7. y fx, z gy z gfx dz dx dz dy dy dx. g f a g bf a b fa 7., chain ule Ω, D R n, R m a Ω, f : Ω R m, g : D R l, fω D, b fa, f a g b g f a g f a g bf a

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みそらひろもり
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2 7. y fx, z gy z gfx dz dx dz dy dy dx. g f a g bf a b fa 7., chain ule Ω, D R n, R m a Ω, f : Ω R m, g : D R l, fω D, b fa, f a g b g f a g f a g bf a. y fx, z gy i, j z i x j m z i y k y k x j i l, j n. k fx Ax+b, gy Cy +d g fx g fx gax + b CAx + b + d CAx + Cb + d. g f x CA g yf x. 7. dz dx lim z z x 0 x lim y. x 0 y x z y x 0 y 0 dz dx lim z y 0 y lim y x 0 x dz dy dy dx. x 0 y 0 z x z y y x 2

3 f a ε x : fx fa f ax a x Ω ε x 2 lim x a x a 0. g b fa 3 ε 2 y : gy gb g by b y D ε 2 y 4 lim y b y b 0. 3 gy gb g by b + ε 2 y y D y fx b fa g f x g f a gfx gfa g bfx fa + ε 2 fx x Ω. fx fa f ax a + ε x g f x g f a g b [f ax a + ε x] + ε 2 fx 5 lim x a g bε x x a 0 6 lim x a ε 2 fx x a 0 g bf ax a + g bε x + ε 2 fx. g bε x + ε 2 fx lim x a x a g f a g f a g bf a 5 2 g bε x x a g b ε x 0 x a x a 0 3

4 6 M ε 2 y y D \ {b} My : y b 0 y b ε 2 b 0 M : D R m, ε 2 fx fx b Mfx lim My 0, ε 2 y y b My y D. y b fx b fx fa f ax a + ε x fx b f ax a + ε x f a x a + ε x. ε 2 fx x a 6 2 fx b M fx x a f a f a + ε x Mfx x a x a. M ε 2 fx x a fx b x a ε 2fx fx b C ε 2fx fx b C 0 0 x a x a fx b fx b chain ule : z xy, x φt, y ψt dz dt z t z x x t + z y y t y dx dt + xdy dt ψtφ t + φtψ t. dz dt d dt φtψt φ tψt + φtψ t. 2 fx, y x 2 + y 2, x φt, y ψt d dt f φt, ψt f xx t + f y y t x x2 + y 2 φ t + d dt f φt, ψt d φt2 + ψt dt 2 4 y x2 + y 2 ψ t φtφ t + ψtψ t. φt2 + ψt 2 d dt φt2 + ψt 2 2 φt 2 + ψt 2 φ tφt + ψ tψt φt2 + ψt 2.

5 Q&A z xy, x φt, y ψt z t z x x t + z y y t chain ule z 2 x y z zx, y z z x x + z y y t u 3 x, y, z u ux, y, z u u x x + u y y + u z z z i y,..., y m z i z i y,..., y m z i m k z i y k y k. 7.3 f : R R, c R u: R R R ux, t : fx ct u x, u xx, u t, u tt f c u ttx, t u 2 xx x, t f ξ fξ ξ x ct u x x, t f ξ ξ x f ξ f ξ, u xx x, t f ξ ξ x f ξ f ξ, u t x, t f ξ ξ t f ξ c cf ξ cf x ct, u tt x, t cf ξ ξ t cf ξ c c 2 f ξ c 2 f x ct c 2 u ttx, t u xx x, t tahensuu/tahensuu-20.pdf n x, y, z xyz x, y, z P P 0 5

6 OP z θ 0 θ π P xy P OP x ϕ 0 ϕ < 2π x sin θ cos ϕ y sin θ sin ϕ z cos θ, θ, ϕ P 3, spheical coodinate z Px, y, z y O θ φ P x, y, 0 x : θ, ϕ θ ϕ x θ x cos θ , , : 9555km f fx, y g, θ : fx, y, x cos θ, y sin θ 6

7 g g, θ f cos θ, sin θ cos θ g φ, θ : f sin θ g g θ f x f y g f x x + f y y, x y x θ y θ g θ f x x θ + f y y θ f φ f φ x cos θ, y sin θ, x θ sin θ, y θ cos θ g f x cos θ + f y sin θ, g θ f x sin θ + f y cos θ. g 2 f f 2 g 7.2 f dz dx dz dy dy dx d 2 z dx d dz dy d 2 dx dy dx dx d2 z dy dy 2 dx dy dx + dz d 2 y dy dx d2 z 2 dy 2 dz dy dy dx + dz d dy dy dx dx 2 dy + dz d 2 y dx dy dx

8 Laplacian C 2 f : x, y fx, y chain ule x cos θ, y sin θ, g, θ : fx, y, g f x x + f y y, g, θ : f cos θ, sin θ. 2 f x + 2 f 2 y 2 g 2 + g g 2 θ 2 g f xx x + f xy y x + f x x + f yx x + f yy y y + f y y f xx x 2 + f xy + f yx x y + f yy y 2 + f x x + f y y, g θθ f xx x 2 θ + f xy + f yx x θ y θ + f yy y 2 θ + f x x θθ + f y y θθ. x cos θ, y sin θ, x 0, y 0, x θ sin θ, y θ cos θ, x θθ cos θ, y θθ sin θ g f xx cos 2 θ + f xy + f yx cos θ sin θ + f yy sin 2 θ, g f x cos θ + f y sin θ, f 2 θθ fxx 2 cos 2 θ f 2 xy + f yx 2 sin θ cos θ + f yy 2 cos 2 θ f x cos θ f y sin θ f xx cos 2 θ f xy + f yx cos θ sin θ + f yy sin 2 θ f x cos θ 3 g + g + 2 g θθ f xx + f yy. 2 f x + 2 f 2 y + 2 f 2 z 2 g g f y sin θ. 2 g θ + g 2 tan θ θ + sin 2 θ 2 g ϕ 2 9 C 2 u: R 2 x, t ux, t R c ξ + η ξ x ct, η x + ct, vξ, η ux, t, vξ, η : u 2, η ξ 2c c 2 2 u t 2 2 u x v ξη

9 7.4 dx dy dy dx 7.7 U V R n φ: U V a U, b φa, φ a φ b φ b φ a. : det φ a 0 φ φx x x U. φ a φ b fa φ bφ a I I n φ b φ a. φx x x R n φ x I fx Ax + b f x A φx x Ix + 0 φ x I. 2 φ φ. φ i x x i i,..., n. φ n φ i x j x { x i x j i j 0 i j φ x δ ij I. φ 7.8 φ: 0, 0, 2π θ x cos θ R 2 C C y sin θ φ, θ x y x θ y θ cos θ sin θ sin θ. cos θ 9

10 x θ x y θ y θ φ x, y φ x, y φ, θ x y x θ y θ cos θ sin θ sin θ cos θ cos θ cos θ cos θ sin θ sin θ sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ. + sin θ cos θ 2 x cos θ, y sin θ, θ x sin θ, θ y cos θ. x 2 + y 2 x y x x 2 + y 2 /2 x 2 y x 2 + y 2 /2 y 2 x 2 + y 2 /2 x 2 + y 2 /2 x x2 + y 2 y x2 + y 2 x x2 + y 2, y x2 + y 2. cos θ, sin θ 3 θ θ tan y x 4 π/2, π/2 tan y x mod π tan y x x, y x θ tan y x + π tan y x + 2π π 2 3π 2 x < 0, x, y 2,3 x x, y 4 x 0 y > 0 x 0 y < x x2 + y cos θ 2 cos θ2 + sin θ cos θ cos θ. 2 4 C sqtx*x+y*y; thetaatan2y,x; thetaatany/x; 0

11 y x tan x y + y/x 2 x x y y tan x y + y/x 2 y x θ x y x 2 + y, θ 2 y + y/x y y 2 x 2 + y/x 2 x x x 2 + y 2 x x 2 + y 2 x 2 + y 2, y 5 sin θ, cos θ 7.9 Laplacian C 2 f : x, y fx, y x cos θ, y sin θ, g, θ : fx, y g g, θ : f cos θ, sin θ. 2 f x + 2 f 2 y 2 g 2 + g g 2 θ 2 f f xx + f yy g x, y f x g x + g θ θ x g cos θ g θ sin θ, f y g y + g θ θ y g sin θ + g θ cos θ x cos θ sin θ θ, f xx x f x cos θ sin θ θ cos θ sin θ g cos θ g θ sin θ sin θ g cos θ g θ θ sin θ sin θ cos θ g cos θ g θ g θ 2 g cos 2 θ 2g θ cos θ sin θ + g θθ sin 2 θ 2 y sin θ + cos θ θ. sin θ g cos θ g θ sin θ + g sin 2 θ sin θ cos θ g θ cos θ + f sin θ g θθ g θ + 2g θ cos θ sin θ 2. 5 x x 0, y > 0 θ y 0 x 2 + y 2 θ x y x 2 + y 2 y x 2 + y 2 f : a, b R c a, b lim f x D f c x c x c f c D.

12 f yy g sin 2 θ + 2g θ cos θ sin θ + g θθ cos 2 θ 2 + g cos 2 θ f xx + f yy g + g + 2 g θθ. 2g θ cos θ sin θ 2. 8 Taylo Taylo Ω R n f : Ω R, a Ω h h a + h Ω fa + h fa fa + h fa f ah fa h f m F t : fa + th t [0, ] F 0 fa, F fa + h fa + h fa F F 0. F Taylo F F φt : a + th F f φ : F f φ. φ t h. a + th a 2 + th 2 φt a + th. a n + th n a + th h φ a 2 + th 2 t. h 2. h. a n + th n F t d dt fa + th f φtφ t f a + thh fa + th h. h n F 0 d dt fa + th t0 f ah fa h. 2

13 a f h f a h : f h a : d fa + th dt f ah fa h. t0 8. Ω R n a, b Ω, a b, [a, b] Ω f : Ω R c a, b s.t. fb fa f cb a. [a, b] : { ta + tb; t [0, ]}, a, b : { ta + tb; t 0, }. 8.2 n 2 fb fa b a b a f c h : b a, F t : fa + th t R fb fa F F 0, F t f a + thh. θ 0, s.t. F F 0 F θ. fb fa f a + θhh. c : a + θh c a, b fb fa f cb a. 8.3 f : R 2 x b 2π cos x sin x R C a 0, 0 fb fa f cos x sin x x sin x cos x 3

14 sin 2 x + cos 2 x f x 0. c a, b f cb a 0. fb fa f cb a 4

II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka )

II A A441 : October 02, 2014 Version : Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) II 214-1 : October 2, 214 Version : 1.1 Kawahira, Tomoki TA (Kondo, Hirotaka ) http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/14w-biseki.html pdf 1 2 1 9 1 16 1 23 1 3 11 6 11 13 11 2 11 27 12 4 12 11