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1 プログラミング D ML 大阪大学基礎工学部情報科学科中田明夫 nakata@ist.osaka-u.ac.jp 教科書 プログラミング言語 Standard ML 入門 6 章 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 2 補足 : 再帰関数の作り方 例題 : 整数 x,y( ただし x<=y) から x+(x+1)+ +(y-1)+y を求める再帰関数 f(x,y) を作成せよ 考え方 : 1. 値を求めるのが最も簡単な場合はどのような場合か考えよ x=y の場合が最も簡単で 求める値は x 2. 一般の場合を 1. の簡単な場合に近づけるにはどうすればよいか考えよ x を 1 ずつ足せば ( 又は y を 1 ずつ減らせば ) いつかは x=y になる 3. 一般の場合の計算結果が 2. の方法で簡単な場合に一歩近づけた場合の計算結果を用いて表せないか考えよ f(x,y)=x+f(x+1,y) ( 又は y+f(x,y-1)) と表せる 4. 最後に if 文によって 1. と 3. の場合分けを行い 再帰関数を完成させよ fun f(x,y)=if y=x then x else x+f(x+1,y); 2005/12/19 プログラミング D -ML- 3 補足 : 再帰関数の作り方 例題 2: 文字列 s と文字 c が与えられたとき s に含まれる文字 c の総数を返す再帰関数 g(s,c) を作成せよ 1. 最も簡単な場合は s の長さ (size s) が 0 のとき (g(s,c)=0) 2.sを簡単な場合に近づけるには sの長さを1ずつ減らせばよい どうやって減らす? 例えばsのどこかから1 文字取ればよい ここでは先頭の1 文字を取ることにする 3.sの先頭の文字をh(s),sの先頭から1 文字取った文字列をt(s) とおくと h(s)=cの場合はg(s,c)=1+g(t(s),c) さもなければ g(s,c)=g(t(s),c) と表せる 4. よって 求める再帰関数は以下の通り ( 関数 h,tは既にあるものと仮定 ) fun g(s,c)=if size s=0 then 0 else if h(s)=c then 1+g(t(s),c) else g(t(s),c); 2005/12/19 プログラミング D -ML- 4 繰り返しプログラムと再帰プログラムの対応関係 i:=m; result=0; while i<n do begin result:=result+2*i; i:=i+1 end; return result; ループ終了判定 fun f(m,n)=if m>=n then 0 else 2*m+f(m+1,n); ループ 1 回分の計算 ループを 1 回も回らなかった場合の計算結果 2 回目以降のループの計算 2005/12/19 プログラミング D -ML- 5 リスト リスト : 同じ型の値の ( 任意個の ) 並び val h=[10,6,7,8,~8,5,9]; val h = [10,6,7,8,~8,5,9]: int list val g=[1.0,4.5, 5.6]; val g=[1.0, 4.5, 5.6]: real list val h2=5::h; val h2=[5,10, 6,7,8,~8,5,9]: int list val g2=6.87::g; val g2=[6.87, 1.0, 4.5, 5.6]: real list 2005/12/19 プログラミング D -ML- 6

2 リストを操作する関数 hd と tl hd hd g; val it= 1.0:real hd g2; val it=6.85:real tl g2; val it=[1.0, 4.5, 5.6]: real list 2005/12/19 プログラミング D -ML- 7 tl 要素のないリスト ( 空リスト ) hd [3]; val it=3:int tl [3]; val it=[]: int list hd []; tl []; いずれもエラー []; val it =[]: a list 要素 1 個のリストの先頭要素を除いた残りは空リスト [] ( 先頭要素を除く前の型と同じ型 ) 空リストの先頭要素およびそれを除いた残りは存在しない ( エラー ) 空リスト定数 [] は多相型 'a list 2005/12/19 プログラミング D -ML- 8 : 2 つのリストを連結する 2 項演算子 [4,5,6]; val it=[1,2,3,4,5,6]:int list [1]@[2,3,4]; val it=[1,2,3,4]: int list 1@[2,3,4]; エラー 1::[2,3,4]; val it =[1,2,3,4]: int list 2 つのリスト L1,L2 に対して L1@L2 は L1,L2 の被演算子は両方ともリストでなければならない :: はリストの先頭に要素を追加する 2 項演算子 2005/12/19 プログラミング D -ML- 9 リストの別表現 [] の代わりに nilも可 nil val it=[1,2,3]:int list 一般に [x1,x2,x3,..,xn] = x1::x2::x3:: ::xn::nil 4::3::2::1::nil val it=[4,3,2,1]: int list 2005/12/19 プログラミング D -ML- 10 リスト処理関数の例 引数のリストを逆順にする関数 reverse reverse([1,2,3]); val it = [3,2,1]: int list reverse([true, true, false]); val it = [false, true, true]: bool list fun reverse L = if L = nil then nil else reverse (tl [(hd L)]; val reverse = fn: ''a list -> ''a list reverse は任意の型のリストを引数にとり任意の型 但し引数と同じ型 のリストを返す関数 2005/12/19 プログラミング D -ML- 11 hd reverse の考え方 基底段階 L=nil の場合 そのまま nil を値にすればよい 帰納段階 Lの先頭要素を除いたリストが既に逆順になっていると仮定すると Lの先頭要素を後ろにもってくれば全体が逆順になる nil reverse nil tail reverse 2005/12/19 プログラミング D -ML- 12

3 reverse の等式トレース reverse([1,2,3]) == if [1,2,3]=nil then nil else reverse (tl [(hd [1,2,3])] == [1] == (if [2,3]=nil then nil else reverse(tl [(hd [1] == [1] == (if [3]=nil then nil else reverse(tl [(hd [1] == reverse(nil)@[3]@[2]@[1] == (if nil=nil then nil else reverse(tl [(hd nil)])@[3]@[2]@[1] == == [3,2,1] リスト処理の基本 与えられたリストが空か否か? 空でなければ先頭要素と残りのリストに分解 パターンマッチングにより簡潔に記述 case L of nil => E1 (h::t) => E2(h,t) E1 : Lが空のときに返す式 E2(h,t) : Lが空でないときに返す式 (Lの先頭要素 hおよび残りのリストtから計算 ) Lと nil, (h::t) をそれぞれパターンマッチング Lと一致するようにh,tに値が束縛される 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 14 fun length L = case L of nil => 0 (h::t) => 1+length t; リストLの長さを計算する関数 以下の定義とほぼ等価 fun length L = if L=nil then 0 else 1+length (tl L); ただし 型推論により リストの要素はeqtype L=nilより リストLはeqtype リストは 要素の型がeqtypeであるときのみeqtype パターンマッチングを使うと リストの要素が eqtype でなくても適用可能 2005/12/19 プログラミング D -ML- 15 パターンマッチングを用いない場合 fun length L = if L=nil then 0 else 1+length (tl L); val length = fn : ''a list -> int length [1.0,2.0,3.0]; エラーメッセージ real 型は eqtype ではないので 2005/12/19 プログラミング D -ML- 16 パターンマッチングを用いた場合 fun length L = case L of nil => 0 (h::t) => 1+length t; val length = fn : 'a list -> int length [1.0,2.0,3.0]; val it = 3 : int case 文 case exp of pat 1 => exp 1 pat 2 => exp 2 pat n => exp n 式 exp とパターン pat 1,,pat n を順番にパターンマッチングし pat i がマッチしたら exp i を評価して返す exp i 以外は評価されない ( 特殊構文 ) 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 18

4 リストのパターン nil 定数 変数 pat 1 ::pat 2 [pat 1,,pat n ] _ 匿名パターン ( 任意の式にマッチ ) 組とリストのパターン fun zip x = case x of (h1::t1,h2::t2) => (h1,h2) :: zip (t1,t2) _ => nil; リストの組 x を組のリストに変換して返す zip ([1,2,3],[4,5,6]); val it = [(1,4),(2,5),(3,6)] 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 20 組とリストのパターン fun unzip x = case x of (h1,h2)::t => let val (L1,L2) = unzip t in (h1::l1,h2::l2) end _ => (nil,nil); zip の逆変換を行う unzip [(1,4),(2,5),(3,6)]; val it = ([1,2,3],[4,5,6]) 2005/12/19 プログラミング D -ML- 21 パターンを用いた関数定義 fun 宣言では case 文を省略した以下の記法が使用可 fun f pat1 = exp1 f pat2 = exp2 f patn = expn case 文を用いた以下の記述と等価 fun f x = case x of pat1 => exp1 pat2 => exp2 patn => expn 2005/12/19 プログラミング D -ML- 22 パターンを用いた関数定義 関数式でも case 文を省略した以下の記法が使用可 fn pat1 = exp1 pat2 = exp2 patn = expn case 文を用いた以下の記述と等価 fn x = case x of pat1 => exp1 pat2 => exp2 patn => expn 2005/12/19 プログラミング D -ML- 23 パターンを用いた関数定義 例 ) fun length nil = 0 length (h::t) = 1 + length t; cf.) fun length x = case x of nil => 0 (h::t) => 1 + length t; 2005/12/19 プログラミング D -ML- 24

5 練習問題 13 リストを逆順にして返す関数 reverse を パターンを用いて定義せよ リスト処理の基本関数 hd : 'a list -> 'a リストの先頭要素を返す tl : 'a list -> 'a list リストの先頭を除いた残りのリストを返す : 'a list * 'a list -> 'a list 2 つのリストを結合したリストを返す 2 項演算子 ( 右結合 結合力 5) 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 26 リスト処理の基本関数 null : 'a list -> bool リストが空なら真 さもなければ偽を返す rev : 'a list -> 'a list リストを逆順にしたものを返す length : 'a list -> int リストの長さを返す リスト処理の基本関数 map : ('a -> 'b)-> 'a list -> 'b list 与えられた関数をリストの各要素に適用し その結果のリストを返す 集合 Aの関数 fによる像 f(a) を求める 例 ) リストの各要素を 2 倍 map (fn x => x*2) [1,2,3,4]; val it = [2,4,6,8] 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 28 例 : クイックソート split の実現 qsort [5,4,9,3,6,2,7,5,8] split [4,3,2] [5,5] [9,6,7,8] qsort qsort [2,3, [2,3,4,5,5,6,7,8,9] 2005/12/19 プログラミング D -ML- 29 fun split(b, nil) = (nil,nil, nil) split(b, x::xs) = let val (S,M,L) =split(b, xs); in if b > x then (x::s, M, L) else if b<x then (S, M, x::l) else (S, x::m, L) end; val split = fn: int* int list -> int list * int list * int list split(3, [2,1,4,3,5]); val it = ([2,1],[3],[4,5]) : int list * int list * int list 2005/12/19 プログラミング D -ML- 30

6 クイックソートの実現 as を使ったパターン fun qsort(nil) = nil qsort(x::xs) = let val (S,M,L) = split(x, x::xs); val S = qsort(s); val L = qsort(l); in S@M@L end; fun qsort(nil) = nil qsort(list as x::xs) = let val (S,M,L) = split(x, list); val S = qsort(s); val L = qsort(l); in S@M@L end; 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 32 L nil L nil sum(nil)=0 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 34 L 5 nil sum([5])=5+sum(nil) =5+0=5 L 3 5 nil sum([3,5]) =3+sum([5]) =3+5=8 2005/12/19 プログラミング D -ML /12/19 プログラミング D -ML- 36

7 L nil sum([2,3,5])=2+sum([3,5])=2+8= /12/19 プログラミング D -ML- 37 一般的な構造 リストがnilならば特定の値 Zを返す リストがh::tの形ならば 部分リストtに対する値 Rを再帰的に計算 hとrに対して特定の演算 f(h,r) を適用し 得られた結果を返す sum(l) の場合 : Z=0 f(h,r)=h+r 2005/12/19 プログラミング D -ML- 38 練習問題 14 以下の各関数に対して 対応するZとf(h,R) を与えよ length(l) null(l) reverse(l) map g L L' [ ヒント :Lのみに着目する] 2005/12/19 プログラミング D -ML- 39 汎用のリスト処理関数 リスト処理の構造を実現する汎用リスト関数 foldr ( 高階関数 ) fun foldr f Z nil = Z foldr f Z (h::t) = f(h,foldr f Z t); sum(l) の foldr を使った定義 fun sum L = foldr (fn (h,r) => h + R) 0 L; 又は fun sum L = foldr (op +) 0 L; 2005/12/19 プログラミング D -ML- 40 練習問題 15 以下の各関数を高階関数 foldrを用いて定義せよ length(l) null(l) reverse(l) map g L 2005/12/19 プログラミング D -ML- 41

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