8 次に図 11 の右の三角形に注目し, 番目の ノット区間 [tt, tt 4 ) = [,4) を考え基底関数 NN 1, NN,NN を求める. 基底関数を決定するために必要なノットは, 図 11 の台形を右に 1 つだけ平 行移動してtt 1 からtt 6 までである. () より 0 次の基底関数はノット区間 [tt, tt 4 ) = [,4) のみで定値 1 をとり他の区間はすべて 0 である. すなわち 1 = 0, = 0, = 1, 4 = 0, 5 =0 (4) より N 1 1 (tt) = ttttt 1 tt tt 1 (tt) + tt tt 1 tt tt (tt) = ttt1 1 1 同様にして 0+ tt 1 0=0 NN 1 (tt) =4 tt, NN 1 (tt) = ttt, NN 4 1 (tt) =0 NN 1 (tt) = (4 tt), NN (tt) = tt 5tt 6 NN (tt) = (ttt) 以上の基底関数をもとに制御点を qq 1 = (,4), qq = (5,1), qq = (6,4) とすると () から 次の B- スプライン曲線は次のようになる. = (4 tt) qq tt 5tt 6 qq + (ttt) qq ( tt<4) (17) (16),(17) をグラフにすると図 1の曲線 Lとなる. 曲線 Lのノットベクトルはaa =1の場合で {0,1, 1,,4,5,6} である.aa =1で制御点 qq 0, qq 1, qq からなる B- スプライン曲線の始点は制御点 qq 0 に一致していることが分かる. 図 9と図 1から制御点 qq 0 を始点とし qq を終点とするB-スプライン曲線を作るには {0,1, aa, bb, 4,5,6} でaaa1, bbb4 とすれば良いことが見えてくる. 次にこのことを確認することにする. 5{0,1, aa, bb, 4,5,6} でaa = 1, bb =4の場合図 1の曲線 Mのノットベクトルはaa = 1, bb = 4の場合で {0,1, 1,4,4,5,6} である. この場合のB -スプライン曲線は確かに制御点 qq 0 を始点とし qq を終点としていることが分かる. これは 次のベジェ曲線そのものである. ノットベクトルが {0,1, 1,4,4,5,6} のB-スプライン曲線は 次のベジェ曲線に一致することを数式で確認して見る. (1) 式から 次のベジェ曲線は PP(tt) = (1 tt) qq 0 +(1 tt) tt qq 1 + tt qq (0 ttt1) (18) と表される. 一方 Cox-de Boorの再帰公式より求めたB-スプライン曲線は 1 MM(ss) = 9 (4 ss) qq (4 ss)( 1+ss) qq ( 1+ss) qq (1 ss<4) (19) となる. ここで ttと ssの範囲に注意してs=t +1と変換すると (19) 式は (18) 式に一致することが示される. よって (19) 式は 次のベジェ曲線を表す. ちなみに次のノットベクトルによって表される曲線はすべて同一の曲線を表し, 次ベジェ曲線に一致する. {0,1, 1,,,,4}, {0,,,4,4,5,6}, {0, aa, aa, bb, bb, b+ 1, b + } 図 1 aa =1 場合 図 1 {0,1, aa, bb, 4,5,6} で aa = 1, bb =4 の場合 56

9 B-スプライン曲線は, ノットベクトルの取り方次第でベジェ曲線をも含むという点においても優れているといえる. 次に図 1の曲線 Lの終点が制御点 qqqq に一致する場合を考察することにする. 次数, 制御点の個数 4の B-スプライン曲線のノット区間 [tttt, tttt ),[tttt, tttt 4 ) のうちtttt, tttt を変化させて曲線の変化を考察してきたが, ここで tttt を1,tttt をとしてtttt 4 を変化させてみる..9 ベジェ曲線の問題点の改善. 節でベジェ曲線の問題点をつあげた. この節ではこれがどのように改善されているかを見る. 1 制御点の変化に対する曲線への影響図 16に制御点 qqqq 0 が qqqq 0 に変化するとき, 制御点 4の 次ベジェ曲線がどのように変化するかを示す. 広範囲で曲線全体が変化しているのが見てとれる. 6{0,1,1,, a, 5,6} で <aaaa <5 の場合. a の場合は 5 の考察からベジェ曲線に近づくことが予想できるので,a 5 としてみる. 図 16 制御点 4 の 次のベジェ曲線 図 14 {0,1, 1,, a, 5,6} でaaaa = 4.8の場合図 14の曲線 Nのノットベクトルはaaaa = 4.8の場合で {0,1, 1,, 4.8,5, 6} である. 予想通りB-スプライン曲線の終点は制御点 qqqq に近づいていくことが確認される. 最後にaaaa =5としてみる. 7{0,1,1,, a, 5,6} で aaaa =5 の場合. 図 15 の曲線 G のノットベクトルは aaaa =5 の場合で {0,1, 1,, 5,5, 6} である. B- スプライン曲線の終点は制御点 qqqq に一致することが確認される. 図 15 {0,1, 1,, a, 5,6} で aaaa = 5 の場合 図 17 制御点 4の 次 B-スプライン曲線図 17に制御点 4の 次 B-スプライン曲線が同じく制御点 qqqq 0 の変化に対してどのように変化するかを示す. ノットベクトル {0,1, 1,,5,5,6} に対して 番目のノット点 tttt = からあとの曲線 ( セグメント ) は全く影響を受けていないことが分かる. 制御点の変動に対する曲線の追随制御点がジグザグに激しく変動する場合の曲線の変化を比べてみる. 図 18 に制御点 4 の 次ベジェ曲線を示す.. 節でもみたようにベジェ曲線は制御点の変化に追随できない. 図 19 に制御点 4 の 次 B- スプライン曲線を示す. ベジェ曲線に比べて大幅に改善されているのが見てとれる. 以上ベジェ曲線の問題点が B- スプライン曲線によって大幅に改善されていることを示した. 57

10 図 18 制御点 4 の 次ベジェ曲線 図 19 制御点 4 の 次 B- スプライン曲線. おわりにベジェ曲線は幾何学的にもアプローチすることができ, 比較的容易に理解が可能である. しかし B- スプライン曲線は幾何学的なアプローチは難しく Cox-de Boor の再帰公式を繰り返し適用しながら, 基底関数を求めていく必要がある. 基底関数を求めるだけでも結構計算が面倒であるが, そこに制御点が入り, しかもノットベクトルという非常に便利ではあるが, とっつきにくいものが混ざって, 初学者には大変分かりにくい曲線である. 特に基底関数を決定する再帰公式の扱い, 制御点を増やした時の定義域と基底関数のとり方, ノットベクトルの曲線に対する影響については, この辺を解説している参考書は少なく, 視覚化するのに大変苦労した. 本論文の主要目的はベジェ曲線の問題点を踏まえて B- スプライン曲線の成り立ちを分かりやすく視覚化して CAD 等に使われる非一様有理 B- スプライン曲線 (NURBS) の理解のとっかかりを掴むことであったが, 高専 年次位で理解できるところまで噛み砕いて解説し視覚化できたかどうかは疑問が残る. これは今後の課題としたい. B- スプライン曲線を理解し視覚化する過程で, 年次の微分積分学で扱う数列の和や漸化式, 年次の解析学で扱うパラメーター表示の 微分, 関数の連続性, 年次の代数幾何学で扱う分点公式の発展等が必要になることが分かった. また途中の計算は非常に煩雑で手計算では追いつかず, 数式処理ソフトが必要不可欠である. 再帰公式を繰り返して基底関数を求める過程で適当な言語によるプログラムを利用するのが良いと思われる. 将来高専 年生くらいまでの数学と, 幾何ソフト, グラフ描画ソフト, 数式処理ソフト等を使って CG に使われる自由曲線を材料にして高専の数学を意欲的に学ぶことができる教材を作りたい. 最終目的である NURBS 曲線を考察するに当たっては, 有理 B- スプライン曲線の理解が必要になる. これも今後の課題としたい. 本論文のグラフ描写にはフリーソフト GRAPES を使い, 計算には数式処理ソフト Mathematica8 を使った. また本論文を書くにあたり, 最も参考になったのは, ミシガン工科大学, コンピュータサイエンス学部 Dr. C. K. Shene の講義ノート Introduction to Computing with Geometry Notes ) であった. 具体的な計算やノットベクトルの使い方を記述しているテキストが見当たらない中, この講義ノートは大変有益であった. 氏に心から感謝したい. 文献 1) 山本孝司, ベジェ曲線の一考察, サレジオ工業高等専門学校研究紀要, 第 7 号,p.17~p.,(011) ) NOTES/,Last update: May 4, 011 注記注 1) NURBS 曲線とはNon-uniform rational B-spline の略. 注 )BはBasisの略である. 注 ) 凸多角形とは, 図形の中の任意の 点を結ぶ線分が, 元の図形に含まれるような図形のこと. 58