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1 物性物理学 IA 平成 21 年度前期東京大学大学院講義 東京大学物性研究所高田康民 2009 年 4 月 10 日 -7 月 17 日 (15 回 ) 金曜日 2 時限 (10:15-11:45) 理学部 1 号館 207 号室 講義は自己充足的 量子力学 ( 第 2 量子化を含む ) 統計力学 場の量子論のごく初歩を仮定 最後の約 10 分間は関連する最先端の研究テーマを雑談風に紹介する ( フォーマルな導出は行わず 参考文献を挙げる程度 ) レポートはポイント制 ( 合計 4 点がミニマム ) 講義プラン 量子物性論の基礎第一原理のハミルトニアンに基づいた量子多体理論の立場から体系的に解説する 1) 4 月 10 日 : 第一原理からの量子物性その出発点としての1サイト問題 2) 4 月 17 日 : 凝集機構理解への出発点 2サイト問題 : 波動関数によるアプローチ 3) 4 月 24 日 : 断熱近似とその限界電子運動と原子核運動の分離 4) 5 月 1 日 : 巨視系理解への出発点場の量子論的アプローチ 5) 5 月 8 日 : 密度汎関数理論波動関数的世界観から密度的世界観へ 6) 5 月 15 日 : 固体電子論周期ポテンシャル中の1 電子問題 7) 5 月 22 日 : NFE 近似自由電子描像のアプローチ 8) 5 月 29 日 : Tight-Binding 近似バンド描像からボンド描像へ 9) 6 月 5 日 : 結晶構造と凝集機構電子構造の個別解説 10) 6 月 12 日 : 輸送問題準古典近似とフェルミオロジー 11) 6 月 19 日 : グリーン関数法 1 有限サイト系の自己エネルギー 12) 6 月 26 日 : グリーン関数法 2 角度分解光電子分光と無限系 13) 7 月 3 日 : 多電子系の動的応答密度応答関数と誘電関数 14) 7 月 10 日 : 固体中の光学応答動的構造因子 15) 7 月 17 日 : 電子フォノン複合系ポーラロン問題 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 1 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 2 多電子系の動的応答 密度応答関数と誘電関数 ゆらぎと密度応答 1) 久保公式 2) 誘電関数と分極関数 3) 自由電子系の分極関数と RPA 交換相関効果と局所場補正 1) 圧縮率 2) スピン帯磁率 3) 電荷ゆらぎによるバーテックス補正 4) スピンゆらぎによるバーテックス補正 熱平衡状態 : 線形応答 H Z = Tr e H = e 密度行列 : (H) e = e 外場をかけて (H H+H (t)) ( 熱平衡状態から強制的 にずらせた時の系の振る舞いを 摂動項 H (t) が小さい として その効果の 1 次の範囲で調べる ( 線形応答 ) この際 熱平衡からのズレは小さく すぐに元に戻ると仮定する 逆に言えば 系の安定性のチェックになる あるいは 2 次相転移の可能性を調べるツールになる 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 3 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 4

2 線形応答理論 久保公式 線形応答なので 各状態の重ね合わせで考える (R) 外場の効果でズレた平均値 B は熱平衡状態における (R) 熱ゆらぎの大きさを表す量である Q BA で与えられる 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 5 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 6 温度応答関数 誘電応答 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 7 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 8

3 誘電関数と分極関数 自由電子ガスの密度応答関数 ext に対する応答関数が Q に対する応答関数が 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 9 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 10 リンドハルト (Lindhard) 関数 フェルミ流体の特徴的性質 極限 q 極限 ( 注 ) RPA: Random Phase Approximation 乱雑位相近似 q は第一量子化では j exp(iq r j ) の形であるが いくつかの密度演算子の積の熱平均を取るときに 違うqを位相因子として持つ部分は位相が乱雑であるためにキャンセルアウトするとして無視する近似 (0) qの表式で分母がゼロになるところは 系の個別励起領域を与える 一方 qになるところは 系の集団励起 ( プラズモン ) を与える 一般的に般的に 分極関数 (R) q の性質は (1) 極限では (R) q n q 2 t m 2 : f- 総和則 (2) q 極限では (R) q n 2 t : 圧縮率総和則を満たすので q は (R) qの真性特異点 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 11 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 12

4 レポート33 33(3 次元系で1 ポイント 1 次元 2 次元系でもう1 ポイント ) 圧縮率 F= t f 0 (N/ t )=N 0 (r s ) フェルミ圧力による圧縮率 ( 注 ) 非圧縮液体 : : の微小変化で n は不変 その密度は その近傍の密度と比べて相対的に安定である (exラフリン状態) 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 13 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 14 スピン帯磁率 圧縮率とスピン帯磁率の統一的な見方 変数変換 :n r s n n ( 注 ) DFTの考え方では 電子ガスの中にあらゆる相転移の要素は含まれていて その要素の顕在化のために外部一体ポテンシャルがある 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 15 ハートレー フォック近似 ( 交換効果のみを考慮 ) F F r s 相関効果:をより増大させ を減少させる 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 16

5 RPAにおける誘電応答 RPA における誘電応答 RPAを越える 局所場補正 RPA を越える 局所場補正 局所場補正 という概念 局所場補正 という概念 マクロに平均された電場がそのまま電子に働く近似 マクロな電場 ＲＰＡの有効電場 と電子に実際に働く有効電場とは違う その有効電場をマクロな電場からの補正という考え方で捉える Vfield = e Veff = e eff Vel-el 17 密度ゆらぎの局所場補正 18 密度ゆらぎの有効場 電子１個あたりの交換エネルギー 分極関数 分極関数 (q, ) = (0 (q, )/[1 G+(q)Q0(q, )] 電荷ゆらぎのバ テックス補正 電荷ゆらぎのバーテックス補正 交換部分の局所場補正 Gx(q) (q, ) = [1-G+(q)Q0(q, )]-1 相関部分の局所場補正 Gc(q) GxやGcの具体的な形は別の適当な理論から決めるが ここでは 鍵になる物理量として導入し それを使って理論を展開する 圧縮率総和則 limq 0 (q,0) = n2 t を満たすようにバー テックス補正を入れる あるいは そのようにG+(q)を決める 19 20

6 スピン応答関数 スピンゆらぎの局所場補正 z 軸方向の外部振動磁場 誘起磁化 スピン応答関数 G - (q) = G x (q) G c (q) 注意 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 21 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 22 交換効果と相関効果の物理的役割 レポート 34(2 ポイント ) 長距離クーロン斥力系における一般的様相 交換効果は電荷ゆらぎもスピンゆらぎも共に増強する 相関効果は電荷ゆらぎを増強し スピンゆらぎを抑制する 交換効果は電子分布の空間的非一様性を増強する 相関効果は電子分布の空間的非一様性を抑制する様性を抑制する 電子間の有効相互作用 V el-el を求める問題 : 電子間は 1 直接のクーロン斥力 2 電荷ゆらぎを介した引力 3スピンゆらぎを介した力 の和からなる 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 23 平成 21 年度物性物理学 IA( 講義 13) 24