「仮想速度の原理」再考：ラグランジュの力学の起源について

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そうさだい
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1 仮想速度の原理再考ラグランジュの力学の起源について 2007 年 5 月 26 日有賀暢迪京都大学文学研究科 ( 博士後期課程科学哲学科学史専修 )

2 ラグランジュの解析力学 18 世紀における力学の解析化の頂点初版 1788 年第 2 版年 ( 大幅な改訂 ) 第 1 部 : 静力学第 2 部 : 動力学静力学 : 仮想速度の原理 (principe des vitesses virtuelles) 今日では仮想仕事の原理と呼ばれるもの動力学 :PVV を運動に拡張して用いるラグランジュの力学に関するこれまでの研究では PVV の導入については注目されてこなかった

3 仮想速度 ( 仕事 ) の原理の歴史 PVV の歴史についての定説アリストテレスヨルダヌスガリレオデカルト etc. 最初に一般的な形で述べたのはヨハンベルヌーイヴァリニョン宛書簡 (1717); ヴァリニョン新しい機械学 (1725) ラグランジュはベルヌーイが定式化した PVV を利用したこの見方について再考する Barroso Filho, La mécanique de Lagrange (Karthala, 1994). 形式化という観点からラグランジュの力学の形成を考察

4 本発表の主張 1. ラグランジュの PVV の本質は数学的形式でありそれはベルヌーイやヴァリニョンには無い 2. ラグランジュによる PVV の数学的形式化の起源はオイラーの仕事の中に見出せる対象とするラグランジュの著作月の秤動についての研究 ( 出版 1777; 執筆 1763) 月の秤動の理論 ( 出版 1782) 解析力学 ( 初版 ;1788)

5 ラグランジュの PVV(1) PVV の一般的な表現つりあっている系に小さな運動 ( 仮想速度 ) を与えたとするとき力と移動距離の力方向成分とをかけた量の総和はゼロになる Pdp + Qdq + Rdr + = 0 この式がラグランジュの議論の出発点これは通常仮想速度の原理と呼ばれているものの一般化である

6 ラグランジュの PVV(2) PVV の通常の表現力が互いにつりあいをなすときそれらが加えられている点のこれらの力の方向において測った速度はそれらの力に逆比例するダランベールがつりあいの一般原理と呼ぶものと同じラグランジュもダランベールの動力学論 (1743; 1758) に言及通常の PVV は 2 つの力に関する原理 cf. 一般的な PVV は任意の数の力に適用可能

7 ラグランジュの PVV(3) 通常の PVV から一般的な PVV を導く通常の PVV: 力と速度が逆比例 P : Q = dq : -dp Pdp + Qdq = 0 Pdp + Qdq + Rdr + = 0 一般的な PVV: 力と速度 ( 距離 ) の積の和がゼロラグランジュは通常の PVV に数学的形式を与えその一般化として新しい原理を提示しているこの新しい原理はベルヌーイが述べていたと解釈

8 ヨハンベルヌーイの PVV ヴァリニョン宛書簡 (1717) での主張つりあっている系に小さな運動を与えたときそれぞれの力の前進 / 後退を仮想速度と名づけ力と仮想速度との積を精力 (énergie) と呼ぶこのとき正の精力の和は負の精力の和に等しい ( 正 / 負は力と仮想速度とのなす角度で決まる ) ベルヌーイは言葉で述べただけで数学的形式もこの原理の具体的な使い方も示していない

9 ヴァリニョンと PVV 新しい機械学 (1725) でベルヌーイの主張を証明ベルヌーイに従って量を線分で表す仮想速度 : Aa P, Q の前進後退 : Ap, Aa 精力 : P Ap( 正 ), Q Aa( 負 ) P Ap = Q Aa を幾何学的に証明滑車てこねじといった問題において個別に例証

10 オイラーの静止の法則オイラーは最小作用の原理に関連して静止の法則を述べるモーペルテュイ氏の静止と運動の一般原理のあいだの調和 (1751) 系が静止しているときには, P 1 P 2 P dp の総和が最小である (P: 物体がある点に向かって引かれる力, p: その点から物体までの距離 ) p1 p 3 P 3 p 2

11 オイラーによる静止の法則の利用オイラーは静止の法則から静力学の様々な原理が導けることを示す Pdp + Qdq = ( 最小 ) Pdp + Qdq = 0 [ ] ここに dq = -dp sinθ を代入 Q = P sinθ [ ] は一般的な PVV! 代数的操作はラグランジュの議論の本質的なテクニック静止の法則がラグランジュの PVV の起源

12 結論 : ラグランジュによる PVV の導入 (1) ラグランジュは通常の PVV とベルヌーイの主張を数学的形式によって結びつけた通常の PVV Pdp + Qdq = 0 翻訳証明解釈ベルヌーイの主張 Pdp + Qdq + Rdr + = 0 PVV の数学的形式がラグランジュの議論の本質ベルヌーイやヴァリニョンには無い

13 結論 : ラグランジュによる PVV の導入 (2) ラグランジュの PVV の数学的形式はオイラーの静止の法則で与えられていたオイラーは仮想速度という言葉を使わずベルヌーイにも言及していないが数学的形式に関してはラグランジュの PVV と同等ラグランジュは PVV の事例として静止の法則にも言及数学的形式という観点からすればラグランジュの PVV の起源はオイラーに求めるべき

14 展望課題解析力学はオイラーの延長線上にある? 通常はダランベールの力学から発展したものとされる数学的形式が力学にもたらしたもの? ラグランジュの力学を歴史の中にどう位置づけるか

15 一次文献 (1/2) Jean le Rond d Alembert, Traité de Dynamique, Paris: David, [Rep., Bruxelles: Culture et civilisation, 1967.] Jean le Rond d Alembert, Traité de Dynamique, nouv. [2nd] éd., Paris: David, [Rep., Sceaux: J. Gabay, 1990.] Leonhard Euler, Harmonie entre les principes généraux de repos et de mouvement de M. de Maupertuis, Leonhardi Euleri Opera omnia, ser.ii, vol.v, pp [Originally pub. in Histoire de l Académie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, 1751 (pub. 1753), pp ] Joseph Louis Lagrange, Recherches sur la libration de la Lune, dans lesquelles on tâche de résoudre la Question proposée par l'académie Royale des Sciences, pour le Prix de l'année 1764, Œuvres de Lagrange, t.vi, pp [Originally pub. in Prix de l'académie Royale des Sciences de Paris, 1764 (pub. 1777)].

16 一次文献 (2/2) Joseph Louis Lagrange, Théorie de la libration de la Lune, et des autres phénomènes qui dépendent de la figure non sphérique de cette planète, Œuvres de Lagrange, t.vi, pp [Originally pub. in Nouveaux Mémoires de l'académie Royale des Sciences et Belles-Lettres, 1780 (pub. 1782), pp ] Joseph Louis Lagrange, Méchanique analitique, Paris: Desaint, [Rep., Mécanique analytique, Sceaux: J. Gabay, 1989.] Pierre Varignon, Nouvelle mécanique, ou, statique, dont le projet fut donné en M.DC.LXXXVII, Paris: Claude Jombert, 1725.

17 主要二次文献有賀暢迪オイラーの変分力学科学史研究第 45 巻 (2006 年 ), 頁. Wilton Barroso Filho, La mécanique de Lagrange : principes et méthodes, Paris: Karthala, Wilton Barroso Filho & Claude Comte, La formalisation de la dynamique par Lagrange ( ), in R. Rashed ed, Sciences à l époque de la révolution française : recherches historiques (Paris, 1988), pp Craig G. Fraser, J. L. Lagrange s early contributions to the principles and methods of mechanics, Archive for History of Exact Sciences, vol.28 (1983), pp Dionigi Galletto, Lagrange e le origini della Mécanique Analytique, Giornale di Fisica, vol.32 (1991), pp

Title < 翻訳 > J L ラグランジュ解析力学 ( 抄 ) : 釣りあいと運動の一般公式 Author(s) 有賀, 暢迪 Citation 科学哲学科学史研究 (2011), 5: Issue Date URL

Title < 翻訳 > J L ラグランジュ解析力学 ( 抄 ) : 釣りあいと運動の一般公式 Author(s) 有賀, 暢迪 Citation 科学哲学科学史研究 (2011), 5: Issue Date URL Title < 翻訳 > J L ラグランジュ解析力学 ( 抄 ) : 釣りあいと運動の一般公式 Author(s) 有賀, 暢迪 Citation 科学哲学科学史研究 (2011), 5: 127-148 Issue Date 2011-02-28 URL htts://doi.org/10.14989/137415 Right Tye Deartmental Bulletin Paer Textversion