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れれはなだて
5 years ago
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1 アメリカンアジアンオプションの価格の近似に対する計算幾何的アプローチ渋谷彰信, 塩浦昭義, 徳山豪 ( 東北大学大学院情報科学研究科 )

2 発表の概要アメリカンアジアンオプション金融派生商品の一つ価格付け ( 価格の計算 ) は重要な問題二項モデルにおける価格付けは計算困難な問題目的 : 近似精度保証をもつ近似アルゴリズムの提案アイディア : 区分線形関数を計算幾何手法により近似

3 問題の説明

4 オプションとは? オプション : ある資産 ( 株式債権通貨など ) を将来のある時点 ( 満期 ) で所定の価格 ( 行使価格 ) で売買する権利 ( 義務ではない ) コール : 買う権利, プット : 売る権利本発表ではコールのみ扱う例 : ヤフー株を年末に 50 万円で買う権利のコールオプション先行きの予測に応じた投資価格変動リスクに対する備え ( ヘッジング ) オプションの価格付けは実用上重要な計算問題

5 オプションのペイオフ例 : ヤフー株を年末に 50 万円で買う権利のオプション年末に株が 60 万円に値上がりオプションを使って株を 50 万円で買う ( 行使 ) すぐに 60 万円で売る 10 万円の儲け ( ペイオフ ) 年末に株が 40 万円に値下がりオプションは行使せずヨーロピアンオプションのペイオフ (S X) + =max{s X, 0} ペイオフは 0 万円 (S: 満期での株価 X: 行使価格 )

6 オプションの種類 ( その 1) 行使可能な時期による分類ヨーロピアン : 満期でのみ行使可能アメリカン : 任意の時点で行使可能 ( 早期行使が可能 ) 行使価格 X 資産価格 S ヨーロピアンオプションのペイオフ満期

7 オプションの種類 ( その 1) 行使可能な時期による分類行使価格 X ヨーロピアン : 満期でのみ行使可能アメリカン : 任意の時点で行使可能 ( 早期行使が可能 ) アメリカンオプションのペイオフアメリカンオプションのペイオフ資産価格 S 満期行使時期を上手に決定より多くのペイオフ

8 オプションの種類 ( その 2) ペイオフの決め方による分類行使価格 X 普通のオプション : 行使時点での資産価格により決定アジアンオプション : 行使時点までのペイオフが資産価格の変動による影響を受けにくい資産価格の平均値により決定平均値 A 資産価格 S 満期ヨーロピアンアジアンオプションのペイオフ > 0 ヨーロピアンオプションのペイオフ =0

9 オプションの種類 ( その 3) 4 種類のオプションヨーロピアンオプションアメリカンオプションヨーロピアンアジアンオプションアメリカンアジアンオプション ( 本発表で扱う ) 任意の時点で行使可能ペイオフの値は max{0, ( 過去の資産価格の平均値 ) ー ( 行使価格 )}

10 オプションの価格オプションの価格 = ペイオフの期待値 ( から利子を割り引いたもの ) この価格でないと無リスクで儲かる方法があるオプションの価格付け = ペイオフの期待値の計算

11 資産価格の確率モデル資産価格の動きをどう表現するか? ブラック - ショールズモデル ( 連続モデル ) 資産価格の動きを幾何ブラウン運動により表現確率微分方程式をたて, オプション価格を求める ( 解析的, 数値的 ) 2 項モデル ( 離散モデル ) 本研究で扱う資産価格の動きを 2 項木により表現動的計画法などによりオプション価格を計算

12 2 項モデル資産価格の動きを 2 項木により表現第 0 期価格 S 0 第 1 期価格 S 1 第 2 期価格 S 2 第 n 期 ( 満期 ) 価格 S n ud = 1 を満たす確率 p で us に上昇 us (1,0) u 2 S (2,0) (3,0) (3,1) 資産価格 S (0,0) 確率 1-p で ds に下落 ds (1,1) uds d 2 S (2,1) (2,2) (3,2) (3,3)

13 2 項モデル第 0 期価格 S 0 第 1 期価格 S 1 第 2 期価格 S 2 第 n 期 ( 満期 ) 価格 S n 根から葉へのパス資産価格の変動 (1,0) (2,0) (3,0) (3,1) (0,0) (2,1) 第 i 期で行使したときのアメリカンアジアンオプションのペイオフ (1,1) (2,2) (3,2) (3,3)

14 既存の結果, 問題の難しさ

15 オプションの価格付けヨーロピアンオプション, アメリカンオプション O(n 2 ) 時間で厳密値の計算が可能ヨーロピアンアジアンオプション厳密値の計算には指数時間が必要高精度の近似アルゴリズムが数多く提案されているアメリカンアジアンオプション厳密値の計算には指数時間が必要近似アルゴリズム :Hull-White(1993), Neave (1997) Chalasani et al.(1999), Dai et al.(2002) 精度保証付きの近似アルゴリズムは提案されていない

16 アメリカンアジアンオプションの難しさアジアン型ペイオフ値が資産価格の履歴に依存二項モデルのパスを列挙する必要性 ( 指数時間 ) (3,0) (2,0) (1,0) (3,1) (0,0) (2,1) (1,1) (3,2) 同じノードに到達するパスでも資産価格の平均値は異なる (2,2) (3,3)

17 アメリカンアジアンオプションの難しさアメリカン型最適な行使時期の決定が必要最適な行使時期 : 早期行使したときのペイオフ値行使を延期したときの期待ペイオフ値となったら行使 (1,0) (2,0) (3,0) (3,1) (0,0) 行使延期 (2,1) 行使延期 (1,1) 早期行使 (2,2) (3,2) (3,3)

18 アメリカンアジアンオプションの難しさアメリカン型最適な行使時期の決定が必要最適な行使時期 : 早期行使したときのペイオフ値行使を延期したときの期待ペイオフ値となったら行使 (1,0) (2,0) (3,0) (3,1) (0,0) 各ノードで期待ペイオフ値の計算が必要 (1,1) (2,1) (2,2) (3,2) (3,3)

19 提案するアルゴリズム

20 提案する近似アルゴリズム精度保証付きの近似アルゴリズム誤差 ε の近似値 ( 上界値 ) を O(n 4 /ε) 時間で求めるアイディア各ノードでの期待ペイオフ値は区分線形関数として表現可能区分線形関数は後進的な繰り返し計算により求められるより単純な区分線形関数により繰り返し近似厳密値の近似, 計算時間の削減

21 期待ペイオフ値の表現各ノードの期待ペイオフ値は, 過去の資産価格の合計値に関する区分線形関数により表現可能オプション価格の厳密値はノード (0,0) での期待ペイオフ関数の値 f 0,0 (S 0 ) として得られる期待ペイオフ値期待ペイオフ関数 T=S 0 +S 1 + +S i

22 満期のノードでの期待ペイオフ関数満期のノード : オプションを行使するか否かの選択肢 S n,0 fn j, ( T 傾き 1/(n+1) S 0,0 S 1,0 S 2,0 S 2,1 S n 1,0 S n,1 ) S 1,1 (n+1)x T S 2,2 S n, n

23 満期以外のノードでの期待ペイオフ関数満期以外のノード : オプションを早期行使するか延期するかの選択肢早期行使のときのペイオフ値 S i, j S i +1, j S i+ 1, j + 1 行使を延期したときの期待ペイオフ値

24 満期以外のノードでの期待ペイオフ関数早期行使のときのペイオフ値傾き 1/(i+1) (i+1)x T

25 満期以外のノードでの期待ペイオフ関数 T

26 満期以外のノードでの期待ペイオフ関数 T

27 オプション価格の厳密値の計算困難性区分線形関数の和において最悪の場合複雑度が 2 倍に増えるこの操作を第 (n-1) 期から第 0 期まで繰り返す指数時間 p T + (1-p) T T

28 提案する近似アルゴリズム各ノードで求めた区分線形関数を, 計算幾何手法を用いて近似する f i j, ( T) f i j, ( T) T T

29 近似のアイディア求めた区分線形関数 f i, j ( T) ( 1+δ) fi, j( T) に挟まれる区分線形関数を求める 1 回の操作で近似比 1+δ と ( 1+δ),( T) f i j f i j,( T) 第 (n-1) 期から第 0 期まで繰り返すと近似比 (1+δ) n < 1+ε δ =ε/ 2n

30 近似方法その 1 ( 1+δ),( T) f i j ( 1+δ) a 2 ( 1+δ) a 2 f i j,( T) ( 1+δ) a 1 計算時間 ( 1+δ) a ( 1+δ) a 0 0 ( 1+δ) a 1 a 2 a 1 a 0

31 近似方法その 2 同様の解析により ( 1+δ),( T) f i j f i j,( T) 計算時間 ( 1+δ) a ( 1+δ) a 0 0 ( 1+δ) a 1 a 1 a 0

32 実験結果 ( 近似比 ) ε=0.2 として実験, 厳密値との比を計算理論値 1.2 より大幅に良い近似比近似方法その 1 の精度はその 2 より精度がよい近似比 Alg1 Alg 期間 n

33 2 つの近似方法 ( 1+δ), ( T) f i j ( 1+δ), ( T) f i j f i j, ( T) f i j, ( T)

34 実験結果 ( 計算時間 ) 近似方法その 2 はその 1 に比べて非常に早い sec Alg1 Alg 期間 n

35 まとめと今後の課題まとめアメリカンアジアンオプションの価格付けに対する精度保証付きの近似アルゴリズム誤差 ε の近似値 ( 上界値 ) を O(n 4 /ε) 時間で求める今後の課題より良い誤差バウンドの証明より高速な近似アルゴリズムの構築

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Microsoft PowerPoint - mp11-06.pptx 数理計画法第 6 回塩浦昭義情報科学研究科准教授 shioura@dais.is.tohoku.ac.jp http://www.dais.is.tohoku.ac.jp/~shioura/teaching 第 5 章組合せ計画 5.2 分枝限定法組合せ計画問題組合せ計画問題とは : 有限個のものの組合せの中から, 目的関数を最小または最大にする組合せを見つける問題例 1: 整数計画問題全般