REJECT}$ 11^{\cdot}\mathrm{v}\mathrm{e}$ virtual turning point II - - new Stokes curve - (Shunsuke SASAKI) RIMS Kyoto University 1

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1 高階線型常微分方程式の変形におけるvirtual turning Titlepointの役割について (II) : 野海 - 山田方程式系のnew S curveについて ( 線型微分方程式の変形と仮想的変わり点 ) Author(s) 佐々木 俊介 Citation 数理解析研究所講究録 (2005) 1433: Issue Date URL Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto University

2 REJECT}$ 11^{\cdot}\mathrm{v}\mathrm{e}$ virtual turning point II - - new Stokes curve - (Shunsuke SASAKI) RIMS Kyoto University 1 $\backslash h\dagger \mathrm{i}<\mathrm{b}$ [N] Painleve : Stokes curv$\prime $t$ \mathrm{e}$ $\mathrm{c}\iota Stokes Lax pair Stol es geometry $\mathrm{t}\ovalbox{\tt\small 2 turning point Stokes curve [KKNTI] [KKNT2] { Painleve $(NY_{)4}^{\backslash }$

3 x}\psi$ t}\psi$ $u_{1}\epsilon_{2}x$ $\mathrm{c}\iota_{2}\epsilon_{3}1$ $u_{3}\epsilon_{4}1$ $u_{4}\epsilon_{\overline{\mathfrak{o}}}1\ovalbox{\tt\small REJECT}$ $-1q_{5}\ovalbox{\tt\small REJECT}$ 66 : $\frac{du_{0}}{dt}=\eta[u_{0}(u_{1}-u_{2}+u_{3}-u_{4})+a_{0} ]$ $arrow du=\eta[u_{1}(u_{2}-u_{3}+u_{4}-u_{0})+\alpha_{1}]$ $(NY)_{4}$ : $\{$ $\frac{du_{2}dt}{dt}=\eta[u_{2}(u_{3}-u_{4}+u_{0}-u_{1})+\alpha_{2}]$ $\frac{du}{dt}\mathrm{a}=\eta[u_{3}(u_{4}-u_{0}+u_{1}-u_{2})+\alpha_{3}\mathrm{j}$ (1) $\frac{d}{d}ua_{=\eta[u_{4}(u_{0}-u_{1}+u_{2}-u_{3})+\alpha_{\text{\ {e}}}]}t$ $\mathrm{c}\mathrm{t}_{0} +\cdots+\alpha_{4}=\eta^{-1}$ $u_{0}+\cdots+u_{4}=t$ $\eta$ ; large parameter (2) Lax pair : $(L)_{4}$ : $\frac{\partial}{\partial $=$ $\eta A\psi$ (31 $(D)_{4}$ : $\frac{\partial}{\partial $=$ $\eta B\psi$ (4) $A=- \frac{1}{x}(x^{\backslash }u_{0}\epsilon_{1}x $ (5) $-1q_{2}$ $B=\ovalbox{\tt\small REJECT}-xq_{1}$ $-1q_{3}$ $-1q_{4}$ (6) $\epsilon_{j}$ $q_{j}$ $\mathit{0}_{j} $ $u_{j}$ $\alpha_{j}=\epsilon_{j}-\epsilon_{j?7^{-1}}+\iota+\delta_{j0}$ $q_{j+2}-q_{j}=\mathrm{c}\iota_{j}-u_{j+1}$ - WKB ( ) [T] $P_{\mathrm{I}}$ $P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$-hierarchy

4 $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ point 87 Lax pair 3 Stokes geometry new Stokes virtual turning point Stokes curv$r\mathrm{e}$ geometry [S] [S] $(NY)_{4}$ Stokes geometry $\llcorner$ 2 new Stokes curve $P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$ $P_{\mathrm{I}}$ -hierarchy Stol es geometry Lax pair 2 Stokes geometry Stokes geometry [KKNTI] $l\mathrm{h}2$ $\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}$ Stokes eu Stokes geometry $r\gamma$ turning point Stokes curve turning point $a$ $a$ turn- \mathrm{e}$ $b_{1}$ $b_{2}$ 2 Stokes curv$\prime Lax-adjascent non-lax-adjascent $b_{1}$ $b_{2}$ Lax-adjascent Stokes curv$r\mathrm{e}$ (curved ray) new Stokes curve Stokes geometry non-lax-adjascent ) new Stokes curv$\prime \mathrm{e}$ Lax-adjascent ( ( virtual turning point ) mechanism (new Stokes curve Stokes geometry ) ([KKNTI Remark 41]) \mathrm{e}$ $b_{1}$ $b_{2}$ $a$ turning point curv$\prime Stokes Stokes curve $b_{1}$ $b_{\underline{?}}$ (Stokes curve ) Stokes curve

5 r\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ turning \mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$ \mathrm{n}-$ B8 [KKNT2] virtual turning point $\backslash new Stokes curve point Stokes curve ( ) ( new Stokes curve ) $\mathrm{c}^{\mathfrak{l}}\mathrm{o}\mathrm{m}-$ Stokes geometry plete Stakes geometry Stokes curve $(NY)_{4}$ Stokes curve $(L)_{4}$ Stokes geometry Fig turning point $\tau^{(1)}=-00347$ $+01545i$ $\tau^{(2)}= \mathrm{i}$ $\Gamma^{(1)}$ $\Gamma^{(2)}$ Stokes curve $t=t_{0}= \mathrm{i}$ t Stokes $\alpha_{1}=045-0\overline{(}i$ $\alpha_{2}=-05-02i$ $\alpha_{3}= i$ $(L)_{4}$ Stokes curv $\mathrm{e}$ $\cdots$ Fig 2 ) $\alpha_{0}=1-0135i$ Fig 1 $5$ (j) Fig $2(0)$ $t_{0}$ $(L)_{4}$ Stokes curv$\prime \mathrm{e}$ $t_{0}$ \mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot point $\tau^{(1)}$ [S] $\tau^{(2)}$ $\mathrm{v};\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ turning point $s_{1}^{(0)}$ $v_{1}^{(1)}$ simple turning poznt virtual tumning point Stokes curve $v_{1}^{(2)}$ virtual turning point $s_{1}^{(0)}$ $v_{1}^{(1)}$ $s_{1}^{(0)}$ $1(2)$ $t$ $\Gamma^{(1)}$ $\Gamma^{(2)}$ $P_{\mathrm{I}}$ $P_{\mathrm{I}\mathrm{I}^{-}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{I}^{\cdot}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}$ 2 Stokes curve $1\supset turning point ( hinging turning ) Stok es geometry $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot simple $s_{1}^{(0)}$ ing point

6 $\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ Stokes $\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{w}^{\lambda}f$ \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e}$ B9 $13\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$ virtual turning ordered crosspoint turning point \mathrm{e}$ [S] 3 Stokes 1 configuration curv$\prime $\Gamma^{(2)}$ $\Gamma^{(1)}$ 3 $t$ turning point $\Gamma^{(1)}$ turning point Fig 6 turning point pick $2(\mathrm{O}1)$ $t$ $\Gamma^{(2)}$ up turning point Fig 2(02) 6 turning point pick up ( ) 11 $s^{(0)}$ turning point relevant ) lurning point Fig 2 ordinary turning point relevant virtual turning point Stokes curve Fig $v_{1}^{(1)}$ $s_{1}^{(0)}$ $v_{1}^{(2)}$ $t$ $t$ Fig 3 $s_{1}^{(0)}$ silnple turning point 2 Stokes curve $s_{1}^{(0)}$ turning point [KKNTI] Lax-adjascent configuration $\grave{\grave{1}}$ $v_{1}^{(1)}$ $s_{1}^{(0)}$ $v_{1}^{(2)}$ I (J)(3) Stokes curve $v_{1}^{(1)}$ $v_{1}^{()}\underline{7}$ $P_{\mathrm{I}}$ $P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}$-hierarchy Stakes curve $i1^{i_{\xi}^{\mathrm{e}\mathrm{f}}\mathrm{i}}$ $v_{1}^{(1)}$ (1) (3) $v_{1}^{(2)}$ Stokes curve $v_{1}^{(1)}$ $t_{2}$ $v_{1}^{(2)}$ $v_{1}^{(1)}$ $v_{1}^{(2)}$ $3(7)(\mathrm{S})(9)$ III (Fig ) $s_{1}^{(0)}$ Stokes curve \mathrm{e}$ $\text{ }$ $P_{\mathrm{I}}$ curv$\prime $P_{\mathrm{I}1}$-hierarchy new Stokes virtual turning point Stokes geolnetry virtual turning point Stokes curve $\prime \mathrm{e}$ $1^{0\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}$ turning curv $\hat{\gamma}$ $\mathrm{c}\iota Fig 1(3) Stokes

7 r\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ turning $\mathrm{g}_{\backslash }-\backslash \#\mathit{3}^{\hat{\mathrm{r}}}\backslash$ $\mathrm{i}$ 70 ( t ) virtual turning point ( )Stokes CllYVe Stokes Stokes curv$r\mathrm{e}$ $t_{2}$ $(\Lambda^{\mathrm{T}}Y)_{4}$ Stokes ( non-adjascent Stokes ) tumning point Stokes curve $\Gamma^{(1)}$ $s_{2}^{(1)}$ $v_{2}^{(0)}$ (Fig 4) Fig $4(1)(2)(3)$ $\hat{v}_{2}^{(2\}}$ Fig $4(0)$ virtual turning point $\hat{v}_{2}^{(2)}$ $\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\not\in$ $v_{1}^{(2)}$ $\prime \mathrm{e}$ ) $v_{3}^{(1)}$ Stokes curv Stokes $\backslash r\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ $1\supset \mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}$ curve turning (Fig 4 $v_{3}^{(1)}$ }$ $\mathrm{b}_{1\mathrm{t}}\mathrm{s}_{\backslash Fig 2 ) $v_{1}^{\langle 1)}$ $s_{2}^{(1)}$ $v_{3}^{(1)}$ Stokes curve Stokes curve $t_{2}$ $s_{2}^{(1)}$ Stokes $2(2)$ curve $s_{2}^{(1)}$ (1) (3) Stokes curve ( $(L)_{4}$ $\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\subset \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{y}$ ) data 4 $\hat{v}_{2}^{(2)}$ \mathrm{f}\mathrm{l}\mathrm{f}1\underline{\emptyset}^{\dot{a}}$ Fig 4 $\acute{1}\overline virtual turning point $(t=t_{1} \cdots t_{5})$ II $\mathrm{i}\mathrm{v}$ III ( $v_{1}^{(2)}$ $\Gamma^{(2)}$ $\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\prime \mathrm{e}$ turning point ) Stokes $s_{1}^{(0)}$ $v_{1}^{(2)}$ Stokes curve ( ) $\hat{v}_{2}^{(2)}$ i $2(2)$ $\Gamma^{(2)}$ Stokes curve turning point $\backslash new Stokes curve point $\mathrm{i}$ $1^{3\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\hat{v}_{2}^{(2)}}$ II t virtual turning $\Gamma^{(2)}$ $t_{0j}t_{6}$ $t_{12}$ ) $\mathrm{i}\bm{\mathrm{i}}$ 1 $v_{2}^{(0)}$ $v_{2}^{(0)}$ Stokes curve

8 $13\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{t}v$ $\langle$ ;\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ turning $\zeta 3$ \prime \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ turning $\mathrm{n}\mathrm{e}\iota\wedge^{\gamma}$ 71 $\hat{v}_{2}^{(2)}$ ( ) \mathrm{e}$ new Stokes curv$\prime virtual turning point virtual turning napping virtual turning point hat $v$ awake region sleeping region $Re7nark$ virtual turning point ( ) $t$ sleep ing region napping virtual turning point $\hat{v}_{2}^{(2)}$ $t$ $s_{2}^{(1)}$ $t_{7}$ $v_{2}^{(0)}$ Stokes curve Stokes curve Stokes $\mathrm{c}\iota \mathrm{l}\mathrm{r}\backslash r\mathrm{e}$ $s_{2}^{(1)}$ $t_{9}$ $t_{10}$ $t_{11}$ $t=t_{8}$ Stokes curve 2 3 Stokes curve (ordered) crossing point $t=t_{2}$ $\wedge(2)2$ $\backslash nal]ping point turning point ) ( ( $\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}1_{\mathrm{l}}^{r}\mathrm{e}\mathrm{s}$ curve }) $s_{2}^{(1)}$ $v_{2}^{(0)}$ $\hat{v}_{2}^{(2)}$ (7)(8) $(9)$ Stokes curve configuration $s_{4\rangle}^{(2)}v_{4}^{(0)}$ $l_{\sim}^{\sim!}\lambda\backslash -f$ Stokes curv $r\mathrm{e}$ $d_{5}^{(1)}$ (Fig 5) \mathrm{e}$ nap- $\hat{v}_{4}^{(1)}$ ping virtu al turning pomt $\hat{v}_{4}^{(1)}$ $\Gamma^{(1)}$ awake $t_{0}$ $t_{4}$ $t_{10}$ $v_{1}^{(1)}$ Stokes curv$\prime $t=t_{2}$ $s_{4}^{(2)}$ \mathrm{g}$ region $v_{4}^{(0)}$ Stokes curve region sleep$3\mathrm{i}\mathrm{l}\urcorner[perp] $\hat{v}_{4}^{(1)}$ $v_{4}^{(0)}$ $v_{3}^{(1)}$ $v_{3}^{(0)}$ $d_{5}^{(2)}$ Fig2(01)(02) $v_{5}^{(0)}$ $\hat{v}_{37}^{(2)}\hat{v}_{5}^{(1)}$ $\backslash napping point $t=t_{2}$ turn ing point

9 $\hat{\gamma}$ turning \mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\dot{\mathrm{g}}$ 1\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 72 $\hat{v}_{5}^{(1)}$ (Fig 2 $ \mathrm{i}$ ) $\mathrm{v}^{l}1\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}1$ napping $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot \mathrm{n}-$ point 4 $ \supset\overline{\hat{\frac{\overline}{\mathrm{p}}}}\{\cdot 15$ ing point 5 turning point new Stokes curve Stokes curve turning point Stokes culve $\mathrm{f}$ $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot napping virtual point $\hat{?j}_{2}(2)$ $\hat{v}_{3}^{(2)}$ napping virtual turning point sleeping region $v_{1}^{(2)}$ 0)}$ $s_{1}^{\langle $\mathrm{i}\mathrm{v}$ Stokes curv$r\mathrm{e}$ III $\hat{v}_{4}^{(1)}$ $\hat{v}_{5}^{(1)}$ (Fig $6(1)$ ) sleeping region $v_{1}^{(1\}}$ $t_{\mathit{2}}^{\mathrm{y}}$ ffl Stokes $s_{1}^{(0)}$ curve $\mathrm{i}\mathrm{i}$ III (Fig $6(2)$ ) napping virtual turning point III steeping region Fig 2 $\prime \mathrm{e}$ Stokes curv configuration Rema $rk$ turning point $=7$ g-\gamma l (i) $\Gamma^{(j)}(j=12)$ (0) $(j)$ ; (ii) (1) (2) 2 3 $(NY)_{4}$ $s_{1}^{(0)}$ Stokes curve t ( ) 1 Stokes curve hinging turning point virtual turning point $P_{\mathrm{I}}$ $P_{\mathrm{I}1^{-}}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{y}$ ordinary turning point 2 turning point hinge Stokes curv$r\mathrm{e}$ new Stol es curve (virtual turning point ) Stokes geometry virtual turning point hinge Stakes curve napping virtual turning point $\prime \mathrm{e}$ Stokes curv $\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{l}\cdot ( ordinary point hinge

10 73 ) mechanism mechanism $v_{3}^{(1)}$ Remark ordinary turning point $d_{6}$ double turning point Stokes curve simple turning point $s_{7}$ Stokes curve $\Gamma^{(1)}$ (Fig 7) ( ) $d_{6}$ $s_{7}$ vurtual turning point napping virtual turning point $1_{\mathit{1}}\mathrm{a}$ $t^{(1)}$ $[\mathrm{t}$ $d_{6}$ ( Theorem 21] double turning point ) simpie turning point $(NY)_{4}$ new Stokes curve 4 $(NY)_{4}$ new Stokes curve T( $l/+(j)(j)l/-(j=12)$ $I^{(j)}(t):= \frac{1}{2}l_{(j)}^{t}(\nu_{+}^{(j)(j)}-\mathrm{t}/-)dt$ (7) $\Gamma^{(j)}$ $\nu_{\pm}^{(j)}$ $(j=12)$ ( branch $I^{(j)}(t)>0$ ) $\Gamma^{\langle j)}(j=12)$ ${\rm Im} I^{(j)}(t)=0$ \mbox{\boldmath $\tau$}( Stokes geometry $[\mathrm{s} \S 6]$ $I^{(1)}(t)$ $=$ $\int_{s_{1}^{\langle 0)}}^{v_{1}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx=\int_{s_{2}^{(1)}}^{v_{2}^{(0)}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{v_{3}^{\langle 1\rangle}}^{v_{3}^{(0)}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx$ (8) $I^{(2)}(t)$ $=$ $\int_{s_{1}^{(0)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx=\int_{s_{4}^{(2)}}^{v_{4}^{\langle 0)}}(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{d_{5}^{(2)}}^{v_{5}^{(0)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx$ (9) $x$- cut

11 74 ordinary Stokes curve $(L)_{4}$ Stokes geometry new Stokes curve ${\rm Im} I^{(3)}(t)=0$ $I^{(3)}(t):=I^{(1)}(t)+I^{(2)}(t)= \oint_{v_{1}^{(1)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$ (10) [KKNTI] new Stokes curve $\hat{\gamma}$ ( Remark ) Fig 1(3) New Stokes curve $\tau_{7}^{(1)}\tau^{(2)}$ $t_{8}$ turning point Stokes geometry $(L)_{4}$ [KKNTI] [KKNT2] $Remarf_{\acute{\mathrm{u}}}$ $I^{(3)}(\omega)=0$ $t=\omega$ (10) $I^{(3)}(t)= \oint_{\omega}^{t}(l/-(+\iota/1)\{2)-)dt=f_{(d}^{t}(\nu_{+}^{(2)}-\nu_{-}^{(1)})dt$ (11) ( $\nu_{+}^{(j)}+\nu_{-}^{(j)}=0$ $j=12$ ) $\omega$ ([AKKSST]) $\omega=00169+$ $04211\mathrm{i}$ $\omega$ virtual turning point [KKNT2] 61 $( 1\mathrm{i})]$ $(L)_{4}$ Stokes geometry $\mathrm{s}$ [ : 1 3 turning point $a_{1}$ a2 $a_{3}$ Stokes $\mathrm{t}\} \mathrm{p}\mathrm{e}2<33<11<2$ 3 curve ( ) ordered crossing point $c_{1}$ $c_{2}$ $c_{3}$ $\mathrm{c}j(j=123)$ point $v_{j}$ virtual turning $\oint_{a_{1}}^{v_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx=\oint_{a_{2}}^{v_{2}}(\lambda_{1}-\lambda_{3\backslash })dx=\int_{a_{3}}^{v_{3}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$ (12)

12 $[\supset$ $-\lambda^{r_{\mathrm{l}}}\not\in:\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}^{1_{\sqrt}1}\vee \mathrm{c}1_{\lrcorner}^{\backslash }\downarrow \text{ }$ 75 $x_{0}$ $c_{j}(j=123)$ $J(x_{0}):= \int_{a_{1}}^{x0}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx+\oint_{a\circ\sim}^{x\mathrm{o}}(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx^{1}+j_{\mathit{0}_{3}}^{x0}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$ (13) $J(x_{0})$ l $x_{\mathrm{q}}$ $J(c_{1})$ $=$ $\int_{a_{1}}^{\mathrm{c}_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx+j_{a_{2}}^{c_{1}}(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx+\oint_{a_{3}}^{c_{1}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$ $=$ $\int_{a_{1}}^{c_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx+\oint_{v_{1}}^{c_{1}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx$ $=$ $l_{1}^{v_{1}}(\lambda_{3}-\lambda_{2})dx$ (14) $J(c_{2})$ $=$ $\int_{a_{2}}^{c}\underline{ }(\lambda_{1}-\lambda_{3})dx$ (15) $J(c_{3})$ $=$ $f_{a_{3}}^{1}c_{3}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$ (16) 1 2 t=t ; $I^{(3)}(t)$ $=$ $\oint_{v_{1}^{(1)}}^{v_{1}^{(^{\underline{9}})}}(\lambda_{2}-/\backslash _{1})dx$ (17) $=$ $\int_{s_{2}^{(\mathrm{z})}}^{\hat{v}_{)}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=f_{v_{3}^{(1)}}^{\overline{v}_{3}^{(2\rangle}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx$ (18) $=$ $\mathit{1}_{s_{4}^{(2)}}^{\dot{v}_{4}^{(1)}}(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{d_{r}^{(2)}}^{\dot{v}_{5}^{(1\rangle}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dxo^{\cdot}$ (19)

13 $\langle$ $\mathrm{d}^{\lrcorner} $ Stokes ;\mathrm{e}$ \mathrm{l}\mathrm{r}\mathrm{n}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ 76 $t$ $\hat{\gamma}$ $(L)_{4}$ $v_{1}^{(1)}$ $v_{1}^{(2)}$ $s_{2}^{(1)}$ $\hat{v}_{2}^{(2)}$ $v_{3}^{(1)}$ $\hat{v}_{3}^{(2)}$ $s_{4}^{(2)}$ $\hat{v}_{4}^{(1)}$ $d_{5}^{(2)}$ $\hat{v}_{5}^{(1)}$ Stokes curve napping turning point sleeping region awal{e region $v_{1}^{(2)}$ $s_{2}^{(1)}$ $v_{3}^{(1)}$ (Fig $\mathrm{s}(1)$ ) l $v_{1}^{(1)}$ $s_{4}^{(2)}$ $d_{5}^{(2)}$ 3 $c_{\mathit{2}}$ (Fig $8(2);d_{5}^{(2)}$ $v_{1}^{(1)}\hat{v}_{2}^{(2)}\hat{v}_{3}^{(2)}$ Stokes curve 1 (17) (18) $v_{1}^{(2)}\hat{v}_{4}^{([perp])}\hat{v}_{5}^{(1)}$ $y_{\grave{\vee}}t\iota_{\backslash curve }$ 6) 1 (17) (19) $t=$ (i)(ii) : (i) $I^{\{2)}(t)= \oint_{v_{2}^{(0)}}^{\hat{v}_{2}^{(_{\vee}^{\triangleleft}\}}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{v_{3}^{(0)}}^{\dot{v}_{3}^{(2)}}(/\backslash _{3}-\lambda_{1})dx$ (20) $t$ $\Gamma^{(2)}$ $v_{2}^{(0)}$ $2(2)$ $v_{3}^{(0)}$ (ii) $ 3(2)$ $(L)_{4}$ Stokes curve $I^{(1)}(t)= \int_{v_{4}^{(0)}}^{\prime\theta_{4}^{(1)}}(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{v_{6}^{(0)}}^{\dot{v}_{6}^{\{1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx$ (21) $t$ $\Gamma^{(1)}$ $v_{4}^{(0)}$ $v_{5}^{(0)}$ $\hat{v}_{4}^{(1)}$ $ 5(1$ } $(L)_{4}$ $\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\backslash Stakes $I^{(3)}(t)=I^{(1)}(t)+I^{\zeta 2)}(t)$ $\backslash (21) \grave{l}\grave{\mathrm{f}}r\cdot\backslash \mathrm{g}_{\backslash }^{\wedge}$ $(1\mathrm{S})$ (8) (17) (20) (9) (17) $(19)$ 2 3 $\mathrm{t}\iota napping virtual point (virtual) turning point $\Gamma^{(1)}$ $\Gamma^{(2)}$ $t=t_{0}$ $(L)_{4}$ Stakes geometry

14 $\hat{\gamma}$ $\hat{\gamma}$ 77 $I^{\langle 3\rangle}(t)$ Stokes curve $I^{(1)}(t)$ $I^{(2)}(t)$ $1_{\sqrt}\backslash$ ( new Stokes curve ) $(NY)_{4}$ $(L)_{4}$ Stokes geometry $Remark $ (11) new Stokes curve 2 double turning point $\mathrm{f}$ $\backslash \prime \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ $\Gamma^{(1)}\Gamma^{(2)}$ double turning } $\grave{\grave{\mathrm{a}}}$ $v_{1}^{(1)}$ 2)}$ $v_{1}^{\langle pcint {(double ) virtual turning point $\mathrm{a}$ $s_{2}^{(1)}$ $\hat{v}_{2}^{(1)}$ $P_{\mathrm{I}}- \mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}]^{\gamma}$ [KKNT2] Lax-adjascent 1 new Stokes curve new Stokes curve 5 1 Stokes curve 2 Stokes curve (1) 1 Stokes curve Lax pair 2 hinging turning point double Lax-adjacent 2 Stokes curve Lax-adjascent Fig 9 1 turning point Stokes curve $\tau^{\mathrm{i}}= \mathrm{o}7330\mathrm{i}$ $\Gamma^{(1)}$ 2 turning point Stokes curve $\tau^{\mathrm{i}\mathrm{i}}=-1493\mathrm{s}+26774\mathrm{i}$ $\Gamma^{(2)}$ ( $t=t_{0}=-05\mathrm{s} \mathrm{i}$ $\alpha_{0}=1-039i$ $\alpha_{1}=04-07\mathrm{i}$ $\alpha_{2}= \mathrm{i}$ $\alpha_{3}= \mathrm{i}$ $\uparrow\vee\backslash$ $(L)_{4}$ Fig 10(0) t Stokes curve double $\lambda \llcorner$ $v_{1}^{(1)}$ $v_{1}^{(2)}$ $d_{1}^{(0)}$ turning pomt virtual turning point 2 Stokes curve (Fig 11(0)) $\mathrm{e}$ Lax-adjascent new Stokes curv

15 $\mathrm{p} \mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{g}$ virtual 78 I $(L)_{4}$ Stokes geollletry $v_{1}^{(1)}$ $\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{l}\nearrow\circ \mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{s}$ Fig 11 (1) (3) $7_{\partial}$ $v_{1}^{(2)}$ curve ffi Stokes curve $v_{1}^{(1\rangle}$ $t_{2}$ $v_{1}^{(2)}$ Fig 12 turning point ( $-04-02\mathrm{i}$ $d_{4}^{(2)}$ double turning point Stokes curve ) napping virtual turning ppint $t_{2}$ turning point $v_{1}^{(2)}$ $\hat{v}_{2}^{(2)}$ Stokes curve $\text{ }$ Stokes $s_{3}^{(1)}$ curve $t=t_{2}$ $s_{2}^{(1)}$ $\hat{v}_{2}^{(2)}$ Stokes curv $v_{1}^{(2)}$ $\prime $\mathrm{i}\mathrm{v}$ Stokes curve ] (awake region) III (sleeping $\mathrm{i}\mathrm{i}$ $\mathrm{e}$ region) Stokes curv $\Gamma^{(2)}$ $v_{2}^{(0)}$ $\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{i}^{\lrcorner}\nearrow \mathrm{a}$ Stolees $v_{2}^{(0)}$ curve 1 $v_{1}^{\langle 1)}$ $s_{6}^{(2)}$ Stokes curve Stokes curve na13- $\hat{v}_{4}^{(1)}$ tu rning point $\acute{\hat{\pi}}$ $t=t_{2}$ $d_{4}^{(2)}$ $\hat{\{j}_{4}(1)$ awake $\mathrm{i}\mathrm{i}$ region $\mathrm{i}$ $\mathrm{i}\mathrm{v}$ sleeping region $s_{3}^{(1)}$ $v_{3}^{(0)}$ III $\hat{v}_{3}^{(2)}$ $s_{5}^{(2)}$ napping virtual turning point $\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{p}\mathrm{p}\mathrm{i}_{1\mathrm{l}}\mathrm{g}\backslash \prime \mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{l}$ turning point $\hat{v}_{5}^{(1)}$ \mathrm{e}$ $d_{1}^{\{0)}$ $v_{5}^{(0)}$ $2_{4}37+07\mathrm{S}\mathrm{i}$ } $-025+0\mathrm{S}1i$ $\Gamma^{(j)}(j=12)$ ${\rm Im} I^{(j)}(t)=0$ $I^{(1)}(t)$ $=$ $\frac{1}{2}\int_{\tau^{1}}^{t}(\iota_{+}^{(1)(1)}/-\iota/-)dt$ (22) $I^{(2)}(t)$ $=$ $\alpha \mathit{1}_{\tau^{\mathrm{i}\mathrm{i}}}^{t}(\nu_{+}-(2)l/+)(1)dt=-\oint_{\tau^{1}}^{t}$ $(ly^{(1)}--\nu_{-}^{(2)})dt$ (23) $I^{(1)}(t)$ $=$ $\int_{d_{1}^{\{0\}}}^{v_{1}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{2})dx$ (24) $I^{(2)}(t)$ $=$ $\oint_{d_{1}^{\{0)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})clx$ (25)

16 $\tilde{\iota^{\backslash }\backslash }t\mathrm{h}\mathrm{a}\backslash \mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{e}$ 7\S InlI $(t)=0$ $I^{(3)}(t):=I^{(1)}(t)+I^{(2)}(t)= \oint_{v_{1}^{\langle 1)}}^{v_{1}^{(2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$ (26) $\mathrm{e}$ new Stokes curv tual turning 13Oillt ) ( $\mathrm{v}\mathrm{i}\mathrm{r}-$ $I^{(3)}(\omega)=0$ $\omega$ $I^{(3)}(t)= \frac{1}{2}(_{lj}^{(2)}+-\nu_{-}^{(2)})dtd\acute{\omega}t$ (27) $\omega\sim \mathrm{i}$ napping virtual turning point 4 $t=t_{0}$ : $I^{(3)}(t)$ $=$ $J_{v_{1}^{(1)}}^{v_{1}^{\langle 2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{1})dx$ (28) $=$ $\int_{s_{2}^{(_{\tilde{1}}\}}}^{\hat{v}_{2}^{(2\rangle}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{s_{3}^{(1)}}^{\hat{u}_{3}}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx\{2$ ) (29) $=$ $\mathit{1}_{d_{4}^{(2)}}^{(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{s_{r}^{\langle_{\sim})}}^{\dot{v}_{5}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx}\dot{v}_{4}^{(1)}\delta $ (30) $v_{1}^{(1)}$ $s_{5}^{(^{\underline{\mathrm{q}}})}$ $\hat{\gamma}$ $v_{1}^{(2)}$ $s_{2}^{(1)}$ $s_{3}^{(1)}$ $d_{4}^{(2)}$ $\hat{v}_{5}^{(1)}$ $t$ $\hat{v}_{2}^{(2)}$ $\hat{v}_{3}^{(2)}$ $\hat{v}_{4}^{(1)}$ $(L)_{4}$ Stokes curve napping turning point sleeping region region 5 $t=t_{0}$ (i) (i)(ii) : $I^{(2)}(t)= \int_{v_{)}^{(0)}}^{\dot{v}_{2}^{\langle 2)}}(\lambda_{2}-\lambda_{3})dx=\oint_{v_{3}^{(0\}}}^{\overline{\tau}^{(2)}}J_{3}(\lambda_{3}-\lambda_{1})dx\sim$ (31)

17 $\tau^{\mathrm{i}}$ $\tau^{1\mathrm{i}}$ 80 $t$ $\Gamma^{(2)}$ $v_{2}^{(0)}$ $v_{3}^{(0)}$ $\hat{v}_{21}^{(2)}$ $\hat{v}_{3}^{(2)}$ $(L)_{4}$ $-C^{\backslash \backslash }\^{\pm}\grave{\tau}[]l \mathrm{h}^{\backslash }\backslash \mathit{4}1\text{ }\mathrm{a}\tau \text{ }$ (ii) Stokes curve $I^{(1)}(t)= \oint_{v_{4}^{\langle 0)}}^{\dot{v}_{4}^{(1)}}(\lambda_{4}-\lambda_{2})dx=\oint_{v_{6}^{(0)}}^{\hat{v}_{6}^{(1)}}(\lambda_{1}-\lambda_{4})dx$ (32) $t$ $\Gamma^{(1)}$ $v_{4}^{(0)}$ $v_{5}^{(0)}$ $\hat{v}_{4}^{(1)}$ $\hat{v}_{5}^{(1)}$ $(L)_{4}$ 2 3 Stokes curve 6 1 Stokes ciirve 2 Stokes curve (2) non-lax-adjascent [ $t$ - tilde Fig 13 $\Gamma^{(1)}$ $\tilde{\gamma}^{(1)}$ Stokes curve $t=\tilde{t}_{0}=$ $13343i$ ) $\Gamma^{(2)}$ Fig 151 $s_{2}^{(1)}$ non-lax-adjascent ( $\mathrm{s}_{3}^{1\rangle}$ Stokes curve $cl_{1}^{(0)}$ Stokes curve fj $v_{1}^{(1)}$ virtual turning point $64i$ ( ) $\tilde{\gamma}^{(1)}$ $\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\tilde{i}^{(1)}(t)=0\tilde{i}^{(1)}(t)=\frac{1}{2}\oint_{\tau^{\mathrm{i}}}^{t}(\iota_{-}^{(1)}/-\nu_{+}^{(1)})dt$ (33) $\mathrm{i}_{\mathrm{l}}\mathrm{n}\tilde{i}^{(3)}(t)=0\tilde{i}^{(3)}(t) =\tilde{i}^{(1)}(t)-i^{(2)}(t)$ (34) $\tilde{\gamma}\wedge$ new Stokes curve 1 \mathfrak{f}$ $\beta_{\vec{\mathcal{t}}\backslash }^{\prime\{}$ $\tilde{i}^{(3)}(\tilde{\omega})=0\text{ ^{}\backslash }\backslash \tilde{\omega}$ ($ \not\equiv$ {$\cdot $\tilde{i}^{(3)}(t)=\frac{1}{2}\int_{\tilde{\omega}}^{t}(\nu_{-}^{(2)}-\nu_{+}^{(_{\sim}^{\eta})})dt$ (35)

18 hierarchy 81 $\omega$ ( (Fig 16) $d_{1}^{(0)}$ [KKNTI] new Stokes $\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{v}\mathrm{e} \backslash \tilde{\gamma}\wedge$ ) $\tilde{\omega}$ ) Fig 17 ordered crossing point (1) (3) ( ) new Stokes curve (2) Stokes $t_{2}$ ( $(NY)_{4}$ Stokes ) $(NY)_{4}$ $(L)_{4}$ Stokes Stokes curv$r\mathrm{e}$ $\langle$ Stokes [AKKSST] T Aoki T Kaw$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{i}$ T Koike S Sasaki A Shudo and Y Takei A background story and some know-how of virtual turning points RIMS Preprint No $\mathrm{a}\mathrm{i}$ [KKNTI] T Kaw T Koike Y Nishikawa and Y Takei On the Stakes geometry of higher order Painleve equations RIMS Preprint No [I I $\mathrm{n}\mathrm{t}2$] T [N] [S] Kawai T Koike Y Nishikawa and Y Takei On the complete description of the Stokes geometry for the first Painleve hierarchy 1397 Microlical Analysis and Asymptotic Analysis $P_{\mathrm{I}\mathrm{I}}-P_{\mathrm{I}\mathrm{V}}$ twkb Painleve Stokes virtual turning point Master thesis 2005

19 The 82 $\mathrm{w}\mathrm{k}\mathrm{b}$ [T] Y Takei Toward the Exact Analysis for Higher-Order Painleve - Equations Case of Noumi-Yamacia Systems - Publ RIMS Kyoto Univ 40(2004)

20 83 (1) (2) (3) Figure 1 (t-plane)

21 84 (02) Figure $2(0)$ Figure $3(0)$ Figure $4(0)$

22 Figure 2 85

23 86 Figure 2

24 $ \cdot\cdot$ $ \ovalbox{\tt\small REJECT}$ $\} $ $! $ $ $ 87 (3) $(4)$ $\backslash$ } $4532 $ $-\ovalbox{\tt\small REJECT}_{-}^{-02} \cdot \ovalbox{\tt\small REJECT}-06$ Figure 3

25 88 Figure 3

26 Figure 4 88

27 90 Figure 4

28 Figure 5 91

29 92 Figure 5

30 $\Lambda$ 83 Figure 5 (1) ( $V_{2_{-}}$ (2) $\wp_{\zeta}^{\mathrm{t}\prime)}\mathrm{a}\}f\mathrm{v}_{\mathit{9}}^{11)}\wedge$ (9 Figure 6 (t-plane)

31 94 Figure 7 Figure 8

32 85 (2) (3) Figure 9 (t-plane)

33 86 Figure 10(0) Figure 11(0) Figure 12(0)

34 Figure 10 97

35 98 (8) (11) (12) Figure 10

36 99 (1) (2) (3) (4) (5) (6) Figure 11

37 100 (7) (8) (9) Figure 11

38 101 (1) (2) (3) (4) (6) Figure 12

39 102 (7) (8) (9) Figure 12

40 103 (2) (3) Figure 13 (t-plane)

41 104 Figure 14(0) Figure 15(0) (1) (2) Figure 14

42 105 (3) (4) (5) (6) (7) (8) Figure 14

43 106 (9) Figure 14 (1) Figure 15

44 107 (3) (4) (5) (7) (8) Figure 15

45 108 (9) Figure 15 Figure 16 (t-plane)

46 109 (1) (2) (3) Figure 17

$\mathrm{v}$ ( )* $*1$ $\ovalbox{\tt\small REJECT}*2$ \searrow $\mathrm{b}$ $*3$ $*4$ ( ) [1] $*5$ $\mathrm{a}\mathrm{c}

$\mathrm{v}$ ( )* $*1$ $\ovalbox{\tt\small REJECT}*2$ \searrow $\mathrm{b}$ $*3$ $*4$ ( ) [1] $*5$ $\mathrm{a}\mathrm{c} Title 狩野本 綴術算経 について ( 数学史の研究 ) Author(s) 小川 束 Citation 数理解析研究所講究録 (2004) 1392: 60-68 Issue Date 2004-09 URL http://hdlhandlenet/2433/25859 Right Type Departmental Bulletin Paper Textversion publisher Kyoto

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