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1 暫定版修正 加筆の可能性あり ( 付録 ) コイルと磁場 () coil and magnetic field part. ソレノイドコイルのエネルギー. エネルギー密度の比較 : 電場と磁場 3. 磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル 4. 相互作用エネルギー : 電場と磁場 5. 資料 : 電源について 注意. 電磁波を記述する マクスウェル方程式 の理解に必要を思われるトピックスに限定. 定常電流が作る磁場 準定常電流が作る磁場を考慮 3. 準定常電流 : 時間変化が極めて遅いため 定常電流で成立する法則が そのまま 適用可となる電流 4. 静磁場 (magnetostatic) と書かない理由については44-5を参照して下さい 5. 磁化 (magnetization) は取り扱いません 46-

2 おことわり 電場でお馴染みの E と D 本付録では 電場 E 電束密度 D と記す 電場 E:electric field 電界 E 電束密度 D:electric flux density 電気変位 D:electric displacement field C: クーロン 単位 V m Cm 磁場でお馴染みの H と B 注意 : 英語では H も B も magnetic field 本付録では 磁場 H 磁場 B と記す 磁場 H:magnetic H field 磁場の強さ :magnetic field intensity 磁場 B:magnetic B field 磁束密度 :magnetic flux density T: テスラ Wb: ウェーバー T 単位 Am = Wb m 46-

3 ソレノイドコイルのエネルギー コイルのエネルギー : 電源の消費エネルギーに等しい 電源とコイルのみの回路 : 非現実的コイルも無限長ソレノイド近似 電源 :46-3,4 l 単位時間当たりの消費エネルギー ( 消費パワー ) 電源電流と電源電圧の積 p = iv 電流増加 コイルの起電力 : 低 di U m = pdt = ivdt = i L dt dt i= I Lidi LI = = i= = = B B Sl Sl Sl U m = LI = B Sl, 終状態の電流 :I コイルの体積 参照 :45-9 お詫び : 導線の抵抗は零を仮定しているから終状態到達後. 電流は定常電流 Iとなる ( 永遠に電流が流れる ). 電流変化なし コイルの起電力は零 3. コイルの起電力が零なら電源電圧も零 4. 実際には内部抵抗により終状態電源電圧は零にならないで オームの法則に従い定常電流 Iが流れる V コイルの起電力 : 高 電源電圧 : 正極 v 電源電圧 : 負極 電源 : 電流充電前 : 零充電後 :I ファラデーの電磁誘導の法則 :4-7 レンツ (Lentz) の法則. 起電力は磁束 Φ の変化を妨げる向きに発生. 起電力は電流変化を妨げる向きに発生 dφ di V = = L < v= V dt dt 注意 : 電流増加中はコイルの起電力は負 電源の起電力 ( 電圧 ) と大きさは同じ 電源の起電力 ( 電圧 ) と向き ( 赤矢印 ) が異なる l 46-3

4 エネルギーは誰のもの? コイルのエネルギー B: 磁場 H: 磁場 無限長ソレノイドコイル ( 断面図 ) U m = LI = B Sl = H Sl コイルを流れる定常電流を構成する電子? コイル内の空間に蓄えられた? コイルの体積 簡単に言えば 磁束線 ( 磁力線 ) が密なら磁束 Φ が大きい 電場 E の場合を思い出すと : エネルギーは電気力線が存在する空間 ( 非零電場 E) に充ちている 磁束線 ( 磁力線 ) の本数 :n n Φ= BS = HS 質問 : 磁力線と磁束線は同じ 異なる? 磁力線は磁場 H 磁束線は磁場 B( 磁束密度 B) と対応しますが 本付録では 背景 = 真空 としているので両者を区別しません 同様に 磁場 H と磁場 B も単位が異なることを除いて区別しません 棒磁石内のように 背景 = 磁性体 では区別が必要になります コイルのエネルギー : 磁場のエネルギー エネルギーは磁束線 ( 磁力線 ) が存在する空間 ( 非零磁場 ) に充ちている um = B = H 磁場のエネルギー密度 ソレノイドコイルのエネルギー. 電源が消費したエネルギー. コイルのエネルギー 3. 磁場のエネルギー 皆 同じエネルギー 46-4

5 エネルギー密度の比較 : 電場と磁場 参照 :4-8 静電エネルギー密度静電場 E のエネルギー密度 ue ( r) = ε E ( r) r = ( xyz,, ) 定常磁場のエネルギー密度定常電流が作る磁場 B um ( r) = B ( r) r = ( xyz,, ) 電場 E ベクトル : 位置依存性 位置 r ベクトル 磁場 B ベクトル : 位置依存性 位置 r ベクトル 重要なお約束! 静電エネルギーは電気力線が存在する空間に充ちている 磁場のエネルギーは磁束線 ( 磁力線 ) が存在する空間に充ちている 静電エネルギー : 空間積分 ( ) E r Ue = ε = dxdydz 重ね合わせの原理 : 個の正電荷の例 定常磁場のエネルギー : 空間積分 ( ) B r U m = = dxdydz 重ね合わせの原理 : 例えば 個のコイル Ue = ε + E r E r ( ) ( ) U m = + ( ) ( ) B r B r 電場 E: 個々の正電荷による電場 E と E の和 磁場 B: 個々のコイルによる磁場 B と B の和 46-5

6 磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル () 磁場のエネルギー : 個のコイルの例 展開 U m = + ( ) B r B ( r) ( ) ( ) B r B r コイル による磁場 B コイル による磁場 B = + + B B ( r) ( r) ( ) ( ) B r B r コイル : 磁場のエネルギー ( 単独 ) 係数 (/) は有 コイル : 磁場のエネルギー ( 単独 ) 係数 (/) は有 相互作用による磁場のエネルギー係数 (/) は無 イメージ : 個の一巻コイル 一巻コイル ( ループ電流 ) が作る磁束線 ( 磁力線 ) 遠方では棒磁石による磁束線 ( 磁力線 ) と同一 緑色 : コイル による磁束線 ( 磁力線 ) 青色 : コイル による磁束線 ( 磁力線 ) コイルの位置 : 省略コイル: ループ電流 ( 電流密度 ) J ( r) コイル: ループ電流 ( 電流密度 ) J ( r) 46-6

7 磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル () 相互作用による磁場のエネルギー : 個のコイルの例 定義 : ベクトルポテンシャル ( コイル ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) B r B r H r B r H r A r A A z y Ax A A z y A x = H,, y z z x x y A A z y A A x Az y A x = Hx + Hy + Hz y z z x x y z=+ = HxA y z= [ ] + H z dxdy [ H A ] y y x z y=+ x z y= H A A x + [ Hz Hz ] Ay Ax x y Hx Hx dxdz Az Ay y z 条件 : 距離無限大で磁場 H やベクトルポテンシャル A は存在しない 46-7

8 磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル (3) 計算 : 続き H H y z Hx Hz Hy H x Ax Ax + Ay Ay + Az Az y z z x x y コイル の電流密度 コイル の電流素片 添字に注意 = = = = 4π Ids Ids R ( H( r) ) A( r) J( r) A( r) Ids A( r) コイル : アンペールの法則 ( 微分型 ) コイル に流れる電流がコイル 上に作るベクトルポテンシャル ベクトル r は常にコイル の位置を示す R: コイル の電流素片とコイル の電流素片間の距離 I A r = ds, R= r r ( ) 4π r r 個のコイルの例 お詫び. 相互作用による磁場のエネルギーは電流密度とベクトルポテンシャルで与えられる. 現時点ではベクトルポテンシャルの有用性は実感できません 3. 静電場 E の静電ポテンシャルと定常磁場 B のベクトルポテンシャルを対応させましょう (46-) π ( ) ( ) = ( ) ( ) = B r B r J r A r 4 Ids Ids R 46-8

9 磁場のエネルギーとベクトルポテンシャル (4) 添字に注意 : 位置関係 積分 : 全空間 I コイル の一部 ( ) ( ) J r A r 注意 : 位置ベクトルが r に変化 A ( r ) ds R = r r 背景 : 真空 I = = = Ids A 4π ( r ) 4π Ids Ids r Ids R Ids r 電流 r 原点 O r 電流 コイル の一部 ds 電流 : ベクトルポテンシャルの意味 電流 が電流 上の位置 r に作るベクトルポテンシャル 電流 の電流素片 ds に沿って線積分 注意 : 積分の意味 電流 の電流素片 ds に沿って線積分しながら 電流 の電流素片 ds に沿って線積分 積分中 r r R は変化 A r I s I d s ( ) = d = 4π r r 4πR 46-9

10 参照 :43-8 ポテンシャルエネルギー ( 静電場 ) と静電エネルギー 静電エネルギー : 個の点電荷の例 展開 Ue = ε + E r E r ( ) E r E ( r) ( ) ( ) 電荷 q による電場 E 電荷 q による電場 E = ε ( ) E r + ε ( ) E r + ε E r E r ( ) ( ) 電荷 q: 静電エネルギー ( 単独 ) 係数 (/) は有 電荷 q: 静電エネルギー ( 単独 ) 係数 (/) は有 相互作用による静電エネルギー係数 (/) は無 注目 : 相互作用による静電エネルギー 定義 : 静電ポテンシャル ( 電位 ) V εe( r) E( r) = εe [ V] = εex + x E x = ε [ ExV] + ε V + ε V = ρ V = q V x E r 条件 : 点電荷の場合 距離無限大で電場 E は存在しない 静電ポテンシャル ( 電位 ) は零 ( ) ( ) ガウスの法則 : 微分型 r: 点電荷 q の位置 ( r r ) ρ = q δ 点電荷 q の電荷密度注意 : デルタ関数 (43-5) 46-

11 相互作用エネルギー : 電場と磁場 () 相互作用による静電エネルギー :43-9 電荷密度 ρ ( r) ( r) E ( r) E ( r) ( r) ( r) ρ φ ε ρ φ 電荷 q の電荷密度と電荷 q の静電ポテンシャルの積 変数 r: 体積分 電荷 q の電荷密度と電荷 q の静電ポテンシャルの積 相互作用による磁場のエネルギー J r A r B r B r J r A r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) コイル の電流密度とコイル のベクトルポテンシャルの積 変数 r: 体積分 コイル の電流密度とコイル のベクトルポテンシャルの積 静電場 E の世界 定常磁場 B の世界 電荷密度 静電ポテンシャル ( ) ( ) ρ r J r 電流密度 ( ) ( ) φ r A r ベクトルポテンシャル 46-

12 相互作用エネルギー : 電場と磁場 () 相互作用による静電エネルギー :43-9 電荷密度 ρ ρ ( r) φ ( r) ( r ) ρ ( r ) 4πε r r ρ 電荷 q の電荷密度と電荷 q の静電ポテンシャルの積 電荷 q の電荷密度と電荷 q の電荷密度 :43-4 相互作用による磁場のエネルギー Id s Id s ( ) ( ) ( ) ( ) J r J r A r J r 4π r r 4π r r コイル の電流密度とコイル のベクトルポテンシャルの積 参照 :46-9 コイル の電流密度とコイル の電流密度 静電場 E の世界 定常磁場 B の世界 電荷密度 静電ポテンシャル ( ) ( ) ρ r J r 電流密度 ( ) ( ) φ r A r ベクトルポテンシャル 46-

13 資料 : 電源について 定電圧源 どんな素子 ( 負荷 ) に対しても定電圧 素子が無くても定電圧 例 : 抵抗値が時間変化 例 : 電流も時間変化 ( オームの法則 ) 黒 : 抵抗値 素子 素子無 青 : 電圧値 V V V 電源 I 時間 定電流源 どんな素子 ( 負荷 ) に対しても定電流 素子が無くても定電流 ( 電圧零 ) 例 : 抵抗値が時間変化 例 : 電圧も時間変化 ( オームの法則 ) 素子 素子無 黒 : 抵抗値 I I 赤 : 電流値 電源 I I I 時間 46-3

14 資料 : 電源について コイルと電源 :46-3 どんな素子 ( 負荷 ) に対しても所望の電流変化を実現するために電圧を自動調整できる電源 黒矢印 : 電圧自動調整 例 : 所望の電流変化 ( 単調増加 ) 例 : 抵抗値が時間変化 例 : 電圧も時間変化 ( オームの法則 ) 抵抗 素子 黒 : 抵抗値 V I 赤 : 電流値 電源 I 時間 コイル 低 例 : 所望の電流変化 ( 単調増加 ) 例 : 抵抗値が時間変化 例 : 電流単調増加なら電圧一定 V 電源 V V 高 I 青 : 電圧値 赤 : 電流値 I コイルの起電力 di V = V = L = const dt. 時間 46-4

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