紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折るこのとき相似形はいくつできるだろうか? 2 個固定固定固定固定 2 個 2 個固定固定 3 個 3 個固定 3 個 4 個 4 個

Size: px

Start display at page:

Download "紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折るこのとき相似形はいくつできるだろうか? 2 個固定固定固定固定 2 個 2 個固定固定 3 個 3 個固定 3 個 4 個 4 個"

あいりさくいし
5 years ago
Views:

1 紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折るこのとき相似形はいくつできるだろうか? 個固定固定固定固定個個固定固定個個固定個 4 個 4 個

2 * 隣り合う辺を結んで折るとき最大個 * 向かい合う辺を結んで折るとき最大 4 個 < 問題 > 固定される場合その位置はどこか? そのときの相似比はいくらか? 返上を移動する場合その範囲はどうか? 合同になるときはあるか? それはどんなときか? 4 相似比が :: のようにきれいな比になることはあるか? それはどんなときか? 5 頂点が移動するときその軌跡はどうであるか? < 正方形 > 長方形ではいろいろな形が考えられてまとめにくいからまずは正方形で考えよう * 正方形では次のつの場合しかない D A D A D S B R R B B 問題の動く範囲はどうか? は辺 AD 上を動く ( ただし端点は除く ) D=x として 0<x< 問題の面積比はどうか? =0 x=5 で考えよう A 5 5 D y R B B

3 < 渡辺の回答 > RD=x とすると R=R=0-x 5 5 +y =(0-y) これを解いて y= 4 5 よって RD= 4 5 R= 4 5 :=RD:A = :5=: したがって A= D = また =5t B =4t B =t B=+B =0-A 0 8t=0- とおけるからこれを解いて t= したがって B = = 4 以上より 5 5 ::=RD:A :B = :5: =5:0:5=:4: 4 4 一般で考えよう A -x x D y R B B < 渡辺の回答 > RD=yとすると R=R=-y -x x +y =(-y) これを解いて y= -x よって RD= R=- -x = +x -x :=RD:A = :-x=+x: A x したがって A= D =x +x=+x RD

4 A +x また = R = +x = RD +x +x +x ここで B =- =- = x-x +x +x x x-x したがって :=A:B = : =:-x +x +x 以上より ::=+x::-x (0<x<) である < 性質 > の比をグラフに表すとグラフより面積として << が成り立つ 0 x また相似比として += が成り立つ < 藤本 > 文字を使わずに紙を折る動作だけで += を説明できないか? それは無理のようだ < 折れ線は何?> - /(+) (- )/ n (- )/(+) n n ( +)/(+) 0 -:/(+) =n:(- )/(+) n=(-) / よって折れ線 :y=x+(-) / ( +)/

5 < 長方形 > A D B A= - - D=- AB: D=AB:D=:- - ただし < したがって AB> D (<) が成り立つ 4 つの直角三角形がすべて相似となるはいくらか? A D B すべてが相似になるのは B= B= D=60 のときであるよって == B= AB:B=B:B :=: したがって = このとき ::=B:B: = :: であるまたの相似比はの辺の比に等しいことがわかる

6 A R D B AB=A(=) よってであるしたがって ARは二等辺三角形である ARが正三角形になるのはがいくらのときか? A R D B B=R=RD AR=B したがって =AD=B+RD=RD+RD=RD RD= よって B=RD= すなわち =AB= B=

7 つまり = のとき上記の 7 つの直角三角形はすべて合同である ( 一般に立ち返ると ) A R D B は合同である AR=R より四角形 AR はひし形である

8 相似三角形を作らない折り方. どんな三角形にすることができるか? 左図よりいつも二等辺三角形である =60 のとき正三角形である =45 のとき直角二等辺三角形であるどんな四角形にすることができるか? * 向かい合う辺は平行とはならないので平行四辺形の特別なものにはなり得ない * たこ形になるときもとの長方形の形による

9 いろいろな問題. 渡辺の問題 * 平行四辺形を折るときつの三角形は相似か?. 藤本の問題 * 平行四辺形を折ると相似な三角形が組できる. 泉の問題 * 二等辺三角形を図のよう平行になるように折るときつの三角形にはどんな関係があるか? 4. 対称に折る問題 ( 藤本 ) 正三角形 * 正三角形を折るとつの相似な三角形ができる * 線対称になる折り方はどうか正方形 * 正方形が線対称になるような折り方はどうか?

10 < 渡辺の問題に対する解答 > 図において A D Dはに関して点 Bと対称な点であるから点 Oは対角線 BDの中点であるしたがって Oは平行四辺形の中心だから O=O よって対角線が互いに他を二等分するので四角形 BDは平行四辺形である O よって D=B D= B AD= AD- D B= AB- B B すなわち AD= B また AD=B より AD B B 'D よって AD 'D である <アローナの問題に対する解答 > DEと GFE において D= F( 平行四辺形の対角 ) B A DE= FEG( 対頂角 ) ゆえに DE GFE ABと IHG において上より DE= FGE D DE= AB( 対頂角 ) FGE= IGH E I よって AB= IGH G また B= H( 平行四辺形の対角 ) F H ゆえに AB IHG <アローナの問題に対する誤解 > A AB だからつの三角形はみな D と相似だといえる < 藤本のアローナへの反論 > AB とは言えない B 実際もし AB だと仮定すると = = b とおくと b の内角の和より + b=80 また A= + b=80 から = b これは矛盾である E

11 <アローナの問題に対する解答 > = c f = f c= g e g f= e c= d d= b d よってつの三角形は相似である b c b b b c c c +b+c= c = +b -bcos60 = +b -b (--b) = +b -b + +b --b+b= +b -b --b+b=0 b(-)=- - b= c=--b=-- = = - つまり - b= - +- c= (0<< ) -

12 ( 藤本の予想 ) 4 は明らかであるさらにとすると 4 と成りそうである 4 < 証明 > とすると b c b c c d= b f 4 一辺の長さは +b+c よって d= したがってよって f=b したがって 4であるつまりならば 4 である ( 追加予想 ) 対称になるには 4 で十分であるがこのときも 4 が言えそうである証明は不明

13 <Mthemtic の利用 > b c - d e f g i h j 4 k d:e=b: d:f=b:c g:h=:b g:i=:c j:k=b: j: =b:c c= +b d=--c e=d/b f=cd/b g=-b-f h=bg/ i=gc/ j=-e-i k=j/b =jc/b Mthemtic を利用すると h+ +k= ならば 4

図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます等しいことは当然のように見えますが証明とは

図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます等しいことは当然のように見えますが証明とは図形と証明 1 対頂角 a = b a+ c= 180 なので a = 180 - c b+ c= 180 なので b = 180 - c 1 2 1,2 から a = b a と b のように交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます等しいことは当然のように見えますが証明とはそれを筋道立てて説明することです a も b も角度を使った式で同じ式になるということを述べるのがこの証明です

紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折る このとき 相似形はいくつできるだろうか? 2 個 固定固定固定 固定 2 個 2 個 固定 固定 3 個 3 個 固定 3 個 4 個 4 個

紙を折る < 問題 > 長方形の紙を折るこのとき相似形はいくつできるだろうか? 2 個固定固定固定固定 2 個 2 個固定固定 3 個 3 個固定 3 個 4 個 4 個