2015－2018年度 ２次数学セレクション（整数と数列）解答解説

Transcription

1 015 次数学セレクション問題 1 [ 千葉大 文 ] k, m, n を自然数とする 以下の問いに答えよ (1) k を 7 で割った余りが 4 であるとする このとき, k を 3 で割った余りは であることを示せ () 4m+ 5nが 3 で割り切れるとする このとき, mn を 7 で割った余りは 4 ではないことを示せ -1-

2 015 次数学セレクション問題 [ 九州大 理 ] 以下の問いに答えよ (1) n が正の偶数のとき, n -1 は 3 の倍数であることを示せ () n を自然数とする n + 1と n -1は互いに素であることを示せ (3) p, q を異なる素数とする p-1-1= pq を満たす p, q の組をすべて求めよ --

3 015 次数学セレクション問題 3 [ 京都大 理 ] a, b, c, d, e を正の実数として整式 f ( x) = ax + bx+ c, g( x) = dx+ eを考える f すべての正の整数 n に対して ( n ) は整数であるとする このとき, f ( x ) は g( x ) で g( n ) 割り切れることを示せ -3-

4 015 次数学セレクション問題 4 [ 東北大 文 ] 次の性質をもつ数列 { an } を考える n n n+ 1 n+ 1 n n+ 1 a 1 = 3, an+ 1 > an, a - a a + a = 3( a + a ) ( n = 1,, 3, ) (1) n = 1,, 3, に対し, an + a n + を a n+ 1 を用いて表せ () bn = an+ 1 - an ( n = 1,, 3, ) により定まる数列 { bn } の一般項を求めよ (3) 数列 { an } の一般項を求めよ -4-

5 015 次数学セレクション問題 5 [ 広島大 文 ] n を自然数とし, p n, qn を実数とする ただし, p 1, q1 は p 1-4q1 = 4を満たすと する 次方程式 x - pnx+ qn = 0 は異なる実数解 n, n をもつとする ただし, n < nとする c n = n - n とおくとき, 数列 { cn } は cn+ 1 = n + ( n = 1,, 3, ) cn n( n+ 1) を満たすとする 次の問いに答えよ (1) rn = log ( n n + n) とするとき, () cn を n の式で表せ (3) pn = n n であるとき, qn を n の式で表せ n + n( n+ 1) を r n, r n + 1 を用いて表せ -5-

6 015 次数学セレクション問題 6 [ 千葉大 理 ] b と c をb + 4c> 0を満たす実数として, x に関する 次方程式 x -bx- c= 0 の相 n-1 n-1 異なる解を, とする 数列 { a } を, a = + ( n = 1,, 3, ) により定め n n る このとき, 次の問いに答えよ (1) 数列 { an } は漸化式 an+ = ban+ 1 + can ( n = 1,, 3, ) を満たすことを示せ () 数列 { an } の項 an がすべて整数であるための必要十分条件は, b, c がともに整数で あることである これを証明せよ -6-

7 015 次数学セレクション問題 7 [ 東京大 理 ] (1) 数列 { pn } を次のように定める p n+ 1 pn pn+ 1pn n+ 1 p + 1 p 1 = 1, p =, pn+ = ( n = 1,, 3, ) pn が n によらないことを示せ () すべての n =, 3, 4, に対し, pn+ 1 + pn-1を p n のみを使って表せ (3) 数列 { qn } を次のように定める q 1 = 1, q = 1, qn+ = qn+ 1 + qn ( n = 1,, 3, ) すべての n = 1,, 3, に対し, pn = qn - 1を示せ -7-

8 016 次数学セレクション問題 8 [ 北海道大 文 ] x, y を自然数とする (1) 3x x + が自然数であるような x をすべて求めよ () 3x + 1 が自然数であるような組 ( x, y) をすべて求めよ x + y -8-

9 016 次数学セレクション問題 9 [ 大阪大 文 ] 次の問いに答えよ (1) a を正の実数とし, k を 1 以上の実数とする x についての 次方程式 x - kax+ a- k= 0 は, 不等式 - 1 <s 1 を満たすような実数解 s をもつことを示 a せ () a を 3 以上の整数とする n 整数 n を a を用いて表せ + aが an + 1 で割り切れるような 以上のすべての -9-

10 016 次数学セレクション問題 10 [ 神戸大 理 ] 約数, 公約数, 最大公約数を次のように定める つの整数 a, b に対して, a= bkを満たす整数 k が存在するとき, b は a の約数という つの整数に共通の約数をそれらの公約数という 少なくとも一方が 0 でない つの整数の公約数の中で最大のものをそれらの最大公約数という 以下の問いに答えよ (1) a, b, c, p は 0 でない整数で a = pb+ cを満たしているとする (i) a = 18, b = 30, c =- 4, p = のとき, a と b の公約数の集合 S, および b と c の公約数の集合 T を求めよ (ii) a と b の最大公約数を M, b と c の最大公約数を N とする M と N は等しいこ とを示せ ただし, a, b, c, p は 0 でない任意の整数とする () 自然数の列 { an } を, an+ = 6an+ 1 + an ( n = 1,, ), a 1 = 3, a = 4 で定める (i) a n + 1 と a n の最大公約数を求めよ (ii) a n + 4 を a n+ と a n を用いて表せ (iii) a n + と a n の最大公約数を求めよ -10-

11 016 次数学セレクション問題 11 [ 東京大 文 ] 以下の問いに答えよ ただし, (1) については, 結論のみを書けばよい (1) n を正の整数とし, 3 n を 10 で割った余りを a n とする a n を求めよ () n を正の整数とし, 3 n を 4 で割った余りをb n とする b n を求めよ (3) 数列 { xn } を次のように定める x =, x 1 3 x + = n ( n = 1,, 3, ) 1 1 n x10 を 10 で割った余りを求めよ -11-

12 016 次数学セレクション問題 1 [ 九州大 ] 自然数 n に対して, 10 n を 13 で割った余りを a n とおく a n は 0 から 1 までの整数である 以下の問いに答えよ (1) a n + 1 は10a n を 13 で割った余りに等しいことを示せ () a 1, a,, a6 を求めよ (3) 以下の 3 条件を満たす自然数 N をすべて求めよ (i) N を十進法で表示したとき 6 桁となる (ii) N を十進法で表示して, 最初と最後の桁の数字を取り除くと 016 となる (iii) N は 13 で割り切れる -1-

13 016 次数学セレクション問題 13 [ 東北大 理 ] 以下の問いに答えよ (1) 6 以上の整数 n に対して不等式り示せ q p n > n + 7が成り立つことを数学的帰納法によ () 等式 p = q + 7 を満たす素数の組 ( p, q) をすべて求めよ -13-

14 016 次数学セレクション問題 14 [ 東京工大 ] n を 以上の自然数とする (1) n が素数または 4 のとき, ( n -1)! は n で割り切れないことを示せ () n が素数でなくかつ 4 でもないとき, ( n -1)! は n で割り切れることを示せ -14-

15 016 次数学セレクション問題 15 [ 京都大 理 ] 素数 p, q を用いて, p q p + q と表される素数をすべて求めよ -15-

16 016 次数学セレクション問題 16 [ 名古屋大 文 ] 正の整数 n に対して, その (1 と自分自身も含めた ) すべての正の約数の和を s( n) と かくことにする このとき, 次の問いに答えよ k (1) k を正の整数, p を 3 以上の素数とするとき, s( p) を求めよ () s( 016) を求めよ (3) 016 の正の約数 n で, s( n ) = 016 となるものをすべて求めよ -16-

17 017 次数学セレクション問題 17 [ 一橋大 ] 連立方程式 x = yz+ 7, x y z となるものを求めよ y = zx+ 7, z = xy+ 7 を満たす整数の組 ( x, y, z) で -17-

18 017 次数学セレクション問題 18 [ 北海道大 理 ] 自然数の 乗となる数を平方数という (1) 自然数 a, n, k に対して, n( n+ 1) + a= ( n+ k) が成り立つとき, a k + k-1が成り立つことを示せ () n( n+ 1) + 14 が平方数となるような自然数 n をすべて求めよ -18-

19 017 次数学セレクション問題 19 [ 九州大 文 ] 以下の問いに答えよ (1) 017 と 5 の最大公約数を求めよ () 5 との最大公約数が 15 となる 017 以下の自然数の個数を求めよ (3) 5 との最大公約数が 15 であり, かつ 1998 との最大公約数が 111 となる 017 以下の自然数をすべて求めよ -19-

20 017 次数学セレクション問題 0 [ 筑波大 理 ] 数列 { an } が, a 1 = 1, a = 3, n+ 3 n+ 1 6 n+ 1 n 3 n n+ 1 a = a - a a + a + a ( n = 1,, ) を満たすとする また, bn = an+ 1 - an ( n = 1,, ) とおく 以下の問いに答えよ (1) bn 0 ( n = 1,, ) を示せ () b n ( n = 1,, ) の一の位の数が であることを数学的帰納法を用いて証明せよ (3) a017 の一の位の数を求めよ -0-

21 017 次数学セレクション問題 1 [ 東京大 ] 1 n n n = に対して, an p ( ) p = + 5 とおき, 自然数 1,, 3, = + - と定める p 以下の問いに答えよ ただし設問 (1) は結論のみを書けばよい (1) a1, aの値を求めよ () n とする 積 aa 1 n を, a n + 1 と a n-1 を用いて表せ (3) an は自然数であることを示せ (4) a n + 1 と a n の最大公約数を求めよ -1-

22 017 次数学セレクション問題 [ 九州大 理 ] 初項 a 1 = 1, 公差 4 の等差数列 { an } を考える 以下の問いに答えよ (1) { an } の初項から第 600 項のうち, 7 の倍数である項の個数を求めよ () { an } の初項から第 600 項のうち, 7 の倍数である項の個数を求めよ (3) 初項から第 n 項までの積 aa 1 an が7 45 の倍数となる最小の自然数 n を求めよ --

23 017 次数学セレクション問題 3 [ 名古屋大 文 ] 次の問いに答えよ (1) 次の条件 (*) を満たす 3 つの自然数の組 ( a, b, c) をすべて求めよ (*) a< b< cかつ = 1 である a b c () 偶数 n ( n 1) の 3 つの正の約数 p, q, r で, p> q> rと p+ q+ r = nを満たす組 ( p, q, r) の個数を f ( n ) とする ただし, 条件を満たす組が存在しない場合は, f ( n ) = 0とする n が自然数全体を動くときの f ( n ) の最大値 M を求めよ また, f ( n) = M となる自然数 n の中で最小のものを求めよ -3-

24 018 次数学セレクション問題 4 [ 九州大 文 ] 以下の問いに答えよ (1) n を自然数とするとき, n を 7 で割った余りを求めよ () 自然数 m は, 進法で 101 が 6 回連続する表示 () をもつとする m を 7 で割った余りを求めよ -4-

25 018 次数学セレクション問題 5 [ 京都大 ] 3 n - 7n+ 9が素数となるような整数 n をすべて求めよ -5-

26 018 次数学セレクション問題 6 [ 名古屋大 文 ] 次の問いに答えよ (1) 整数, の少なくとも一方が奇数のとき, + + は奇数であることを示 せ () n を奇数とする このとき + + = n を満たす整数, は存在しない ことを示せ 3 (3) c を実数とする このとき 3 次方程式 x - 018x+ c= 0 の解のうち整数であるものは 1 個以下であることを示せ -6-

27 018 次数学セレクション問題 7 [ 東北大 理 ] a b 整数 a, b は等式 3 - = 1 1を満たしているとする (1) a, b はともに正となることを示せ () b > 1 ならば, a は偶数であることを示せ (3) 1を満たす整数の組 ( a, b) をすべてあげよ -7-

28 018 次数学セレクション問題 8 [ 千葉大 文 ] 初項が 1 で公差が 6 である等差数列 1, 7, 13, の第 n 項を a n とし, また初項が 3 で公差が 4 である等差数列 3, 7, 11, の第 m 項をb m とする つの数列 { a n }, { b m } に共通に現れる数すべてを小さい順に並べてできる数列を { ck } とし, つの数列 { a n }, { bm } の少なくとも 1 つの項になっている数すべてを小さい順に並べてできる数列を { dl } とする したがって c 1 = 7 であり, また数列 { dl } のはじめの 5 項は 1, 3, 7, 11, 13 となる (1) 数列 { ck } の一般項を求めよ () d1000 および d 1001 の値を求めよ -8-

29 018 次数学セレクション問題 9 [ 東京大 理 ] n+ 数列 a1, a, を, 1Cn a n = ( n = 1,, ) で定める n! an qn (1) n とする を既約分数 an - 1 p として表したときの分母 pn 1 と分子 qn を n 求めよ () an が整数となる n 1をすべて求めよ -9-