3 0407).3. I f x sin fx) = x + x x 0) 0 x = 0). f x sin f x) = x cos x + x 0) x = 0) x n = /nπ) n = 0,,... ) x n 0 n ) fx n ) = f 0 lim f x n ) = f 0)

Transcription

1 0407).. I ) f ) a I 3).) lim x a fx) = fa) a.) 4)5) lim fx) = fa) x a+0 lim x a 0 fx) = fa)). I f I I I I f I a 6) fx) fa) lim x a x a f a f a) I I 7) *) ) an interval; ) an open a closed) interval. ) a function. 3) continuous; a continuous function. 4) limit; right-hand limit; left-hand limit. 5) 6 6) differentiable; the differential coefficient; the derivative. 7) a theorem; a corollary; a proposition; a lemma; a proof... f a f a F, G lim F x) = α, lim x a Gx) = β x a ) ) lim F x) ± Gx) = α ± β, lim F x)gx) = αβ x a x a 8) ) fx) fa) lim fx) fa) = lim x a x a x a ) fx) fa) = lim x a x a lim x a ) fx) = lim fx) fa) + fa) x a ) x a) lim x a) = f a) 0 = 0. x a = lim x a fx) fa) ) + lim x a fa) = 0 + fa) = fa)... x x 0) fx) = x = gx) = 3 x x x < 0) 0 f 0 g I f I x x f f x) f : I x f x) R f 8) 5

2 3 0407).3. I f x sin fx) = x + x x 0) 0 x = 0). f x sin f x) = x cos x + x 0) x = 0) x n = /nπ) n = 0,,... ) x n 0 n ) fx n ) = f 0 lim f x n ) = f 0). I I C - 9) C -. the mean value theorem.4 ). [a, b] f a, b) fb) fa) b a c = f c), a < c < b.4 9) C - of class C c-one). 0407) 4.5. f a a + h fa + h) = fa) + f a + θh)h 0 < θ < θ h = 0 θ h > 0 f [a, a + h]..4 b = a + h fa + h) = fa) + f c)h a < c < a + h c θ = c a)/h a < c < a + h 0 < θ < h < 0 [a + h, a].4 fa) fa + h) a a + h) = fa + h) fa) h = f c) a + h < c < a c h < 0 c = a + θh 0 < θ < ) ) 0 ) fx) = x a = 9, b = = 0 9 c, 9 < c < 0 c 0) the square root. ) an approximation. 0 = 3 + c, 9 < c < 0.

3 5 0407) 0407) 6 c > 9 0 < = < 3.7. F, G f F x) = G x) = fx) Hx) = Gx) F x) I H x) = 0.7 I co c < 0 0 > > 3 + ) 3 + = > = < 0 < ), I I f x) = 0 f I I a a I x fx) = fa) x > a [a, x].4 fx) fa) x a = f c), a < c < x c a x I c I f c) = 0 fx) = fa) x < a [x, a].8. a f f a) = 0.9. I F, G f 3) Gx) = F x) + C C ) ) 0 a decimal fraction; the first decimal place. 3) a primitive; a constant..0. F, G I.9 R \ {0} = {x R x 0} 4) log x x > 0) F x) = log x, Gx) = log x) + 7 x < 0) fx) = /x.. a, b) f a, b) ) f a, b) ) 5) a, b) x, x x < x [x, x ].4 fx ) fx ) x x = f c) a <)x < c < x < b) c f c) > 0 f c) < 0) x x > 0 fx ) fx ) > 0 fx ) fx ) < 0 ) x < x fx ) < fx ) fx ) > fx )) f ).. f f 6) f c 7) f c) > 0 c I f I f f c) > 0 c 4) A \ B A B A \ B = {x x A x B}. A B 5) ) monotone increasing decreasing); positive; negative. 6) C - 7) c f

4 7 0407) I f x) > 0 I 6 ).3. f c f c) > 0 c f.3 f f 0) = / > 0 x = 0 I ξ = /mπ) I m f ξ) = < 0 f x 0 ξ J f x) < 0 x J) I J f η = / m + )π ) I m f η) = 3 > 0 J f x) > 0 x J) I J f 0 f ) -3 sin 0., tan radian? -4 0 IC ) 346.8Km IC ) 00Km C - sin x x 0) fx) = x x = 0)

5 0407) ; ). ). [a, b] f [a, b] I f c I ) ) x I fx) fc) fx) fc)) f I ) c I.. c I R fx) = tan x x fx) π/ fc) = π/ c ) ) 7 fx) = 4x x 4 0 x ) 0 x ) R [0, ] x = I c I 3) c I I = [a, b] c a, b) I a, b I *) ) ) the maximum; the minimum. ) a real number; continuity of real numbers; a rational number. 3) an interior point.4. I f I c f c f c) = 0 c I δ c δ, c + δ) I f c f c) = lim h 0 fc + h) fc) h f c fc + h) fc) 0 fc + h) fc) h { 0 h > 0 ) 0 h < 0 ) h 0 f c) 0 4).5 5) ). [a, b] F a, b) F a) = F b) F c) = 0, c a < c < b F [a, b]. c, c [a, b] F c c c, c a, b F c ) = F c ) F a, b) F = 0 c, c a, b) c.4 F c) = 0.4. F x) = fx) fa) fb) fa) x a) b a.5) - 4) 5) Michel Rolle 65-79; Fr); Rolle s theorem.

6 0407).6 6) ). [a, b] f, g a, b) ga) gb) a, b) g x) 0 fb) fa) gb) ga) = f c) g c) c F x) = fx) fa) a < c < b fb) fa) ) gx) ga) gb) ga).5) ) ) fx) = e x k f k) x) = e x. 3) fx) = cos x k f k) x) = ) k cos x, f k+) x) = ) k+ sin x m f m) x) = cosx + mπ ).8. I f I f C 0 - I f f C - I k f k. I R f f f ) f f f 7) k k k I f k ) k ) f k k ) k f k f k) x), d k dx k fx), d k y dx k y = fx) y.7. ) n fx) = x n f k) x) = k!x n k k n ), f k) x) = 0 k > n ) k = n f n) x) = n!x 0 n! 6) Augustin Louis Cauchy , Fr);.4 ; Joseph-Louis Lagrange , It). 7) the second derivative; k the k-th derivative. f k C k - k C k - C ) ). f a I n + ) a + h I h.) fa + h) = fa) + f a)h + f a)h n! f n) a)h n + R n+ h) = n j=0 j! f j) a)h j + R n+ h), R n+ h) = θ 9) hn+ n + )! f n+) a + θh), 0 < θ < 8) Sir Brook Taylor , En) 9).) k = 0 h 0 h = 0

7 3 0407) [0, ] F t) := n ) f k) a + th) t) k h k k! + t) n+ fa + h) n ) f k) a) h k k! F 0) = F ) = fa + h).5) -6).0. 0 fx) = x a = 9, h =, n =.9 0 = , 0 < θ < 9 + θ θ θ 0, ) = = = = = = = ).9 n 3, 4, ) , ) 0, ) [0, ] ) - 0 ) f, g.4 fb) fa) b a = f c), gb) ga) b a = g c) c a, b) -4 0) ) fx), gx) [a, a + h) a, a + h) fa) = ga) = 0, -5 sin x x lim x 0 tan x x. lim x +0 5 x 3 x x. f x) lim x a+0 g x) fx) lim x a+0 gx) 0) Guillaume Francois Antoine, Marquis de l Hôpital, , Fr); l Hospital

8 5 0407) ) fx) = x, a =, n =. fx) = e x, a = 0, n = ; n. fx) = e x, a, n. fx) = cos x, a = 0, n = ; n = k k ) fx) = sin x, a = 0, n = 3; n = k k ) fx) = tan x, a = 0, n = 3. fx) = tan x, a = 0, n = 4; n. fx) = log + x), a = 0, n = 3; n fx) = + x) α, a = 0, n = 3; n α -8.0 n fx) = x a =, h = 0., n =.9 R 3h) R 3h). n = 3-0 R = ) R + R tan ) R + R

9 3 0407) R n+ h) ).) R n+ h) ).0-8, ). fx) a C n+ - 3.) fa + h) = fa) + f a)h + + n! f n) a)h n + R n+ h) R n+ h) lim h 0 h n = h 3. h 0 h 0 3. f I := a δ, a + δ) δ > 0) C n+ - h < δ h a + h I f I C n+ - f n+) I.8 f n+) I I := [a δ, a + δ ] m m M := max{ m, m } 3) ) x I f n+) x) M *) ) ) remainder. ) Joseph-Louis Lagrange, ) max{a, b} a b f I n +.9 h I R n+ h) := fa + h) n k! f k) a)h k = hn+ n + )! f n+) a + θ h h) θ h 0 < θ h < ) a + θ h h I ) R n+ h) hn+ M, R n+ h) n + )! h n M h n + )! M h n + )! Rn+h) h n M h n + )!. h ) e x a bx lim x 0 x a, b 3. fx) = e x, a = 0, h = x, n = ) e x = + x + x + R 3 x), lim x 0 R 3 x) x = 0 e x a bx x = a) + b)x + x + R 3 x) x = a x + b x + + R 3x) x ) x 0 0 X := a x + b x = x a + x b) ) x 0 a X x 0) a = X = b)/x

10 9 0407) 3 b = ) a = b = e x x lim x 0 x = lim x 0 + R ) 3x) x = f, g 3.) lim x a fx) gx) = 0 fx) = o gx) ) x a) o o 4)5) gx) 0 x a) 3.) fx) gx) 0 3.3) x a fx) gx) 0 x a fx) gx) 6) 0 fx) gx) = o hx) ) x a) 3.3) fx) = gx) + o hx) ) x a) 4) Edmund Gerorg Hermann Landau; , De. 5) Landau s symbol; o O 5 6) order ) fx) = o) x a) lim x a fx) = 0 m, n x m = ox n ) x 0) m > n cos x = + ox) x 0) 3.6. fx) = o gx) ) x a) 3.) o gx) ) x = ox), x 3 = ox) x 0) x x 3 = fx) a C n+ - n ) 3.4) fa + h) = k! f k) a)h n + oh n ) h 0) ). f a I n + a + h I h 3.5) fa + h) = fa) + f a)h + f a)h + + n! f n) a)h n + R n+ h) = n j=0 j! f j) a)h j + R n+ h), R n+ h) = hn+ n! 0 u) n f n+) a + uh) du.

11 0407) ) R n+ h).) R n+ h) R n+ h) = fx) n k! f k) a)h k.9, x = a + h fx) fa) = x a f t) dt = x a t x) f t) dt = [ t x)f t) ] x t=x t x)f t) dt t=a a x ) = f a)x a) t x) f t) dt a [ t x) = f ] t=x x a)x a) f t x) t) + f t) dt t=a a = f x x a) t x) a)x a) + f 3 ) a) + f t) dt 6 =... n ) = k! f k) a)x a) k + )n n! k= a x a t x) n f n+) t) dt. t = u)a + ux R n+h) : = )n n! = x a x a)n+ n! t x) n f n+) t) dt 0 u) n f n+) u)a + ux ) du ) fx) = log + x), a = 0, h = k n f k) x) = )k+ k )! + x) k, ) log = f) = + + )n+ n R n+ = n! 0 + R n+ = n ) k+ + R n+ k k= u) n )n+ n! u) n du = )n du + u) n+ 0 + u) n+ 0 u u + u 0 R n+ = u)n + u) n+ u)n 0 u ) 0 u) n du + u) n+ n 0 lim R n+ = 0 u) n du = n ).9 ) n ) k+ log = = k! k=

12 3 0407) fx) x n ) fx) = fa) + f a)x a) + + n! f n) a)x a) n = n k! f k) a)x a) k ) fx) = x 5 3x 3 + x x + 4 f + ) f.) a =, a = 3- e x x lim. x 0 x lim x 0 cos x + x x 4. lim x 0 sin x x x 3. lim x 0 3 tan x 3x x 3 x 5. log + x) x + x lim. x 0 x 3 lim x 0 sin x tan x x 3. lim x 0 sin x x tan 3 x. 3-3 a, b ) e ) fx) = e x ).9 fx) = e x, a = 0, h =, n = e θ < e 0 < θ < ).6 < e < 3 3) e e = m/n m, n ) n 4).9 fx) = e x,a = 0, h = n 5) n! 6) tan x a sin x + bx lim. x 0 x fx) = tan x = ) k k + = π 4

13 4 0407) n R n+ h) h 0.9 h n R n+ h) 4.. fx) = e x a = 0, h = x, n.9 4.) e x = + x +! x + + n! xn + R n+ x), R n+ x) = n + )! eθ nx x n+ 0 < θ n < ) θ n f < θ n < e x x 0 ) e θnx x < 0 ) x < 0 < e x = e x x R n+ x) e x x n+ n + )! n = 0,,,... ). 4.4 x lim R n+x) = 0 4.) n x 4.) e x = + x +! x + 3! x3 + = k! xk *) ) 4.. cos x, sin x ) 4.4) cos x =! x + 4! x4 6! x = sin x = x 3! x3 + 5! x5 7! x = ) k k)! xk x 4- ) k k + )! xk fx) = log+x) < x ).9 a = 0, h = x k f k) x) = )k+ k )! +x) k.9 log + x) = x x + 3 x3 + )n+ x n + R n+, n ) n x n+ R n+ = n + ) + θx) n+ 0 < θ < ) θ 0 x 4.5) R n+ x n+ n + n + 0 n ). < x < h := x 0 < h < ) R n+ x n+ u) n 0 + ux) u = h n+ uh 0 n+ du = u) n hn+ uh) ) n du uh = hn+ 0 0 s n hs ds. n+ du s = u)/ uh) 0 s hs h 0 < h < 4.6) R n+ h n+ 4.5) 4.6) 4.7) log + x) = x x + x3 3 = 0 s n ds = hn+ n + 0 n ) n + k= ) k+ x k < x ) k

14 7 0407) ) ) x > x x > x 0 y y 4. f a C -.8.) R n h) I h lim R nh) = 0 h I 4.8) fa + h) = fa) + f a)h +! f a)h + = k! f k) a)h k f a ) 4.8) a = 0 ) 3) ), 4.3), 4.4), 4.7) e x, cos x, sin x, log + x) a C - f a I 4.8) f a 4) f f C ω - 5) C - ) the Taylor expansion. ) the Maclaurin expansion; Colin Maclaurin , Scotland). 3).9 fa + h) h fa + h) 4) ) real) analytic; 5) an analytic function. C ω - of class C-omega. x y = e /x x > 0); 0 x 0) y = e /x ) x < ); 0 x ) f e /x x > 0) fx) = 0 x 0) 4.5 f x) = x e /x x > 0) 0 x < 0) x = fh) f0) lim h +0 h lim h 0 fh) f0) h 4.6 e /h = lim h +0 h 0 = lim h 0 h = 0. f fh) f0) 0) = lim = 0 h 0 h f x) = x e /x x > 0) 0 x 0) = lim u + ue u = 0, 4.5 f 0 f C - x

15 9 0407) 4 f C - ) P k e /x x > 0) 4.9) f k) x) = x 0 x 0) P k t) t P 0 t) =, P k+ t) = t P k t) P kt) ) k = 0,,,... ) 4-5 f C x fx) = k! f k) 0)x k = k! 0 xk = 0 x > 0 x fx) > 0 f 0 e x x < ) gx) = 0 x ) C -± α k ) α αα )... α k + ) = k > 0), k k! 6) 4.7. [ 4-3] ) ) =, =, 0 ) ) =, 0 6) the binomial coefficient =, ) =,..., ) ) α = 0 ) = ) k. k = ) 8, = 6, ) n n k) n k 7) k > n n k ) = nn )... n n)n n )... n k + ) k! 4.9. α k ) ) ) α + α α = +. k k k ) ) α α + = k k = = αα )... α k + ) k )! + αα )... α k + ) k! αα )... α k + ) ) k + α k + ) k! α + )αα )... α + k + ) k! = α + k 4.0 8) ). n n ) n + x) n = x k. k 4-4 n + x) α 4.. α n ) ) ) α α α + x) α = + x + + x n + ox n ) x 0) 0 n o ) 3.4 7) n C k n k) α α C k 8) the binomial theorem ). = 0

16 3 0407) 4 fx) = + x) α f k) x) = αα )... α k + ) + x) α k x α ) 4. ). α ) α ) α + x) α = + αx + x + = x k < x < ). k x = ) x k = k 4.5 ) k x k < x < ) x lim xn /n!) = 0 x N < x N N n n > N 0 xn n! = xn N! = xn N! N + N x n N N n N nn )... N + ) xn N! N + ) n N ) N ) n N N = C N + N + ) n C := xn N! ) ) N N + 0 < N/N + ) < n 0 N ) P x) P x) lim x + e x = 0 P x) N.9 fx) = e x, a = 0, h = x > 0, n = N + e x = + x +! x + + θ 0 < θ < N + )! xn+ + eθx N + )! xn+ N + )! xn+. P x) = p N x N + p N x N + + p x + p 0 p N 0) x > 0 P x) e x N + )! P x) N + )! = x N+ x p N + pn + + p0 0 x + ) x x N 4.6. a I a I \{a} = {x I x a} f lim x a+0 lim x a fx) = A fx) = A, lim 6 4 fx) = A x a ), 4.4) cos X, sin X 4- cosh x, sinh x x = n ) 9) 0,

17 5 0407) x x ) x 0 x = x, ) x < 0 x = x x ) x, y 5.) x 0, x x, x = x, x = x, xy = x y a δ ) 5.) x a < δ a δ < x < a + δ x a δ 5. 3) ). x, y 5.) x + y x + y, x y x y. x + y x + y ) x + y + x + y ) = x + y ) x + y ) = x + x y + y x + y) = xy xy) 0 x, y) 0, 0) x + y + x + y > 0 x = y = 0 x = y + x y) y + x y = y + x y, y = x + y x) x + x y *) ) ) the absolute value, the modulus. ) δ: delta 3) the triangle inequality. AB + BC AB + BC 5. {a 0, a, a,... } 4) {a n } {a n } 5.. {a n } α 5) ε 6) N 7) n N n a n α < ε lim a n = α a n α n ) α {a n } {a n } 5.3. {a n } 8) M N n N n a n > M lim a n = {a n } α n a n α 5. n a n α 5. ε ). ) {a n } M n a n M 9) ) {a n } α N n N n a n α a n 3) {a n } {/a n } 0 4) a sequence. 5) {a n } α A sequence {a n } converges to α.diverge 6) ε: epsilon. 7) 8) to diverge to the positive negative) infinity. 9) {a n } 5.9

18 ) ) 36 ): {a n} α 5. ε n N n a n α < N N M := max{ a 0, a,..., a N, α, α + } 0) M ): 5. ε α/ > 0) n N n a n α < α/ N N 3): ε 5.3 M /ε n N a n > /ε N n N /a n < ε ), ) 5. ε ε 3) ε ε 3) M 5.7. ) c a n = c {a n } c ) {a n } α {ca n } cα 3) {a n } α {b n } β n a) a n + b n α + β, b) a n b n αβ, c) a n b n α β β 0 ): ε N = 0 n N n a n c = c c = 0 < ε ): c = 0 ) c 0 ε {a n} α N n N a n α < ε/ c N n N ca n cα = c a n α < ε {ca n} cα 3) a) N, N n N a n α < ε n N b n β < ε N = max{n, N} n N a n + b n ) α + β) = a n α) + b n β) a n α + b n β < ε + ε = ε. 0) max{... } {... } 5. 3) b) 5.5 ) a n M M ε N a n α < ε β, b n β < ε n N) M a n b n αβ = a n b n a n β + a n β αβ = a n b n β) + βa n α) 5-4 3) c) b) /b n /β 5.5 ) N n N b n β/ b n β n N b n β < β ε/ N N = max{n, N } ). ) {a n }, {b n } α, β n a n b n α β ) {a n }, {b n }, {c n } n a n c n b n {a n }, {b n } α lim c n = α 3) {a n } { a n } 0 {a n } 0 4) {a n }, {b n } n a n b n {a n } {b n } ): β < α ε := α β)/3 n N n a n α < ε n N n b n β < ε N, N N = max{n, N } ε α ε < a N b N < β + ε 3 α + β 3 3 β + α 3 ): n a n α c n α b n α c n α max{ a n α, b n α } n = 0,,,... ) α < β. {a n }, {b n } α ε N n N a n α < ε, b n α < ε N n N c n α < ε 3): a n a n a n ) 4) 5-3

19 ) ) R ) ) 5.9. {a n } ) n a n M a n M) M {a n } 5.0. {a n } n a n M M {a n } 3) n a n a n+ a n a n+ ) 5. 4) ) ) 5.4 6) ). 0 9 {p n } a n := p 0 + p 0 + p p n n 0 n = p k 0 k n = 0,,,... ) ) the set of real numbers. ) bounded; bounded from above; bounded from below. 3) monotone non-decreasing; monotone non-increasing. 4) continuity of real numbers. 5) an axiom. 6) a decimal fraction ) 38 n a n+ a n = p n+ 0 n+) 0, n a n 9 0 k = 9 0 n+ = 0 ) 0 0 n+ 0 {a n } p 0.p p p 3 p {a n } ) 5.6. {n} 7) {n} 5. α 5. ε n N n α < N α < n < α + n N) n 8) {a n } M a n > M n 5.7. M M < n n 5.8. lim n = +. M 5.7, N > M N n N n M < N < n {n} ) lim n = ) Archimedes, B.C. 87 B.C.; Gr. 8)

20 ) s {n s } ) s > 0 ) s = 0 3) s < ). r {r n } ) r > ) r = 3) < r < 0 4) r < ): r > r = + h h > 0) 4.0 ) ) ) n n n r n = + h) n = + h + + h n + nh nh. n n ) r n + 3): r < ){/ r n } ) r n = r n ) {r n } 0 4) r ) r n n 0 { r n } lim n n = ) n ) n = + + n n + n + n ) n. n n + ) ) n + + n n ) ) n n n n ) {a n} 5- ) 5.5 ) M n a n M ) 5.5 ) 3) N ), 4) ) {a n } n= a n = + n ) n n =,, 3,... ) {a n } ) {a n } a n+ a n = + n + = + n + = + n + + n + ) n+ + ) n n ) n + ) n + n ) n + n ) + ) n n n + ) n + n + ) n + n +. + ) n n + ) {a n} + /n) n 4.0 ) n = k nn )... n k + ) k! nk k k ). {a n } e e

21 6 0407) ε = α/ 0 < x a < δ x I fx) α < α δ 0 < x a < δ fx) α > α fx) > α > 0 6. ) 6.. I a I f x a α ε δ ) 0 < x a < δ x I fx) α < ε lim x a fx) = α fx) α x a) ε δ 3) 0 < x a < δ x I fx) α < ε x a f α lim fx) = α 6-). x a ). a I a I \ {a} = {x I x a} f lim fx) = α, lim x a+0 lim x a fx) = α x a 0 fx) = α ε δ, δ 0 < x a < δ fx) α < ε δ < x a < 0 fx) α < ε δ = min{δ, δ } 0 < x a < δ fx) α < ε 6.3. I a f x a α δ 0 < x a < δ x I fx) > 0 *) ) ) ε-δ Augustin Louis Cauchy, Fr) ) δ: delta ) I a I f x a M δ 0 < x a < δ x I fx) > M lim x a fx) = + fx) + x a) ) b, + ) f x + α ε m > b) x > m x I fx) α < ε lim fx) = α fx) α x + ) x + 3) b, + ) f x + M m > b) x > m x I fx) > M lim fx) = + fx) + x + ) x + x 6- ε-δ 6.5. I a I I \ {a} f lim fx) = α x a ) lim a n = a, a n I \ {a} n = 0,,,... )

22 ) 6 {a n } lim fa n) = α fx) α x a) ) {a n } fa n ) α n ) ε fx) α 0 < x a < δ fx) α < ε δ a n a δ n N a n a < δ N ) a n a N n N 0 < a n a < δ fa n ) α < ε ε fa n) α lim x a fx) = α {a n} ) fa n) α ε δ 0 < x a < δ fx) α ε x {a n } ) fa n ) α ε n δ = /n 0 < a n a < n fa n) α ε a n {a n} ) fa n ) α ε n {fa n )} α f x a α lim a n = a, {fa n )} α {a n } 4) I f I a lim fx) = fa) x a I I 4) 6.5 a {a n } {fa n )} α {fa n)} α {a n } ) ), ) I f a I ) ε δ x a < δ x I fx) fa) < ε 6. 5)6) ) I {a n } a fa n ) fa) I f, g f + g)x) = fx) + gx), fg)x) = fx)gx), ) f x) = fx) g gx) f +g, fg, f/g I gx) 0 x I 6.0. ) 7) idx) = x R ) R 3) )/ ) 0 4). 6.. f a C - 3 f a) > 0 f I a I C - f x) lim x a f x) = f a) > 0 5) 6. 0 < x a < δ x a < δ 0 < x a = 0 x = a fx) fa) = fa) fa) = 0 < ε x = a 6) I a a 6. x a < x a < δ x I a a < x < a + δ x 7) x x the identity function

23 ) < x a < δ f x) > 0 δ. f a δ, a + δ) ) P, Q, R 9)0) ) P Q P Q P Q P Q P P P Q P Q 6.) P Q P ) Q 6. ). P Q) P ) Q ) P Q) P ) Q ) 6. 6.) 6.) P Q) P Q ). x P x), Qx) 8) de Morgan s laws; Augustus de Morgan, , 9) 0) true; false ) P Q P and Q; P Q P or Q; P not P ; P Q P implies Q ) 46 x P x) x P x)p x) x 6.3. ) x x 0 x x 0 0 0, 0, ) 0, π 0... ) x x > 0 x x 0 0 > 0, > 0, ) > 0, π > ) x x 0 x x 0 0 0, 0, ) 0, π ) x x < 0 x x 0 0 < 0, < 0, ) < 0, π < x P x) and x P x) or and, or 6.4 ). ) x P x) ) x P x) ) x P x) ) x P x) 6.5. ) P = {a n } α {a n }

24 ) 6 α 5. P ε [ N n { n N an α < ε })] 6.4, 6.) P ε [ N n { n N an α ε })] {a n } α ε N n N a n α ε n ) ) 6-5 I a I \ {a} f, g x a α, β fx) + gx) α + β, fx)gx) αβ, fx) gx) α β β f, g x > 0) fx) := 0 x = 0), gx) := { fx) }. x < 0) ) lim gx) x +0 x 0 x +0 x 0 ) lim fx), lim gx) x 0 x 0 3) f, g 0 ) lim x a fx) = α 6-4 ε δ 0 < x a < δ fx) α ε x lim fx) =, lim x a lim fx) = +, lim x fx) =, lim x + fx) = lim x fx) = α, x fx) = +,... x a

25 7 0407) ) ). {a n }, {b n } ) n a n < b n ) {a n } {b n } 3) b n a n n 0 {a n }, {b n } c c n a n c b n ) ) I n := [a n, b n ] ) n I n I n+ {I n } 3) I n 0 I n c 7. ) ) n a n < b n b n... b b 0, b n > a n a n... a a 0 {a n}, {b n} 5. α, β 3) 5.7 β α = lim bn lim an = lim bn an) = 0 β = α n a n x 5.8 ) 5.7 ) α x n b n x x α *) 03 9 ) Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, , De. ) the nested interval theorem X R x X x M x M) M M X 3) X X 7.4. {a n } 5.9 {a n } X M X M X 4) X M X M X 5) X M X M X 7.6. ) I = [0, ] I I I ) J = 0, ) J J J J 3) X 4) X X X 7.7. α X R ) x X x α ) ε α ε < x x X ) α X ) α α ε X 7-3) an upper bound; a lower bound. 4) the maximum; the minimum. 5) the lowest upper bound, the supremum; the highest lower bound, the infinimum.

26 5 0407) ). X X Q X := {x Q x } 6) X Q X 7.8 X M x 0 X x 0 M {a n }, {b n } ) X sup X inf X) X R sup X = + inf X = ) R X, Y supx Y ) = max{sup X, sup Y }, 7.) infx Y ) = min{inf X, inf Y } 7) 7-5 a 0 := x 0, b 0 := M, ) aj + b j aj + b j, b j a j+, b j+ ) := ) aj + bj aj + b j a j, ) X ) j 0) X 7.3 I f 7.) fi) := {fx) x I} I j := [a j, b j] I j+ I j 7. {a n }, {b n } c c X 7.7 ) b 0 X b j X b j+ X b n X x X x b n n = 0,,,... ) x c 5.8 ) x X x c n a n < x X x a 0 < x 0 X a j < x X x a j + b j)/ X a j+ = a j a j+ < x x X a j + b j)/ X a j+ a j+ < x x X 7.7 ) ε {a n} c n N a n c < ε N N c ε < a N c ε < a N < x x X c X 7-3 6) the set of rational numbers Q f f I 8) y fi) fx) = y x I y fi) x I y fx) 7.. ) I =, ) fx) = x fi) = [0, ) ) J = π, π ) fx) = tan x fj) = R 3) fx) = tanh x fr) =, ) f I fi) 7.3 7) X Y X Y the union of X and Y max{a, b} min{a, b} a, b max{a, + } = +, min{a, } = 8) the image.

27 ) 7 fi) sup I f = sup fx) := sup fi) = sup{fx) x I} x I inf f = inf fx) := inf fi) = inf{fx) x I} I x I 7.0 fi) ) M fx) > M 7.3) sup f = + I x I 7.. I f fc) = supf fc) = inf f I I I c f c ). I = [a, b] f I 7.4. I = [a, b] f fi) fi) I [a, a+b a+b ], [, b] f 7.) I {a n }, {b n } a 0 := a, b 0 := b, j 0 ) [ ] ) aj + b j aj + b j, b j, b j f a j+, b j+ ) := a j, a ) [ ] ) j + b j aj + b j, b j f n [a n, b n] f a n c n b n fc n ) n c n {c n} {a n}, {b n} 7. c [a, b] a n c n b n {c n} c 5.8 f c 6.5 lim fc n) = fc) {c n} fc n) n {fc n)} f I ) f I fi) α [ ] aj +b {a n}, {b n} a 0 := a, b 0 := b, j 0 J := j, b j ) ) aj + b j, b j supf = α a j+, b j+ ) := ) J ) aj + bj a j, supf α J 7.) n I n := [a n, b n ] f α n ) a n c n b n, α n < fcn) α c n 7.7 {c n} 7.4 {a n }, {b n }, {c n } c fcn) = fc) f c 6.5 lim ) fc) = α = sup I f f c [a, b] 9) 7.5. [a, b] f fa) < 0, fb) > 0 fc) = 0, a < c < b c {a n }, {b n } a 0 := a, b 0 := b, j 0 ) ) ) aj + b j aj + b j, b j f < 0 a j+, b j+) := ) ) ) aj + bj aj + b j a j, f 0 n fa n ) < 0, fb n ) {a n }, {b n } c [a, b] f fc) = lim fan) 0, fc) = lim fbn) 0 fc) = 0 fa), fb) 0 a < c < b 9) the intermediate value theorem.

28 ) ). α n 7.4) c n = α c c α n 0) 7.4) c, c c n = c n = a 0 = c n c n = c c )c n + c n c + + c c n + c n ) 0 c = c ) ) α = c = ) 0 < α < I = [0, ] fx) = x n α f I 6.0 f0) = α < 0 f) = α > fc) = 0 0 < c < ) c 3) α > J = [0, α] fx) = x n α f0) < 0, fα) = α n α = αα n ) > ). f [a, b] 7.5) y fi) fx) = y x [a, b] F x) = fx) y y fi) R fi) y fx) = y x R f f ) f f fi) ) α X R {a n}, {b n} a, + ) f lim fx) = α ε M x + x > M x fx) α < ε lim fx) = + A x + M x > M x fx) > A ) lim fx) = lim fx) = α lim fx) = x + x x + lim fx) = x ) fx) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 a n 0) lim fx) = n + { + an > 0 ) a n < 0 ) x a n n 3) fx) fc) = 0 c 7.5 4) e x x ± ) X Y = {x x X x Y } f fi) {a n} A A α := sup A 0) α n : the n-th root of α; : the square root; : the cubic root. ) ) the inverse function; f : the inverse of f.

29 8 0407) {a n } 8. 8.) a 0 + a + a + = ) 8.) 8.) s n = n a k = a 0 + a + + a n n = 0,,,... ) {s n } ) ) 8.) {s n } {s n } c 8.) c = a 0 + a + = 3) ) {a n } 0 {p n } q n = p n+ n = 0,,,... ) {q n } 8- c 8.) {s n } {t n = s n+ } c 0 = c c = lim t n lim s n = lim t n s n ) = lim a n+ = lim a n. *) ) ) a series; an infinite series; 8.) a j + ) 8.) s n 3) 8.) a n a n {a n } 0 4) 8.) ) lim n = 0 n s n := n= n k= n m n s n s m = m k= k m m k = l k l= k= l m l m l = l= k= l l= l l = m. m {s n } 5.3 6) 8.5. r r r < r n = r r < ) 5. r {r n } r < 5. n r k = rn+ r r 4) lim an ) 8.) 0 6) the harmonic progression; a geometric progression; an arithmetic progression.

30 ) 8 8. {a n } a n 0 8.) 7) 8.) 8.) {s n } ). {a n }, {b n } n a n b n ) b n a n ) a n s n := b n n a k, t n := s n t n n = 0,,,... ): b n β n t n β s n t n β n {s n } s n ): a n {s n } 5.8 {t n } ) 8.6 N n a n b n n b k ) p 8.3) n p = + p + 3 p +... n= ) p ) p < 9) n fx) = n x x ): p n p n = /n ) 8.3) ) p ): p n n k= n p n = n nn ) = n n. kk ) = ) + ) n ) = n n 8.6 ) 8.3) 0) ) < p < ): p = q q 0, )) n n ) p+ n p+ = n ) q n q = n q + ) q ) n.9 θ 0, ) 9) p = + 7) a nonnegative-term series; 8) = π Leonhard Euler, , Sz. 0) /nn )) n n 8.7

31 6 0407) 8 + ) q = + q qq ) + n n n ) + θ ) q n + q n = + q n q q) n ) + q n ) + n ) 0 < q <, n p < 0 n k= n p q n ) p+ n p+) n ) k ) p+ k p+) = n p+ ) q q q 8.6 ) 8.3) 8.3 q ) n ) q n ) + q n n ) ) 8.9 ). 0 {q n } a n = ) n q n n = 0,,,... ) a n = ) n q n = q 0 q + q q n q n = 0 0 n q n > 0 n s n := a n j a j := s j, b j := s j {a j}, {b j} ) 6 b j a j = s j s j = ) j q j = q j > 0 a j+ a j = s j+ s j = ) j+ q j+ + ) j q j = q j q j+ 0 b j+ b j = s j+ s j = q j+ q j+ 0, q n 0 b n a n 0 7. {a n }, {b n } c ε N 0 j N 0 a j α = s j c < ε, b j α = s j c < ε N = N 0 n N s n c < ε {s n } c 8.0. ) = ) n+ n= 3. log ) 8.9 ) 3-5 3) = π/4 n ) n n = ) n 3n = 9 3π + 3 log ) ) an alternating series.

32 ) ) a n lim an = 0 ) lim an = 0 a n 8- {p n} c q n = p n+ n = 0,,,... ) {q n } c n = n = n+ n n n n dx n dx 8-4 ) n + + n ) nn + )n + ) n= n+ n n n nn+) n+)n+) dx x n =,,... ) dx x n =, 3,... ). 8-5 r a n = nr n n = 0,,,... ) ) r < {a n } 0 r = /+h) h > 0) +h) n +nh+ nn )h ) r {a n } n 3) a k 4) a n 8-6 α ) nn + )n + ) ) n= n= n log n

33 9 0407) ) { ) n + n } ) { n} 9. {a n } 9.) 9.) A n := {a n, a n+,... } = {a k k n} n = 0,,,... ), a + n := sup A n, a n := inf A n n = 0,,,... ). 9.. ) {a n } a + n = + n = 0,,,... ) {a n } {a + n } 3) {a n } {a n } {a + n } ): n {a 0,..., a n } A n 7.) a + n = + ): {a n } A n a + n A n A n+ a + n A n+ a + n+ a+ n 3): {a n } α α a n n a + n α n = 0,,,... ) {a + n } {a n } {a n } 9.) {a + n } {a n }) + 5. lim sup a n := lim a+ n, lim inf a n := lim a n {a n } ) {a n } {a n } lim sup a n = +, lim inf a n = ) *) 03 3 ) the limit superior; the limit inferior lim sup lim lim inf lim 9.4. α {a n } ) ε N n N n a n < α + ε ) ε N m N α ε < a m m {a + n } 9.) α a + n {a + n } ε > 0 n N 0 a + n α < ε N 0 a + N < α + ε n N a n sup A N = a + N ) ε N a + N = sup A N a + N ε x x A N 7.7 A N 9.) x = a m m N) m ) α ), ) ε ) m N 0 a + m α < ε/ N N n N n a + n = sup A n 7.7 a n ε < a m m n) m a + n ε < am α + ε, a+ n α < ε n ) α ε < a m m n) m a m A n a m a + n = sup A n α ε < a m a + n α a + n < ε a + n α < ε ε n N a + n α 9.5. {a n } {a n } α β β = α ε N n N a n α + ε an β < ε ε < an β α β + ε ε < α β.

34 ) 9 ε, N α ε < am m N ) α β ε < a m β < ε α β < ε. α β < ε ε ε = /m m ) m α = β β α 9.4 ) ε > 0 N n N a n α + ε, α ε a n N n N a n α ε < ε {an} α 9.6. {a n }, {b n } lim a n = α > 0, lim supa n b n ) = αβ. lim sup b n = β {a n b n } αβ 9.4 ), ). { ): ε ε ε = min, } ε α+ β ) a n α n N a n α < ε N β = lim sup 9.4 ) n N b n < β + ε N N = max{n, N } n N n a n b n < α + ε )β + ε ) = αβ + α + β)ε + ε αβ + α + β )ε + ε αβ + ε. { } ): ε ε ε = min, ε, α n N 4α β 3 a n α < ε N 3 N 9.4 ) m max{n, N 3 } m β ε < b m αβ ε < a mb m α > 0 a m b m αβ + ε a m β ε ) αβ + ε a m α)β a m ε + ε a m α β α + ε )ε + ε ε β αε + ε > {p n } ) ε N m, n N m, n p m p n < ε 9.8. {p n } p ε n N p n p < ε N N m, n N p m p n = p m p) p n p) p m p + p n p < ε + ε = ε {p n } 9.9. {p n } 9.7 ε = m, n N p m p n < N m = N n N p n p N < k p k M M = max{ p 0, p,..., p N, p N + }) 9.0 ) {p n } 9.9 α := lim inf p n, α + := lim sup p n ) a Cauchy sequence.

35 ) 9 k m, n N p m p n < /3k) N α n N p n < α + +/3k) N m N α + /3k) < p m m α n N 3 p n > α /3k) N 3 m N 3 α + /3k) > p m m N = max{n, N, N 3 } m, m N m, m α + < pm < α+ + 3k 3k, α 3k < p m < α + 3k p m p m < /3k) α + α < k k k α + = α 9.5 {p n } 9.. a n ε N n N n m n+m a k < ε. k=n 8.) ) a n 9. N n N m N n N n+m a k k=n n+m k=n 9. a n a k < ε a n a n a n n+m k=n a k < ε {a n }, {b n } N a n b n n N) b n a n a n 8.6 4) a n a n 3) 3) absolute convergence; to converge absolutely {a n } N a n cr n c r 0 < r < a n {a n } N a n cn p c > 0 p < a n )

36 7 0407) 9 n 9.9. {a n } α := lim sup an ) α < a n ) α > a n 0 α < ε := α > 0, r := + α 9.4 ) n N n a n α + ε = r N a n r n 9.7 a n α > ε = α )/ > 0, r = + α)/ > N n N n a n > α ε = r n a n > r > a n a n α = 8.8 < α = ) {a n } {a n } 0 α = lim a n+ a n α < a n α > a n r = 9-4 r < r > ) n p r n. p ) n= ) α r n. α n r = r = ) ) conditional convergence; to converge conditionally.

37 0 0407) {a n } x 0.) a n x n = a 0 + a x + a x +... x ) 0.) I x I 0.) fx) = a n x n, x I = {x R 0.) }. 4 x 0.) f 4.8) fa + h) h f a x = a + h 4.8) fx) = a n x a) n a 0 0.) ) x = r x < r x 0.) 8. a nr n 0 N n N a nr n < n N n a n x n = a n r n x n r n ρ ρn := x ) < r 9.7 a n x n *) 03 0 ) a power series, 0.) 0.3) r := sup C, C := { x 0.) } r 0 r = + r 0.) ) ) r i) ii) x < r 0.) x > r 0.) r = + x 0.) r = 0 x 0 0.) 0.3) r, C i) x < r r x ) = ε > ) r ε < s s C s 0.) x = r ε < s 0. 0.) ii) x > r x 0.) 0. x + r)/ > r) r r i), ii) ii) r C i) r C r = sup C 0.3 3) ). 0.) r lim sup n an = r n n a nx n = x n a n lim sup n a nx n n = x lim sup a n = x r 9.9 α = x /r ) the radius of convergence. 3) Cauchy, Augustin Louis, ; Hadamard, Jacques Salomon,

38 ) ) ). 0.) lim a n = r a n+ r a n = 0 n ) + x + x + x3 x n + =! 3! n! /n!)//n + )!) = n + ) + x +!x + 3!x 3 + = n!x n 0 3) pt) pn)x n 4) pt), qt) pn) qn) xn qn) ) x x3 3 + x5 5 x7 7 + = a n = m=0 ) m x m+ m + = a n x n n= ) m n = m + ; m ) n 0 ) ) 76 a n b + n := sup{ k { } a k k n} = sup k k n, k k 5. n lim sup an = lim b+ n = lim n n = s 3 s + 5 s + = m=0 ) m s m m s < s > s x x 0.4) x < x > 0. r 0.) x = ±r 0.8. ) x + x x 3 + = ) n x n x = ± ) x x + x3 3 x4 4 + = ) n x n n x < x > x = log 4.3 x = 8.8 3) 0.7 x = ± π ) +x+ x + x3 3 + = x n x = ± n 8.8 4) d Alembert, Jean Le Rond;

39 ) ) I 0.) I f f n f 0.5) fx) = lim f nx) x I); f n x) = n a k x k ) r r, r) J lim sup f n f = 0. J J = [a, b] r, r) δ := min{r b, a r} > 0 J [ r + δ, r δ] J J J = [ r + δ, r δ] x = r δ a n r δ) n 0 n ) n N a n r δ) n N n N x J f nx) fx) = k=n+ k=n+ a k x k x r δ k=n+ k ρn+ sup J f n f 0 n ) a k x k = a k r δ) k x k r δ k=n+ ρ := x ) ρ r δ < 0.0. r 0.) f r, r) α r, r) lim fx) = fα) x α d := min{r α, α + r} > 0 α r + d, r d) J := [ r + d, r d] ε 0.9 N n N f n x) fx) sup f n f < ε J 3 x J) ) 78 N f N 6.0 δ δ x α < δ x α < δ f N x) f N α) < ε 3. fx) fα) = fx) f N x) + f N x) f N α) + f N α) fα) fx) f N x) + f N x) f N α) + f N α) fα) < ε f α ), 3), 4) r r, r) 0.0 α = ±r 0. 5) ). 0.) r x = r x = r) 0.) lim fx) = fr) x r ) lim fx) = f r), fx) := a n x n. x r ) f r, r) 6) 0. 7) ). r > 0) 0.) f x r < x < r) x 0 ft) dt = a 0 x + a x + a 3 x3 + = n= a n n xn. 5) Abel, Niels Henrik; )

40 ) 0 0.5) f n 0.9 x 0 ft) dt x 0 x sup [ x,x] x f nt) dt = ) x ft) fnt) dt ft) f nt) dt ft) f n t) dt sup ft) f n t) x 0 n ) [ x,x] f nx) x x lim 0 f n t) dt = lim n k= a k k xk = n= a n n xn. 0.3 ). r > 0) 0.5) f r, r) 0.6) f x) = a + a x + = lim sup n + )a n+ x n r < x < r). n n n a n = lim sup a n ) r g 0. x r, r) x gt) dt = a n x n = fx) 0 f f x) = gx) r < x < r) ) = ) n n ) ) ) 0.3 fx) = x x3 3 + x5 5 x7 7 + =, ) ) n x n+ n + < x < ) f x) = x + x 4 x 6 + = + x < x < ). fx) = x 0 f t) dt = x 0 dt + t = tan x < x < ) x = 0.4) 0. ) n n + = ) n x n+ = lim n + x 0 tan x = π 4 x= = = 8.0 3) n= ) n x n ) n 3n + = dx 0 + x = 3 9 3π + 3 log ) 7) integration differentiation) by term and term.

41 0407) x r > 0) x = rt r x = = r x = u u =.. a n x n x = lim fx) = X x r 0 {a n } σ n = fx) := a n x n, X := a n. n a k = a 0 + a + + a n {σ n} 5.5 ) {σ n X}.) σ n X A n = 0,,,... ) A ε {σ n } X M.) n M σ n X < ε 4. *) 04 4.) A.) M.3) δ = ε 4M + )A.) M N > M + N a n = σ n σ n n ) 0 < x < x N N N N a n x n = σ 0 + σ n σ n )x n = σ 0 + σ n x n σ n x n+ = = N N n= = x) N σ nx n σ nx n+ n= N σ n x n x n+ ) + σ N x N = x) N σ n X)x n + M = x) σ n X)x n + N N n=m+ Xx n ) N + x)x x n + σ N x N M = x) σ n X)x n + N n=m+ N + X x) x n + σ N x N M = x) σ n X)x n + N n=m+ σ n x n + σ N x N + σ N x N σ n X)x n ) σ n X)x n ) σ n X)x n ) + X x) xn x + σ N x N M ) N = x) σ n X)x n + σ n X)x n n=m+ + X + σ N X)x N. 0 < x <.),.),.3)

42 ) N a nx n X M x) σ n X x n + < x)a M x n + x) N n=m+ N n=m+ σ n X x n ) ε 4 xn + ε 4 xn x)am + ) + x) ε x N M 4 xm+ + ε x 4 x) ε 4δ + ε 4 + ε 4. N fx) X fx) X ε 4 + x δ ) 0 < x < ) 0 < x < δ x fx) X 3 4 ε < ε ε > 0 lim fx) = X x 0 + σ N X x N 0407) 84 e / x x 0) fx) = 0 x = 0) C - f k) 0) = 0 k = 0,,,... ) x = 0.4. f a ) ) ε f 0 < x a < ε x fx) < fa) fx) > fa)).4 a x fx) < fa) fx) > fa)).5. fx) = x x = 0 fx) = x 3 3x x = x =.... f a ) ) x fx) fa) fx) fa)).3. fx) = x 4 x = 0 ) the maximum the minimum..6. f x = a C - 3) A. fx) x = a f a) = 0 B. A ) f a) 0 fx) x = a C. f a) = 0, f a) > 0 f a) < 0) fx) x = a ) a maximal; a local maxima; a minimal; a local minima: an extremal. 3) A, B f a C f

43 ).7. fx) = x 3 3x f x) = 3x )x + ) f x) = 0 x = x =.6 B, f f x) = 6x f ) > 0, f ) < 0.6 C fx) x =, x =.8..6 A fx) = x 3.6 C.5.6 B m = f a) m > 0 3. m = f a) R h) ) fa + h) = fa) + mh + R h) lim = 0 h 0 h R h) h mh h fa + h) fa) mh h 0 ) 4) m > 0 h > 0 h < 0 h ) ) fa + h) > fa) h > 0 ; fa + h) < fa) h < 0 ε 0 < h < ε fa+h) > fa), 0 < h < ε fa + h) < fa) f x = a.6 B m > 0 ) R h)/mh) h 0 0 δ ) h < δ 4) R h) mh < 0407) 86 m > 0 ) h < δ m h < R h) < m h ) h < δ mh m h < fa + h) fa) < mh + m h 0 < h < δ h = h fa + h) fa) > mh mh = mh > 0, 0 > h > δ h = h fa + h) fa) < mh + m h = mh < 0 ε h < ε fa + h) fa).6 C m = f a) m > 0 f a) = 0, f a) = m fa + h) = fa) + mh + R 3 h) lim h 0 R 3 h) h = 0 R 3 h) h mh h fa + h) fa) mh h 0 ) m > 0 h 0 h fa + h) > fa) fx) x = a m < 0

44 ) - ) fx) = x 4 x = 0.3 ) C - f x = a... ) f x = a.3 3) fx) = x x = fx) = x 4 x ) f -3 ).6 A B).8 ).6 C.8-4 fx) = x 4 + px 3 + qx p, q ) 3 f x) = B m < B -7.6 C -8.6 f a) = 0, f a) = 0

45 0407) 90.. R R := {x, y) x, y } = {x, y) x, y R} =. a, b) R ε U ε a, b) = {x, y) R x a) + y b) < ε } a, b) ε- ) R U a, b) A ε U ε a, b) A R U ) P, Q A U R 3) 3 D R f a, b) D ) ε x, y) U ε a, b) x, y) a, b)) fx, y) < fa, b) fx, y) > fa, b)).6 *) 04 ) ε- an ε-neighborhood an open set. ) connected; pathwise connectedness R n 3) a domain...6.9, 3.. ). f x, y) = a, b) C -.) fa + h, b + k) = fa, b) + f f a, b)h + a, b)k x y + f x a, b)h + f x y a, b)hk + f y R 3 h, k) lim h,k) 0,0) h + k = 0 a, b)k ) + R 3 h, k) a, b) h, k) F t) = fa + th, b + tk) F [0, ] C - F.9 F ) = F 0) + F 0) + F 0) + 3! F θ) 0 < θ < ) θ 4) F 0) = fa + 0h, b + 0k) = fa, b), F 0) = f f a, b)h + a, b)k x y F 0) = f x a, b)h + f x y a, b)hk + f a, b)k y F θ) = 3 f x 3 h f x y h k f x y hk + 3 f y 3 k3 a + θh, b + θk) f C - f 3 f lim h,k) 0,0) x a + θh, b + θk) = 3 f a, b) 3 x3 4) the chain rule, 3., 6

46 9 0407) h, k) = r cos t, r sin t) r > 0) h, k) 0, 0) r 0 3 f x a + θh, b + θk) h 3 ) 3 ) f = 3 h + k x a + θh, b + θk)r 3 cos3 t 0 F θ) lim h,k) 0,0) F θ)/h + k ) = 0... f.) h, k.) fa + h, b + k) = fa, b) + f f a, b)h + x y a, b)k + R h, k), lim h,k) 0,0) R h, k) h + k = 0.3..) h, k ) ) )) f f h h a, b), a, b) = dfa, b)h h = x y k k dfa, b) = f x a, b), f y a, b) ) a, b) f 5) h, k ) ) fxx a, b) f xy a, b) h.3) h, k) = t h Hess fa, b)h, f yx a, b) f yy a, b) k ) fxx a, b) f xy a, b) Hess fa, b) := f yx a, b) f yy a, b) t h h 6) Hess fa, b) 7) f a, b) 8) 5) the total differential 5 6) 3 7) a symmetric matrix. 8) the Hessian matrix; Hesse, Ludwig Otto, 8 874, de. 0407) R D C - f a, b) D f x a, b) = 0 f a, b) = 0 y f a, b) ε h +k < ε fa + h, b + k) > fa, b) h < ε fa + h, b) > fa, b) F h) := fa + h, b) h = 0.6 F 0) = f x a, b) 0 Gk) = fa, b + k) f y a, b) = 0.5. R D C - f a, b) D := f x a, f b) y A := f a, b) x f x a, b) = 0 f a, b) = 0 y f a, b) a, b) x y ) = det Hess fa, b), > 0 A > 0 fx, y) x, y) = a, b) > 0 A < 0 fx, y) x, y) = a, b) < 0 fx, y) x, y) = a, b).6. h k ) φh, k) := Ah + Bhk + Ck A, B, C )

47 ) h, k) 0, 0) φh, k) > 0 A > 0 AC B > 0 h, k) 0, 0) φh, k) < 0 A < 0 AC B > 0 φ AC B < 0 AC B = 0φ φ = 0 h, k) 0, 0) A h + B A k) + AC B A 0) A φh, k) = C k + B C h) + AC B C 0) C Bhk A = C = 0).5. fa + h, b + k) fa, b) = φh, k) + R3h, k), lim R 3 h, k) h,k) 0,0) h + k = 0 A := f xx a, b), B := f xy a, b), C := f yy a, b) φh, k) := Ah + Bhk + Ck h + k R 3 h, k) φh, k) fa + h, b + k) fh, k) φh, k).6.4 R n D C - f x = t x,..., x n ) fx) a = t a,..., a n ) D.4) fa + h) = fa) + dfa)h + t h Hess fa)h + R 3 h), R 3 h) lim h 0 h = ) 94 f dfa) = a),..., f ) a), x x n f x a)... f a) x x n Hess fa) = f f a)... x n x x a) n.7. f a dfa) = 0 dfa) = 0 Hess fa) ) f a dfa) = 0 Hess fa) f a x,..., x n ) n ) φx,..., x n ) = n a ij x i x j i,j= x i x j = x j x i a ij a ji φx,..., x n ) = n a ij x i x j, a ij = a ji ). i,j= x = t x,..., x n ) A = a ij ).5) φx) = t xax A ) A φ

48 ).8 ). A A P µ t 0 µ... 0 P AP =.. t P P = E = ) µ n µ,..., µ n A.5) X = t X,..., X n ) := t P x φ = µ X + + µ n X N 0407) 96 - R R, {x, y) R y > 0}, {x, y) R y 0}, {x, y) R x + y }, {x, y) R x + y < } fx, y) = x 3 xy + y 3 f xx, y) = 0, f yx, y) = 0 x, y) x, y).5 fx, y) x, y) = /3, /3) /7-4 fx, y) = ax + by )e x y a, b fx, y) = x 4 + x y + y 4 x 3 + y 3-6 R D 9) f f xx D 0 f D µ,..., µ n φx) > 0 0 x.5) µ,..., µ n φx) < 0 0 x.5) µ,..., µ n φx) 9) -5

49 3 0407) x = x t),..., x n t) ) 3.) ẋt) = f t, xt) ), xt 0 ) = a = d ) dt f R n n + )- f = f,..., f n ) 3.) ẋ j t) = f j t; x t),..., x) n t) ), x j t 0 ) = a j j =,..., n) a = a,..., a n ) 3. ). t 0 I a R n R n D I D := {t, x) t I, x D} R n+ R n f : I D R n I D C - ) t 0 I C - x: I R n 3.) 3.. λ 3.) ẋt) = λxt), x0) = a xt) := ae λt 3.) 3. 3.) 3.3. f *) 04 8 ) C n - C n - ẋ = 3 x f ) x0) = 0 a > 0 0 x < a) xt) = 7 t3 x a) ft, x) t R t ) 3.) R ẋ = + x, x0) = 0 xt) = tan t π, π ) I R n A: I Mn, R), R n b: I R n 3.3) ẋt) = At)xt) + bt) t 0 I, a R n, Mn, R) n n At) := a ij t) ), bt) := t b t),..., b n t) ), xt) := t x t),..., x n t) ) 3.3) ẋ t) = a t)x t) + a t)x t) + + a n t)x n t) + b t) 3.4).. ẋ n t) = a n t)x t) + a n t)x t) + + a nn t)x n t) + b n t)

50 ) ). A: I Mn, R), b: I R n C - t 0 I a R n I C - x: I R n 3.3) xt 0 ) = a 3.5. I C - αt) φt) t ) φs) xt) = c + x 0 s) dt x 0 t), 0 ẋt) + αt)xt) = φt) c = x0) 3.6. α, γ 3.5) ẍ + γẋ + αx = 0 x 0 t) = exp 3., 3.4 ) ) x x x = = y ẋ ẋ = 0 α γ ) x t 0 ) αs) ds 3.4 At) t R γ = 0 γ = 0, α = ω > 0 3.5) x ) 00 γ = 0, α = ω < 0 3.5) x xt) = A cosh ωt + B sinh ωt A, B 3.6) λ + γλ + α = 0 λ, λ λ, λ 3.5) x xt) = Ae λt + Be λ t A, B λ = γ + iω, λ = γ iω ω ) 3.5) x xt) = e γt A cos ωt + B sin ωt) A, B λ = λ ) 3.5) x xt) = e λt A + Bt) A, B 3.3) b = 0 3.7) ẋt) = At)xt). x t), x t) 3.7) xt) = A cos ωt + B sin ωt A, B 3.7) ax t) + bx t) a, b )

51 0 0407) R n xt) 3.7) n ) n 3-3.7) V A x V A x = xt) 3.7) 3.8. ẋt) = At)xt) + bt) x 0 t) x 0 t) + xt) x V A 3.9. ω, m ω = m) ) ) At) t 0 I C - ) x t), x t) 3.7) ax t) + bx t) 3.7) a, b ) x t), x t) 3.7) x t 0), x t 0) x t), x t) ax t)+bx t) = 0 t a = b = 0 3) 3.7) n R n {e,..., e n } x j t) x jt 0) = e j 3.7) {x,..., x n} 3.7) x 0 x x x 0 3.7) 3-3 k ) ẍt) = k xt) x0) = A, ẋ0) = B 3.8) ẍ + ω x = sin mt ω sin mt + A cos ωt + B sin ωt m A, B ) xt) = A cosh kt + B sinh kt k ) ) ẍ = k x m = ω 3.8)

52 ) k, α dx dt = kxα x) ) x0) = m m 0 α xt) = σ = α ) + σe kαt m, m = 0 xt) = 0 t x ) the logistic equation.