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1 情報デザイン専攻 画像情報処理論及び演習 - フィルタ処理 エッジ強調 - 差分法 変分法と平滑化 エッジ S Yoszw: s@re.p 今日の授業内容 勾配とエッジの基礎 : 差分法.. plcと拡散方程式の基礎 : 変分法. 第 6 回講義水曜日 限教室 68 吉澤信 s@re.p 非常勤講師 大妻女子大学社会情報学部. 演習 : エッジ強度抽出と拡散方程式. 今日の演習は第 回のレポートで出すので みなさん頑張ってくださいねー p^^q S Yoszw: s@re.p 復習 : 勾配 Gre 勾配 Gre: スカラー場の各点で変化が最大の方向 wpe. と変化率を大きさに持つベクトル場. 勾配作用素 : 勾配ベクトルの表記 :. エッジの大きさ= 勾配の大きさ : 階微分は接線 傾き. S Yoszw: s@re.p 重要 : 画像のエッジ 画像の勾配 : 画像を高さ関数と考えたときの勾配ベクトル場 画像のエッジ部分で大きい勾配ベクトルをもつ画像. 勾配ベクトルの方向 : 画像エッジと垂直な方向. wpe. 勾配ベクトルの大きさ = エッジ強度 : rc / wpe. 方向微分 方向微分 入力 エッジ強度画像 S Yoszw: s@re.p 復習 :plc plce-posso 方程式 ラプラス作用素 plc: 滑らかさを記述. plce 方程式 : 自然科学の多くの分野で重要. Posso 方程式 : plce 方程式の右辺が関数. Sorce 画像 Tre 画像 J. S e l. SGGRAPH. Posso 方程式を解く! S Yoszw: s@re.p 微分 導関数 の近似 : 差分法 微分の定義 : lm テーラー展開 :...!... c c.!!!...!! 次以降の項で打ち切ると 誤差はの 乗に比例 : 階微分の前進 次差分近似 後退 次差分近似 : 階微分は接線

2 微分 導関数 の近似 : 差分法 S Yoszw: s@re.p 高階微分の近似はより多くの評価点が必要 : 例えば 階微分の前進 次差分近似 : 階の前進 次差分近似 誤差は の 乗に比例 : 階微分はラプラシアン 次精度の差分近似は 階の微分を + の評価点で近似する. 同様に 次精度の差分近似は 階の微分を + の評価点で近似する 次のスライド. 微分 導関数 の近似 : 差分法 S Yoszw: s@re.p 高次の近似もより多くの評価点が必要 : 例えば 階微分の前進 次差分近似 :!!!! 代入注目! の 乗の誤差が の 乗の誤差になる! 階の前進 次差分近似 階の前進 次差分近似微分 導関数 の近似 : 差分法 S Yoszw: s@re.p 誤差は の 乗に比例 : 中心差分を使うと 評価点の数は同じで より高精度になる : 例えば 階微分の中心 次差分近似 : 階微分はラプラシアン / / / / / /!! 階の微分の前進 次差分 : 微小距離が異なるときの中心差分近似 Gre と plc の離散化 差分近似 S Yoszw: s@re.p }... {... 次精度前進 : 次精度中心 : 画像ではこれが基本. 数学的には << だが 画像などは = を良く使う. Gre と plc の離散化 差分近似 S Yoszw: s@re.p 下記 階微分の中心差分近似の分母になぜ が出てくるのかは 階微分の中心差分と同様に計算するとわかる. / / / / / / / /!! S Yoszw: s@re.p 画像では の作用素 オペレータ 微分フィルタはエッジを検出できるが ノイズに対しても敏感. ノイズを抑えながらエッジ抽出 : 微分と平滑化の組み合わせ. 横と縦の組み合わせ. CG-ARTS 協会エッジ強度画像を白をエッジとするか 黒をエッジとするかは 表現の違い. 前進 次後退 次中心 次前進 次後退 次中心 次

3 S Yoszw: 微分と平滑化オペレータの合成 プリューウィットオペレータ : - 方向微分 : 横に微分 + 縦に平滑化. - 方向微分 : 縦に微分 + 横に平滑化. : 畳み込み S Yoszw: s@re.p 重要 : ソーベルオペレータ 最もよく使われている一階の偏微分オペレータ : - 平滑化を中央に重み付. CG-ARTS 協会 CG-ARTS 協会 S Yoszw: s@re.p 勾配の細線化による線検出 勾配強度画像を細線化してもエッジ検出が可能. S Yoszw: s@re.p 階微分オペレータ plc 次の中心差分で plce オペレータの 連結での近似 : CG-ARTS 協会中心 次 CG-ARTS 協会 S Yoszw: s@re.p 階微分オペレータ plc 8 連結では? 6.5 S Yoszw: s@re.p 重要 : 平滑化とエッジ 平滑化 滑らかにする事 の意味は? 前回の講義でやったノイズと何の関係があるの? 前々回の周波数分解との関係は? 平滑化 ow P ノイズの除去 エッジの削除.5 6 中心 次 8 連結 上下左右の は 斜めの は.5

4 変分法 Vrol Clcls: 極小 極大を汎関数で停留条件を満たす様に求め 対応する偏微分方程式を導出. 汎関数 col: 関数の関数. 停留条件 : 第一変分がゼロ 関数での 階微分がゼロ. 復習 : 極小 極大 : 変分法 m S Yoszw: s@re.p 例 エッジ強度の積分 : 極大値極小値 ler-re 方程式 積分の領域 : の境界曲線ではとする. 変分法 S Yoszw: s@re.p m 摂動 微小変化 した比較関数で置き換え その偏微分をゼロとする : 全微分 第一変分変分法 S Yoszw: s@re.p 準備 : グリーンの定理 : 面積分を線積分に変換. 積分の定義域 : の境界曲線ではなので. グリーンの定理 wpe 変分法 S Yoszw: s@re.p がゼロになるためには 下記偏微分方程式を満たす : 変数で 階微分の汎関数に対する公式 : m ler-re 方程式変分法 5 S Yoszw: s@re.p エッジ強度の積分エネルギーの場合は : m つまり plce 方程式の解がエネルギーを最小化する : 変分法 6 S Yoszw: s@re.p 例えば Posso 方程式は : m つまり Posso 方程式の解がエネルギーを最小化する :

5 5 重要 : 変分法によるエネルギー最小化 plce 方程式はディリクレ エネルギーを最小化する事で導かれ その解は調和写像と呼ばれる. ディリクレ エネルギー : 勾配の大きさを積分 エッジの大きさの和 = 凹凸具合 = ノイズの大きさ. m S Yoszw: s@re.p 変分法により plce 方程式がディリクレ エネルギーの ler-re 方程式として導かれる 定義域境界 : 定義域 : 境界条件 : 凹凸具合が最小化 = 滑らかな 調和な 解 = 平均化. 重要 : 拡散方程式 ディリクレエネルギーの最小化過程は拡散方程式 熱伝導方程式 として記述出来る : 時間の変数を加えて関数 画像 を拡張しその時間方向への接線 時間変数での一階微分 が拡散のスピードになる. S Yoszw: s@re.p 拡散過程は 時間の極限で plce 方程式を満たす = 解は調和関数となる. 例 : クーラーを止めたら 温度は一定 又は周りの部屋の温度の平均 になる. plc と DoG og S Yoszw: s@re.p. DoG wpe ep lm DoG og og: plc o Gss. DoG: Derece o Gss. og 差分による拡散方程式の離散化 S Yoszw: s@re.p.5 6 時間は 前進 次差分近似 :epslo は微小時間. 連結 8 連結 空間は中心 次差分近似 : = 差分の陽解法と陰解法 S Yoszw: s@re.p 陽解法は 陰解法は 注目! 連立方程式となる : A A A なら行列の対角成分は 非対角成分は か - の疎な行列になる. 差分の陽解法と陰解法 S Yoszw: s@re.p 画像の各画素に D を = s+ と与えると s s s s s s s s s s s s は s s となる ここで の行列を考える. s s

6 S Yoszw: S Yoszw: 差分の陽解法と陰解法 行にはゼロでない要素が5つで対 角成分が- それ以外は: ラプラ ス行列とも呼ばれる. s s フィルタの繰り返し適用 s s A ss ss 行列 A の 対角成分 は 非対角成分 は 0か-の 疎な行列に なる. S Yoszw: s@re.p 陰解法では絶対安定だが 陽解法は微 小時間epsloが大きい値は解が不安 定になるクーラン条件. 演習では簡単 の為陽解法を使う. ler or ero { mp ler ; mp; } S Yoszw: s@re.p 復習 エッジ強調フィルタ空間領域 plcオペレータによるエッジ強調 周波数領域でのエッジ強調フィルタと同様に空間領域で も 元画像 元画像-平滑化画像でエッジ強調画像を 作成可能. plcをたすと平滑化 なので1から引いたオペレ ータは鮮鋭化エッジ強調. [] から [c] を引くと H emp v H v H low v - = 元画像 元画像 エッジ強調画像 平滑化に用いた smスケールでの エッジ強度画像 絶対値 反転 CG-ARTS協会 連結 8連結 平滑化画像 Gss エッジ画像 高周波の バンド画像 S Yoszw: s@re.p この8連結は差分 法的には精度が 悪い近似. S Yoszw: s@re.p plcオペレータによるエッジ強調 plcオペレータによるエッジ強調 Mlresolol Mesとして3D形状への応用もある. M. c e l SGGRAPH 95. CG-ARTS協会 CG-ARTS協会 多重解像度解析などの周 波数フィルタと原理は同じ. A. Koovs e l. SGGRAPH.. Gsov e l SGGRAPH 99. 6

7 S Yoszw: 数理モデリング 解析の基本 問題 要求 エネルギー 積分方程式 エネルギーを考える 設計. 変分法. ギザギザを滑らかにしたい : ノイズを細かいエッジと考えると m エッジの大きさの和を最小化. 数値解法で実際に計算する. 偏微分方程式 数値解析 差分法等. 線形化 連立方程式 数値解法. 結果 S Yoszw: s@re.p 演習 : 平滑化 エッジ 演習 7-: エッジ強度画像の作成. 演習 7-: 拡散方程式による平滑化フィルタの作成. は Repor6 の内容です 今日〆切の Repor5 が出来ていない人は質問してください! S Yoszw: s@re.p 演習 7- S Yoszw: s@re.p 演習 7- エッジ強度画像の作成 :.zp 内の eme.c の中にあるコメントに従ってソーベル作用素を使った勾配強度画像を生成するプログラムを作成しましょう. 拡散方程式による平滑化フィルタの作成 :.zp 内の Dso.c の中にあるコメントに従って拡散方程式による平滑化フィルタを作成しましょう. 微小時間 epslo=.5 で繰り返し 5 で実行してみましょう. 繰り返し 5 回繰り返し 回繰り返し 5 回繰り返し 回 繰り返し 5 回 回 回 回 回 5 回 回 S Yoszw: s@re.p 来週の予定 特徴保存フィルタ : Noler Dso Blerl & No-ocl Mes フィルタ. 7

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