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あおいしまむね
5 years ago
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1 区分求積法. 面積 ( )/ f () > n + n, S 長方形の和集合で近似 n f (n ) リーマン和 f (n ) 区分求積法リーマン和 S S n n / n n f ()d リーマン積分 ( + ) + S (, f ( )) 微分の心 Zoom In して局所的な性質を調べる積分の心 Zoom Ou して大域的な性質を調べる曲線の長さ領域の面積や体積ある領域に含まれる物質の質量電荷の総量 ec... 求積そんなこんなを求めたい微分と積分 E. - 区分求積法を用いて軸と直線および直線で囲まれる領域の面積 S を求めよ E. - の解答 S 基本方針曲線の長さ細かく分解して数え上げる曲線の長さ E. - の解答平面上の曲線のパラメータ表示 r() r() ((), ()) r() [, ] に対応する部分を曲線 () r() (, ) [, ] と名付けその長さを求めたい E. - 区間 [, ] に対応する曲線を描きその長さを求めよ () r() (, ) () r() (cos, sin ) [, ] () r() (cos, sin ) これらの例は直線や円なので簡単に長さが求まるが一般の曲線では計算するための方法が必要

2 n + n (n,,, ) 区間 [, ] を等分 r( ), r( ),, r( ) を順に線分で結ぶ折れ線近似 n ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) 分割をどんどん細かくすればが求められる lim lim n ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) (n+ ) (n ) (n + ) (n ) (n ) + O( ) (n+ ) (n ) (n + ) (n ) (n ) + O( ) E. - 上の式を用いて以下を示せただし [, ] に対して () + () であるとする ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) ((n+ ) (n )) (n ) + O( ) (n ) + O( ) ((n+ ) (n )) (n ) + O( ) (n ) + O( ) ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) ( (n ) + (n ) ) + O( ) ( (n ) + (n ) ) + O( ) (n ) + (n ) ( + O( )) E. - の解答 ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) # $ (n ) + (n ) + O( ) n lim + h + h + O( h ) (n ) + (n ) + O( ) r () ( (), ()) なので r () r () d () + () E. -5 のグラフのに対応する部分の長さを求めよ E. -5 の解答 r() (, ) とパラメータ表示すると r () (, ) + d ( + ) ( ) (n ) + (n ) + O( ) n ((n+ ) (n )) + ((n+ ) (n )) () + () d のとき微小区間微小変位 f () f ( + ) f () n n ことを示せ ( (n ) + (n ) ) + O( ) (n ) + (n ) + O( ) E. - () + () d である E. - の結果を用いて E. - の解答 f () d f () d d d d f ()d 微小区間 [, + d] でのの変位微小変位 d f () + O( )

3 微小区間微小長方形線素微小線分長 f (n ) f () f (n ) 微小長方形の面積 f () d からまで足し合わせる限りなく短い区間 [, + d] それを１辺とする長方形には微小線分に分割しておいてそれを足しあわせる微小線分の長さを線素といい d 長方形の面積拡大 ρ 金属線の全質量 M を求める金属線を微小線分に分解 E. -6 金属線が r() (, ) のの部分で与えられているとするまた線密度が ρ + であるとするこのとき金属線の長さと全質量 M を求めよ E. -6 の解答 r () (, ) なので r () 5 ρ が r() ( ) で与えられていると r () d M ρ ρ r () d 曲線の表示に関する注意曲線のパラメータ表示は一意的には決まらない例えば r () (, ) ( ) r () (log, log ) (e e) r () ( sin, sin ) ( ) 曲線の長さはどの表示を採用するかに関係なく決まるはず E. -7 上の３通りの表示が表す曲線を描きそれぞれのパラメータ表示を用いて曲線の長さを求めよ r () (, ) ( ) ではどうか M r () d 5 d 5 ρ r () d 金属線の質量微小線分の質量線密度線素 ρ 線素をに沿って足しあわせる r () d d 正の増分 r () d はの長さ金属線の線密度を ρ とするときで表す r( + d) r() r ()d 微小区間微小長方形これをに沿って足しあわせると M 金属線の質量 # 5( + )d 5 + 曲線の表示に関する注意 E. -7 の解答いずれも左図の曲線線分となる r (), r (), r () に対してはいずれも 8 r () に対しては + となり一致しないなぜ戻り道を多重カウント曲線のパラメータ表示はUターン禁止

4 定義曲線の上で定義された関数 f があるとき f E. -8 の解答 r() (, ) より f の形の積分を曲線に沿ってのという曲線が r() ( ) で与えられるとき f f r () d r () d r () E. -8 曲線が r() (, ) ( ) f で与えられるとき f 関数 f が f を求めよ () () ( + ) d cos d [sin ] cos sin sin d d 内積の関数のときと同様ベクトル場 V は曲線上でのみ定義されていることもあるし平面上で定義されている場合もある E. - ２通りの曲線と２通りのベクトル場が以下のように与えられているとする曲線 r () (, ) ( ) ベクトル場 V (, ), V (, ) V j (i, j, ) を求めよ４通りの i 曲線 r () (, ) ( ) (5 5 ) V の接線方向の成分 V の r() V V f を求めよ r () + d 曲線上にベクトル場 V が与えられている () f (, ) E. -9 の解答 r () ( sin, cos ) 曲線が r() ( ) で与えられ, E. -9 曲線 r() (cos, sin ) ( /) () f (, ) 内積の関数 f は前問のように曲線上でのみ定義されていることもあるし平面上で定義されている場合もある + となるので次の f (, ) に対し r () (, ) であり r() r () d 単位接線ベクトル E. - の解答 r () r () i V j V r ()d V r ()d 内積の V j r i ()d を計算する上では V (, ), V (, ) 上では V (, ), V (, ) r () (, ), r () (, ) V r () (, ) (, ) V r () (, ) (, ) + V r () (, ) (, ) V r () (, ) (, ) V V V V

5 内積の内積のの表現の仕方いろいろ d r ()d d V V r ()d r() V r() V g (, g) 重力 mg が物体になしたの総和 L V (V, V ) (d, d) (V d + V d) 重力の移動方向成分移動距離 mg L h mg θ mg L mgl sin θ mgh (cos θ, sin θ) 物体が曲線に沿って移動したとき重力 mg が物体になしたの総和 mg r ()d mg mg ()d mg(() ()) このタイプのでは曲線の向きが逆転するとの符号も逆転するやが反転するから注 f は曲線の向きによらない E. - 質点が力 F (, ) を受けながら曲線 cos に沿って (, ) から (, ) まで移動したときこの質点に力 F がなした W を求めよ E. - 曲線を r() (e cos, e sin ) ( ) で与える () 曲線の概形を描け () 曲線の長さを求めよ () 質点が力 F (, ) を受けながら曲線に沿って始点から終点まで動いたときこの力 F が質点になしたの総量 W を求めよ単位接線ベクトル mg E. - の解答曲線を r() (, cos ) ( ) で与えると W F E. - の解答 F r ()d ( + sin )d + () 右図テキスト () r () e ( cos sin, sin + cos ) r () + + e d + ( e ). e..5.5 () F e ( sin, cos ) W F r ()d F r () e.5 e d ( e ).5..

2011年度東京工大・数学

2011年度東京工大・数学東京工業大学前期日程問題解答解説のページへ n n を自然数とする平面上で行列 n( n+ ) n+ の表す次変換 ( 移動ともいう ) を n とする次の問いに答えよ () 原点 O(, ) を通る直線で, その直線上のすべての点が n により同じ直線上に移されるものが本あることを示し, この直線の方程式を求めよ () () で得られた直線と曲線 (3) を求めよ n Sn 6