i

Transcription

1 18 16

2 i

3 ii ψ

4 hν Legendre :m = Legendre :m A 183 A A A A iii

5

6 ) 0 17 ) 0 ) -3-4 ) ν hν h SI J sec) ) ) ) 1 3

7 1 ) H O H O hν ) AB P AB ) P ) AB P A P ) B

8 ) ) ) ) ) 1-4 ) 1. ) 6 r 1 d x E 0 sin kr 1 ct)) E 0 sin kr ct)) r E 0 r L E 0 sin kr 1 ct)) + sin kr ct))) 1.1) x r 1, r sin kr 1 ct)) sin kr ct)) m 1m 5 6

9 4 1 ) ) A B A + B sin A + sin B = cos sin ) ) k k E 0 cos r 1 r ) sin r 1 + r ) kct 1.) ) k cos r 1 r ) = 0 [ 1-1] r 1 r x λ L d λ 1 + x) n 1 + nxx 1 ) [ 1-] 1 ɛe sin θ, cos θ 0 sin θ = 0 1 cos θ cos θ 7 hν) 7

10 ) ) ) 8 9

11 [ 1-1] m) m) 13.6eV 1eV J) [ 1-] 150 ) 750 1) J 1 4.J ) [ 1-3] 100W m hν m/s 1 0.5cm 1 [ 1-4] cm ) 10 6 m ) ) m ) J ) [ 1-5] 10

12 Hz 5000K ) ) 1 kt k = J/K 3 kt 3 ) 5 kt ) 1 kt 1 kx )

13 8 1 kt 3kT 5 k 5 k ) 3k ) 1 1 kt, C = 15 4C = A B C ) A B C A B C A B C 90 ) 3 ) 1

14 .. 9 ). ) T 3 kt 1 kt 1 kt 1 1 kt ) ) n = 1 L π L n = L π L n = 3 L 3 3π L n = 4 L 4π L

15 10 L n = 1,, 3, L, L, L 3, L, n = 1, n = n=1 n= sin π L x, sin π L x, sin 3π x, sin L sin x x sin kx k π k k = nπ n L x, y n x n y n =1, n =1 x y y n =, n =1 x y y n =1, n = x y y n =, n = x y y x x x x 1 π λ

16 .. 11 π sin n x L x sin n π y L y.1) n = n = ) n x, y y ) = 3, 5) n x, n y ) =, 4) L n π L π L x = 0, x = L 0 rot E = B t 0 x E x y = 0, L z = 0, L 0 E y x = 0, L z = 0, L E z x = 0, L y = 0, L 0 divd = ρ E x x + E y y + E z z = ρ ) ɛ 0 E x = E 0x cos n xπx L sin n yπy L sin n zπz L E y = E z = E 0y sin n xπx L E 0z sin n xπx L cos n yπy L sin n yπy L sin n zπz L cos n zπz n x, n y, n z ) n x = n y = n z = 0 0 div E = 0 E x0, E y0, E z0 L.) n x E x0 + n y E y0 + n z E z0 = 0.3) E x0, E y0, E z0

17 1 n x, n y, n z ) kt ) 3 ) [ -1] z E z x, y, z, t) = sin n xπx L sin n yπy L cos n zπz L x + y + z 1 ) c t E z x, y, z, t) = 0 ft) ν = c n x ) + n y ) + n z ) n x, n y ) n z ) ) ν ν + ν ν ν + ν ) ν ν ν + ν ) -1 ν = c n x ) + n y ) + n z ) L ν n x Lν c n x, n y, n z ) L ft) ν ν + ν ν ν + ν ν ν + ν Lν + ν) c 3

18 Lν c 1 8 4π 3 Lν + ν) c ) π 3 ) Lν 3.4) c kt ) 4 Eν) = 8πkT c 3 ν.5) [ -].4).5) ) i n x, n y, n z ) ) 5000K ).3 hνν ) kt kt < hν hν) kt ) hν kt hν 4

19 kt hν > kt hν hν 1905 hν 1905 ) 0 hν 8πhν 3 1.6) c 3 e hν kt 1 e hν kt ν hν 5 kt kt.4 [ -1] 1 3 k 5 k 1 J/gK) g/mol) [ -] 3 kt 340m/s) 11.km/s)

20 [ -3] div E = 0, div B = 0, rot E = t B, rot H = t D.7) B = µ 0 H D = ɛ0 E E rotrot A) = graddiv A) A.8) = x + y + z ) E D, H, B) [ -4] E = E 0 e y sin k x 1 )) t ɛ0 µ 0.9) -3 MKSA ɛ 0 = Fm 1 µ 0 = NA [ -5] 8πhν3 1 c 3 0 e hν kt 1 T 4 ) 0 dx x3 e x 1 = π ) [ -6] 8πhν3 c 3 1 e hν kt 5 8πkT c 3 ν 6 ν h 1 5 ν h 6 ν ν 3 ) )

21

22 17 3 hν ) ) light quantum) photon)

23 18 3 light quantum) 1905 ) hν W ) E = hν W 3.1) hν < W ) ) hν 1905 ) 3. ) ) dp dt = F ) 3

24 q q E + q v B p q d p q dt = q E + q v B p em d p em = qe dt q v B p q + p em ) p em 4 p em = D B 3.) E em = 1 ɛ 0 E + 1 µ 0 B 3.3) 5 1 ɛ 0E 0 ) sin kz ct)) + 1 µ 0 E = E 0 e x sin kz ct) 3.4) B = E 0 c e y sin kz ct) 3.5) E0 c ɛ 0 E 0 ) c ) sin kz ct)) = ɛ 0 E 0 ) sin kz ct)) 3.6) sin kz ct)) 3.7) z ) c 6 hν c hν c = h λ E 1 ɛ 0E 4 5 ) 6 m E p E p c = m c 4 m 0 0 E p c = m c 4

25 0 3 1 ɛ 0E 1 ɛ 0E 1 µ 0H [ 3-1] Q ±Q S ) F = 1 ɛ 0 S 1 ɛ 0E [ 3-] d 1 1 ɛ 0E Q d ɛ 0 S [ 3-3] x a) ) ) b) [ 3-4] q r r R Er) 1 ɛ 0 Er)) π dr dθr) 0 0 [ 3-5] q q 1 ɛ 0 Er)) R R r R

26 3.. 1 ) ±x, ±y, ±z) p 3 E 3 p E 1 -p, p, p ) 1x 1y 1z p, p, p ) 1x 1y 1z c p ix p i E 1 3 ) N E i p i i = 1,,, N ) p i x p i x p ix ) x L c x c p ix p i L = c p ix L p i 3.8) ) c p ix) N L p i p i ) p i =P p i =P c p ix) L p i = 1 P L p i =P c p ix ) 3.9) P 1 P p = p x ) + p y ) + p z ) 3.10) p i =P p x,i ) = p i =P p y,i ) = p i =P p z,i ) 3.11)

27 3 p i =Pp ix ) = 1 3 c 3L p i =P p i =P p i = 1 3 N p i =P P 3.1) P P c 3L p i 3.13) i L E 3L 3 i i c p 3L 3 i = 1 E 3L 3 i 3.14) i c p i = E i c hν c = h λ i 3.3 λ λ θ φ h λ X X X 193 X λ X λ X θ m v hν h λ λ λ = cos θ)[m] 3.15) ) m) ν ) ν θ φ v c ) h λ mv h λ h λ h λ mv θ h λ φ

28 hν 1 mv hν hν = hν + 1 mv 3.16) ) ) h h mv) = + h λ λ λ h cos θ 3.17) λ v 3.16) v = hν hν ) 3.17) m mhν hν ) = 1 mhc λ 1 ) = λ mc 1 h λ 1 ) = λ mc h λ λ) = λ λ λ = ) ) h h + h λ λ λ h λ cos θ ) ) h h + h λ λ λ h λ cos θ ) 1 ) 1 + λ λ λλ cos θ λ + λ λ cos θ h λ mc λ + λ ) λ cos θ 3.18) ν = c λ, ν = c λ λ = λ + λ λ λ λ = 1 + λ λ, λ 1 = λ 1 + λ = 1 λ ) λ λ ) λ λ ) λ h cos θ) λ mc λ λ h 1 cos θ) 3.0) mc 3.15) 7 h ) λ h m m mc

29 4 3 ) ) [ 3-1] 100W 5 100W 1s 100J m J [ 3-] 1 3 L x, y, z n xπ L, n yπ L, n zπ x L + L L ) L n x, n y, n z ) 1 3 [ 3-3] p = mv, E = 1 mv [ 3-4] 8

30 hint: ) [ 3-5] v m m m ) V θ a) φ b) m v c) [ 3-6] 3.3 ν v ν ν [ 3-7] 3.3 ) 3-6 ) 3-6) v c ) m [ 3-8] J Hz

31

32 7 4 ) 4.1 Rutherford) 1911 ) M r m [ 4-1] M m r ω Mm r ω M + m k e [ 4-] k, r, e M, m, ω ) 10 5 )

33 8 4 MKSA M [M] kg m [M] kg e [Q] C k [ML 3 T Q ] F 1 m [ ] M L T Q [L] [M] [T ] [Q] 1 F = ke e [Q ] r [L ] [MLT ] r [L]) [L] k k [T ] [M] [Q] ) hν h h [ML T 1 ] [L] 3 [T ] k [T ] h [T 1 ] h k [MLQ ] [MQ ] M, m, e µ = Mm M + m [M] 4-1 ) )r ) h kµe 1 3 h k Boltzmann

34 4.. 9 h kµe = ) ) = [m] 4.1) 1 π) m h 4π kµe 4. hν h Bohr) µv πr = nh 4.) n h h ) ) h ) ) de Broglie) Schrödinger) r v r v h n h kµe ) n h kµe n ) n ke r 4- ) ) k µe 4 n h 4.3) ) π 4-5 )

35 30 4 n ) n = 1 ) 4.3 ε n E 1 = ε ε = 13.6eV) n = 1 ) n =, 3, 4, ) transition) n = n n = n 1 n > n 1 ) E n n 1 = ε 1 n 1 ) 1 ) n ) 1 hν n n 1 = ε n 1 ) 1 ) 4.5) n ) 1 1 λ = R n 1 ) 1 ) 4.6) n ) R ) ν = c λ ) ) 4 4.4)

36 Hg G 4.9V E E 1 4.9eV 4.9eV 4.9eV hν) 4.9eV ) 9.8V 14.7V ) 4.4 nhν E 1 h n h ) pdq = nh 4.7) p, q πr mv = nh q p q, p) N N ) q p q p m d x dt = f 4.8)

37 3 4 x ) dq dt dp dt = H p = H q 4.9) 4.10) ) [ 4-3] H t H H p, q d Hp, q) = 0 dt H = 1 m p + 1 mω q 4.11) k = mω m ) H = E ) p, q) p me q E mω dq dt dp dt = H p = p m 4.1) = H x = mω q 4.13) p > 0 q q > 0 p 1 1 pdq 1 S = πaba, b ) pdq = π me E mω = π E ω T [ 4-4] q = A sin ωt pdq = 0 T ) pdx p H= q 4.14) p dq dt dt

38 nh E = nh ω π = nhν 4.15) E = nhν E = nhν mv q ) πr 4.) p mvr π mv πr mvr π ) n=1 n ) l0 n 1 ) m l < m < l ±l z ) n= n E = E 1 ) n l = 0, 1,,, n 1 n 5 l l l l + 1 n }{{} 1 + }{{} 3 + }{{} n 1) = n 4.16) }{{} l=0 l=1 l= l=n 1 degenerate) n = 1,, 3,, 8, 18,, 8, 18 ) 10) n = 1, n = 1 n = 1 n = 6 n=3 =1 =1 =0 =0 = =0 5 l = 0, 1, s p d 1s n = 1, l = 0) p n =, l = 1) 6 n l

39 [ 4-1] ) G ) [ 4-] ρ T ) [ 4-3] q a kaq) 3c 3 r ) [ 4-4] 4- r r = m [ 4-5] 4-1 E 1 n E 1 ) E n = 13.6 ev 4.17) n [ 4-6] He + ) [ 4-7] 00 ) [ 4-8] M = kg ) m = kg) m n G Nm kg ) n [ 4-9] 0 < x < L ) m

40 35 5 ) h 5.1 de Broglie) 193 ) E = hν p = h λ p m + V = hν, p = h λ p V p V hν m - mv πr = nh 5.1) mv h λ h πr = nh πr = nλ 5.) λ n=5 n=5.5 πr ) p E = p µ ke 5.3) r r p pdq p p p λ

41 36 5 = ) = ) V V ) 1 5. Elsasser) ) ) 197 Davisson) Germer)

42 ) X 191 X! "$# %& ' ) *+ ) θ p = h λ d 5.3 h + V = 5.4) mλ p = h λ V λ V λ ) θ C φ D A B

43 38 5 ) ) AB A B ) CD C D ) AB CD ) AC BD λ θ y λ 1 λ 0 x θ 0 θ 1 θ x y y x h ) cot θ!#"$ % & ' ) mgh ) mg h ) [ 5-1] sin θ 0 λ 0 = sin θ 1 λ 1 = sin θ λ = sin θ 3 λ 3 = h + nmg h = En ) mλ n ) n = 0 n mg h ) n h θ n θ 0, λ 0 ) [ 5-] x 0, y 0 ) x v 0x y y 0 = g v 0x ) x x 0) dy dx y θ n n h

44 dt p dx ) dt H = pdx Hdt) 5.5) p = h, H = E = hν λ ) h ) dx dx hνdt = h λ λ νdt )) λ x ν A sin π λ νt x ) ) x sin π λ νt t x t + δt x + δx ) δx ) π λ νδt dx h λ νdt h π h h π h )= h π " ) x,t ) 1 1! x,t ) " ) 5.6) ) x 1, t 1 ) x, t ) x, t )

45 40 5 ) ) x x+ ) cos 100x x = 0 100x ) x = 0 x = 0 Euler-Lagrange ) x -x+) cos 100x comparable comparable

46 ) v 1 c h c 5.5 [ 5-1] 5. θ 30 [ 5-] kg ev) kg m/s) m) [ 5-3] ) hν = p m = h mλ 3 IC

47 4 5 x = 0 x = L t = 0 t = T λ t = 0, x = 0 0 t = T, x = L ) ) L h π λ mλ T λ h λ [ 5-4] 0, H) L, H) y > 0 λ 1 y < 0 λ x, 0) π [ 5-5] [ 5-6] r) λ r + δr) λ + δλ r v v dv r dr mv r = dv dr 0,-H) 5.7) r λ 1 r+ δr λ r λ + δλ λ x,0) λ λ = r + δr r L,H) λ+δλ λ p p + δp = r + δr r p dv dr

48 43 6 ) 6.1 Heisenberg) X ) ) P A Q A B ) P A A P A B φ A P Q P x ) P P P Q ) A

49 44 6 A x x λ x sin φ [ 6-1] x λ φ λ x φ x P A A B A B P Q x φ λ 1 ) p = h λ λ x ) θ θ φ A B x ) h λ x h λ sin θ h λ sin θ x h λ h λ sin θ h λ + h sin θ λ p p = h sin θ x p λ x p = h 6.1) 1

50 x p ) x p h = h 4π ) x p h x p 6.) ) 6.) 6. p = h λ L x L L L h ) L h h ) L L ) p = h x p h L ) p L x p ) x p x p > h x p x x ) x

51 46 6 x ) h m mc x h p mc mc p) m mc mc m h mc h mc x [ π, π] x = π x = π fx) sin x, sin x, sin 3x, cos x, cos x, cos 3x, π ) ) f π) = fπ) fx) fx) = 1 a 0 + a n cos nx + b n sin nx 6.3) n=1 3 π π dx sin mx sin nx = n=1 { π m = n 0 m n 6.4) fx) 0 ) 3 a 0 1 a n

52 π π π π dx cos mx cos nx = { π m = n 0 m n 6.5) dx cos mx sin nx = 0 6.6) π dx sin nx = 0 6.7) π π π dx cos mx = 0 6.8) 0 [ 6-] 6.4) 6.8) ) ) 0 0 a n, b n fx) sin mx fx) sin mx π dx sin mxfx) = πb m 6.9) π a m = 1 π b m = 1 π π π π π dxfx) cos mx 6.10) dxfx) sin mx 6.11) a 0 1 m = 0 ) H δ { H δ < x < δ fx) = 0 ) 6.1) sin,cos π a m = 1 dx cos mxfx) = H dx cos mx π π π δ = H sin mδ 6.13) mπ b m = 1 π a 0 = 1 π π π π π δ dx sin mxfx) = ) dxfx) = Hδ π 6.15) b m 0 sin fx) fx) = Hδ π + H π m=1 sin mδ m π δ cos mx 6.16) f δ H π x

53 48 6 H = π, δ = sin 1 cos x) sin cos x) 1 sin + sin 1 cos x + cos x) sin1)*cosx) sin)/*cos*x) 0.5+sin1)*cosx)+sin)/*cos*x) fx) fx) fx) δ = 1, H = N=5 N=10 N=50-1<x<1-0.5<x<0.5-0.<x< <x<0.1

54 δ 1, 0.5, 0., 0.1 δ 10 δ 1 a m = sin mδ a sin mδ 0.8 m m m δ m mδ = π δ=1 δ=0.5 m=0! " # δ= m = 0 m = π δ λ = π mh p = m π p = h π π δ = h x δ δ x p = 4h x p h 1 x 1 λ) 6.4 [ 6-1] a) 10eV m b) 1MeV=10 6 ev) m 1eV= J kg kg [ 6-] d λ λ x = d x ) x x p x < p < p p ) y

55 50 6 ) sin φ) 30 [ 6-3] λ Lλ d m v d a) d d v L b) L c) [ 6-4] ) h λ [ 6-5] 6.16) Hδ ) 1 δ 0 d L

56 E = hν 7.1) p = h λ 7.) ν λ x ψ λ = e πi x λ νt ) 7.3) ī h 7.3) ) A B αa + βbα, β ) λ ψ λ principle of superpostion) ψ λ p = h λ i h π x = i h x E = hν i h π t = i h t 1 7.4) 7.5)

57 5 7 i h x eπi x λ νt ) = i h πi λ eπi x λ νt ) = h λ eπi x λ νt ) 7.6) i h t eπi x λ νt) = i h πiν)e πi x λ νt) = hνe πi x λ νt) 7.7) Hp, x) E = i h t E = H = 1 m p + V x) i h ) ) t ψ = h m x + y + + V x) ψ 7.8) z ψ E = p c + m c 4 7.9) ) ) h + c + c + c + m c 4 φ = ) t x y z 7.8) 7.10) Klein-Gordon) ψ φ Dirac) q i p i Hp i, q i ) p i = i h q i i h t ψ = H i h ), q ψ 7.11) q i

58 q i x, y, z θ, φ ) ) dx dt p x dt + p dy y dt + p dz z dt H dr = dt p r dt + p dθ θ dt + p dφ φ dt H 7.1) ī ) ψ exp φ h p φ i h φ i h X pdq = nh p = i h q ei ) p h ) i i ) dq q h ) dq = h ) = nh = nπ 7.13) q π e πi = 1 ) 7. ψ ) E 1 E E 1 + E 1 ɛ E1 0 + E ) 1 = ɛ ) E ɛ ) E 0 + ɛ0e1 E }{{ } 7.14) E 1 E

59 54 7 hν) E, H) 1 mv + V ) ψ) ρhν ρ hν 1 ɛ 0 ) + 1 µ 0 ) ) 7.15) ψ ) + ψ ) ) 7.16) ψ ψ ψ ) + ψ ) ψ = ψ R + iψ I ψ R, ψ I ) ψ = ψ R iψ I ψ ψ = ψ R + iψ I ) ψ R iψ I ) = ψ R ) + ψ I ) 7.17) ψ ψ ψ ψ = Re iθ ψ ψ = Re iθ )Re iθ ) = R )!

60 ) ) ψ ψ 1 ψ ψ ψ ψ ψ ψ guiding field) ψ 3 ψ ψ dxψ ψ = ) normalization) 3

61 56 7 dxψ ψ = N 7.19) ψ = 1 N ψ 7.0) ψ 80 /! " #%$'& )*+, -. / ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ 4 4

62 7.3. ψ 57 ) 1 x [ 7-1] [ 7-] ψ ψ [ 7-3] a < x < a + 1 a 7.3 ψ xt) m d xt) dt = f 7.1) x xt) xt) d xt) dt xt) dp i t) dt = H x i, dx i t) dt = H p i 7.) xt), pt) p λ m xt + t) xt)) pt) = mvt) = lim 7.3) t 0 t pt) t )

63 58 7 x i t) m d x i dt ) = f i x i t = 0), dx i t = 0) dt ) x i t), p i t) dp i t) dt = H, dx it) x i dt = H p i x i t = 0), p i t = 0) ψx, t) ψ x, t) i h t = Hψ ψ x, t = 0) ψ x, t) x, p ψ ψ x ) ) x A sin π λ νt + α 7.4) x x B sin π x ) ) λ νt + β 7.5) 7.4) 7.5) t = 0 A sin π x ) λ + α B sin π x ) λ + β 7.6) A, B, α, β B = A α = β A = B α = β + π Ae πi x λ νt )+α Be πi x λ νt )+β 7.7) t = 0 Ae πi x λ +α Be πi x λ +β 7.8) t = 0 )

64 /0! "#$%&')*)$+, -.! "#$%&')*), e πiνt ) ) ) Ae πi± x λ x+νt) I 0 cos ωt I 0 e iωt ii 0 sin ωt E H ) [ 7-4] ψx, t) = ψ R x, t) + iψ I x, t) ψ R, ψ I 7.4 [ 7-1] ψ x, t) ψ x, t) = φ x)e ī h Et φ x) [ 7-] ψ x, t) ψ x, t) = φ x)e ī h Et ψ ψ ψ ψ

65 60 7 [ 7-3] [ π, π] ) a) ψx) = sinx) b) ψx) = e inx n ) c) ψx) = x for x 0) ψx) = x for x < 0) [ 7-4] m ψx, t) = sin xft) ft) ψx, t) [ 7-5] m L L = 1 ) dθ ml 1 dt ml p θ) ψθ) θ = 0 θ = π [ 7-6] x = 0) x > 0) V x < 0) 0 [ h ] m x + V ψ = i h t ψ h m x ψ = i h t ψ ψ = Ae ikx ωt) [ 7-7] ψ = Ae ikx ωt) ψ ψ [ 7-8] ) h m x + y + z ψ = i h t ψ ψ = Ae ikxx+kyy+kzz ωt) ω k x, k y, k z [ 7-9] h m x ψ = i h t ψ x = x vt, t = t) ψ x, t ) v ψ = e ikx+ɛt) Ψ k, ɛ Ψ k, ɛ

66 wave packet) π ) k π ) ω x 0 π e ikx iωt v p = k t ω ω t x x k x k x = ω t x t = k ω v p = ω k eikx iωt π π π 3π 0 4π π 5π phase velocity) ) e ikx iωt x = x = ) 1 k ) k k ω ω k + k ω + ω π 3π t=0 t= t

67 6 8 e ik k)x ω ω)t) + e ik+ k)x ω+ ω)t) = e ikx ωt) e i kx ωt) + e i kx ωt)) = e ikx ωt) cos kx ωt) 8.1) e ikx ωt) cos kx ωt) e ikx ωt) cos kx ωt) π k ω k dkfk)e ikx iωk)t 8.) k fk) k ω ωk) k ω k ) k = k 0 fk) 0 ωk) = ωk 0 ) + dω dk k k 0) + 8.3) k k 0 ) 8.) x dω dk e ik 0x iωk 0 )t dkfk)e ik k 0)x i dω dk k k 0)t } {{ } x dω dk t dω t F x t) dk 8.4) e ik 0x iωk 0 )t F x dω t) 8.5) dk cos kx ωt) F x dω t) dk F x dω dk t) eik 0x iωk 0 )t

68 F x) x dωk) dk t v g = dωk) 8.6) dk v g group velocity) ϕ = kx ωk)t e iϕ ϕ k 0 k = π λ hω = h hk ωk) = mλ m v p = hk m k = hk m 8.7) v g = d dk ) hk m = hk m = h mλ 8.8) v g = v p mv g = h λ mv g h λ v p = λν 8. x x <x> <x> x ) x )

69 64 8 A A i f i i ) < A >= i f i A i 8.9) A f f f 0 = = ) i x x + dx ψx) dx x x = dxψ x, t)xψx, t) 8.11) ψ ) x ψ ψ xψ ψ ψ ψx ψ 1 a < x < a + δ ψx) = δ 0 a a+ δ 1/ δ 8.1) ) dxψ xψ = a+δ a dx 1 δ x = 1 [ ] x a+ = 1 a + δ) a ) = 1 ) aδ + δ = a + δ δ δ δ a 8.13) x 8.3 x d x dt x ψx, t) d dt dxψ x, t)xψx, t) = dx ψ x, t)x t ψx, t) + ) t ψ x, t)xψx, t) 8.14)

70 d dt t ψ x, t)ψx, t)dx x x ) x t ψx, t) x x t dx dt ψx, t) x xt) x x t ψx, t) ψ xt) x Lagrange Euler i h [ m t ψ = h ] m x + V x) ψ t ψ = i [ h h m ] x + V x) ψ t ψ = ī [ h ] h m x + V x) ψ 8.15) d dxψ x, t)xψx, t) dt = dx ψ x, t)x i [ h ] h m x + V x) ψx, t) + ī [ h ] ) h m x + V x) ψ x, t)xψx, t) 8.16) V x) d dt dxψ x, t)xψx, t) = i h m dx ψ x, t)x ψx, t) x x ψ x, t) ) xψx, t) ) 8.17) ψ x = ± ψ dx x ψ xψ = = = dx x ψ x xψ) dxψ x xψ) dxψ x x ψ + x ψ x ψ d dt dxψ x, t)xψx, t) = i h m ) 8.18) dxψ x, t) x ψx, t) 8.19)

71 dxψ x, t) i h ) ψx, t) ψ ψ m x i h x dxψ x, t) i h ) ψx, t) p x d dt x = 1 p 8.0) m p = mv 8.4 [ 8-1] [ 7-6] x > 0 x < 0 [ 8-] E = p c + m c 4 E = hω, p = hk ω k hω = h k c + m c 4 v p v g k v p v g = c v p v g [ 8-3] H x a b ψ ) x [ 8-4] [ 7-3] x [ 8-5] ψ x, t)ψx, t)dx ) 8.15) ψx, t) 0 [ 8-6] b a ψ x, t)ψx, t)dx a < x < b) x = a x = b ) d b ψ x, t)ψx, t)dx = [Jx, t)] b a dt a Jx, t) ψx, t) 8.15) Jx, t)

72 x π < x < π 1 fx) = 1 π n= F n e inx 9.1) 6.3) cos nx, sin nx e inx e inx = cos nx + i sin nx fx) = = 1 F n cos x + i sin nx) π n= 1 F [F n + F n ) cos x + if n F n ) sin nx] π π n=0 9.) 1 π F 0 = 1 a 0, 1 π F n + F n ) = a n, i π F n F n ) = b n 9.3) 6.3) n e inx F n ) n ψπ) = ψ π) fx) n hn F n hn ψ ψ hn F nf n F n F F ) ψx) = 1 π F1 e ix + F e ix + F 3 e 3ix) 9.4) 1 x, ) e ikx ψ ψdx = 1 e inx π πn

73 68 9 e ix, e ix, e 3ix h, h, 3 h F 1, F, F 3 ψ ψ π π ψ ψdx = 1 π F π 1 e ix + F e ix + F3 e 3ix) F 1 e ix + F e ix + F 3 e 3ix) dx 9.5) π e inx n 0) π < x < πn ) e ix F1 e ix F e ix ) 0 ) ) π π π ψ ψdx = 1 F1 F 1 + F F + F3 F 3 ) dx π π 9.6) = F1 F 1 + F F + F3 F 3 π cosx) sinx) 0 π F 1 F 1 + F F + F 3 F 3 = 1 F 1 F 1, F F, F 3 F 3 3 h, h, 3 h ) ) p = hf 1 F 1 + hf F + 3 hf 3 F 3 9.7) 9.1) F n i h x i h x ψx) = 1 i h π x ) F1 e ix + F e ix + F 3 e 3ix) = 1 π hf1 e ix + hf e ix + 3 hf 3 e 3ix) 9.8) ψ e ix π π ψ i h ) ψdx = 1 π F x π 1 e ix + F e ix + F3 e 3ix) hf 1 e ix + hf e ix + 3 hf 3 e 3ix) π = hf1 F 1 + hf F + 3 hf3 F 3 9.9)

74 F n p = ψ i h ) ψdx 9.10) x x x ψ ψ i h x [ 9-1] π < x < π ψ = 1 π sin x p [ 9-] p sin x = 1 i eix e ix ) e inx i h x i h x einx = hne inx 9.11) hn ) hn) 3 ) e inx ) hn) ψ ψ x e inx e inx = 1 x x ) e ikx 9. 3 eigen ) eigen function eigen value

75 ) x p 5 [ 9-3] Hint: Aψ) ψdx = ψ Aψdx Aψ = aψ a ) [ 9-4] Hint: A = ψ Aψdx ) A, B ψ, φ ψ Aφdx = Bψ) φdx 9.1) B A B = A A = A x p i h x e ikx i h x eikx = hke ikx 9.13) hk ψx) = 1 dkψk)e ikx 9.14) π 6 ψk) hk hk hk + dk) ψk) dk i h x eikx 4 state) ) 5 6 ψx), ψk) ψk) ψx) x k

76 i h t H ψ ψ ) ψx, t) = φ 1 x)e iω 1t + φ x)e iω t + φ 3 x)e iω 3t ) ω i e iω it Hφ i x)e iω it = Hφ i x)e iω it = i h φi x)e ) iω it t hω i φ i x)e iω it 9.16) e iω it Hφ i = E i φ i 9.17) E i = hω i ) E e iωt ψx, t) = φ i x)e iωit ψ ψ t ) A ψ Aψ e iωit e iωit ) ψ Aψdx ψx, t) = φx)e iωt ψ Aψ φx)e iωt ψx, t) = φ 1 x)e iω1t + φ x)e iωt + φ 3 x)e iω3t + ψ Aψ hω i H ) ψx) = 1 dkψk)e ikx 9.18) π e ikx hk i h x ) ψk) hk ψ ψ i h x

77 7 9 ψ i h ) ψdx t φ = 1x)e iω1t + φ x)e iωt + ) i h ) φ1 x)e iω1t + φ x)e iωt + ) dx t φ = 1x)e iω1t + φ x)e iωt + ) hω 9.19) 1 φ 1 x)e iω1t + hω φ x)e iωt + ) dx = hω 1 φ 1φ 1 dx + hω φ φ dx + hω 3 φ 3φ 3 dx + }{{}}{{}}{{} E= hω 1 E= hω E= hω 3 H 0 ) φ i φ j dx = 0 i j ) 9.0) ) [ 9-5] A ψ, φ Aψ = aψ, Aφ = bφa b) ψ φdx = ) hω i ψ i ψ i dx i h t H ψ ψ e iωt ψ ψ e ikx p = 0) x = x p E t E t > h 9.1) ) h p x E t) x x x ψ

78 x x x E t > h x p > h t ψ ψ E = 0 ψx, t) = φx)e ī h Et ψ x, t)ψx, t) = φ x)φx) ψ xψdx x x ψx, t) = A 1 φ 1 x)e iω 1t + A φ x)e iω t x A x = ψ xψdx = 1φ 1x)e iω1t + A φ x)e ) iω t x A 1 φ 1 x)e iω1t + A φ x)e ) iω t dx = A 1 φ 1x)xφ 1 x)dx + A φ x)xφ x)dx +A 1 A e iω 1 ω )t φ x)xφ 1 x)dx + A 1A e iω 1 ω )t φ 1x)xφ x)dx 9.) 9.3) t ω 1 ω = E 1 E 9.4) h E E E = E 1 E h E h E t = h ) E ) t ) E t > h p i E c p 0 i h x E = i h t ψ e i k x ωt) exp i k x ωt) = ī h p x Et) = ī h p µx µ 9.5)

79 74 9 p 0 = p 0 = E c x0 = ct i h x i h t p 0 p µ x µ = p 0 x 0 + p i x i = Et + p x 9.6) x p > h E t > h x p > h E t > h H p m + 1 kx p m ke ) r ) x p x p x p ) ψ ψ ˆ) ˆx, ˆp, Ê A ψ 1, ψ, ψ 3, Aψ i = a i ψ i a 1, a, ) ψ ψ = f 1 ψ 1 + f ψ + f 3 ψ ) f i

80 ψ i f i ψi ψdx = ψi f 1 ψ 1 + f ψ + f 3 ψ f i ψ i + ) dx 9.8) = f i ψi ψ i dx = f i ψ i ψ i f i 7 ) xt) pt) H xt), pt) dx dt = H p dp dt = H p p dx ) dt H dt x i h x H ψx, t) i h ) t ψ = Hψ π dx λ νdt A ψ Aψdx 9.9) x p x p 7 ) ) degenerate) 8

81 76 9 x p = i h ψ x, t) x! " #$ % &' ) *+, / # %&' ): +, x,t) $ xt),pt) ;=<?>A@CBED x, t) ;=<?>A@CB xt),pt) F G H I J x! K $'L 3 M NO P Q R S xt), pt) ψx, t) xt) pt) ψx, t) ψx, t) x ψ i h t ψ = Hψ H Hxt), pt)) p i h x Hx, i h x ) x p

82 ψx, t) ) x p ψ ψ ) x p ψ x p x d x dt 8.3 p m + V x) m d x = p dt x ψ ψ ) i h t ψ = Hψ i h t ψ = Hψ) d dt ψ ψ ) x, t) x, t)xψx, t)dx = xψx, t) + ψ ψx, t) x, t)x dx t t = 1 Hψx, t)) xψx, t) ψ x, t)x Hψx, t))) i h 9.30) Hφx, t)) ψx, t)dx = φ x, t)hψx, t)dx 9.31) ψ, φ ) H x H 9 d dt dxψ x, t)xψx, t) = 1 i h dxψ x, t) xh Hx) ψx, t) 9.3) xh Hx 0 H p p i h m x 9 Hermite H )

83 78 9 xh Hx [A, B] = AB BA 9.33) A B commutation relation commutator) [A, B] = 0 AB = BA A B x f x [x, x ]f = x x f xf) = x f x x f + x f ) = f 9.34) x x x x = ) x 1 x x 9.35) 9.34) f [x, ] = ) x [x, p] = [x, i h ] = i h 9.37) x x p 10 [ 9-6] a) [A, B + C] = [A, B] + [A, C] b) [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C c) [A, B n ] = nb n 1 [A, B] [A, B] B ) d) [A, fb)] = dfb) [A, B] [A, B] B ) db [A, BC] = B[A, C] + [A, B]C BC A) B) C) 10 f = m a du = T ds P dv S = k log W [x, p] = i h

84 C) B) B [A, BC] C =B[A,C] + [A,B]C xh Hx = [x, H] [x, Hx, p)] = [x, p] H p = i h H p 9.38) d dt x = H p 9.39) [ 9-7] d p dt Ap, x, t) ) x, p, t A d Ap, x, t) dt d 1 Ap, x, t) = Ap, x, t) + [A, H] dt t i h 9.40) 9.6 [ 9-1] ψx) = e 3ix + e ix x π < x < π) [ 9-] A ) ψ, φ a) x ψ Aφ)dx = Aψ) φdx

85 80 9 b) p = i h x c) H = h m x + V x) x a, b) x = a x = b ψ, φ [ 9-3] [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 Jacobi ) [ 9-4] 9.40) [ 9-5] AB + BA {A, B} a) {A, B + C} = {A, B} + {A, C} b) {A, BC} = B[A, C] + {A, B}C c) [A, BC] = B{A, C} + {A, B}C [ 9-6] E E + E 0 ψx, t) e ī h E 0t

86 < x > < x > x 97, 95, 101, 103, 99, 105, 103, 98, 101, 98 8, 98, 15, 76, 131, 110, 87, 8, 103, x x x x ) 0 x x = x x = ) ) ) distribution x x ) x x ) x x

87 8 10 x x ) = x x x + x = x x x + x = x x 10.) standard deviation) x x 1 x) x x uncertainty) x ) x x ) x x ) x x p x p ψ ψ 1 a < x < a + δ ψx) = δ 0 a a+ δ 1/ δ 10.3) dxψ x ψ = 1 [ ] x 3 a+δ = 1 a + δ) 3 a 3) = 1 δ 3 3δ 3δ a x ) = a + δ ) 3a δ + 3aδ + δ 3) = a + aδ + δ 3 x = a + aδ + δ 3 a + δ ) = δ 3 δ 4 = δ ) 10.5) x = δ 3 δ ) 1 ) x, p

88 [ 10-1] ψ ψ h 1) ) 3) a b h x a Hint: ) x = a x = x a ) b h x h a a+b b h x 10. x p x p h 3 p) = p p ) = ψ p p ) ψdx 10.6) x) = x x ) = ψ x x ) ψdx 10.7) ψ 1 = p p )ψ, ψ = x x )ψ 10.8) p) = ψ1ψ 1 dx = ψ 1, ψ 1 ), x) = ψ ψ dx = ψ, ψ ) 10.9) ψ, φ) = ψ φdx ) ψ, φ) ψ φ ψ, φ) = φ, ψ) φ, φ) 0 φ, φ) φ 0 ) 4 ψ φ, φ) norm) 1 a a) b b) a b) 10.10) 3 x p > h 4 φ, φ) 0

89 84 10 a b = a b cos θ α a α b α 0 a α b) 0) [ 10-] 10.10) a, b α a α b) 0 p x p) x) = ψ 1, ψ 1 )ψ, ψ ) 10.10) x p 10.10) ψ 1, ψ ψ 1 αψ α ) 0 ψ 1 αψ, ψ 1 αψ ) 0 ψ 1, ψ 1 ) α ψ 1, ψ ) α ψ, ψ 1 ) + αα ψ, ψ ) ) ψ 1, αψ ) = αψ 1, ψ ) αψ, ψ 1 ) = α ψ, ψ 1 ) ψ, φ) = ψ φdx ) α = k k ψ 1, ψ 1 ) k ψ 1, ψ ) + ψ, ψ 1 )) + k ψ, ψ ) ) α = ik α ψ 1, ψ 1 ) ik ψ 1, ψ ) ψ, ψ 1 )) + k ψ, ψ ) ) ak + bk + c 0 k a = ψ, ψ ), c = ψ 1, ψ 1 ) b ψ 1, ψ ) + ψ, ψ 1 )) i ψ 1, ψ ) ψ, ψ 1 )) a, b, c k ) = 0 k 0 b 4ac 0 [ ψ 1, ψ ) + ψ, ψ 1 ))] 4ψ 1, ψ 1 )ψ, ψ ) ) [ i ψ 1, ψ ) ψ, ψ 1 ))] 4ψ 1, ψ 1 )ψ, ψ ) ) 10.14) ψ iψ 10.15) 10.15)

90 ) ψ 1, ψ 10.8) 4 x) p) [ [ i ψ 1, ψ ) ψ, ψ 1 ))] = i ψ p p )x x )ψdx = i ψ [p p, x x ] ψdx }{{} = i h [ ] = h ψ ψdx = h ] ψ x x )p p )ψdx 10.16) [p p, x x ] x, p x p h 4 x) p) ) x) p) h 4 x p h 10.18) [ 10-3] x p h ψ 1 = p p )ψ, ψ = x x )ψ ψ 1 ikψ = 0k ) ψ 1 ikψ, ψ 1 ikψ ) = 0 ) x = p = 0 x p minimum packet) x, p A, B [A, B] = kk ) A B k Â, ˆB Âψ = aψ, ˆBψ = bψ 10.19) a, b ) ψ ψ Â ˆB )

91 86 10 [Â, ˆB] = cc 0 )  ˆBψ = Âbψ) = abψ ˆBÂψ = ˆBaψ) = baψ 10.0) a, b  ˆBψ = ˆBÂψ [A, B] = c ) [ 10-4] [Â, ˆB] = ĈĈ ) Â, ˆB Ĉ Ĉψ = 0) Dirac fx) fx)δx)dx = f0) 10.1) δx a) fx)δx a)dx = fa) 10.) x = 0 0 x = δx) = lim 0 θx + ) θx ) = dθx) dx 10.3) θx) θx) = { 1 x > 0 0 x < ) 5 δx) δ ij

92 x = 0 ) 0 1 ) fx) f0) lim fx) x 0 ) 1 1 θ x + ) 1 θ x + ) θ x [ ) ] 1 θ x ) 6 [ 10-5] a) δ x) = δx) b) δcx) = 1 δx)c ) c c) δx a)x b)) = 1 δx a) + δx b)) a b 1 e ikx dk = δx) 10.5) π [ 10-6] 10.3) 10.5) a) 10.3) 0 b) 0 c) F k) = 1 π fx) = 1 π fx)e ikx dx F k)e ikx dk ψx) = δx) = 1 dke ikx 10.6) π 7 x = 0 6 distribution 7

93 88 10 x = 0 k p = hk p = p = 0 p ψx) = e ikx ψ ψ = 1 x = 10.4 [ 10-1] ψ = α π ) 1 4 e 1 αx x x < x < π hint: dxe ax = a ) hint : a dxx e ax ) [ 10-] 10-1 p x p [ 10-3] d δx) dx fx) d δx)dx dx b fx) d b a dx δx)dx = [fx)δx)]b a df a dx x)δx)dx fx) d δx)dx dx [ 10-4] δ fx)) = 1 f x) δx x 0) x 0 fx) = 0

94 89 11 ψ ψ = 1 f k e ikx ψ, φ) = ψ φdx π k ψ ) ) a b a c ) = c d b d 11.1) ) x = x y ) 11.) y ) ) x u X = U = U, X) y v U, X) = u v ) x y ) = u v ) x y ) = u x + v y 11.3) ) a b c d ) x y ) = α x y ) 11.4)

95 90 11 x α y ) a b c d ) A AU) = U A [ a b c d ) x y )] = x y ) a c b d ) 11.5) U A ) ax + by cx + dy a x + b y c x + d y ) AU) X = U AX [ a b c d ) u v )] x y ) = u v ) a c b d ) x y ) = [ u v )] a b c d ) x y ) 11.6) Aψ) ψdx = ψ Aψdx 11.7) [ 11-1] 0 [ 11-] U, X U, X) = X, U) [ 11-3] [ 11-4] ψ x, t) Ψ = ψx 1, t) ψx, t) ψx 3, t). ψx N, t) 11.8) 1

96 N ) x 1, x,, x N 1 N = ψ Ψ = ψ x 1, t), ψ x, t), ψ x 3, t),, ψ x N, t)) 11.9) x N N Ψ Ψ x = ψ x n, t)ψx n, t) x ψ x, t)ψx, t)dx 11.10) n=1 ψ ψdx ψ φ ψ, φ) = ψ φdx 3 ψ = a + ib ψ = a ib ) a ψ ψ = a + b ψ b ψ ψ = a b ) ) a ψ ψ b x X = x x x x N x N 11.11) XΨ = x 1 ψx 1, t) x ψx, t) x 3 ψx 3, t). x N ψx N, t) 11.1) 1 3 ψ φdx = ψ φ

97 9 11 ψ x xψ p i h x i h P = lim x 0 x ) x= x x 1 = x 3 x = = x N x N 1 ) N P x 0) 11.8) i h P Ψ = lim x 0 x ψx ) ψx 1 ) ψx 3 ) ψx ) ψx 4 ) ψx 3 ) ) x 0 ) x p [x, p] = i h i h ) A Aφ, ψ) = φ, A ψ) Aφ) ψdx = φa ψdx 11.15) A A A = A A = A [ 11-5] A, B AB AB) B A [ 11-6] ψx, t) ) p = i h x e ī h px ψx) = 1 L F1 e ī h p 1x + F e ī h p x + F 3 e ī h p 3x + ) 11.16)

98 L ) ψx) = 1 ψp)e ī h px dp 11.17) π F n e ī h pnx F n ψp)) p n e ī h px i h x ψx) = 1 L p1 F 1 e ī h p 1x + p F e ī h p x + p 3 F 3 e ī h p 3x + ) 11.18) ψ p 1 F 1 F 1 + p F F + p 3 F 3 F ) F nf n ) a b A = c d a b ) x1 ) c d y 1 = λ 1 x1 y 1 ), a b ) x ) c d y = λ x y ) 11.0) 4 λ 1 λ 5 ) ) x x1 x X = = k 1 + k y y 1 y ) 11.1) k 1, k ) X k 1 k 1 x 1 y Y 1) ) ) x 4 5 λ 1 = λ y x1 y 1 1

99 94 11 ) x1 x U = y 1 y x U U 1 y1 ) x y U U = I 1 ) A A = I ) U U U AU x 1 y1 ) ) ) ) a b x1 x λ1 0 x y = 11.) c d y 1 y 0 λ 0 ) ) ) ) ) ) ) x1 x x1 x U A λ 1 λ y 1 y i h F1 e ī h p1x + F e ī h px + F 3 e ī h p3x + ) p 1 F 1 e ī h p1x + x p F e ī h px + p 3 F 3 e ī h p3x + x- p- ) ) ) λ1 0 0 λ ψx) ψ 1 x) + ψ x) y 1 y 11.3 cos mx, sin nx 0 e x, e y, e z 0 e x e y = e y e z = e z e x = )

100 , sin x, sin x, sin 3x,, cos x, cos x, cos 3x, x Ax) π x Ax) Aπ), Aπ + ), Aπ + ),, A ), A0), A ),, Aπ ), Aπ)) 11.4) 0 π Ax) x y Ax) A π) A π 1 ) A π + ) A π + ) Ax) Bx) A B = A x B x + A y B y A z B z A π)b π) + A π + )B π + ) + + Aπ)Bπ) 11.5) }{{}}{{}}{{} 1 π +1) 0 π lim A π)b π) + A π + )B π + ) + + Aπ)Bπ)) = dxax)bx) 11.6) 0 π 0 0 A = A x e x + A y e y + A z e z A x e x A = e x A x e x + A y e y + A z e z ) = A x 11.7) e x e x e y, e z y z ) x a n, b n p = i h x E = i h x t

101 96 11 ψx, t) x x ψ 6 ψx, t) = 1 ψp, t)e ī h px dp 11.8) π h p ψp, t) ψx, t) ψp, t) x Ax) A Ax) = = 1 π h ψ x, t)a x) ψx, t)dx ) ψ p, t)e ī h p x dp A x) ) 11.9) ψp, t)e ī h px dp ψp, t) e ī h px A x) A i p i h p e ī h px = xe ī h px 11.30) ) e ī h px [ ψp, t) A i h ) ] e īh px dp 11.31) p ψp, t) i h p i h p e ī h px Ax) = 1 ) [ ψ p, t)e ī h p x dp A i h ) ] ψp, t) e ī h px dp π h p = 1 ) e ī h p p )x dx ψ p, t)a i h ) ψp, t)dpdp π h }{{} p =π hδp p ) = ψ p, t)a i h ) ψp, t)dp p 11.3) x p x p p ψx, t) x- ψp, t) p- x- )x B i h ) x x- i h p- p Bp) x x- x 6 h e ī h px h

102 97 1 ) 1.1 L) m h, L, m L [L] m [M] h ) [ML T ] [ML T 1 ] 3 [T ] h h [M L 4 T ] L m h ml L x = L x p > h p = h L p m = h ml [ 1-1] k m p m + 1 kx ) 0 x L) V x) = 0) m [ h d ] ψx) = Eψx) m dx ) E e λx λ h m λ e λx = Ee λx 1.1)

103 98 1 me λ = ±i h k = h m λ = E 1.) me h ψx) = Ae ikx + Be ikx 1.3) 0 x L ψ = 0 ψ0) = ψl) = 0 A + B = 0, Ae ikl + Be ikl = 0 1.4) B = A A e ikl e ikl) = Ai sin kl = 0 1.5) A 0 0 sin kl = 0 kl = nπn ) 1.6) me L = nπ h mel h = n π 1.7) E = n π h ml ) ) nπ ψ n x) = Ai sin L x 1.8) n E n = n π h ml n ) ) 1 ψ ψdx = 1 A L 0 ψ ψdx = L 0 = 4A A A i sin L 0 )) )) nπ nπ L x Ai sin L x dx sin nπ L x ) dx 1.9) 1

104 sin 1 cos θ θ = L L A AL = ) 0 L A = 1 L e iθ A = 1 L e iθ A A θ θ ) nπx ψ n x) = L sin L 1.11) i ) n = 1 n = ψnψ n ) ψx, t) = φx)e iωt e iωt φ 1 φx) ψ x, t)ψx, t) = φ x)φx) φ φ 1 ) ) πx πx ψ 1 = L sin ψ = L L sin ) L φ ψ mix = C 1 ψ 1 + C ψ 1.1) φ 1 φ ) ) ) [ 1-] ψ mix C 1, C [ 1-3] ) ) πx ψ mix = C 1 L sin e ī πx h E1t + C L L sin e ī h E t L x x [ 1-4]

105 Vx) 0 0 Vx) P) V 0 V x) = { V0 x > 0 0 x < ) x = 0 x V 0 > 0 ) x < 0 R) h m x ψ = i h t ψ 1.14) x > 0 h ) m x + V 0 ψ = i h t ψ 1.15) ) Eψ h { Eψ x < 0 m x ψ = 1.16) E V 0 )ψ x > 0 0

106 E V 0 E V 0 > 0 { e ψ = ikx + Re ikx x < ) P e ik x x > 0 h k m = E, h k ) m = E V 0 x > 0 e ikx P x < 0 R P, R x = 0 P R 1 e ikx 1 ψ ψdx = e ikx e ikx dx = dx = V 1.18) V V 1 V e ikx V = 1 ψ ψ 1.17) x > 0 x < 0 x = 0 ψ dψ ψ dx 3 V x) d ψ dx ) ψx = 0) dψ dx x=0 ik 1.19) 1.0) ik 1.19) + 1.0) V 1 + R = P 1.19) ik1 R) = ik P 1.0) ik 1 + R) ik1 R) = 0 R = k k k + k 1.1) ik = ik + k )P P = k 1.) k + k ) 3 δx) ψ kψ k dx = δk k )

107 10 1 P R k > k k < k h k m = E, h k ) m = E V 0 V 0 > 0 k > k V 0 < 0 k < k V 0 > 0 ) ) k > k k > k π k π k k > k k k + k k > k

108 [ 1-5] [ 1-6] k k < k π k π k k < k R e ikx Re ikx x = 0 e iθ+π) = e iθ π 4 k < k k < k k > k k P = kk k + k k k < k k k k k k > k k < k ) + ) ) + ) + k > k k > k 4 π π phase shift)

109 104 1 ) 5 k > k k < k π [ 1-7] x < 0 x > 0 ψ ψ x < 0 ψ ψ 1.3 E V 0 > h k ) m = E V 0 k E V 0 < 0 E V 0 < 0 h m x ψ = E V 0)ψ 1.3) ψ = De κx + Ee κx 1.4) κ h κ m = V 0 E 1.5) Ee κx 1 + R = D 1.6) ik1 R) = κd 1.7) D = k k + iκ, R = k iκ k + iκ 1.8) D, R E V 0 > 0 P, R k k iκ 5 k > k k < k k < k

110 π k R a + ib a + ib = ) a a + b a + b + i b a + b = a + b 1.9) cos α + i sin α) = a + b e iα a + b e iα α a cos α = a + b, sin α = b 1.30) a + b cos α + sin α = 1 ) R = k iκ k + iκ k+iκ = κ + k e iφ cos φ = R k κ + k, sin φ = κ κ + k 1.31) k + iκ = κ + k e iφ k iκ = κ + k e iφ 1.3) R = b a R) α a +b κ + k e iφ κ + k e iφ = e iφ 1.33) φ φ 0 < φ < π ) E < V 0 R 1 D)

111 106 1 D D = k κ + k e iφ 1.34) = cos φe iφ D φ R 1 + R = D R = 1 D R cos φ [ 1-8] ψ ψ φ ) D = 0 ψ ψ ψ ψdx 1) V κ = 0 d ψ d ψ <0 >0 dx dx E ψ>0 h m x ψ = E ψ ψ x ψ = me h 1.35) E > 0 ψ x ψ ) d ψ dx >0 d ψ dx <0?) ψ<0 E > 0 ψ ψ E < ψ 0 0 ) 0 ψ = 0 x ψ

112 E > 0 E = hν, p = h λ ) 6 ) 4 He ) ) ) ) ) ke r CM k iκ )

113 108 1 x 0 < x < x N N x = x N x 0 Vx) N x n < x < x n + x V x) )... e κn x mv x n ) E) κ n = h x 1 x x 3 x... 4 x N-1 x N x = x 0 x = x N e κ1 x e κ x e κ N x = e κ 1+κ + +κ N ) x x 0 lim κ xn 1 + κ + + κ N ) x x 0 x 0 x 0 x N [ exp 1 h xn ] mv x) E)dx x ) mv x) E) dx 1.37) h 1.38) exp ) 1 h e F x) d dx ef x) = = d dx F x) = 1 h df x) dx = 1 h d F x) dx = 1 h ) df x) x)ef dx d F dx x) + x x 0 ) 1.39) df x) e F x) dx mv x ) E)dx 1.40) mv x) E) 1.41) m dv dx mv x) E) 1.4) d F dx ψ e 1 h x mv x ) E)dx x0 h d ) m dx + V x) ψ = E + 1 dv dx ψ 1.43) mv x) E)

114 Eψ dv dx V x) [ 1-9] h ) m x + mgx ψ = Eψ 1.44) mgh = E x = H H x = H h = J s m = 1kg g =9.8m/s H = 0.001m=1mm) 1.4 [ 1-1] ρ = ψ ψ J J = i h m xψ ψ ψ x ψ) 1.45) t ρ + x J = ) [ 1-] 1. J [ 1-3] ψx) Vx) ψx) Ο ψx) Α x a) d d ψ ψ dx ψ dx ψ A A x b) O A c) O A [ 1-4] K 3 kt k [J/K] T ) ) e r

115 110 1 ke r e C k R = m [ 1-5] e mv E) h r E V p E ) r r ) ) kg

116 m V 0 x < d V x) = 0 d < x < d d < x V ) x ψ 0 x > d mv e ±κx 0 E) κ = 13.) h x < d me e ±ikx k = 13.3) h E < V 0 κ ) E > 0 V x) = V x) ) ψ x) = ψx)) ψ x) = ψx)) ψx) ψ x) x x h ) m x + V x) ψx) = Eψx) h ) m x) + V x) ψ x) = Eψ x) 13.4) -d Vx) d V 0 x

117 11 13 V x) = V x)) x ψx) ψ x) ψx) ψ x) ψ x) = P ψx) 13.5) P ψ x)) = P ψ x) = P ψx) 13.6) x P = 1 P = ±1 P = 1) P = 1) ψx) ψ x) ψ E x) = 1 ψx) + ψ x)), ψ Ox) = 1 ψx) ψ x)) 13.7) ψ E ) ψ O ) even) odd) P ±1) Ae κx x < d ψx) = cos kx d < x < d 13.8) Ae κx x > d cos kx 1 x < d e κx x > d e κx x = ± 0 x = d ψ dψ dx Ae κd = cos kd, κae κd = k sin kd 13.9) x = d ) κae κd k sin kd = Ae κd cos kd 13.10) κ = k tan kd k κ E h k m = E, h κ m = V 0 E h k m + h κ m = V 0 k + κ = mv 0 h 13.11)

118 κ = k tan kd k + κ = mv 0 h m V 0 k, κ E ) κ = k tan kd k + κ mv0 = h 0 π π 3π π 5π 3π 7π 4π k + κ mv0 = h kd κd kd = mπm ) κ = 0 κ < 0 κ > 0 V 0 k + κ = mv 0 h κ = k tan kd V 0 ) d V 0 Be κx ψx) = sin kx Be κx x < d d < x < d x > d 13.1) [ 13-1] [ 13-] k κ [ 13-3] V 0 [ 13-4] ) [ 13-5] V ) E > 0 ) E < 0 k

119 x d p = h d p) m = h 8md ) x 13. V 0 > E Ce ik x+d) + De ik x+d) ψx) = cos kx Ce ik x d) + De ik x d) x < d d < x < d x > d 13.13) d < x < d) cos cos x x x < d x > d ψ ψ ψ x) = ψ x) 1 ψ x) = ψ x) x > d cos sin ψ ψdx = 1 ) 1 1 ψ x) = ψ x) CG) DH) -d Vx) d CG) DH) x

120 C + D = cos kd, ik C D) = k sin kd 13.14) C, D C = 1 cos kd + i kk ) sin kd D = 1 cos kd i kk ) sin kd 13.15) 13.16) Ge ik x+d) He ik x+d) ψx) = sin kx Ge ik x d) + He ik x d) G, H x < d d < x < d x > d 13.17) G + H = sin kd, ik G H) = k cos kd 13.18) sin kd i kk cos kd ) G = 1 sin kd + i kk ) cos kd H = ) 13.0) C, D G, H C = D, G = H) ) k, k E = h k m E > V 0 ) ) D ) H C + GD ) e ik x+d) + De ik x+d) H ψx) = cos kx D sin kx H d C GD ) e ik x d) H x < d < x < d x > d 13.1)

121 x > d < x < d V x) = V 0 V x) = 0 e ikx 1 ) Re ikx Ae ik x + Be ik x P e ikx d) ) k 4 R) Vx) V 0 A B 0 d me V 0 ) E V 0 k = h 13.) mv 0 E) i = iκ E < V 0 h P x = 0 ψ x = 0 ψ x x = d ψ x = d ψ x 1 + R = A + B ik1 R) = ik A B) Ae ik d + Be ik d = P ik Ae ik d Be ) ik d = ikp 13.3) R, A, B, P P = 4kk D R = k ) k ) ) e ik d e ik d D A = kk + k )e ik d D B = kk k)e ik d D 13.4) 13.5) 13.6) 13.7)

122 D D = k + k ) e ik d k k ) e ik d 13.8) [ 13-6] 13.5) [ 13-7] 1 E < V 0 k k = iκ P = i4kκ D R = κ k ) ) e κd e κd D A = kk + iκ)eκd D B = kiκ k)e κd D 13.9) 13.30) 13.31) 13.3) D = k + iκ) e κd k iκ) e κd 13.33) V 0 > E P 0 e κd d κ E V 0 ) 0

123 Ae κx + Be κx 13.34) e κx B e κd 3 A ) [ 13-8] k R P R + P = 1 ) d d d dx h d ) d d m dx + V x) ψ = dxeψ d ] d [ h d d m dx ψ = dxe V x))ψ 13.35) d d d dx ψd) d dx ψ d) = m h V x) d 0 0 d ψ V x) = dx V 0 δx) d lim d 0 dx ψd) d ) dx ψ d) = mv 0 h ψ0) 13.36) x = 0 ) x = 0 h d ) m dx + V 0δx) ψx) = Eψx) 13.37) d d dxe V x))ψ 3 e κd D e κd

124 x = 0 Ae ikx + Be ikx h k = E) x > 0 x < 0 A, B m + e ikx + Re ikx P e ikx 1 + R = P 13.38) ikp ik1 R) = mv 0 h P 13.39) ) dψ dψ )- dx dx ) P = mv ik 0 h ik mv, R = 0 ik mv 13.40) h 0 h P, R 13.4 V x) V x + a) = V x) 13.41) a a a x 1 3 ) ψx + a) = ψ ψx + a) = e ika ψx) 13.4) Bloch ) K Ka ψ x + a)ψx + a) = ψ x)ψx) 13.43)

125 10 13 Bloch 4 x = mam ) V 0 δx ma) ψx) = Ae ikx + Be ikx 13.44) h k = E 0 x < a m x = 0 x = a ) a x x < 0 a x < a ψx) = e ika ψx a) = e ika Ae ikx a) + Be ikx a)) 13.45) 0 x a < a ψx a) = Ae ikx a) + Be ikx a) ma x < m + 1)am ) x = x ma x 0 < x < a ψx) ψx) = ψ x + ma) = e ika) m ψ x) = e imka Ae ik x + Be ik x) 13.46) x = 0 x = a x = ma) 13.44) x a 13.45) x a Ae ika + Be ika = e ika A + B) 13.47) ike ika A B) ik Ae ika Be ika) = mv 0 Ae ika h + Be ika) 13.48) A, B e ika e ika ) ) A e ika e ika ) A e ika e ika e ika + e ika = mv B 0 mv ) ik h eika ik h e ika B e ika e ika e ika e ika e ika e ika mv 0 ik h eika e ika + e ika mv 0 ik h e ika A B ) = ) A B 0 =0 4 Bloch

126 cos Ka = cos ka + mv 0 h k sin ka 13.51) [ 13-9] k cos ka 1 1 sin ka k k 1 1 < cos Ka < 1 k k 13.51) cos Ka 1 ) cos ka Csin ka k Csin ka k cos ka π π mv 0 h C 1.5 π π V 0 < 0 5 k k k = iκ cos Ka = cosh κa + mv 0 h sinh κa 13.5) κ κ ) 5 V 0 < 0

127 1 13 ) E E ) 6 E 13.5 [ 13-1] x < 0 V x) = 0 0 < x < d d < x V ) Vx) V 0 hint: 13.1 ) [ 13-] x x d x t t [ 13-3] V E V -D -d 0 d D E, V, m, d m d < x < d) 6 )

128 kx 1 E= kx x ) nhν hν nhν H = 1 m p + 1 mω x 14.1) k mω ) h d m dx + 1 ) mω x ψx) = Eψx) 14.) 0 1 mω x x

129 14 14 x = αξ ξ α d dx = 1 d α dξ h d mα dξ + 1 ) mω α ξ ψx) = Eψx) 14.3) hω hω h d ) mωα dξ + mωα h ξ ψx) = Ē ψx) 14.4) hω h α = λ mω, E = + 1 ) hω 1 d 1 dξ + 1 ξ ) ψ = λ + 1 ) ψx) 14.5) h m ω ) h m ω ) 1 1 h, m, ω 1.5 hω 1.5 hω h, m, ω hω [ 14-1] h, m, ω hω [ 14-] α [ 14-3] π ) 1 λ + 1

130 E V V > E e κx mv E) κ = V V = 1 h mω x x κ exp κx κ x κx) exp κx)dx ) m 1 mω x E h dx 14.6) x E m ω x dx = 1 mω h h x + C = 1 ξ + C 14.7) e 1 ξ e 1 ξ ξ d dξ ψ = ξ ψ 14.8) ξ e 1 ξ ξ ξ ) e 1 ξ OK e 1 ξ 1 d dξ + 1 ) ξ e 1 ξ = 1 d 1 dξ e ξ + 1 ξ e 1 ξ = 1 d ξe 1 ξ) + 1 dξ ξ e 1 ξ = 1 1 e ξ 1 ξ e 1 ξ ) ξ e 1 ξ = 1 e 1 ξ

131 16 14 λ = 0 E = 1 hω ψ = Ae 1 ξ 14.10) E = 1 hω E p me x E h mω a b πab π me E mω = n 14.11) p H= q E = n hω 1 hω 1 hω E = n + 1 ) hω 14.1) E = 1 hω e 1 ξ ψ = Hξ)e 1 ξ 14.13) Hξ)e 1 ξ ξ 0 Hξ) 0 ) Hξ) d H dh ξ) ξ ξ) + λhξ) = ) dξ dξ [ 14-4] 14.14) Hξ) Hξ) = C n ξ n n=0 C n

132 Hξ) Hξ) = j=0 a j ξ j 14.15) ξ = 0 Hξ) ξ ) 14.15) ξ m d H dξ a mξ m mm 1)a m ξ m ξ dh dξ a m ξ m ξ m )a m ξ m λhξ) λa m ξ m mm 1)a m m ) λ)a m = ) a m = = m ) λ m ) λ)m 4) λ) a m = a m 4 mm 1) mm 1)m )m 3) m ) λ)m 4) λ)m 6) λ) λ) λ) a 0 mm 1)m )m 3)m 4) 3 1 m ) λ)m 4) λ)m 6) λ) 3 λ) 1 λ) a 1 mm 1)m )m 3)m 4) 3 1 m m 14.17) a m m a 0 m a 1 m a m = a m m ) λ m mm 1) m e ξ = n=0 1 n! ξn 14.18) m 1 1 m/)! ξm m m/ 1)! ξm e ξ Hξ) e 1 ξ ξ Hξ)e 1 ξ Hξ) e ξ e 1 ξ 3 Hξ) 4 3 e 1 ξ 4

133 18 14 n H n ξ) = a i ξ i 14.19) i=0 ξ n d H n dξ ξ) = nn 1)a nξ n + ξ dh n dξ ξ) = na nξ n n 1)a n 1 ξ n 1 n )a n ξ n + λhn ξ) = λa n ξ n +λa n 1 ξ n 1 +λa n ξ n ) ξ n λ = n ξ n 1 n 1) + n) a n 1 ξ n 1 a n 1 = 0 a n 3 a n 5 0 n 0 n 0 nn 1)a n n )a n + na n = 0 a n = nn 1) a n 14.1) 4 a n a n Hξ) n Hξ) H n ξ) H 0 ξ) = 1 14.) H 1 ξ) = ξ 14.3) H ξ) = 4ξ 14.4) H 3 ξ) = 8ξ 3 1ξ 14.5) H 4 ξ) = 16ξ 4 48ξ ).. H n ξ) = 1) n e ξ dn dξ n e ξ) 14.7) H n ξ) m + 1 ) hω n + 1 ) hω dξ H m ξ)e 1 ξ) Hn ξ)e 1 ξ = dξh m ξ)h n ξ)e ξ = n n! πδ mn 14.8) 14.8) m n H n ξ) λ = n n ) n 0 λ

134 hω hω hω a H E ψ E a E + ɛ a ψ E ɛ hω ψ E H E a a ψ E H E + ɛ H a a H ɛ Ha ψ E a Hψ E = ɛa ψ E 14.9) Ha a H = ɛa [ H, a ] = ɛa 14.30) a a a [ H, a ] = ɛa [a, H] = ɛa ) [H, a] = ɛa a ɛ ɛ a a a a = Cx + ap) 14.31) x, p C, a ) a = Aξ + α ξ ) 14.3) A, α H = 1 ξ + 1 ξ [ ] [ H, a = A 1 ξ + 1 ξ, ξ + α ] 14.33) ξ ξ ξ [ ξ, ξ ] = 0) [ 1 ξ + 1 ] ξ, ξ = 1 [ ] ξ, ξ 14.34)

135 [AB, C] = [A, C] B + A [B, C] 1 [ ] ξ, ξ = 1 [ ] ξ, ξ = 1 5 [ [ ] ξ, ξ 1 ξ + 1 ξ, ξ ξ 1 ξ ] = ξ [ ] ξ, ξ 14.35) 14.36) [ [ H, a ] = [ 1 ξ + 1 ξ, ξ H, A ξ + α ξ )] ] = ξ 14.37) = A ɛ A ) ξ + αξ 14.38) ) ξ + αξ = ɛaξ + α ξ ) 1 = ɛα 14.39) α = ɛ 14.40) 14.39) 14.40) 1 = α 14.41) α = ± ) ±1 = ɛ ɛ α = 1 a = A ξ ξ ) 14.4) a a = A ξ + ) ξ 14.43) 6 ɛ a a a ɛ 5 [ ] fξ) ξ, ξ = 1 ξ ξf) ξ ξ f = f ) 6 = ξ ξ

136 a a [ ] [ a, a = AA ξ + ξ, ξ ] [ ] [ ξ = AA ξ, ξ ξ, ]) ξ 14.44) = AA A = 1 e iβ 1 A β β = 0 a a [ a, a ] = ) a = 1 ξ + ), a = 1 ξ ) ξ ξ 14.46) ξ = 1 a + a ), ξ = 1 a a ) 14.47) H = 1 ) 1 a a) + 1 ) 1 a + a ) = 1 a a ) + 1 ) a + a 4 4 = 1 a ) aa a a + a ) + 1 a + aa + a a + a ) ) ) = 1 aa + a a ) = a a ) aa = a a + 1 a, a ξ x h h i h i h mω x mω h hmω x = mω a + a ), p = i a a) 14.49) a, a a = mω h x + i 1 ) mω mω p, a = x i 1 ) h mω p 14.50) H = hω a a + 1 ) 14.51) H hω

137 13 14 [ ] H, a = hωa [ a a, a ] = a [ a, a ] = a ) 7 a ) ) ψ 0 aψ 0 = 0 1 ) 0.8 ξ + ξ ψ 0 = ) ψ 0 = e 1 ξ 14.53) ψ 0 ξ 1 hω 1 1 ξ 1 < ξ < 1 ξ = ±1 a 1 hω n a a e 1 ξ = ξe 1 ξ 14.54) a ξe 1 ξ) = ξ ) ξe 1 ξ) ξ = ξ 1 ) e 1 ξ 14.55) 7 )

138 hω 3 3 < ξ < 3 1 E = hω 0 0 ) 0 H = 1 m p + 1 mω x 1 hν hω E 0 ψ e ī h E0t dxe x = π ψ 0 = π 1 4 e 1 ξ 14.56) dξψ ξ)ψξ) mω x dξ = dx h ) 1 πmω 4 ψ 0 = e mω h x 14.57) h

139 ξ ψξ) x dxψ ψ = 1 ψx) ) ) 14.57) ψ 0 ψ 1 = a ψ 0 ) a, a dξ a ψ 0 ) a ψ 0 = = = dξψ 0aa ψ 0 dξψ 0 a a + 1 ) ψ 0 dξψ 0ψ 0 = ) aa = a a + 1 aψ 0 = 0 aψ 0 = 0 aψ 1 0 ψ = a ) ψ 0 dξ ) a ) ψ 0 a ) ψ 0 = dξψ0aaa a ψ ) aaa a a a aa }{{} a a+1 a = aa }{{} aa +aa = aa a a + aa 14.60) a a+1 ψ 0 0 ψ 1 dξψψ = ψ 1 a ) ψ 0 n 1 n! a ) n ψ 0 ψ n 1 = 1 n 1)! a ) n 1 ψ 0 a n ψ n ψ n = 1 n a ψ n ) [ 14-5] ψ n = 1 n! a ) n ψ 0 n = 5 ψ 0 = π 1 4 e 1 ξ 14.6) ψ 1 = π 1 4 ξe 1 ξ 14.63) ψ = π 1 4 ξ 1)e 1 ξ 14.64)

140 14.4. hν 135 ψ 3 = ψ 4 = π 1 4 π ξ 3 3ξ)e 1 ξ 14.65) 1 6 4ξ4 1ξ + 3)e ξ 14.66) ψ 5 = π ξ5 0ξ ξ)e 1 ξ 14.67) ω n + 1 ) ω n = 0 1 ω n = 1 3 ω x x 3 ω 1 ω = ω 14.4 hν hν z x E x z 1 ) E c t x = ) E x E x x, y, z, t) = 1 π) 3 dk x dk y dk z E x k x, k y, k z, t)e ik xx+k y y+k z z) z 1 ) 1 ) dk c t π) 3 x dk y dk z E x k x, k y, k z, t)e ikxx+kyy+kzz) = 0 1 dk π) 3 x dk y dk z k z ) 1 ) E c t x k x, k y, k z, t)e ikxx+kyy+kzz) = ) 14.70) k z ) 1 ) E c t x k x, k y, k z, t) = ) t E xk x, k y, k z, t) = c k z ) E x k x, k y, k z, t) 14.7) d dt xt) = ω xt) 14.73)

141 ω = ck z E x k x, k y, k z, t) xt) x p E H 8 k x, k y, k z ) hω ) 14.5 [ 14-1] ψ = C m ψ m ξ, t) + C n ψ n ξ, t) C m + C n = 1 ψ k ξ, t) = φ k ξ)e ik+ 1 )ωt 14.74) dξφ mξ)φ n ξ) = δ mn 14.75) ξ [ 14-] exp ξt t ) H n ξ)t n = n! n= ) t n H n ξ) H n ξ) = 1) n expξ ) n ξ n exp ξ )) 14.77) [ 14-3] a) d dξ H nξ) = nh n 1 ξ) b) H n+1 ξ) = ξh n ξ) nh n 1 ξ) [ 14-4] n 8 A φ

142 x, y) H = 1 px ) + p y ) ) 15.1) m i h t ψ = h m ) x + ψ 15.) y 1 [ i ψ = A exp p x x + p y y p x) + p y ) )] t 15.3) h m [ i 1 exp p x x p x) )] h m t x y [ i exp p y y p y) )] h m t E = 1 px ) + p y ) ) m r, θ) ẋ, ẏ, ṙ, θ ẋ) + ẏ) = ṙ) + r θ) 15.4) θ ) θ r θ ) L = 1 m ṙ) + r θ) ) 15.5) θ r θ.. y. x. r r : p r = L ṙ = mṙ, θ : p θ = L θ = mr θ 15.6)

143 H = p r ṙ + p θ θ L = 1 m p r ) + 1 r p θ) ) 15.7) p r = i h r, p θ = i h θ H = h m r + 1 ) r θ 15.8) 15.7) 15.8) p r ) h r p r = i h r p r = i h ) r r r dv = drdθr r i h i h ) r r r r drdθrψ i h ) ) rφ = i h r r = i h = drdθr rφ ) ) drdθ rψ r drdθ ) rψ rφ r i h r r rψ ) ) φ 15.9) [ r, i h ] r = i h [ r, ] r r r r r = i h 15.10) r p r 1 r p r) r p r ) r p r

144 a) b) c) x, y r, θ x = r x r + θ x θ = cos θ r sin θ r θ 15.11) y = r y r + θ y θ = sin θ r + cos θ r x ) = x cos θ r sin θ r θ ) cos θ θ r sin θ r ) θ 15.1) 15.13) ab ba a + b) = a + ab + b a + b) = a + ab + ba + b = a + ab + b 15.14) ) = cos θ ) cos θ sin θ x r r r sin θ θ + r } {{ } + [b, a] }{{} ) [ + sin θ θ r θ, cos θ ] r 15.15) 1

145 [ sin θ r θ, cos θ ] = sin θ [ ] [ 1 r r θ, cos θ sin θ cos θ r r, ] [ ] r θ = sin θ r θ, θ r + sin θ cos θ 1 [ r, r r x = cos θ ) cos θ sin θ r r r sin θ θ + r ) + sin θ θ r ] θ = sin θ r r 1 r cos θ sin θ θ r 1 r cos θ sin θ θ 15.16) 15.17) y y = sin θ ) + sin θ cos θ r r r cos θ θ + r ) + cos θ θ r r + 1 r cos θ sin θ θ 15.18) x ) 15.18) y cos θ + sin θ = 1 x + y = r ) + 1 r θ ) + 1 r r 15.19) [ 15-1] 1 r r r ) + 1 ) r r θ x y e x, e y r θ e r, e θ e r, e θ e x, e y e θ e y e r e x e r = cos θ e x + sin θ e y 15.0) e θ = sin θ e x + cos θ e y θ e x, e y ) e r, e θ e x, e y x, y, r, θ 0 e r, e θ 0 r e r = 0, θ e r = e θ, r e θ = 0, θ e θ = e r 15.1) e θ e y e r e x

146 [ 15-] [ 15-3] r θ ) rθ) = e x x + e y y = e r r + e 1 θ r θ 15.) e θ θ 1 r a f x) = lim a 0 f x + a) f x) a 15.3) a f x) a f x) a θ r, θ) r, θ + δθ) a δθ rδθ a e θ e θ f x) = lim δθ 0 fr, θ + δθ) fr, θ) rδθ = 1 r fr, θ) 15.4) θ θ δθ rδθ θ 1 r θ 1 θ h h h 0 r θ θ h θ h r e x, e y 0 ) ) = e r r + e 1 θ e r r θ r + e 1 θ 15.5) r θ r + 1 r θ ) 15.6) r 0 θ θ ) e r θ r + e 1 θ = e θ r θ r e 1 r r θ 15.7)

147 14 15 θ e 1 θ r r 1 r L = 1 m ẋ) + ẏ) ) = 1 m ṙ) + r θ) ) 15.8) Ldt Euler-Lagrange L X d L dt ) = ) dx dt X x, y, r, θ ) Ldxdydt = iψ ) t ψ + h ψ m ψ dxdydt = iψ t ψ + h ψ ψ m x x + ψ y )) ψ dxdydt y 15.30) L ψ L t ) L ψ x ) L ψ y ) = ) ψ t x y L ψ L t ψ t ) x L ψ x ) y L ψ y ) = ) ) [ iψ ψ t + 1 ψ ψ m r r + 1 ψ r θ Ldrdθdt L = [ iψ ψ t + 1 m ψ r ψ r + 1 ψ r θ )] ψ rdrdθdt 15.33) θ )] ψ r 15.34) θ ψ ψ ) z = x+iy z = 1 x i ) z 1 z = x iy y 0 ψ ψ = 0

148 dxdydt rdrdθdt r L Euler-Lagrange L ψ L t ) L ψ r ) L ψ θ ) = ) ψ t r θ i h ψ t = h m 1 r r r r ) + 1 ) ψ 15.36) r θ r L ) r 3 [ 15-4] 15.35) 15.36) ) h m r + 1 r r + 1 ) ψ = Eψ 15.37) r θ 15.3 p x, p y p r, p θ p θ xp y yp x 4 xp y yp x = i h θ 15.38) [ 15-5] 15.38) θ [p θ, H] = 0 ) Ax, p, t) d dt A = t A + 1 i h [A, H] 15.39) 3 r sin θ 4 ) yp z zp y, zp x xp z, xp y yp x

149 t p θ H ) p r H p x, p y, H p x, p y, H ) p θ H i h θ einθ = hne inθ 15.40) e inθ hn θ = 0 θ = π θ π e iπn = ) n h ) h ) h 5 ) 15.4 ψr, θ) = Rr)e inθ 15.4) h m r + 1 r r + 1 r r + 1 r θ r + 1 r r n r ) r n r Re inθ = ) Re inθ = ) R = ERe inθ me h Re inθ me h R 15.43) 5 1, 3 ) ) ) )

150 r r = αξ α ξ ξ α [ 15-6] ξ α = d h me dξ + 1 ξ ) ) d R + 1 n dξ ξ R = ) 15.5 ξ = 0 fξ) = A k ξ k 15.45) k=0 A k fξ) ) ξ = 0 6 ) Rξ) = k=0 a k ξ k+k ) k 0 6 d f df + P ξ) dξ dξ + Qξ) = 0 P ξ) Qξ) ξ = 0 ξp z) ξ Qz) ξ = 0

151 a k d d dξ + dξ + 1 ξ d a k dξ ξk+k ξ 1 n ξ d dξ ξk+k 0 + )) ) a k ξ k+k 0 = 0 k=0 ) ) 1 n ξ k+k 0 = 0 ξ k=0 a k k + k0 )k + k 0 1)ξ k+k0 + k + k 0 )ξ k+k0 + ξ k+k 0 n ξ ) k+k 0 = 0 k= ) k + k0 ) a k ξ k+k0 + a k ξ k+k 0 n a k ξ ) k+k 0 = ) k=0 ξ ξ 0 a k ξ n+k 0 ξ a k ξ k+k 0 = a k ξ k+k 0 k=0 k= 15.49) 7 k + k0 ) n ) a k ξ k+k0 = a k ξ k+k 0 k=0 k= 15.50) k k + k0 ) n ) a k = a k 15.51) k = 0, 1 k 0 n )a 0 = ) k0 + 1) n ) a 1 = ) a ξ k 0 ξ k0+1 k k 0 ) k0 = n k 0 = ±n k 0 n 15.51) k 0 = n k n ) n ) a k = a k 15.54) k k n ) a k = a k k = n 0 = a n 15.55) 7 k k k 0 k k 0, 1,, 3,

152 ) a n a n 4 n a 0 = 0 a 0 0 k 0 = n a a k = 1 n k + n ) a k = 1 k n + k) a k 15.56) a a 1 a 1 = 0 a = 0 a k = jj ) a j = = 1 j n + j) a 1 1 j = j n + j) j ) n + j ) a j 4 = 1) j jj )j 4) 6 4 n + j) n + j ) n + 4) n + ) a ) jj )j 4) 6 4 = j j 1) j ) 3) ) 1) = j jj 1)j ) 3 1 = j j! 15.58) = n + j) n + j ) n + 4) n + ) n + j) n + j ) n + 4) n + ) n n ) n 4) 6 4 n n ) n 4) 6 4 = n +j n + j)! n n! = j n + j)! n! a j = j= ) 1)j n! j j! n + j)! a ) 1) j n! j j! n + j)! ξj+ n a ) R a 0 a 0 a 0 = 1 n n! j=0 1) j j! n + j)! ) j+ n ξ 15.6) 8 log ξ

153 J n ξ) = j=0 1) j j!n + j)! ) j+n ξ 15.63) 9 J n ξ)e inθ J n ξ) J n ξ) J n ξ)e inθ J 0 x), J 1 x), J x) sin cos ) [ 15-7] 1) n J n x) = J n x).4048 J x) o J x) J x) )! )! = J n x) J n ξ)e inθ 15.64) me ξ = r h ψ = 0 r 0 r=r0 ) r = r 0 J n x) 0 sin x x = nπ ) n = 0 J n x) J n 0) = J 0 x) J 1 x) J x) n n + j)! Γn + j + 1) )...

154 r = r 0 0 ξ J n x) m x = 0 me ) Z n,m ξ = r h me Z n,m = r ) h E E = h m Zn,m r 0 ) 15.66) n, m n m r = 0 r = r 0 0 n ) J 0 x) m J x) m n ) J ξ ) cos θ J ξ )cos θ J ξ ) cos 3θ 1 3 [ 15-8] n 0 J n 0) = 0 0

155 [ ] ī ψ = A exp h p xx + p y y) ) me 15.67) ψ = A J n r e inθ h e ī h Et E = p x) + p y ) ) m [ ] ) ī me exp h p xx + p y y) = A nj n r e inθ 15.68) h n= J n e inθ e inθ p x x + p y y p x, p y ) x, y) = p x ) + p y ) x + y cos α = mer cos α α p,p ) x y θ x, y) x θ α α 0 x,y) ) θ = 0 α α 0 α = α 0 θ θ [ ] me ) dθe in θ exp i r cosα 0 θ) = dθe in θ me A h nj n r e inθ n= h [ ] ) me me dφe in θ exp i r cosα 0 θ) = πa n h n r h 15.69) α 0 α 0 = π A n ) cosα 0 θ) = sin θ me r = ξ h π 0 dθe inθ exp [iξ sin θ] = πa nj n ξ) 15.70) [ 15-9] 15.70) ξ k A n sin θ = eiθ e iθ π 0 dθe inθ e imθ = πδ mn α i e iξ sin θ = J n ξ)e inθ 15.71) n=

156 e iθ = t e ξ t 1 t ) = n= J n ξ)t n 15.7) e ξ t 1 t ) t t n J n ξ) e ξ t 1 t ) J n ξ) 15.7) 15.7) t 1 t t 1 t n= J n ξ)t n t 1 t n= J n ξ) t) n = n= 1) n J n x) = J n x) [ 15-10] J n x + y) = [ 15-11] m= J m x)j n m y) d dx J nx) = J n 1 x) J n+1 x) J n ξ) 1) n t n 15.73) sin kx e ikx

157

158 V r) ) ] [ h m x + y + + V x) ψ = i h z t ψ 16.1) = x + y + z 16.) = 1 r ) + 1 r r r r sin θ sin θ ) + θ θ 1 r sin θ φ 16.3) = r + r r + 1 r θ + cot θ θ + 1 sin θ ) φ 16.4) = = e x x + e y y + e z z 16.5) e x, e y, e z e r, e θ, e φ e r, e θ, e φ e x, e y, e z e r = sin θ cos φ e x + sin θ sin φ e y + cos θ e z 16.6) e θ = cos θ cos φ e x + cos θ sin φ e y sin θ e z 16.7) e φ = sin φ e x + cos φ e y 16.8)

159 z e r e z e y e r z cos θ e r θ r e θ e φ e x y z θ r e θ e θ e r e θ z sin θ sin θ cos θ φ x e r, e θ, e φ e φ e r z cos θ sin θ e θ z sin θ cos θ e φ x sin φ y cos φ e r e θ cos φ x x φ e φ y e & θ e r sin φ y 16.6) 16.8) f x + a) f x) = a f x) ) a a f x) a f x) x A a = A, 0, 0) fx, y, z) fx + A, y, z) fx, y, z) = A x 16.10) A r θ φ A fr, θ, φ) fr, θ, φ) fr + A, θ, φ) fr, θ, φ) = A r 16.11) fr, θ + A r, φ) fr, θ, φ) = A r fr, θ, φ) θ 16.1)

160 fr, θ, φ + A ) fr, θ, φ) = A r sin θ fr, θ, φ) r sin θ φ 16.13) r θ θ A A r φ φ A A r sin θ r+a r A A θ A r r sin θ = e r r + e 1 r r θ + e 1 r r sin θ φ 16.14) ψ ) ) ψ = e r r + e 1 r r θ + e 1 r e r r sin θ φ r + e 1 θ r θ + e 1 φ ψ r sin θ φ ) ) ) 1 1 = e r e r + e θ e θ + e φ e φ ψ 16.15) r r θ r sin θ φ = r + 1 r θ + 1 ) r sin ψ θ φ e r, e θ, e φ 0 1 r p p i h r r r r r e r e r r e θ, e φ 0 1 e x, e y, e z classical c- q-

161 e r θ e r θ = d sin θ cos φ e x + d sin θ sin φ e y + d cos θ dθ dθ dθ e z = cos θ cos φ e x + cos θ sin φ e y sin θ e z 16.16) e θ θ e r = e θ, φ e r = sin θ e φ, θ e θ = e r φ e θ = cos θ e φ, ) φ e φ = sin θ e r cos θ e θ [ 16-1] ) r 0 e r r e 1 θ r θ e θ θ e r = e θ e θ 1 r θ )) e r ψ = 1 r r e θ e r θ r ψ = 1 r r ψ 16.18) θ ψ 16.15) e φ 1 1 e φ r sin θ r sin θ )) r + e 1 θ r θ φ e r ψ = 1 ) φ r sin θ e φ sin θ e φ r + cos θ e 1 1 φ ψ = r θ r r + 1 ) cos θ ψ r sin θ θ 16.19) 16.15) 16.18) 16.19) 16.4) h 1 r ) + 1 sin θ ) + µ r r r r sin θ θ θ 1 r sin θ ) ψ + V r)ψ = Eψ 16.0) φ 3 3 m µ h 1 r r ) µ r r ψ h ψ = Eψ 16.1) µr θ

162 h µr θ ψ 1 µr L z) ψ L z n h r ) A B) C D) = A C) B D) A D) B C) r p r p) = r p r p) 16.) µr 1 µ p = 1 µr L + r p) ) 16.3) r p r 1 µr r p) 1 µr L h 1 r r ) µ r r ψ + 1 Lx ) + L µr y ) + L z ) ) ψ = Eψ 16.4) L x, L y, L z L r p xp y yp x L x = yp z zp y, L y = zp x xp z, L z = xp y yp x 16.5) x y z L = i h x z L z xp y yp x L z = i h φ 16.6) z φ L x, L y r r

163 p z = i h e z L x = yp z zp y = i h y e z e θ 1 r = i h r sin θ sin φ = i h L y = sin φ θ i h r cos θ = i h cos φ θ θ + e 1 φ r sin θ sin θ ) r θ cot θ cos φ φ φ ) + r ) z e y cos θ sin φ r cos θ ) r 1 r cos θ cos φ θ sin φ r sin θ cot θ sin φ φ e θ 1 r θ + cos φ r sin θ θ + e 1 φ )) r sin θ φ )) + r ) φ 16.7) ) r sin θ cos φ 1 φ r sin θ )) ) θ 16.8) L = L x ) + L y ) + L z ) L x ) = [ )] cot θ cos φ φ i h sin φ θ [ = h sin φ θ + sin φ cot θ cos φ θ φ [ = h sin φ θ + cot θ sin φ cos φ θ φ cot θ cos φ sin φ φ + cot θ cos φ φ L y ) = h [ cos φ θ cot θ sin φ cos φ θ + cot θ cos φ φ sin φ θ sin φ cos φ sin θ φ + cot θ cos φ θ ] φ + cot θ sin φ cos φ φ + cot θ sin φ φ ] + cot θ cos φ cot θ cos φ φ φ 16.9) sin φ cos φ + sin θ φ + cot θ sin φ θ ] 16.30) [ L x ) + L y ) + L z ) = h θ + cot θ θ + cot θ φ + ] [ φ = h θ + cot θ θ + 1 ] 16.31) sin θ φ 16.4) 4 L z 4

164 L, L x, L y, L z H L x L y [L x, L y ] = [yp z zp y, zp x xp z ] yp z p z zp x z zp y z xp z p z [L x, L y ] = y [p z, z] p x + x [z, p z ] p y = i hxp y yp x ) = i hl z 16.3) x y, y z, z x) [L y, L z ] = i hl x, [L z, L x ] = i hl y [L x, L x ] = 0) [L y, L x ] = [L x, L y ] = i hl z ) L x, L y, L z L L x [ L, L x ] = [ Lx ), L x ] + [ Ly ), L x ] + [ Lz ), L x ] [L x, L x ] = ) [L y L y, L x ] = L y [L y, L x ] + [L y, L x ] L y = i h [L y L z + L z L y ] 16.34) [L z L z, L x ] = L z [L z, L x ] + [L z, L x ] L z = i h [L z L y + L y L z ] 16.35) ] [ L, L x = 0 Ly, L z ) H = h 1 r ) + 1 µ r r r µr L + V r) L x, L y, L z, L r L L x, L y, L z, L L x, L y, L z 0 H L L x, L y, L z L z ) L z e imφ L z m h m ) ψr, θ, φ) = Rr)Θθ)e imφ z L h λ Θ h 1 d sin θ ddθ ) sin θ dθ Θ + h m sin θ Θ = h λθ 1 d sin θ ddθ ) 16.36) sin θ dθ Θ m sin θ Θ = λθ H E ) L h λ L z m h

165 L L z 16.37)±i 16.38) [L z, L x ] = i hl y 16.37) [L z, L y ] = i hl x 16.38) [L z, L x ± il y ] = i hl y ± hl x = ± h L x ± il y ) 16.39) L ± = L x ± il y L ± [L z, L ± ] = ± hl ± 16.40) L z L ± = L ± L z ± hl ± = L ± L z ± h) 16.41) L z m h ψ m L z ψ m = m hψ m ) L z L ± ψ m = L ± L }{{} z ± h)ψ m = m ± 1) hl ± ψ m 16.4) m h L ± ψ m L z m ± 1) h L x, L y L L ± L z h L a, a ψ m L ± ψ m±1, ψ m±, L + L ) L z ) ) [ 16-] L +, L [ 16-3] L ± L z L + L z L + L [ L, L + ] = 0 L = L x ) + L y ) + L z ) L z L L z l h ψ l L + ψ l = 0, L z ψ l = hlψ l L L = L x ) + L y ) + L z ) = ) 1 ) 1 L + + L ) + i L + L ) + L z ) = 1 4 L+ ) + L + L + L L + + L ) ) 1 4 L+ ) L + L L L + + L ) ) + L z ) = 1 L +L + L L + ) + L z ) 16.43)

166 16.3. Legendre :m = ψ l ψ l L + 0 [ ] [ 1 1 L +L + L L + ) + L z ) ψ l = L +L + l h ] ψ l 16.44) ψ l L + 0 L + L L + L L L + = [L +, L ] [L +, L ] = [L x, il y ] + [il y, L x ] = hl z 16.45) L z l h L ψ l = h ll + 1)ψ l 16.46) L h ll + 1) L z l h L + L l h L z l h l h L z l h L = L x ) + L y ) + L z ) h ll + 1) L x ) + L y ) = L L z ) = h ll + 1) hl) = h l 16.47) L x, L y, L z L z L z hl L x, L y L z L z L x, L y L x, L y, L z 0 L 0 θ φ 16.3 Legendre :m = ) x = cos θ dx = sin θdθ d dθ = sin θ d dx 16.48) d sin θ d ) dx dx Θ m sin Θ + λθ = ) θ sin θ = 1 cos θ = 1 x x d 1 x ) d ) dx dx Θ m Θ + λθ = ) 1 x

167 16 16 Legendre ) m L ± m m = 0 x = 0 θ = π Θ = k=0 A k x k = A 0 + A 1 x + A x ) d dx Θ = A k x k k=0 d dx Θ = ka k x k 1 k=1 1 x ) d dx Θ = ka k x k 1 ) k=0 k=0 1 x ) d dx Θ ) d 1 x ) d dx dx Θ ka k x k+1 = kk 1)A k x k kk + 1)A k x k k=0 k=0 + λθ = kk 1)A k x k + λ kk + 1)) A k x k k=0 k=0 16.5) k = 0, k = 1 0 x ) kk 1)A k x k k= k k + d dx 1 x ) d ) dx Θ + λθ = k + )k + 1)A k+ x k + λ kk + 1)) A k x k 16.53) k=0 k=0 k 0 ) x 0 x k A k+ = kk + 1) λ k + )k + 1) A k = A k+ k + )k + 1) + A k λ kk + 1)) = ) kk + 1) λ k + )k + 1) k 1)k ) λ A k = 16.55) kk 1) k A 0 k A 1 kk + 1) λ k 1 k k + )k + 1) 1 + x + x + x 3 + x 4 + x = 1 5 k = l 5 a k = λ = ll + 1) 16.56) 1 k n + k) a k a k k

168 16.3. Legendre :m = A l+ 0 λ = ll + 1) A A 0 A A 1 l A A l A 1 = 0 A = 0 l A A = 0 A m A k+ = ll + 1) + kk + 1) l + k + 1)l k) A k = A k 16.57) k + )k + 1) k + )k + 1) l A = l + 1)l 1 A ) A 4 = l + 3)l ) l + 3)l + 1)ll ) A = A ) A 6 = 4 3 l + 5)l 4) A 4 = l + 5)l + 3)l + 1)ll )l 4) A ) m l + m 1)l + m 3) l + 3)l + 1) ll ) l m + ) A m = ) A ) m)! l m l + m 1)l + m 3) l + 3)l + 1) ll ) l m + ) A 0 ) x m 16.6) m=0 m)! l A 1 l + )l 1) A 3 = A ) A 5 = l + 4)l 3) l + 4)l + )l 1)l 3) A 3 = A ) A 7 = l + 6)l 5) l + 6)l + 4)l + )l 1)l 3)l 5) A 5 = A ) l 1 m=0 l + m)l + m 4) l + )l l 1)l 3) l m + 1) x m ) m + 1)! k 1, x, x 4, k x, x 3, x 5, x l, x l, x l 4, l m = l j

169 m = l j 1 j A 0 A 1 ) 0 j l m l j 1)l j 3) l + 3)l + 1) ll ) j + ) ) l j)! x x j 16.67) j 0 l l l l 1 ) = l j 1)l j 3) l + 3)l + 1) l j) l j 1)l j ) l j 3) l + 4) l + 3)l + ) l + 1) l j) l j ) l + 4) l + ) 16.68) ) l j) = l ) j) l l l + ) = + 1 l j) = l j = = l j)l j 1)l j )l j 3) l + 4)l + 3)l + )l + 1) l j l j)l j 1) l + ) l +1 ) l j)! l! = l j)! ) l! l j l j)! l )! l j l!l j)! 16.69) ) ) ll ) j + ) = l l l j 1 j + 1) ) l = l j! j! l A 0 j=0 l 16.70) ) )! l j)! ) l j l!j!l j)!l j)! xl j 16.71) A 0 P l x) = 0 j l 1) j l j)! l j!l j)!l j)! xl j 16.7) Legendre P l x) 6 Legendre P l 1) = 1 6 Q l x) x = 0

170 16.3. Legendre :m = P l x) = 1 d l l l! dx l x 1) l 16.73) Rodrigues ) l P 0 x) = 1, P 1 x) = x, P x) = 1 3x 1), P 3 x) = 1 5x3 3x), P 4 x) = x4 30x + 3), P l x) l P l x) l l l P l x) l L θ ) m = 0 d 1 x ) d ) dx dx ll + 1) 1 dxp m x)p n x) = 0 m 0 ) 16.75) 1 P 3 x) P 0 x) P 1 x) P x) 16.74) x = cos θ π dθ sin θp m cos θ)p n cos θ) = 0 m 0 ) 16.76) 0 π 1 dθ sin θ = dx θ = 0 x = θ = π x = 1 dx = sin θdθ θ sin θ 3 drdθdφr sin θ P 4 x) [ 16-4] θ 1 d sin θ d ) sin θ dθ dθ ψ, φ A dθ sin θaψ) φ = dθ sin θψ Aφ) m = n 1 1 dxp n x)p n x) = n )

171 θ P 0 cos θ ) θ = 0 ) x = P 1 1 θ = π ) x = cos θ) P 3 cos θ ) 1 θ P 1 cos θ) P cos θ)) 1 P 4 cos θ ) P cos θ ) 7 P 1 cos θ) l = 1 P cos θ)) 0 P cos θ )) P cos θ )) P cos θ)) 1 L x, L y, L z L z L x L y 8 L > 0 L z = 0 x y z x y L x L y 3 7 r 8 0

172 16.4. Legendre :m Legendre 1 = z l P 1 xz + z l x) 16.78) l=0 θ = 0 R Q P r, θ) PQ x x = r cos θ R) + r sin θ) = R rr cos θ + r = R 1 r ) r R cos θ ) R 1 x = 1 R 1 r cos θ + ) = 1 ) r l Pl cos θ) 16.80) r R l=0 R R R Q e P V P Q = e 4πɛx V P Q = e 1 + r 4πR R cos θ + 1 ) r 3 cos θ 1 ) + 1 ) r 3 5 cos 3 θ 3 cos θ ) + ) 16.81) R R Q R O θ x r P 16.4 Legendre :m 0 m = 0 m 0 L + m 0 x = ±1 ) m = 0 P l cos θ) L + he iφ θ + i cot θ ) φ L + P l cos θ) = he iφ d dθ P lcos θ) 16.8) L z h L + L + ) P l cos θ) = h e iφ θ + i cot θ e iφ d ) φ dθ P lcos θ) }{{} i = h e iφ d dθ cot θ ) d dθ P lcos θ) 16.83)

173 L z m h e imφ L z φ im L z m h m + 1) h L + L + m m+1 = he iφ θ m cot θ ) 16.84) ) d dθ m cot θ fθ) = sin m θ d ) 1 dθ sin m θ fθ) d ) 1 dθ sin m θ 1 sin θ 16.85) = m cos θ sin m+1 θ L + m m+1 = he iφ sin m θ d dθ d dθ = d dx sin θ = 1 x L + = he m m+1 iφ 1 x ) m+1 d dx 1 ) sin m θ 1 1 x ) m ) 16.86) 16.87) ) ) L + L + = he m+1 m+ m m+1 iφ 1 x ) m+ d 1 he iφ 1 x ) m+1 d 1 dx 1 x ) m+1 dx 1 x ) m = h 1 x ) m+ d ) 1 dθ 1 x ) m 16.88) L + 1 x ) L + m 1 m L + m m 1 L + 1 L = h m e imφ 1 x ) m P l cos θ) L L m+1 m L m+ m+1 L 1 L 0 1 = h m e imφ 1 x ) m m l m l d m dx m 16.89) d m dx m 16.90) Pl m x) = 1 x ) m d m dx P lx) 16.91) m L L z L hll + 1) L z m h) θ Pl m x) Legendre m = 0 Legendre P l x)

174 16.4. Legendre :m m l Pl l+1 x) Pl l+1 x) = 1 x ) l+1 d l+1 dx P lx) 16.9) l+1 P l x) x l l P l l+1 x) m l l ) Legendre P 1 1 x) = 1 x, P 1 x) = 3x 1 x, P x) = 31 x ), P 1 3 x) = 3 1 x 5x 1), 16.93) P 1 1 cos θ) = sin θ, P 1 cos θ) = 3 cos θ sin θ, P cos θ) = 3 sin θ, P 1 3 cos θ) = 3 sin θ5 cos θ 1), Legendre m 16.94) 1 1 dxpn m x)pn m = δ nn n + 1 n + m)! n m)! 16.95) 0 [ P cos θ) ] 1 P cos θ) 1 0 [ P cos θ) ] 1 [ ] n n 0 m φ θ x ) P n cos θ) [ P cos θ) ] P1 0, P1 1 P 0, P 1, P m [ P 1 cos θ) ] m r θ

175 =0 m=0 =1 m=0 =1 m=1 = m=0 L h ll + 1) L z m h Yl m θ, φ) = 1) m ) l + 1 l m)! 4π l + m)! P l m cos θ)e imφ 16.96) 3 Y m l ) m = 0 P n cos θ) L ± m 0 m = l L z L + ψ l = 0 L z l h ψ l = e ilφ fθ) L + e ilφ fθ) = e iφ θ + i cot θ φ eilφ fθ) = e il+1)φ }{{} il fθ) df dθ = df f = log f = f = l cot θf l cot θdθ l logsin θ) + C A sin l θ = m=1 = m= ) d dθ l cot θ fθ) = ) 16.98) P l l cos θ) = A sin l θ l l = A sin l θe ilφ Yl l )L [ 16-5] Y l l L x, L y 0 hint:l +, L ) [ 16-6] L x ), L y ) L L z z L z )

176 L z L x 1 L x + L z ) L z L x L x Yl m yl m yl m = A m Yl m 16.99) m Yl m h 1 d r ddr ) µ r dr R + h ll + 1) R = ER ) µr 1 d ξ ddξ ) ξ dξ R + 1 ξ = µe h r R = Q ξ 1 d ξ d )) ) Q ll + 1) Q + 1 = 0 ξ dξ dξ ξ ξ ξ 1 d ξ 3 dq ) ) ll + 1) ξq + 1 Q = 0 ξ 3 dξ d dξ Q + 1 ξ dξ 1 dq dξ 1 d dξ Q + 1 dq ξ dξ + 1 ) ll + 1) R = ) ξ ξ ) 4ξ Q + ll + 1) 1 Q = 0 ξ ) l + 1 ξ Q = ) 15.44) n l ) n l + 1 J l+ 1 ξ)) 9 l 0 9 l + 1 ) l 1

177 17 16 π x J l+ 1 x) j l x) 10 [ 16-7] 0 j 0 x) 15.63) ψr, θ, φ) = A J r l+ 1 µe h r Pl m cos θ)e imφ ) = A j l µe h r Pl m cos θ)e imφ R ψr = R, θ, φ) = 0 j n µe h r = 0 E 16.6 [ 16-1] [ 16-] [ 16-3] L = r p p = i h L L h θ + cot θ θ + 1 ) sin θ φ 0 [ 16-4] Rodrigues 16.73) P l 1) = 1 hint:x 1) l x 1) l x + 1) l l x 1) x = 1 0 ) [ 16-5] 1 P n x)p n x) = n ) n [ 16-6] Yl m π 0 1 π dθ 0 dφ sin θyn m Yn m nn δ mm ) 10

178 [ 16-7] L z = i h φ φ [φ, L z] = i h φ L z h L z = 0 φ = π φ π L z ψ, φ π 0 L z φ) ψdθ = π 0 φ L z ψ)dθ L z hint: θ = 0, π ) )

179

180 m : M V v ) M m X x V v ke 1 M V + 1 m v + ke X x 17.1) M + m M V + m v M + m 1 M + m) M V + m v M = V M + m M + m) m + M + m) v + Mm V M + m v 17.) 1 M V + 1 m v + ke X x M M + m) Mm = V M + m) + = 1 Mm V M + m) v ke + X x Mm M + m) v Mm V M + m v + V m M + m) v Mm M + m V v ke X x 17.3)

181 X x V v ) ) µ = Mm M + m µ µ ke r h 1 r r ) µ r r ψ + 1 µr L ψ ke ψ = Eψ 17.4) r ψr, θ, φ) = R l r)y m l θ, φ) 17.5) L L z l 0 m l m l ) R l r) h d r d ) µr dr dr R l + h µr ll + 1)R l ke r R l = ER l 17.6) h ll + 1) ) r = αρ µα h h d ρ d ) µα ρ dρ dρ R l + h µα ρ ll + 1)R l ke αρ R l = ER l 17.7) 1 d ρ dρ ρ d dρ R l ) 1 ρ ll + 1)R l + µαke h ρ R l = α µe h R l 17.8) r E < 0 α = h ) 8µE

182 µαke h = λ λ λ ρ R l 1 4 R l 1 1 d ρ d ) ρ dρ dρ R l 1 ρ ll + 1)R l + λ ρ R l 1 4 R l = ) ρ ρ 0 ρ d dρ R l = 1 4 R l 17.10) R l = e ± 1 ρ e + 1 ρ e ρ ρ 0 1 d ρ d ) ρ dρ dρ R l = 1 ρ ) ρs ll + 1) ρ R l 17.11) ss + 1)ρ s = ll + 1)ρ s 17.1) ss + 1) = ll + 1) s = l s = l 1 ρ l 1 ρ l R l r) = e 1 ρ ρ l L l ρ) 17.13) L l d ) L l ρ) l + dll ρ) λ l 1 L dρ l ρ) = ) ρ dρ ρ L l ρ) = k a k ρ k 17.15) kk 1)ak ρ k + kl + 1)a k ρ k ka k ρ k 1 + λ l 1)a k ρ k 1) = 0 k kl + k + 1)ak ρ k + λ l k 1)a k ρ k 1) = 0 k 17.16) k ρ k λ l k)a k 1 + k l + k + 1) a k = )

183 a k = λ l k kl + k + 1) a k 1 λ l k = kl + k + 1) λ l k + 1 k 1)l + k) a k =. = 1) k λ l k)λ l k + 1) λ l 1) k!l + k + 1)l + k)l + k 1) l + ) a ) k + l λ a k k kl + 1) + kk 1) 1 k a k 1 k! a 0 e ρ = 1 k k! ρk e 1 ρ e 1 ρ 0 k = n + 1 λ l n 1 a n +1 = n + 1)l + n + ) a n = ) n = λ l 1 λ λ = n + l + 1 n λ µαke h = n α = n h µke α = h 8µE E ) h 8µE = n h E = µk e 4 µke n h 17.0) a k a k = 1) k n l 1)!l + 1)! k!l + k + 1)!n l k 1)! a ) k 0 n = n l 1 n + l)!) a 0 = n l 1)!l + 1)! a k = n l 1 k=0 1) k n + l)) k!l + k + 1)!n l k 1)! ρ k 17.) L q px) = e + 1 ρ p 1) s p + q)!) s=0 p s)!q + s)!s! xs 17.3)

184 Laguerre p = n l 1, q = l + 1 R l ρ) = L n l 1 l+1 ρ) 17.4) ψ nlm = NL l+1 n+l ρ)ρl e 1 ρ Y m l θ, φ) 17.5) N 0 π π dr dθ r sin θψnlmψ n l m = δ nn δ ll δ mm 17.6) 0 0 r ρ r B 0 ) drr nrb 3 dρρ 17.7) 0 h µke ρ = r α = µke n h r n ρ = r nr B Yl m δ ll δ mm δ nn Laguerre 0 e ρ ρ l L l+1 n+l ρ)) ρ dρ = n n + l)!)3 n l 1)! 17.8) n = n n n + l)!)3 N n l 1)! ) nrb 3 = N n4 n + l)!) 3 4n l 1)! r B) ) 1 N ψ nlm r, θ, φ) = 4n l 1)! n 4 [n + l)!] 3 r B) 3 ρ l e 1 ρ L l+1 3 ψ [L 3 ] n l 1 ρ)y m l θ, φ) 17.30) ψ d 3 x = 1 1 ) l = 0, 1,, 3, l m l n L l+1 n l 1 ρ) n = 0, 1,, n = 1,, 3, 3 ρ = 0

185 n n n = 1,, 3 l = 0 n=1 n = 1 ) n > 1 ψ l = 0 n=3 P0 0 cos θ) = 1 s 4 l = 1 p l = n= d f,g,h, r r + dr ψ ψ dr r 4πr dr r B = 1 n = 1 n=1 r B ψ r n= B n=3 r B ) r B n =, 3, - l = 0 l 0 5 z φ = 0, π n = 1, ψ 3 4 s sharp s spherical) s 5 ψ = e ikx ψ ψ

186 n=1 n= =0 =1 =1 m=0 m=1 z z z yz yz yz yz n = 3 n=3 =0 =1 =1 m=0 m=1 z z yz yz yz = = m=0 m=1 = m= yz yz yz n n l 0 n 1 n n, l l 0 m l l l + 1 n n 1 l=0 l + 1) = n 17.31)