2009 年 11 月 16 日版 ( 久家 ) 遠地 P 波の変位波形の作成遠地 P 波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は波線理論をもとに P U () t = S()* t E()* t P() t で近似的に計算できる * は畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録

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つねときしんまつ
5 years ago
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1 遠地波の変位波形の作成遠地波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は波線理論をもとに U () t S() t E() t () t で近似的に計算できるは畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録参照 ) ここで St () は地震の断層運動によって決まる時間関数 1 E() t は地下構造によって生じる種々の波の到着を与える時間関数 ( ここでは直達波とともに震源そばの地表での反射波や変換波を与える時間関数 ) t () は震源から観測点まで伝わる時の非弾性の効果を与える時間関数 3 1 St (): 震源の効果地震の断層の大きさが無視できるような場合 ( 地震の震源領域を点と仮定できる時 ) 遠地では far-field 項だけになるので St () はモーメントの時間微分になるモーメントの時間変化は M () t μ AΔu() t で定義され μ は剛性率 A は断層の面積 Δut () は断層のずれの時間変化よって St () は M () t ( ドットは時間微分を表す ) 剛性率面積が一定であると Δut () に比例し断層でのずれの時間関数の時間微分となる均質無限弾性体では遠地波の波形 ( かたち ) は断層のずれ関数の微分となる ( 下図参照 ) また断層の大きさが無視できない時にはこの関数を時間遅れを考慮して震源領域にわたって積分したものが St () となる 1

2 演習では自分の好きな形の関数を使ってみてください例えば面積 1 となる三角形の関数を使う場合のような形の値をもつ関数 ( 配列 ) をプログラムの中でつくることになるなお関数の継続時間 ( 上の例では X) の値は後で変えられるようにしておく後の演習で継続時間の値を変えた場合の計算波形の違いを調べる Δt は時系列データの時間間隔で本演習では 0. 秒とするまずは継続時間を 30 秒とする E() t : 構造の効果地球には地表がありそこで地震波が反射したり変換したりする観測点が遠地にあり地震の震源が浅いと震源のそばの地表で反射したり変換したりして生じた波も直接伝わる波とほぼ同じ波線を通って似たような時刻に観測点に到着する震源のまわりの四角の領域では

3 下向きに直接観測点に向かう波 ( 直達波 ) のほかに震源の上の地表で反射した p 波と地表で S 波から波に変換した s 波が生じる震源が浅いとこれら p s の経路や観測点までの所要時間の違いは小さくなる遠方の観測点では直達波が来たあとに p それから s が短い時間で到達することになる震源から波が一瞬で放射される場合これらの波の到着する時間と振幅を模式的に表すと下図のようになるこれが E() t p Δt と Δt s は波を平面波と仮定して p と s がその平面波の位相からどれだけずれるかを幾何学的に考えると求められる今回の演習では地震の震源周辺の波速度を 6.15km/s S 波速度を 3.56km/s と仮定してみよう震源の深さはまずは 45km にするまた振幅は波が伝播する方向と波 ( あるいは SV 波 ) 放射特性等で決まる断層の走向傾斜角すべり角はまずはとするこれら p s からなる時間関数 E() t は Et () Uˆ () t + p+ s R ( δ, λ, φ, i ) δ( t T ) 波 0 p + R ( δ, λ, φ,180 i ) ( i ) δ( t T Δ t ) p 波 3 SV δ λ φ 3 α + α β s R (,,,180 i ) S( i ) δ( t T0 t ) β Δ s 波 0 3

4 ここで T0 は波の走時 ( 本演習の解析ではゼロとしてよい ) R R SV は波放射特性と SV 波放射特性 ( 次ページの 1) sin i i は波と S 波の射出角 (take-off angle) でスネルの法則から i を満たす α β は波と S 波の速度 α sin i β ( i ) S( i ) は以下のような地表での反射係数 ( 変位に対する係数 ) 地表に波で入射し波で反射したときの反射係数 1 ( ) + 4 ( i ) ( ) 4 β α β p p β α β 1 p + p 地表に SV 波で入射し波で反射したときの反射係数 S i ( ) β 1 4 p ( p ) α β β 1 ( ) 4 p + p β α β sin i なお p (ray parameter) α 注意 : 上記の式は下の図の太矢印のように波が伝播する水平方向への振動を正にとっている反射係数そのため SV 波から波へ変換する場合 SV 波波放射特性のときの振動の正負とずれてくる実際には上の S の式に - をつけた式を s の計算に使用する必要があるについてはそのままでよい 4

5sin sin sin i(1 sin ) ここで ρ は弾性体の密度 α と β は弾性体の波速度と S 波速度は S 波の射出角 i δ は断層の傾斜角 λ は断層のすべり角 φ φ φ で s s f φ は S 波の伝播する方位 ( 観測点の方位 ) φ は断層の走向 f なお SV

5 1 波放射特性 (radiation pattern) p R cos sin sin i sin cos cos sin i cos λ δ φ λ δ φ + λ δ φ + λ δ φ sin sin (cos i sin i sin ) sin cos sin i sin SV 波放射特性 (radiation pattern) SV R sin λ cos δ cos i sinφ cos λ cosδ cos i cosφ + λ δ φ λ δ + φ 0.5cos sin sin i sin 0.5sin sin sin i(1 sin ) ここで ρ は弾性体の密度 α と β は弾性体の波速度と S 波速度は S 波の射出角 i δ は断層の傾斜角 λ は断層のすべり角 φ φ φ で s s f φ は S 波の伝播する方位 ( 観測点の方位 ) φ は断層の走向 f なお SV 波は波とカップリングを起こす S 波の成分で次のように定義している S 波は波線 ( 左図の Ray) に垂直な面で振動しつの成分 SH と SV で表現する SH は水平 ( 地表 ) 面方向の S 波の振動 SV は SH と波線 (Ray) の両方に垂直な方向での S 波の振動である SV 波と波は地表や地震波速度の不連続に入射すると互いに変換 (SV や SV) を起こす 5

6 3 t (): 非弾性の効果ごく小さな断層で断層運動が瞬時に起こり波変位波形がデルタ関数として震源を出発したとしても地球内部が完全弾性体でないために地震計のある遠方の観測点に達するまでに波変位波形はもはやデルタ関数でなくなるこの非弾性の効果は周波数領域において複素数 exp( A( ω)) で与えられる (ω は角周波数 ) ここで A( ω) の実部 A( ω) の虚部周波数領域での波変位に対して 0.5t ω t ω ln( t ω) 1.4t ω π U ( ω) U ( ω)exp( A( ω)) S ( ω) E ( ω)exp( A( ω )) elastic のように掛け合わせることで非弾性の効果を考慮した波変位 ( 左辺 ) を得ることができるつまり t () のフーリエ変換 ( ω) が exp( A( ω)) となっている A( ω) の中にある t ( 単位は秒 ) という量が非弾性の強さを表す大きくなると完全弾性体からのずれが大きくなる exp( A( ω)) を逆フーリエ変換すると非弾性効果の時間領域での応答関数 (impulse response) になる ( これが t () になる ) その例が下図 t の値が大きくなるとより長い時間尾を引くようになるこれらの時間関数は言いかえると地震の震源をでたときデルタ関数であった変位波形が地震と観測点の間で決まる応じて観測点につくころに変わっているだろう波形を示している t に上記に説明したように周波数領域で exp( A( ω)) をかけるかわりにこのような時間領域での応答関数を時間領域でU () t S() t E() t に畳み込み積分しても非弾性の効果を波形に入れることができる elastic 6

7 今回は波変位を計算するにあたって t の値としてよく使用される 1 秒を用いる付録畳み込み積分 (convolution) 時間領域離散化すると st () f() t gt () f( τ ) gt ( τ) dτ si ( Δ t) f( kδtgi ) ( Δt kδt) Δt k ここで Δt は離散化したときの時間ステップ ( 時間間隔 ) である周波数領域 sˆ( ω) [ f( τ) g( t τ) dτ] e z t τ として iωz iωτ [ f ( τ) gzd ( ) τ] e e dt iωτ iω z [ f ( τ) e dτ] g( z) e dt ˆ( ) ( ) iω z f ω g z e dt fˆ ( ω) gˆ ( ω) iωt dt 7

第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2

第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2 第 4 週コンボリューションその, 正弦波による分解教科書 p. 6~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題問. 以下の図にならって, との δ 関数を図示せよ. - - - δ () δ ( ) - - - 図 δ 関数の図示の例 δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) - - - - - - - -

2009 年 11 月 16 日版 ( 久家 ) 遠地 P 波の変位波形の作成 遠地 P 波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は 波線理論をもとに P U () t = S()* t E()* t P() t で近似的に計算できる * は畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録

2009 年 11 月 16 日版 ( 久家 ) 遠地 P 波の変位波形の作成遠地 P 波の変位波形 ( 変位の時間関数 ) は波線理論をもとに P U () t = S()* t E()* t P() t で近似的に計算できる * は畳み込み積分 (convolution) を表す ( 付録