模試対策 ( 小問集合 ) 1 (2x-3)0 6 x 3 +3x 2 +2x-71 を展開して整理したときの, x 2 の係数は 0ア1 s 展開してx 2 が出てくるところだけ計算すればよい である 次不等式 ax +bx+c<0 や ax +bx+c>0 の左辺を因数分解できた場合

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1 模試対策 ( 小問集合 ) (-) + +- を展開して整理したときの, の係数は ア 展開して が出てくるところだけ計算すればよい 次不等式 ++c< や ++c> の左辺を因数分解できた場合 -- < の解は << -- > の解は <, < -+< を解け (-) < より << 上の矢印部分だけしか展開したときに の項が出てこないので よって, 係数は - 次方程式 ++c について D -cのとき D> のとき異なる つの実数解をもつ D のとき重解をもつ D< のとき実数解なし ( 異なる つの虚数解をもつ ) 次方程式 イ ++ は正の定数 が重解をもつとき, ア 重解をもつので D また D - - より - 整理して は正の定数と問題にあるので このとき, 重解 ( 次方程式の解のこと, ただし重解は解が つとなる ) は ++ + より重解は - であり, そのときの重解は mを正の定数とする 次方程式 -m+m+ が重解をもつとき,mの値は 絶対値の不等式の解 < > < を解け -<< の解は -<< の解は <-, < 次不等式 +-< の解は ア また, +-< を満たすすべてのが < を満たすような正の定数 の最大値は イ +-< より -<< また, < の解は -<< より のとき, 右図のように -<< を満たす すべての が < すなわち -<< を満たす よって正の定数 の最大値は - - ア であり, その重解は イ < 箱ひげ図 > 重解を持つので D,,,, 8, 9, D -m - m+ m -m-m-m+ より m-m+ mは正の定数とあるので m このとき, 元の式は -+9 となり - となるので 重解は ( ア ) ( イ ) 次関数 ++c の頂点, 軸を求めるには平方完成をします 次のような 回, 簡単な計算を行います 第 第 第 上の 小さい順 に並べたデータの 最小値 第 四分位数 中央値 ( 第 四分位数 ) 第 四分位数 9 最大値 これの つの数を つの図にしたものが 箱ひげ図 です ++c 半分の数が入る c よって, 頂点 8 -, - +c 軸 - 9 乗した数を引く の係数がではない場合, 例えば ++cの場合はのついた項を でくくる + + c + + c > 8 9? c + c / でくくった よって, 頂点 8 -, - +c, 軸 の頂点と軸を求めよ / カッコの中で平方完成 ( 半分, 乗をひく ) / 中カッコの中の式に をかける ( 展開 ) より頂点, -8, 軸 -+ の頂点と軸を求めよ より頂点, -, 軸, を定数とする 放物線 ++ の頂点の座標は, のとき, 8 9 * 四分位数は真ん中の数がないときは, 両隣の数の平均の値をとります,,, の中央値は ちょうど真ん中 がない 次の ア +. に当てはまるものを下の ~ のうちから つ選べ あるクラス 人に数学の小テストをした結果をまとめた次の資料のうち, ヒストグラムと 箱ひげ図が同じデータの分布を表しているものは ア ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) ア, イ ( 点 8 9 ) 8 9 ( 点 ) 問題の放物線の式を平方完成すると よって F よって, 頂点は 8 -, より,- に代入して - + 整理して ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) ( ア )- ( イ ) 8 9 ( 点 ) 8 9 ( 点 ) ( データが~ 点の生徒が多い 中央値 第 第 四分位数もその周辺にある ) --

2 模試対策 ( 個数の処理! 確率 ) np :n 個の中から 個選んで, さらに, その 個を並べる場合の数 人の選手の中から 人選んでリレーの走順を決めるときの場合の数 P 9 8 通り q 人の中から, まず 人選びますね さらに, その 人が 走から 走まで誰が走るかまで 決めろという文章ですよね なので n P のニュアンスと一致しています 確率 ( 物事が起こる頻度を表した数 ) の定義 該当する事象の数 問題の条件に当てはまるパターン 全事象の数 全パターン 袋の中に 円硬貨が 枚と 円硬貨が 枚入っている この袋の中から同時に 枚の硬貨 を無作為に取り出す 取り出した 枚の硬貨が 円硬貨 枚と 円硬貨 枚である確率を求めよ n :n 個の中から 個選ぶときの場合の数 人のグループの中から, 人代表を選ぶときの場合の数 ! 通り q 前問の文章と似ていますが, 人の中から 人選んだあとに, その人たちを並べるよう な文はないですね よって, n のニュアンスと一致します!: 個を並べる場合の数 から までの番号がかかれたカードを横一列に並べる並べ方! 通り qp, と違って, 選ぶというニュアンスはなく, ただ一列に並べるだけというニュアン スのときは!( 階乗 ) です 8 分母 ( 全パターン ) は袋に入っている硬貨から 枚取り出す取り出し方 8 よって, 全部で8 枚の中から 枚の取り出し方 8 また, 分子は 円硬貨 枚の中から 枚選んで さらに 円硬貨 枚の中から 枚選ぶ % % よって, 求める確率は % 8 上記のとき, 取り出した 枚の硬貨が 円硬貨 枚と 円硬貨 枚である確率を求めよ 次のものの総数を求めよ (),,c,d,e の 個の文字から異なる 個を選んで 列に並べるときの並べ方 () tingle の 8 文字すべてを 列に並べるときの並べ方 () 人の生徒の中から, 兼任は認めないで, 議長, 副議長, 書記を各 人選ぶときの選 び方 正五角形について, 次の数を求めよ () 個の頂点でできる三角形の個数 () P () 8!8!!!!!!! () P!!8 8 ()! 9 上記の例の説明より ( 分母 ) 8!! ( 分子 ) 円硬貨 枚の中から 枚選んでさらに 円硬貨 枚の中から 枚選ぶ % %!! よって, 求める確率は % 8 白玉が 個入っている袋がある コインを 枚投げて, 表が出れば赤玉を 個, 裏が出れば 白玉を 個, この袋に入れる操作を 回行い, 袋の中の玉の個数を 個にする さらに, こ の袋から 個の玉を同時に取り出し, 取り出された赤玉の個数を X とする () コインを 回投げた結果, 袋の中の玉が白玉 個になっている確率を求めよ ()X である確率を求めよ 和の法則, 積の法則 問題の文章に または を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を 足す とよい () コインが裏が出て さらに 裏が出て さらに 裏が出ると さらに を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を かける とよい 袋の中の白玉が つになる よって積の法則により レストランに 種の和食メニューと 種の洋食メニューがある 品だけ選ぶとき メニューの選び方は何通りあるか メニューは 和食 種 または 洋食 種あるので全部で +9 種類あるよって,9 通り選べる レストランのランチセットで食べ物 種類と, 飲み物 種類の中からそれぞれ 種類ず つ選べる ランチセットの注文の仕方は全部で何通りか セットは 食べ物 種類の中から選んで さらに 飲み物 種類の中から選ぶ % % 8 8 () X になるには, コインを 回投げて全部赤玉を入れる作業をしないといけない ( 袋に赤玉が 個 個だけしか入ってないなら絶対に赤玉を 個取れないですよね ) よって,X となるには コインが表が出て さらに 表が出て さらに 表が出る さらに 個 ( 白 赤 ) の袋から赤玉を 個を取り出せば X よって, 頼み方は全部で % 通り 桁の自然数のうち, 各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか () 奇数になる () 偶数になる () 一の位が奇数 さらに 十の位が奇数ならよい 一の位の数の選び方は,,,, 9 の 通りまた 十の位の数の選び方も同様に 通りより 表が出る確率は 個 ( 白 赤 ) の袋から赤玉を 個取り出す確率は 積の法則によい % % % 8 8 よって求める確率は % 通り () (i) 一の位が偶数さらに十の位が奇数 または (ii) 一の位が奇数さらに十の位が偶数 または (iii) 一の位が偶数さらに十の位が偶数 のとき問題の条件を満たす (i) は一の位の選び方が,,,,8 の 通り 十の位の選び方が,,,,9 の 通り よって % 通り (ii) は一の位の選び方が,,,,9 の 通り 十の位の選び方が,,,8 の 通り よって % 通り (iii) は一の位の選び方が,,,,8 の 通り 十の位の選び方が,,,8 の 通り よって % 通り よって,++ 通り 通り --

3 模試対策 ( 式の計算 ) ++cの解が, のとき, ++c<の解. << ++c>の解. <, < についての連立方程式 > - ( + -( - がある ただし,, は定数 (), のとき, 連立不等式 を解け () 連立不等式 の解が存在するための, の条件式をつくれ -+< を解け -+ の解は -- より, よって, << -+> を解け -+ の解は, 解の公式より $ U - $U よって, <-U, +U < 次の 次不等式を解け () -+> () ++< () --( () +-> () --> より <, < () ++< より -<<- () +-( より - (( () +-> より <-, < 絶対値の不等式 の解は $ < の解は -<< > の解は <-, < - < を解け -<-< -<< - < を解け - - よりそれぞれの辺に + して -<-< よりそれぞれの辺に + して -+<<+ -+ << + また, それぞれの辺を で割って -+ << + (), を代入すると - > ( ) - 数直線上に図示すると右図のようになるので -(( () > - ( + -( - それぞれの式を整理すると > - ( + -( - のそれぞれの式を整理すると > ( + -+ ) の式は右図 のときは解をもたない ( 範囲がダブるところが全くない ) なので 右図 のような状態でないといけない すなわち -+ (+ 両辺 倍して -+ ( + (+8 (+8 を満たさなければならない 図 図 つの不等式 +) -, +-< を同時に満たす整数 がちょうど 個 であるような の値の範囲を求めよ +) -.. ) - また, ) -. ) < より - << 問題の条件を満たすには 右図の状態になっていればよい よって -< - (- それぞれの辺に をかけて -<-(- それぞれの辺から 引いて -<-(- それぞれの辺を - で割ると >) (q 負の数で割ったので不等号の向きが逆になる ) (< --

4 模試対策 ( 図形と計量 ) 右図のとき, それぞれの つの辺の比を in h と定義する たて 斜辺,co h よこ 斜辺,tn h inh である直角三角形の図をかけ 斜辺が, たての辺が の直角三角形より h 次の三角比を満たす直角三角形の図をかけ () in h () co h < 補足 > たて よこ h よこの辺の長さは三平方の定理で求める よこの辺の長さを とおくと + より, () tnh U, c,, のとき, を求めよ 図をかくと角 と辺 が両方分かっているので 正弦定理より c in in U in in, in in, U in, in % U % % U U U U, ペア! よって, 式を満たす は, と, だが,, なので, だと内角の和が 8, よ り大きくなってしまうので,, は不適 よって, U < 平面上での三角関数 > 原点を基準に正負まで考える in,,co,,tn, を求めよ 第 象限から, の三角形 ( 下図 ) をかく U 三角形だけ,, 拡大すると U., O 上図のような比の三角形だが, よこの辺は原点より左にあるから- 扱いをする すなわち in, U,co, - -,tn, U - - U in,, co,, tn,, in,, co,, tn, を求めよ 左図より, -U < 正弦定理 > U -, in in c in R(R は外接円の半径 ) ペアとなる ( アルファベットが同じ ) 角と辺が 分かっていれば, 正弦定理を使って他の辺や角を 求めることができる可能性が非常に高い in, tn,- U co,- U c c co,- in, U tn, -, < 余弦定理 > + c -cco c + -cco c + -co 辺とその間の角が関係あるときは, 余弦定理を使って他の辺や角を 求めることができる可能性が非常に高い,, c となる三角形 について co の値を求めよ 図をかくと, まず求める角 があり, さらに をはさむ 辺の長さが分かっているので, 余弦定理より, + c -cco + - co + -co co + - co co,, の があり, の外接円の半径は U 9 () 辺 の長さを求めよ () 辺 の長さを求めよ () 正弦定理より in R c c c,,,, c のとき, を求めよ 図をかくと角 と辺 c が両方分かっているので 正弦定理より ペア! in, U 9 U9 U9 () 余弦定理より!in,,! U U U U ペア! c,, in in in, in, % in, % U % U in, U + c -cco U + - co, +9- よって +9- 整理して は辺の長さなので > より --

5 模試対策 ( 高次方程式 ) < 割り算の関係式 > 前述の例の問題は次のようなパターンに派生する場合が多いです 例えば & %+ です 元の割られる数 は, 割る数 と商 と余り を使って と表せます すなわち, 次の関係が成り立ちます 覚えましょう ( 元の式 )( 割る式 )%( 商 )+( 余り ) この関係を使って問題を解きます の 次式 P がある Pを-で割ったときの 余りを求めよ 商を Q, 余りを R とおくと Q+R を代入すると (/ 割る式が になるような数 ) Q+R 整理して R よって, 余りは の 次式 P -+ がある は定数とする Pを-で割った余りが- のとき, の値を求めよ ( 元の式 )( 割る式 )%( 商 )+( 余り ) 商は分からないので Q とおいて, で立式すると -+ -Q- を代入 -+ Q 整理して 余りが ( 割り切れる ) なら, 前述の関係式は 8 の 次式 P とするとき,P が虚数解をも つような の範囲を求めよ 前述の例より P よって の解のつは -より,の実数解 すなわち, 虚数解 iが答えの式に入る解 を持つには +-++ の方が虚数解を持たなければならない ここで D> のとき異なる つの実数解をもつ D のとき重解をもつ D< のとき実数解なし ( 異なる つの虚数解をもつ ) より,D< の条件を満たせばよい D -c より -+9< 整理して - -9 < より <<9 ( つづき ) 整式 P -k+ +k++k+kは実数の定数 () 次方程式 P () より P + +-k-+k+より が虚数解をもつような k の値の範囲を求めよ + +-k-+k+ で虚数解をもつには +-k-+k+ の判別式をDとすると D<のとき ( 元の式 )( 割る式 )%( 商 ) となる このことを利用して, 因数分解できる 前述の例題の 次式を因数分解する D -k- - k+ k +k+-k- の 次式 P を因数分解せよ 前述の例題より - で割り切れるはずなので, 商を Q とおくと Q が成り立つ 両辺を - で割ると より k -k- k+k- k+k-< よって, -<k< Q & - Q Q 文字式の割り算 の計算 8 よって 整式 P -k+ +k++k+kは実数の定数 () P-の値を求めよ () Pを因数分解せよ 次方程式 数単位とする ++ の解が+iのとき,の値を求めよ ただし,iは虚 +i が解とあるので, 元の式に代入してよい + i + 実部と虚部に分けると +i + 展開して i++i+ +++i 左辺もになるには +ならよいので - の 次式 P がある 方程式 P のつの解が +i であるとき, の値を求めよ のつの解が+i より元の式に代入すると () P- - -k+ - +k+ - +k+ --k--k-+k+ + i --+ i +-+i- --i---+i +-+i- 展開して, 整理すると -+-i+i () () よりP- より P +Q の形で表すことができる -k + +k++k++q -k+ + k+ + k+ Q + よって +-k-+k+ Q 計算 P + +-k-+k k-+ k+ -k+ + k+ + k+ + -k- + k+ + k+ -k- + -k- k+ + k+ k+ + k+ 実部と虚部に分けると i 等式を満たすためには > ならよい, これを満たす は上式を解いて --

6 模試対策 ( 図形と方程式 ) 傾き, 切片 の直線の方程式 + ある直線に垂直な直線の傾き 中心,, 半径 の円の方程式 つの図形の共有点は連立させると求めることができる 円 + 連立 > + と直線 -+ の共有点の 座標を求めよ を に代入すると - 整理して -8+ たすき掛けして つの直線が直角に交わるとき, つの直線の傾きをそれぞれ, とすると が成り立つ - ( 傾きをかけて -) 直線 + に垂直で点, -を通る直線の方程式を求めよ 求める直線の傾きをm とおくと, 直線 + 傾きがの直線 に垂直なので %m- が成り立つ 整理して m- より, 求める直線の方程式は -- よって, 求める 座標は, 次の円と直線は共有点をもつ その座標を求めよ 円 +, 直線 - 直線 - を円の方程式に代入すると + - 展開して整理すると -, のとき 整理して - - 次の点を通り, 与えられた直線に垂直な直線の方程式を求めよ (), -,+ (),,-- () 求める直線の傾きを m とすると, 直線 + に垂直なので m%- これを解いて m- よって のとき -- よって, -,, +- - 整理して - つの図形の共有点を求める為に, 連立させてできた 次方程式 ++cの判別式をd とすると () -- を整理すると - これに垂直な直線の傾き m とすると D の符号によって, つのグラフの関係が分かる D> のとき異なる 点で交わる ( 異なる つの実数解をもつ ) D のとき接する ( 重解をもつ ) D< のとき交わらない ( 実数解なし ) 円 + と直線 - が共有点をもつような半径 の範囲を求めよ - を円の方程式に代入すると - 整理して 共有点をもつには D) ( 共有点の個数については文章にないので, 接しても 点で交わってもよ い ) より D より m% - これを解いて m- よって -- - 整理して - + 円 + +-の中心と半径を求めよ と でそれぞれ 次式を作って平方完成する よって, 中心 -,, 半径 Oを原点とする座標平面上に円 は定数 と点, が ある 8-) これを解いて ) () 円 の中心の座標を を用いて表せ また, 円 の半径を求めよ 円 : と直線 :mmは正の定数 があり, 直線 は円 に接している m の値を求めよ m を円 の式に代入すると m -- m+ 整理して m + - -m+ + + 接するので, の判別式を D とすると D となる D - - m - + m より +m+m --m -m +m+ -m +m+ -8 m -m -. -8m+ m- と変形できるので () 点 を通り直線 O に垂直な直線を とする 直線 の方程式を求めよ また, 円 の 中心が直線 上にあるとき, の値を求めよ () () 直線 O の傾きは の変化量 の変化量 よって, 中心, 半径 より, これに垂直な直線 の傾きを m とすると m% - 整理して m- よっての傾きは-で点, を通るので 直線の方程式 傾きmで点, を通る直線の方程式は -m-. m- + 傾きで点, -を通る直線の方程式を求めよ m-, --- 整理して -+ また, 円 の中心, 8 9 が直線 :-+ 上にあるとき -+ これを整理して 9 点,,, を通る直線の方程式を求めよ 傾き の変化量 の変化量 よって, 傾き-で点, を通るので -- - 整理して -+ 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ () 傾きがで, 点, -を通る直線 () 点, -,, を通る直線 () 整理して -+ () 傾き の変化量 -- の変化量 よって, 傾き-で, -を通るので 整理して -+ --

7 模試対策 ( 三角関数 ) < 弧度法 > 直線の開き具合を角度ではなく 単位円 ( 半径 の円 ) の円周の弧の長さで表したもの (d)8, を基準として覚えるとよい - 8, - h の値に関わらず -(in h(, -(co h( なので inh および coh の範囲は -(in h(, -(co h( inh h in を求めよ %8,, より 右図 ( 第 象限 ) より in - U - U U inh (h( の最大値, 最小値を求めよ (h< の範囲では -(inh( -U (in h( U より 最大値 U 最小値 -U なので, それぞれに U をかけると 次の h について,inh,coh,tnh の値を, それぞれ求めよ () h () h () h- 8 関数 inh -Uinh -coh があり,tinh -coh とおく () t の最大値と最小値を求めよ () の最大値と最小値を求めよ in - co -U tn U in -U co < 三角関数の合成 ( 加法定理の逆変形 )> inh +coh は 右図のように, よこ たて の直角三角形をかき 斜辺を, 角を とすると inh +coh inh+ in U co U tn - U tn () 全問よりtU in h (in h- 8 ( より 9 -U (U in h- 8 9 (U よって, 最大値 U, 最小値 -U () 全問や () より -t -U t+ -U (t(u 平方完成すると -t + Ut + inh +U coh をinh+ の形に変形せよ よこ, たて U の直角三角形は右図のような 辺の比が ::U の直角三角形になるので inh +U coh in h+ 8 9 関数 inh -Uinh -coh があり,tinh -coh とおく () h のとき,の値を求めよ () tをinh+ >, -<( の形であらわせ また inh をtを用いて表せ () in - U 8 in -co 9 - U 8 () 右図より tinh -coh U in h- 8 9 また, t - inh coh -inhcoh in h -inhcoh + co h, U - U U , U - - > ? t+ 8 U t+ 8 U 9 + t+ U - U よって, 頂点 - 8 U, 9 で定義域が -U (t(u 次関数のグラフをかくと 右図のようになる よって, t- U のとき 最大値 tu のとき最小値 - - U - U O t 整理して inhcoh -t また,inh inhcoh -t inh -t < 加法定理 > in + inco +co in co + co co -in in < 倍角の公式加法定理の を と置き換えただけ > in in co co co -in -in co - 関数 inh -Uinh -coh があり,tinh -coh とおく を t の式で表せ 全問より inh -U inh -coh -t -Ut -t -Ut+ -t -Ut+ --

8 模試対策 ( 数列 ) 9 等差数列 nがあり, +, + 9 を満たしている また, 数列 n 数列 nは等差数列であり, -, 9 - を満たしている -,,, 8,, があり, その階差数列は等差数列 () 数列 nの一般項 nをnを用いて表せ () 数列 nの一般項 nをnを用いて表せ () n+ n の整数部分をc n とするとき, c k k,,, をkを用いて表せ () 初項, 公差 d とおいて, 問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する () 階差数列の解き方そのまま () ckk,,, とは, c, c, c, c 8, のこと 数列での模試, 入試問題では, 実際に書き出してみると規則性が分かることが多い c, c, c, c 8, くらいまで, 実際に求めてみよう () 初項, 公差 d とおくと n+n-d なので + より ++d 整理して +d + 9 より +d++d9 整理して +d9 () 数列 nの公差を求めよ また, 数列 nの一般項 nをnを用いて表せ () S n n n,,, とする S n を最小にするnの値を求めよ また, S n の最小値を求めよ () P k k k + の値を求めよ () 初項, 公差 d とおいて, 問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する () n<を満たす最大のnが求める答え ( 正の数になる n を足すと大きくなって しまう ) Snは等差数列の和の公式か,P 計算でnで表して, そこに前述のnを代入する () やはり, 具体的に書き並べてみよう k k + 部分分数分解を利用する問題だと気づく はず u 部分分数分解 >として, -8-9 が成り立つ () 初項, 公差 dとおくと n+n-d なので, を解いて, d よって - より +d- n + n- 整理して nn+ 9- より +8d-+d 整理して d, を解いて -, d なので 公差 () 数列 nの階差数列を書き出すと また, n -+n- 整理して nn-,,,, より, 初項, 公差 の等差数列になっているので, 階差数列の一般項は () 等差数列の初項から第 n 項までの和 Snは +n- n- よって, 求める数列 nの一般項は n) のとき S n n + n n -+n- n n- n -n また, n < となるnは n- n-+ P k--+p k-p k n- k n- k -+! n-n-n- 整理して n n -n n のとき - - より成り立つよって n n -n n-< これを解いて n< 8. 項から第 8 項までの和が最小となる よって よって第 8 項までは負の数であるので, 初 S () c n n + n n+ + n -n c k k + k + 整数部分は のところは切り捨てられるから t c kk c + c +., 8., 8 c + 8 c + 整数部分はそれぞれ, 8, 8,, 8.. n + より これの階差数列をとると,,, と初項, 公差 の等差数列となっている よって,() のように階差数列の解き方でも出せる () n+ n+-n- より よって k k + P k k + n- - k 8 n 8 - n- n

9 模試対策 ( 次関数 ) 軸方向に, 軸方向に 平行移動したグラフの式は 元のグラフの式の を -, を - に変えたもの - のグラフを 軸方向に, 軸方向に 平行移動したグラフは --- 整理して -- + の頂点,, 軸 の放物線 O 次関数 +- -((+における最小値 mを求めよ ただ し,> とする 平方完成すると よって, 軸 - ( 頂点は -, -9 ) +のグラフを 軸方向に, 軸方向に - 平行移動したグラフの方程式を求めよ 範囲が文字なので, の値によって最小値の場所が違ってくるので以下のよ うな図のように パターンに分けて考える 整理して 放物線が 軸と交わる ( 交わらない ) 条件 (i) 下に凸のグラフのとき (ii) 上に凸のグラフのとき 正 O 負 O 最小値の場所が 範囲の一番右端 になるとき 最小値の場所が 範囲の一番左端 になるとき 最小値の場所が 範囲の間にある ( 右端でも左端で もない ) 場合 頂点の 座標が負になると 異なる 点で交わる 頂点の 座標が正になると 異なる 点で交わる 上図のそれぞれの状態のときの条件を数式で表してみると +<- のとき 放物線 ++ は定数 と 軸が異なる 点で交わるとき,のとり得る値 の範囲を求めよ ただし,>( は正の数 ) なので - より小さくなることはない よって, 式が条件に矛盾するのでこの図の状態には絶対にならない より頂点 -, - +また, 下に凸のグラフであるので, 軸と異なる 点で交わるには 座標がの数になっていればよいので - +< 両辺を - で割って +-> よって <-, < -> 放物線 : ++ がある また, を 軸方向に+, 軸方向に- +だけ平行移動し ->- 整理して < ただし,> より << のとき 最小値は - のとき + -9 に - を代入すると た放物線を :fとする ただし,は定数とする () 放物線 の頂点の座標を求めよ () 放物線 と 軸が異なる 点で交わるとき,のとり得る値の範囲を求めよ でも でもない場合すなわち ) のとき 最小値は頂点の 座標頂点は -, -9だったので 最小値は -9 () 平方完成すると より 頂点 -, () の方程式は 整理して 下に凸のグラフより, 頂点の 座標が負なら異なる 点で交わる すなわち - +< -> より 最小値は > < < のとき -8 - ) のとき -9 次関数 +- -+((+における最小値 mを求めよ ただし,>とする より頂点 -, -9, 軸 - -> よって <, < (i) +<- すなわち <- のとき + のとき最小となるが, 問題に > とあるので, この場合は考えない (ii) -+>- すなわち << のとき のとき最小となるので (iii) (i), (ii) 以外, すなわち ) のとき 頂点が最小となるので, 最小値 (i)(ii)(iii) より F< < - のとき ) - のとき

10 模試対策 ( 微分法 ) 次の放物線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ 関数 f - +- がある f のグラフをとし, 点, f () (,) () -+ (-,) における の接線を とする - より を代入すると -- より - を代入すると () f-の値を求めよ また, 接線 の方程式を求めよ - なので傾き よって ---- なので傾き - よって () 曲線 上の点 P における接線を m とする 点 P が曲線 上を動くとき,m の傾きの最小値 とそのときの点 P の座標を求めよ - - () 点 Pの座標をt, ftとおくと, 接線 mの傾きはf-tこれはtの 次式になるので, () - () - 次関数の最小値を求める問題の要領で解く 関数 -+ の極値を求め, グラフをかけ より +- を満たす -, 増減表をかくと : 9 O () f- -+ より f- - + f- また, における接線の傾きは上記より で f - + -より 点, を通るのでの方程式は - - 整理して + よって () 点 Pt, t - +-とおくと - で極大値, で極小値, グラフは " 図 # 点 P における接線 m の傾きは f-t t -t+ t -t + となる 平方完成すると -O t- -+ t- -+ t- - よって, 接線 m の傾きの最小値は またこのとき t なので代入すると 次の関数の最大値, 最小値を求めよ 点 P, 整理して P, (( より ++ を満たす -, - 定義域を考慮して増減表をかくと : - 9 よって で最大値,- で最小値 - --

11 模試対策 ( ベクトル ) 平面上に O, OU, O, の O があり, 辺 を : に内分する点 8 O があり,O,OU 辺 の中点を, 線分 O を : に内分する を とする また,O,O とする 点を D とし,O,O とする () 内積 の値を求めよ また,O を, を用いて表せ () O を, を用いて表せ また,OD を, を用いて表せ () k は実数とする 直線 O 上に ODkO となる点 D をとる DO であるとき,k () 内積 のとき, 線分 O の長さを求めよ の値を求め,OD を, を用いて表せ () () のとき, 辺 O の中点を E, 直線 E と D の交点を F とする OF を, を用いて表せ () co,!u! U また, 点 は, を : に内分する点なので O +, O () はの中点 :に内分 なので O + () また,OD O より OD O O D () ODkOk k+ k DO のとき D O + + U O > より O OD-O O 8 k+ k - 9 k + k - k + k -. k+k-9 整理して k 9 よって OD OD + () 題意より右図のようになる (i) F は D を -: に内分するとおくと O OFOD+-O 整理して OF (ii) また EFE とおくことができる E, F D ( 左辺 )EFOF-OEOF- ( 右辺 )EO-OE より EFE OF OF と は 次独立であり, より, の係数に注目すると F - - この連立方程式を解くと, を に代入すると OF + --

12 模試対策 ( 小問集合 ) (-) + +- を展開して整理したときの, の係数は ア 次不等式 ++c< や ++c> の左辺を因数分解できた場合 -- < の解は << -- > の解は <, < -+< を解け --< より << 次方程式 ++c について D -cのとき D> のとき異なる つの実数解をもつ D のとき重解をもつ D< のとき実数解なし ( 異なる つの虚数解をもつ ) 次方程式 イ ++ は正の定数 が重解をもつとき, ア であり, そのときの重解は 絶対値の不等式の解 < > < を解け -<< の解は -<< の解は <-, < 次不等式 +-< の解は ア また, +-< を満たすすべてのが < を満たすような正の定数 の最大値は イ 重解をもつので D また D - - より - 整理して は正の定数と問題にあるので このとき, 重解 ( 次方程式の解のこと, ただし重解は解が つとなる ) は ++ + より重解は - mを正の定数とする 次方程式 -m+m+ が重解をもつとき,mの値は ア であり, その重解は イ < 箱ひげ図 >,,,, 8, 9, 第 第 第 上の 小さい順 に並べたデータの 最小値 第 四分位数 中央値 ( 第 四分位数 ) 次関数 ++c の頂点, 軸を求めるには平方完成をします 次のような 回, 簡単な計算を行います 第 四分位数 9 最大値 これの つの数を つの図にしたものが 箱ひげ図 です ++c 半分の数が入る c よって, 頂点 8 -, - +c 軸 - 9 乗した数を引く の係数がではない場合, 例えば ++cの場合はのついた項を でくくる + + c + + c > 8 9? c + c / でくくった よって, 頂点 8 -, - +c, 軸 の頂点と軸を求めよ / カッコの中で平方完成 ( 半分, 乗をひく ) / 中カッコの中の式に をかける ( 展開 ) より頂点, -8, 軸 -+ の頂点と軸を求めよ より頂点, -, 軸, を定数とする 放物線 ++ の頂点の座標は, のとき, 8 9 * 四分位数は真ん中の数がないときは, 両隣の数の平均の値をとります,,, の中央値は ちょうど真ん中 がない 次の ア +. に当てはまるものを下の ~ のうちから つ選べ あるクラス 人に数学の小テストをした結果をまとめた次の資料のうち, ヒストグラムと 箱ひげ図が同じデータの分布を表しているものは ア ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) ア, イ ( 点 8 9 ) 8 9 ( 点 ) ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) ( 人数 ) 8 9 ( 点 ) 8 9 ( 点 ) 8 9 ( 点 ) --

13 模試対策 ( 個数の処理! 確率 ) np :n 個の中から 個選んで, さらに, その 個を並べる場合の数 人の選手の中から 人選んでリレーの走順を決めるときの場合の数 P 9 8 通り q 人の中から, まず 人選びますね さらに, その 人が 走から 走まで誰が走るかまで 決めろという文章ですよね なので n P のニュアンスと一致しています n :n 個の中から 個選ぶときの場合の数 人のグループの中から, 人代表を選ぶときの場合の数 ! 通り q 前問の文章と似ていますが, 人の中から 人選んだあとに, その人たちを並べるよう な文はないですね よって, n のニュアンスと一致します!: 個を並べる場合の数 から までの番号がかかれたカードを横一列に並べる並べ方! 通り qp, と違って, 選ぶというニュアンスはなく, ただ一列に並べるだけというニュアン スのときは!( 階乗 ) です 次のものの総数を求めよ (),,c,d,e の 個の文字から異なる 個を選んで 列に並べるときの並べ方 () tingle の 8 文字すべてを 列に並べるときの並べ方 () 人の生徒の中から, 兼任は認めないで, 議長, 副議長, 書記を各 人選ぶときの選 び方 正五角形について, 次の数を求めよ () 個の頂点でできる三角形の個数 8 確率 ( 物事が起こる頻度を表した数 ) の定義 該当する事象の数 問題の条件に当てはまるパターン 全事象の数 全パターン 袋の中に 円硬貨が 枚と 円硬貨が 枚入っている この袋の中から同時に 枚の硬貨 を無作為に取り出す 取り出した 枚の硬貨が 円硬貨 枚と 円硬貨 枚である確率を求めよ 分母 ( 全パターン ) は袋に入っている硬貨から 枚取り出す取り出し方 8 よって, 全部で8 枚の中から 枚の取り出し方 8 また, 分子は 円硬貨 枚の中から 枚選んで さらに 円硬貨 枚の中から 枚選ぶ % % よって, 求める確率は % 8 上記のとき, 取り出した 枚の硬貨が 円硬貨 枚と 円硬貨 枚である確率を求めよ 和の法則, 積の法則問題の文章に または を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を 足す とよい さらに を入れても問題の意味が成立するなら場合の数を かける とよい レストランに 種の和食メニューと 種の洋食メニューがある 品だけ選ぶときメニューの選び方は何通りあるか メニューは和食 種 または 洋食 種あるので全部で +9 種類あるよって,9 通り選べる レストランのランチセットで食べ物 種類と, 飲み物 種類の中からそれぞれ 種類ずつ選べる ランチセットの注文の仕方は全部で何通りか セットは食べ物 種類の中から選んで さらに 飲み物 種類の中から選ぶよって, 頼み方は全部で % 通り 桁の自然数のうち, 各位の数字の積が次のようになるものは何個あるか () 奇数になる () 偶数になる 9 白玉が 個入っている袋がある コインを 枚投げて, 表が出れば赤玉を 個, 裏が出れば白玉を 個, この袋に入れる操作を 回行い, 袋の中の玉の個数を 個にする さらに, この袋から 個の玉を同時に取り出し, 取り出された赤玉の個数をXとする () コインを 回投げた結果, 袋の中の玉が白玉 個になっている確率を求めよ ()Xである確率を求めよ --

14 模試対策 ( 式の計算 ) ++cの解が, のとき, ++c<の解. << ++c>の解. <, < についての連立方程式 > - ( + -( - がある ただし,, は定数 (), のとき, 連立不等式 を解け () 連立不等式 の解が存在するための, の条件式をつくれ -+< を解け -+ の解は -- より, よって, << -+> を解け -+ の解は, 解の公式より $ U - よって, <-U, +U < 次の 次不等式を解け () -+> () ++< () --( () +-> $U 絶対値の不等式 の解は $ < の解は -<< > の解は <-, < < を解け -<-< よりそれぞれの辺に +して -<< - < を解け つの不等式 +) -, +-< を同時に満たす整数 がちょうど 個 であるような の値の範囲を求めよ --

15 模試対策 ( 図形と計量 ) 右図のとき, それぞれの つの辺の比を in h と定義する たて 斜辺,co h よこ 斜辺,tn h inh である直角三角形の図をかけ 斜辺が, たての辺が の直角三角形より h 次の三角比を満たす直角三角形の図をかけ () in h () co h < 補足 > たて よこ h よこの辺の長さは三平方の定理で求める よこの辺の長さを とおくと + より, () tnh U, c,, のとき, を求めよ 図をかくと角 と辺 が両方分かっているので 正弦定理より c in in U in in, in in, U in, in % U % % U U U U, ペア! よって, 式を満たす は, と, だが,, なので, だと内角の和が 8, よ り大きくなってしまうので,, は不適 よって,, < 平面上での三角関数 > 原点を基準に正負まで考える in,,co,,tn, を求めよ 第 象限から, の三角形 ( 下図 ) をかく 三角形だけ,, 拡大すると U., O 上図のような比の三角形だが, よこの辺は原点より左にあるから- 扱いをする すなわち in, U,co, - -,tn, U - - U in,, co,, tn,, in,, co,, tn, を求めよ < 余弦定理 > + c -cco c + -cco c + -co 辺とその間の角が関係あるときは, 余弦定理を使って他の辺や角を 求めることができる可能性が非常に高い,, c となる三角形 について co の値を求めよ 図をかくと, まず求める角 があり, さらに をはさむ 辺の長さが分かっているので, 余弦定理より, c c < 正弦定理 > in in c in R(R は外接円の半径 ) c + c -cco + - co + -co co + - co co,, の があり, の外接円の半径は U 9 () 辺 の長さを求めよ () 辺 の長さを求めよ ペアとなる ( アルファベットが同じ ) 角と辺が 分かっていれば, 正弦定理を使って他の辺や角を求めることができる可能性が非常に高い c,,,, c のとき, を求めよ ペア! 図をかくと角 と辺 c が両方分かっているので 正弦定理より ペア! c,, in in in, in, % in, % U % U in, U --

16 模試対策 ( 高次方程式 ) < 割り算の関係式 > 前述の例の問題は次のようなパターンに派生する場合が多いです 例えば & %+ です 元の割られる数 は, 割る数 と商 と余り を使って と表せます すなわち, 次の関係が成り立ちます 覚えましょう ( 元の式 )( 割る式 )%( 商 )+( 余り ) この関係を使って問題を解きます の 次式 P がある Pを-で割ったときの 余りを求めよ 商を Q, 余りを R とおくと Q+R を代入すると (/ 割る式が になるような数 ) Q+R 整理して R よって, 余りは の 次式 P -+ がある は定数とする Pを-で割った余りが- のとき, の値を求めよ の 次式 P とするとき,P が虚数解をも つような の範囲を求めよ 前述の例より P よって の解のつは -より,の実数解 すなわち, 虚数解 iが答えの式に入る解 を持つには +-++ の方が虚数解を持たなければならない ここで D> のとき異なる つの実数解をもつ D のとき重解をもつ D< のとき実数解なし ( 異なる つの虚数解をもつ ) より,D< の条件を満たせばよい D -c より -+9< 整理して - -9 < より <<9 8 ( つづき ) 整式 P -k+ +k++k+kは実数の定数 () 次方程式 P が虚数解をもつような k の値の範囲を求めよ 余りが ( 割り切れる ) なら, 前述の関係式は ( 元の式 )( 割る式 )%( 商 ) となる このことを利用して, 因数分解できる 前述の例題の 次式を因数分解する の 次式 P を因数分解せよ 前述の例題より - で割り切れるはずなので, 商を Q とおくと Q が成り立つ 両辺を - で割ると Q & - Q Q 文字式の割り算 の計算 8 よって 整式 P -k+ +k++k+kは実数の定数 () P-の値を求めよ 次方程式 数単位とする ++ +i が解とあるので, 元の式に代入してよい + i + 実部と虚部に分けると の解が +i のとき, の値を求めよ ただし,i は虚 +i + 展開して i++i+ +++i 左辺もになるには +ならよいので - の 次式 P がある 方程式 P のつの解が +i であるとき, の値を求めよ () Pを因数分解せよ --

17 模試対策 ( 図形と方程式 ) 傾き, 切片 の直線の方程式 + ある直線に垂直な直線の傾き 中心,, 半径 の円の方程式 つの図形の共有点は連立させると求めることができる 円 + 連立 > + と直線 -+ の共有点の 座標を求めよ を に代入すると - 整理して -8+ たすき掛けして つの直線が直角に交わるとき, つの直線の傾きをそれぞれ, とすると が成り立つ - ( 傾きをかけて -) 直線 + に垂直で点, -を通る直線の方程式を求めよ 求める直線の傾きをm とおくと, 直線 + 傾きがの直線 に垂直なので %m- が成り立つ 整理して m- より, 求める直線の方程式は -- よって, 求める 座標は, 次の円と直線は共有点をもつ その座標を求めよ 円 +, 直線 整理して - - 次の点を通り, 与えられた直線に垂直な直線の方程式を求めよ (), -,+ (),,-- つの図形の共有点を求める為に, 連立させてできた 次方程式 ++cの判別式をd とすると D の符号によって, つのグラフの関係が分かる D> のとき異なる 点で交わる ( 異なる つの実数解をもつ ) D のとき接する ( 重解をもつ ) D< のとき交わらない ( 実数解なし ) 円 + と直線 - が共有点をもつような半径 の範囲を求めよ - を円の方程式に代入すると - 整理して 共有点をもつには D) ( 共有点の個数については文章にないので, 接しても 点で交わってもよ い ) より D より 円 + +-の中心と半径を求めよ と でそれぞれ 次式を作って平方完成する よって, 中心 -,, 半径 Oを原点とする座標平面上に円 は定数 と点, が ある 8-) これを解いて ) () 円 の中心の座標を を用いて表せ また, 円 の半径を求めよ 円 : と直線 :mmは正の定数 があり, 直線 は円 に接している m の値を求めよ () 点 を通り直線 O に垂直な直線を とする 直線 の方程式を求めよ また, 円 の 中心が直線 上にあるとき, の値を求めよ 直線の方程式 傾きmで点, を通る直線の方程式は -m-. m- + 傾きで点, -を通る直線の方程式を求めよ 点,,, を通る直線の方程式を求めよ 傾き の変化量 の変化量 よって, 傾き-で点, を通るので -- - 整理して -+ 次の条件を満たす直線の方程式を求めよ () 傾きがで, 点, -を通る直線 () 点, -,, を通る直線 --

18 模試対策 ( 三角関数 ) < 弧度法 > 直線の開き具合を角度ではなく 単位円 ( 半径 の円 ) の円周の弧の長さで表したもの (d)8, を基準として覚えるとよい - 8, - h の値に関わらず -(in h(, -(co h( なので inh および coh の範囲は -(in h(, -(co h( inh h in を求めよ %8,, より 右図 ( 第 象限 ) より in - U - U U inh (h( の最大値, 最小値を求めよ (h< の範囲では -(inh( -U (in h( U より 最大値 U 最小値 -U なので, それぞれに U をかけると 次の h について,inh,coh,tnh の値を, それぞれ求めよ () h () h () h- 8 関数 inh -Uinh -coh があり,tinh -coh とおく () t の最大値と最小値を求めよ () の最大値と最小値を求めよ < 三角関数の合成 ( 加法定理の逆変形 )> inh +coh は 右図のように, よこ たて の直角三角形をかき 斜辺を, 角を とすると inh +coh inh+ inh +U coh をinh+ の形に変形せよ よこ, たて U の直角三角形は右図のような 辺の比が ::U の直角三角形になるので inh +U coh in h+ 8 9 関数 inh -Uinh -coh があり,tinh -coh とおく () h のとき,の値を求めよ, U () tをinh+ >, -<( の形であらわせ また inh をtを用いて表せ < 加法定理 > in + inco +co in co + co co -in in < 倍角の公式加法定理の を と置き換えただけ > in in co co co -in -in co - 関数 inh -Uinh -coh があり,tinh -coh とおく を t の式で表せ --

19 模試対策 ( 数列 ) 9 等差数列 nがあり, +, + 9 を満たしている また, 数列 n 数列 nは等差数列であり, -, 9 - を満たしている -,,, 8,, があり, その階差数列は等差数列 () 数列 nの一般項 nをnを用いて表せ () 数列 nの一般項 nをnを用いて表せ () n+ n の整数部分をc n とするとき, c k k,,, をkを用いて表せ () 初項, 公差 d とおいて, 問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する () 階差数列の解き方そのまま () ckk,,, とは, c, c, c, c 8, のこと 数列での模試, 入試問題では, 実際に書き出してみると規則性が分かることが多い c, c, c, c 8, くらいまで, 実際に求めてみよう () 数列 nの公差を求めよ また, 数列 nの一般項 nをnを用いて表せ () S n n n,,, とする S n を最小にするnの値を求めよ また, S n の最小値を求めよ () P k k k + の値を求めよ () 初項, 公差 d とおいて, 問題の条件式に等差数列の一般項の式を代入する () n<を満たす最大のnが求める答え ( 正の数になる n を足すと大きくなって しまう ) Snは等差数列の和の公式か,P 計算でnで表して, そこに前述のnを代入する () やはり, 具体的に書き並べてみよう k k + 部分分数分解を利用する問題だと気づく はず u 部分分数分解 >として, -8-9 が成り立つ -8-

20 模試対策 ( 次関数 ) 軸方向に, 軸方向に 平行移動したグラフの式は 元のグラフの式の を -, を - に変えたもの - のグラフを 軸方向に, 軸方向に 平行移動したグラフは --- 整理して -- + の頂点,, 軸 の放物線 O 次関数 +- -((+における最小値 mを求めよ ただ し,> とする 平方完成すると よって, 軸 - ( 頂点は -, -9 ) +のグラフを 軸方向に, 軸方向に - 平行移動したグラフの方程式を求めよ 整理して 放物線が 軸と交わる ( 交わらない ) 条件 (i) 下に凸のグラフのとき (ii) 上に凸のグラフのとき 正 範囲が文字なので, の値によって最小値の場所が違ってくるので以下のよ うな図のように パターンに分けて考える O 負 頂点の 座標が負になると 異なる 点で交わる O 頂点の 座標が正になると 異なる 点で交わる 放物線 ++ は定数 と 軸が異なる 点で交わるとき,のとり得る値 の範囲を求めよ より頂点 -, - +また, 下に凸のグラフであるので, 軸と異なる 点で交わるには 座標がの数になっていればよいので - +< 両辺を - で割って +-> よって <-, < -> 放物線 : ++ がある また, を 軸方向に+, 軸方向に- +だけ平行移動し た放物線を :fとする ただし,は定数とする () 放物線 の頂点の座標を求めよ () 放物線 と 軸が異なる 点で交わるとき,のとり得る値の範囲を求めよ 最小値の場所が 範囲の一番右端 になるとき 最小値の場所が 範囲の一番左端 になるとき 上図のそれぞれの状態のときの条件を数式で表してみると +<- のとき 最小値の場所が 範囲の間にある ( 右端でも左端で もない ) 場合 ただし,>( は正の数 ) なので - より小さくなることはない よって, 式が条件に矛盾するのでこの図の状態には絶対にならない ->- 整理して < ただし,> より << のとき 最小値は - のとき + -9 に - を代入すると でも でもない場合すなわち ) のとき 最小値は頂点の 座標頂点は -, -9だったので 最小値は -9 より 最小値は > < < のとき -8 - ) のとき -9 次関数 +- -+((+における最小値 mを求めよ ただし,>とする -9-

21 模試対策 ( 微分法 ) 次の放物線上の与えられた点における接線の方程式を求めよ 関数 f - +- がある f のグラフをとし, 点, f () (,) () -+ (-,) における の接線を とする () f-の値を求めよ また, 接線 の方程式を求めよ () 曲線 上の点 P における接線を m とする 点 P が曲線 上を動くとき,m の傾きの最小値 とそのときの点 P の座標を求めよ () 点 Pの座標をt, ftとおくと, 接線 mの傾きはf-tこれはtの 次式になるので, 次関数の最小値を求める問題の要領で解く 関数 -+ の極値を求め, グラフをかけ O 次の関数の最大値, 最小値を求めよ (( --

22 模試対策 ( ベクトル ) 平面上に O, OU, O, の O があり, 辺 を : に内分する点 8 O があり,O,OU 辺 の中点を, 線分 O を : に内分する を とする また,O,O とする 点を D とし,O,O とする () 内積 の値を求めよ また,O を, を用いて表せ () O を, を用いて表せ また,OD を, を用いて表せ () k は実数とする 直線 O 上に ODkO となる点 D をとる DO であるとき,k () 内積 のとき, 線分 O の長さを求めよ の値を求め,OD を, を用いて表せ () () のとき, 辺 O の中点を E, 直線 E と D の交点を F とする OF を, を用いて表せ --