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1 数理計画法 田地宏一 Inrodcion o Mahemaical rogramming 教科書 : 新版数理計画入門 福島雅夫 朝倉書店 参考書 : 最適化法 田村 村松著 共立出版 工学基礎最適化とその応用 矢部著 数理工学社 6Linear and Nonlinear Opimizaion: second ediion I.Griba.G. Nash and A. ofer IAM 9 など多数 資料 hp:// または hp:// /~aji/lecre/lecre.hml おすすめ

2 内容と今後の予定. イントロ 例題と種類 機械系における例. 線形計画法 定式化 図形的解法 シンプレックス法 二段解法 双対性 3. ネットワーク計画 ダイクストラ法 ネットワークシンプレックス法 4. 非線形計画 無制約最適化のアルゴリズム KK 条件と Q 法 5. 組合せ最適化 分枝限定法 6. 内点法と錐線形計画 L の内点法 半正定値計画 D の理論 二次錐計画と D のアルゴリズム 3. 数理計画モデル 4

3 数理計画の手順 解きたい問題 問題の修正 修正 数理モデル線形モデル 非線形モデル 離散モデル グラフ ネットワーク 待ち行列 シミュレーション 統計モデル... 解法 アルゴリズム 答え 5 例題 生産計画問題 3 種類の原料 ABC を加工して 種類の製品 ⅠⅡ を作る. Ⅰ を 単位作るには A が. 単位 B. 単位 C.4 単位必要である. Ⅱ を 単位作るには A.3 単位 B.5 単位 C.3 単位必要である. 原料 ABC の在庫はそれぞれ.56.4 である. ⅠⅡ の純益がそれぞれ 3 6 であるとき 純益を最大とするような ⅠⅡ の生産量を求めよ. 6

4 製品 Ⅰ を製品 Ⅱ を生産するものとする. 生産計画のデータ Ⅰ Ⅱ 総量 A..3.5 B..5 6 C 純益 3 6 生産量は非負 最大化 7 まとめると 最大化 制約条件 線形計画問題 Linear rogramming L 8

5 A b c 3 6 とおくと 以下のように書ける 行列形式. ma c A b 9 数理計画問題 与えられた制約条件の下で 目的関数を最小化 または最大化 する数学モデル. 目的関数 f 制約条件 または min f 最小 最大

6 n R f : R R : n 実行可能集合 feasible se region : であり 実行可能解 feasible poin solion 実行可能解の中で目的関数値が最小 または最大 となる点を最適解 R n はg h i j X i j m l 不等式制約 等式制約 その他 整数制約など のように数式の組で表されることが多い R n g h i j X i j m l 実行可能集合 feasible se : 実行可能解 feasible solion

7 3 数理計画問題 再掲 X l j h m i g f j i min 以下のように表現される問題応用. 変分問題懸垂線 最速降下線など最適制御問題 U X d d d F min 4

8 . 学習 パターン認識 画像処理 ニューラル ネットワーク VM など 5 3. 統計学 統計分析 最尤推定 : 尤度関数が最大となる統計量 回帰分析 : 二乗誤差が最小となる直線 曲面 4. ファイナンス 金融工学 最小二乗法 6

9 5. 構造 設計トラスの構造 部材を決めるロボットアームの長さ 配置 把持位置翼の形状などなど 工学 経済学 医学 生物学 などのあらゆる分野にある 7 数理計画問題のいろいろ 機械 制御系を中心に 連続的 : 変数が連続的な実数値をとる 離散的 : 整数値や - などの離散値をとる そのようなものを含む 線形計画法は 両方の性質を持つ 8

10 線形計画 Linear rogramming L 目的関数 制約条件がすべて一次式 min b 最初の生産計画の例も L c A 非線形計画 Nonlinear rogramming NL 目的関数や制約条件の中に一次式でないものを含む 9 二次計画 Qadraic rogramming Q 目的関数が二次関数 制約条件はすべて一次式 min A Q b q Q が半正定値のとき 凸二次計画という 非線形計画の一つ

11 制御問題の例 LQR モデル予測制御 min A Q これは変分問題 f Q B m M 離散化 R d min N Q f N A N B Q m R M N Q : 半正定値 R: 正定値 凸二次計画 整数計画法 Ineger rogramming I i 決定変数の一部または全部に整数制約が付いたもの. 連続の場合より難しい 組合せ最適化 混合整数計画 Mied Ineger rogramming MI 組合せ最適化 Combinaorial Opimizaion

12 区分的アフィンシステムのモデル予測制御 min p N N q.8.8 r if if p q r M M ただし M : 十分大を追加 - 変数 と補助変数をもちいて制約条件を書き替える z 3 min p M z z N M.8 N or z q M M - 混合整数計画問題 M r.6z M z p q r M は 以外の値をとらない Mied Ineger Qadraic rogramming MIQ 4

13 半正定値計画 emidefinie rogramming D ma b i m i A i C n : 半正定値対称行列 制御系の解析 : Linear Mari Ineqaliy LMI 設計 :Bilinear Mari Ineqaliy BMI 5 システムの安定性 A リヤプノフの定理より ならば安定. これは LMI. A A 等価な D ma I A A λ> の解を持つことと 安定性が等価 n 6

14 フィードバック安定化 A B y C 出力フィードバック Ly をもちいて安定化 A BLC A BLC 変数 L と の BMI 非線形 非凸 D となる ma I A BLC A BLC n 7 そのほかのモデル ネットワーク計画最短路問題 カーナビの基礎 最大流問題 最小費用流問題 交通流割当問題などスケジューリング均衡問題などは 適宜説明します. 8

15 補足 : 簡単な問題と難しい問題 簡単な問題 凸計画 線形計画 L 凸二次計画 半正定値計画 D など 効率のよい商用 非商用プログラムがある 後日 紹介します 難しい問題 ただし難しさのレベルはいろいろ 非凸最適化 組合せ最適化 均衡制約付き最適化問題 MEC など 9 今後の進め方 資料は前日までにホームページに掲載します. 当日持参することが望ましい. ほぼ毎回レポート課題がある らしい. 数理計画に関して講義してほしいテーマ 例えば卒論関係でとか があれば 申し出てください. 3

16 演習課題本日のスライド 3 ページの問題 区分的アフィンシステム と 4 ページの問題 その - 混合整数計画版 が等価であることを説明せよ. 締切 :4 月 日 木 6: Ⅳ 系事務室 3

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