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ようたさだい
5 years ago
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1 6 章ラプラシアン, ベクトル公式, 定理 6.1 ラプラシアン Laplacian φ はベクトル量である. そこでさらに発散をとると, φ はどういう形になるであろうか? φ = a + a + a φ a + a φ + a φ = φ + φ + φ = 2 φ + 2 φ φ 2 2 φ = 2 φ φ φ 2 = 2 φ したがって,2 階の偏微分演算となる. 直角座標系の場合, = 2 となり, 内積の形をした演算子になる. 2 をラプラシアン演算子と呼んでいる. 2 単独では意味を持たず, 関数に作用させて初めて意味を持つため, 演算子という言葉が使われている. をラプラス (Laplace) の方程式という. 2 φ =0 各座標系のラプラシアン演算子を掲げる. ポテンシャルを求める問題で出てくる. 直角座標 2 = 円筒座標発散 A = ρ 1 ρ ρa ρ + A ϕ ρ ϕ + A において φ A = φ = a ρ ρ + a φ ϕ ρ ϕ + a φ = a ρ A ρ + a ϕ A ϕ + a A とおいてAの成分に対応させると 2 が導出できる. = = 球座標したがって 2 = /12

2 発散 A = 1 r 2 r r 2 A r + r sin 1 A sin + 1 A r sin においてに対応させて A = = a r r + a r + a 1 r sin = a r A r + a A + a A = 1 r 2 r r 2 r + r sin 1 r sin r sin r sin したがって 2 = 1 r 2 r r 2 r + 1 r 2 sin sin + 1 r 2 sin ベクトルに作用するラプラシアン 2 は直角座標においてのみ, = 2 が成立する. 一般の直交曲線座標ではベクトルラプラシアンは 2 = で定義される. 6.2 ベクトル公式ついでにベクトル演算子に関連する公式を掲げておこう. 以下の公式はどの座標系でも成立する重要なベクトル公式である. ここでは直角座標系における確認を示しておく. ( A ) 0 ( A )= A + A + A = A A + A A + A A = 2 A 2 A + 2 A 2 A + 2 A 2 A =0 この公式は, 渦巻きの軸方向のベクトル自身は閉じていることを意味している. 竜巻の中心を流れる上昇気流を考えると良いが, 気流が下から上に上がり, それが上で広がってやがて竜巻の外側を通って下方におりてくる. そしてまた吸いあがる. 上昇気流を渦巻きの軸方向のベクトルに対応させることができるが, その気流自身は閉じている. 2/12

3 0 a a a = = a + a + a = 0 この公式は傾きのベクトルには渦巻き成分がないことを意味している. 山の最大傾斜線を傾きベクトルに対応させて考えると, 山の頂上を中心として四方八方に広がっていることが想像できる. その広がっていく中には渦の成分がないことが理解できるであろう. A =(A) 2 A これは波動方程式を導く際に, よくでてくる公式である. A = a A + A + A + a A + A + A + a A + A + A 2 A = a 2 A A A 2 A + a A + 2 A 2 A + a A + 2 A だから, A 2 A = a A + A 2 A 2 A + a A A 2 A 2 A a A + A 2 A 2 A 2 2 = a A A A A + a A A A A + a A A A A 3/12

4 = a a a = A A A A A A A ()=() + () ()=a + a + a = a + a + a + a + a + a =() + () (A)=() A + A (A) = A + A + A = A + A + A + A + A + A =() A + A (A) =A +() A A = a a a A A A = a A A + a A A + a A A 4/12

5 = a A A + a A A + a A A + a A A + a A A + a A A = a a a + A A A a a a = A +() A A A A (A B)=B (A) A (B) AB = a + a + a a A B A B + a A B A B + a A B A B = A B A B + A B A B + A B A B = B A A + B A A + B A A A B B A B B A B B = B (A) A (B) (A B)=A(B) B(A)+(B)A (A)B B A(B)= a A + a A + a A + B + B A B(A)= a B + a B + a B + A + A (B)A = (A)B = B + B + B A + A + A a A + a A + a A a B + a B + a B 5/12

6 成分についてみると, 右辺は B = A + B A B + A A + B + B A A B + A B = A B A B A B A B = 左辺の成分他の成分についても同様 (A B) =A(B) B(A)+(B)A (A)B (A B)=(A)B +(B)A +A(B)+B(A) 成分についてみると, 左辺は (A B) = A B + A B + A B = A B + A B + A B 右辺は B (A)B = A + A B + A B A (B)A = B + B A + B A A(B) = A B B A B = A B B A B B(A) = B A A B A = B A A B A (A)B + (B)A + A(B) = A B(A) = B B + A B + A B A + B A + B A (A)B + A(B) + (B)A + B(A) = A B + A B + A B 他の成分についても同様 (A B)=(A)B +(B)A +A(B)+B(A) 6/12

7 演算子を施した結果には次のような関係がある. 2 0 A= 0 A A A A 2 A 6.3 グリーンの定理 (Greenʼs Theorem) ベクトル公式の中に, を代入して展開するとガウスの定理より, (A)=() A + A A = ()= + = + 2 (φ ψ) dv = (φ ψ) d = φ ψ + φ 2 ψ dv これをグリーンの第一公式という. また, ()= + 2 ()= + 2 両式を引き算して, ( )= 2 2 これにガウスの定理を適用すると ( φ ψ ψ φ ) d = φ 2 ψ ψ 2 φ dv これをグリーンの第二公式という. 7/12

8 さて, ベクトル界を分類するときに, 次の重要な定理がある. まず, ベクトル界 U が, U = 0,U 0 を満たすときに, そのベクトル界 U は回転ベクトル界と呼ばれる. また, ベクトル界が 0, = 0を満たすときに, そのベクトル界は非回転ベクトル界と呼ばれる. 6.4 ヘルムホルツの定理 (Helmholtʼs Theorem): ベクトル界の分解定理任意のベクトル界 F はその定義された領域 ( 表面を) で, 回転ベクトルUと非回転ベクトルの二つのベクトル界の和として表される. F = U + このとき,Uとはそれぞれ, のようにベクトルポテンシャル U = A, = A とスカラポテンシャルで表され, A(r) = G 0 F(r ' ) dv ' G 0 F(r ' ) d ' φ (r) = G 0 F(r ' ) dv ' + G 0 F(r ' ) d ' で与えられる.d ' はの内側に向かう面素ベクトルである. 8/12

9 6.5 ベクトル演習問題以下を適当な座標系で証明せよ 6.1 A B C = A B C 6.2 A ( B C )=(AC) B ( A B ) C 6.3 (A)=() A + A (A B) =B (A) A (B) 6.6 ( A ) ベクトルが次のように定義されている A = cos α a +sinα a ep ( γ ) A を求めよ A を求めよ ( A )=0 を確かめよ A d = A dv を適当な表面で囲まれた体積に対して確かめよ A dl C = A d を適当な閉路 c で囲まれた面積に対して確かめよ 6.7 ベクトル A = r (r < a) a 3 ( 1 r ) (r > a) はスカラーポテンシャルを持つことを示しそれを求めよ 6.8 閉曲面で囲まれた領域内で A =, 2 =0 ならば, 次式が成立することを証明せよ A 2 dv = φ A n d 9/12

10 6.6 ベクトル公式一覧表ベクトル演算 AB = BA AB = BA A ( B + C )= A B + A C A ( B + C )=A B + A C AA = 0 A B C = A B C A ( B C )=(A C ) B ( A B ) C 演算子 ( + )= + ()=() + () ( () )=() 2 ( A + B )=A + B = 2 0 ( A) 0 (A)=() A + A ( A + B )=A + B (A) =A +() A (A B)=B (A) A(B) A =(A) 2 A (A B)=(A)B +(B)A +A(B)+B(A) (A B)=A(B) B(A)+(B)A (A)B ガウスの定理 A d = A dv ストークスの定理 A dl C = A d グリーンの定理 (φ ψ) d = φ ψ + φ 2 ψ dv ( φ ψ ψ φ ) d = φ 2 ψ ψ 2 φ dv 10/12

11 直角座標系における表現 A = A a +A a + A a = a + a + a A = A + A + A A = a A A A + a A A + a A = a a a A A A 円筒座標系における表現 A = A a +A a + A a = a + a + a A = 1 A + A + A A = a A A A + a A + a 1 A A d a a a A = 1 A A A 球座標系における表現 A = A r a r +A a + A a = a r r + a r + a 1 r sin A = 1 r 2 r r 2 A r + r sin 1 A sin + 1 A r sin A = a r 1 r sin sin A A + a 1 r sin A r r r sin A 11/12

12 + a 1 r r ra A r a r r a r sin a A = 1 r 2 sin r A r ra r sin A 12/12

回転.rtf

回転.rtf ベクトルの回転の定義は A A rot A ΔS 0 n ΔS (5.) : ounter dl 図 5. ベクトルの回転であり, 回転量を調べる演算子である. ローテーションA, カールA,Aの回転とも読む. 図 5.のように, 閉曲線に沿ってベクトル Aの線積分を行うものとする. 線積分はベクトル Aと線素 dl の内積だから, ある大きさ ( スカラー量 ) が得られる. その大きさをもち,