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かおりおうじ
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1 ARMA 007/05/0 Rev.0 007/05/ Rev.0 007/07/7

2 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.3 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3.4 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3 ARMA 4 3. AR : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4 3. MA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ARMA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 4 ARMA 6 4. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 4. ARMA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 0 5 ARMA 3 5. ARMA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : AR : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : MA : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 5. : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 4

3 ARMA ARMA ARMA

4 . u (t), u (t) y (t), y (t) u (t) u (t) a u (t)+a u (t) a, a a y (t)+a y (t). ffl>0 jt t j <ffl t, t t, t jt t j >ffl ffl>0 t n t, t.3.4 3

5 3 ARMA [3] p AR AR (autoregressive model ) AR y(n) = k= a(k)y(n k)+ffl(n) () y(n) n a(k) AR AR () p p AR ( AR(p) ) ffl(n) m (m >p) p ffl(n) ffl(n) n p n ffl(n) AR AR AR ( ) 3. MA MA (moving average model ) MA y(n) = X k=0 b(k)u(n k) () u(n) n b(k) MA MA b(k) MA AR n n k MA n n k 0 0 b(m) =0(m>q) () y(n) = qx k=0 b(k)u(n k) (3) 4

6 n q q MA ( MA(q) ) MA u MA MA ( ) 3.3 ARMA ARMA (autoregressive moving average model ) ARMA y(n) = a(k)y(n k)+ X k= k=0 b(k)u(n k) (4) MA 0 b(m) =0(m>q) (4) y(n) = a(k)y(n k)+ qx k= k=0 b(k)u(n k) (5) (5) a(k), b(k) AR MA ARMA (5) a() a(p) AR b(0) b(q) MA (p; q) ARMA ( ARMA(p; q) ) ARMA u ARMA ARMA ( ) 5

7 4 ARMA 4. [] p.57 6 ARMA ARMA g(t) T h(n) h(n) =g(nt ) (6) h(n) G(s) = MX A i s ff i (7) H(z) H(z) = MX A i e ffit z (8) G(s) s = z T (9) H(z) G(s) s = T z +z (0) H(z) g(t) 6

8 ! s = ß ( T ) ARMA 4. ARMA [] p. 7, [] p.57 6 ARMA ARMA m k c f x m d x dt + c dx + kx = f () dt x f t () m d x(t) dt + dx(t) c + kx = f(t) () dt G(s) () y(t) n y (n) (t) L[y (n) (t)] = s n Y (s) s n y(0) s n y () (0) sy (n ) (0) y (n ) (0) (3) Y (s) =L[y(t)] x(0) = 0, f(0) = 0 () ms X(s)+csX(s)+kX(s) =F (s) (4) X(s) =L[x(t)]; F (s) =L[f(t)] f(t) x(t) G(s) =X(s)=F (s) G(s) = X(s) F (s) = ms + cs + k (5) 7

9 (5) G(s) = A s ff + A s ff (6) (6) H(z) = A e fft z + A e fft z (T ) (7) (7) H(z) = (A + A ) (A e fft + A e fft )z (e fft + e fft )z + e (ff+ff)t z = A e fft + A e fft z A + A e fft + e fft A + A A + A z + e (ff +ff)t z A + A (A + A 6=0) (8) ARMA(; ) +b z H(z) = (9) a 0 + a z + a z ARMA 4.3 [6] p. m d x dt + c dx + kx = f (0) dt x, x x = x x = dx dt () () 8

10 x, x (0) m dx dt + cx + kx = f dx dt = k m x c m x + f m (3) 9

11 u (= f) y (= x) (), (3) " # 3 x _ 6 = 4 0 " # 3 7 x k c u (4) x_ m x m m y = h 0 i " # x x x_ = dx dt, x_ = dx dt (4), (5) (4) (5) (5) X = A = " # " # x x _ ; _X = x x_ k c 5 6 ; B = h i 5 ; C = 0 m m m Y = y; U = u (4), (5) _X = AX + BU Y = CX (6) (7) 4.4 [6] p.9 99 G(s) G(s) = b ms m + b m s m + + b s + b 0 s n + a n s n + + a s + a 0 (n>m) (8) (8) Y (s) U(s) = s n + a n s n + + a s + a 0 (9) Y (s) Y (s) = b ms m + b m s m + + b s + b 0 (30) 0

12 (9) y (n) + a n y (n ) + + a y_ + a 0 y = u (3) y = x y_ = x_ = x ÿ = x_ = x 3. y (n ) = _x n = x n (3) 6 4 x_ x_. _x n _x n = a 0 a a a n x x. x n x n u (3) (30) y = b m y (m) + b m y (m ) + + b y_ + b 0 y (33) y = b m x m+ + b m x m + + b x + b 0 x (34) (34) y = h b 0 b b m 0 0 i 6 4 x x. x m+ x m+. x n (35) (8) (3) (35)

13 (3), (35) _X = AX + BU Y = CX (36) (37) sx(s) =AX(s)+BU(s) (38) Y (s) =CX(s) (39) X(s) =L[X]; U(s) =L[U]; Y (s) =L[Y ] (38) (si A)X(s) =BU(s) X(s) =(si A) BU(s) (I ) (40) X(s) (39) Y (s) =C(sI A) BU(s) G(s) = Y (s) U(s) = C(sI A) B (4)

14 5 ARMA 5. ARMA 5.. AR Levinson [3] P Levinson AR ARMA AR Levinson (Levinson Levinson ) t ffe e t ARMA(p; q) x t ARMA(p; q) AR a ;a ; ;a p MA b 0 ;b ;b ; ;b q e t x t x t + a x t + a x t + + a p x t p = b 0 e t + b e t + b e t + + b q e t q (4) z A(z) =+a z + a z + + a p z p B(z) =b 0 + b z + b z + + b q z q (4) A(z)x t = B(z)e t (43) H(z) H(z) = B(z) A(z) (44) ARMA(p; q) x t R k AR (4) x t k x t x t k + a x t x t k + + a p x t p x t k = b 0 e t x t k + b e t x t k + + b q e t q x t k (45) (45) R k + a i R k i = qx j=0 E b j Efe t j x t k g (46) 3

15 h j e t x t x t = X j=0 h j e t j e t ffe (46) R k + a i R k i = 8 >< >: qx j=0 b j Efe t j x t k g (k» q) 0 (k q +) (47) k q + ARMA(p; q) x t R k AR ARMA(p; q) x t R k AR k q + R k + a i R k i =0 (48) (48) AR Yule-Walker AR (48) k = q +;q+; q + p 6 4 R q R q R q (p ) R q+ R q R q (p ) R q+(p ) R q+(p ) R q a a. a p = 6 4 R q+ R q+. R q+p (49) Yule-Walker AR (49) (49) Yule-Walker Yule-Walker Levinson Levinson (49) Levinson [3] P.99 0 Levinson p AR p + AR p AR a (p) j (j =; ; ;p) p + AR a (p+) j 4

16 () k f = R q+=r q k b = R q =R q = k f kb a = k f c = k b () k f p+ = R q+p+ + k b p+ = R q p + p R q p R q a (p) i R q+p+ i c (p) i R q p +i p+ =( k f p+ kb p+) p a (p+) j = a (p) j + k f p+ c(p) p+ j c (p+) j = c (p) j + k b p+ a(p) p+ j (j =; ; ;p) a (p+) p+ = k f p+ c (p+) p+ = k b p+ c (p) j (49) Levinson R n = R n (n 0) x t R k Levinson AR a () p AR a (p) ;a(p) ; ;a(p) p [3] P.99 0 x t a x t a x t a p x t p = b 0 e t b e t b e t b q e t q 5

17 Levinson () k f = R q+=r q k b = R q =R q = k f kb a = k f c = k b () k f p+ = R q+p+ k b p+ = R q p p R q p R q a (p) i R q+p+ i c (p) i R q p +i p+ =( k f p+ kb p+) p a (p+) j = a (p) j + k f p+ c(p) p+ j c (p+) j = c (p) j + k b p+ a(p) p+ j (j =; ; ;p) a (p+) p+ = k f p+ c (p+) p+ = k b p+ 5.. [4] P R k E(n) =jx(n)j E(n) =F[R k ] R k = F [E(n)] 6

18 . FFT X(n) (n =0; ; ). jx(n)j = X(n) X(n) Re[ jx(n)j ]=f Re[X(n)] g + f Im[X(n)] g Im[ jx(n)j ]=0 3. jx(n)j (k =0; ; ) FFT R k (k =0; ; ) 4. R k = R k =R 0 (k =0; ; ) 5..3 MA ARMA(4,3) MA AR ARMA(4,3) x t + a x t + a x t + a 3 x t 3 + a 4 x t 4 = b 0 e t + b e t + b e t + b 3 e t 3 (50) e t e t 3 e n =0(n<0) e t ^e t ( ) ^e 0 = x 0 =b 0 ^e =(x + a x 0 b ^e 0 )=b 0 ^e =(x + a x + a x 0 b ^e b ^e 0 )=b 0 ^e t =(x t + a x t + a x t + a 3 x t 3 b ^e t b ^e t b 3^e t 3 )=b 0 (t 3) ARMA a a 4 ;b 0 b 3 (x t + a x t + a x t + a 3 x t 3 + a 4 x t 4 ) (b 0^e t + b ^e t + b ^e t +^e 3 x t 3 ) (5) 0 AR a a 4 MA b 0 b 3 x t Xfi fi (xt + a x t + a x t + a 3 x t 3 + a 4 x t 4 ) (b 0^e t + b ^e t + b ^e t +^e 3 x t 3 ) fi fi (5) b 0 b 3 b 0 b 3 b 0 b 3 7

19 5. [3] P.0 05 ARMA x n = a i x n i + qx j= b j e n j + e n (53) zn T =[ x n i ; ; x n p ;e n ; ;e n q ] T =[a ;a ; ;a p ;b ;b ; ;b q ] (53) x n = T zn + e n (54) I n = NX h n= x n T z n i (55) ^ N ^ N = " NX # X N znzn T znxn (56) n= n= zn e N ; ;e N q ^ N (54) ^e N = x N ^ T N ^z N (57) e N ^z N =[ x N ; ; x N p ; ^e N ; ; ^e N q ] T (58) 8

20 ^ N = ^ N + k N [ x N ^z T N ^ N ] ^k N = P N ^z N ( + ^z T N P N ^z N ) P N =(I ^kn ^z T N)P N 9 >= >; (59) ^ 0 = 0 P 0 = ffi (ff ) ( ) ff ff =0 3 ; 0 4 N ff ^ N 9

21 5.3 [3] P ARMA x n + a i x n i = e n + qx j= b j e n j (60) =[a T ; b T ] ( L( ;ffe)=(ßff e) N= j N j = exp S( ) ffe ) (6) S( ) =x T N N x N (6) ff e N = E[x N x T N] =[a ;a ; ;a p ;b ;b ; ;b q ] j N j (6) l( ;ff e)= N log(ßff e) log j N j S( ) S( ) =0 S( ) 0

22 S( ) S( ) N e N =[e ;e ; ;e N ] T (65) x Λ =[x 0 ;x ; ;x p ;e 0 ;e ; ;e q ] T D p = 6 4 a a p a p a p a p D q = 6 4 b b q b q b q b q (66) x Λ =0 N ARMA D p x N = D q e N (67) x N (= [x ;x ; ;x N ] T ) E[x N x T N]=ff e N = E[(D p D qe N )(D p D qe N ) T ] =(D q D q)(d q D q) T ff e (68) N =(D q D q )(D q D q ) (69) (6) S( ) =x T N(D q D q )(D q D q ) = ffl T N ffl N = NX n= e n (70)

23 S( ) S( ) e n = A(z ) B(z ) x n S( ) a b S( ) Gauss-Newton (i +)= (i) " NX T NX (i) n= fi fi fi n e n fi (i) n =@ ARMA e n = A(z ) B(z ) x n (7) A(z )=+a z + + a p z p B(z )=+b z + + b q z n i B(z ) z i x n = B(z ) x n i ) n = j B (z ) z j x n = A(z B (z ) x n j i = u n i j = v n j (74) u n ;vn (73)(74) u n = B(z ) x n = v n = A(z ) B (z ) x n = A(z ) e n B(z ) e n u n ;vn ) A(z )u n = e n B(z )v n = e n (75) AR =(a T ; b T ) T

24 . (0) = (a 0 ;b 0 ). x Λ =0 e 0 n = x n + e 0 n 3. e 0 n u n = = qx j= v n = a 0 i x n i qx j= a 0 i u n i + e 0 n bj 0 u n j + x n qx j= bj 0 v n j + e 0 n bj 0 e 0 n j 0 u n ;v n 4. u n ;v n f ij = g ij = h ij = NX n= NX n= NX n= u n i u n j k i = u n i v n j k j = v n i v n j T = F G G T H NX n e = 4 k k 3 5 # NX n= NX n= e n u n i e n v n j F p p G p q H q q k p k q 5. (7) ^ () 3

25 5.4 [5] P.5 8 ARMA ARMA n x ;x ; ;x n (mean average) μx( μ) μx = nx n x i (76) n x ;x ; ;x n (variance) ff ff = nx (x i μx) (77) n n x ;x ; ;x n (standard deviation) ff ff = p ff = vu nx u t (x i μx) (78) n 4

26 n x ;x ; ;x n (formfactor) = ff μx (79) n x ;x ; ;x n (skewness) sk = nx (x i μx) 3 (80) nff 3 0 n x ;x ; ;x n (kurtosis) kr = nx (x i μx) 4 (8) nff [] 004 [] 00 [3] 998 [4] 00 [5] A.C / 999 [6] 00 [7] 00 5

p06.dvi

p06.dvi I 6 : 1 (1) u(t) y(t) : n m a n i y (i) = b m i u (i) i=0 i=0 t, y (i) y i (u )., a 0 0, b 0 0. : 2 (2), Laplace, (a 0 s n +a 1 s n 1 + +a n )Y(s) = (b 0 s m + b 1 s m 1 + +b m )U(s),, Y(s) U(s) = b 0s