数学科学習指導案 指導者ステップコース隠地純子 平野未紗 ジャンプコース中村徳寿 1 日時平成 27 年 1 月 20 日 ( 火 )5 校時 2 学年第 1 学年ステップコース 12 人 ジャンプコース 19 人 3 単元名空間図形 立体の表面積と体積 4 単元について (1) 単元観中学校学習指

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1 数学科学習指導案 指導者ステップコース隠地純子 平野未紗 ジャンプコース中村徳寿 1 日時平成 27 年 1 月 20 日 ( 火 )5 校時 2 学年第 1 学年ステップコース 12 人 ジャンプコース 19 人 3 単元名空間図形 立体の表面積と体積 4 単元について (1) 単元観中学校学習指導要領における第 1 学年 B 図形 では, 観察, 操作や実験などの活動を通して, 空間図形についての理解を深めるとともに, 図形の計量についての能力を伸ばす ことを目標としている 小学校算数科では, 第 1 学年から身近な立体について観察したり, 分類したりして, ものの形を次第に抽象化し, 図形として捉えさせている また, 第 2 学年から図形の構成要素に着目し立体図形を扱い, 第 3 学年で球, 第 5 学年までに, 立方体, 直方体, 角柱, 円柱を取扱い, それらの見取り図や展開図を書くことなどを通して立体図形についての理解を深めてきている 中学校数学科の第 1 学年では, これらの学習の上に立って, 空間図形についての理解を一層深める 小学校算数科で立体図形として扱っていた対象を, 中学校数学科では空間図形, すなわち, 空間における線や面の一部を組み合わせたものとして扱うということを意識する必要がある また, 直観的な理解を助け, 論理的に考察する能力を培うために, 例えば, 立体の模型を作りながら考えること, 目的に応じてその一部を平面上に表す工夫をすること, 平面上の表現からその立体の性質を読み取ることなど, 観察, 操作や実験などの活動を通した学習を進めていくこととする 図形の計量についても, 計算方法を導くだけでなく, 図形を理解する一つの側面として位置付ける (2) 生徒観 空間図形プレテスト (12 月 ) 本学級では, 入学時より習熟度別少人数授業を行っている 12 月に行った空間図形のプレテストでは, 各大問の通過率がコースにより 20 ポイント程度の開きがある 学力の個人差は大きいが, 生徒アンケートでの授業理解への肯定的解答は 90.3% と高い ステップコースの生徒は, 発表を意欲的に行う生徒もいるが, 小学校算数から苦手としている生徒や集中して思考を積み上げることの苦手な 空間認識円周 面積体積 STEP JUMP 生徒がいる 空間図形プレテストの円に関する問題では公式間違いによる誤答が 25%, 無回答が 33% あった 立体の計量場面では, 用語の意味やその立体がどのような平面で構成されているのか, 円周率としてπを用いること, 文字式の計算など, これまでの学習内容が多く含まれており, 課題場面の把握から解決までのそれぞれの段階でのつまずきが予想される ジャンプコースの生徒は, 学習に落ち着いて取り組むことができ, 積極的な発言も多く学習意欲は高い 空間図形プレテストの円に関する問題では, 円周率をπで計算すべきところを 3.14 として計算した誤答が32% であった 既習事項について, 基礎的な内容は概ね定着しているが, 図形単元については苦手意識を持っている生徒もいる

2 (3) 指導観この章の学習では立体を平面上におきかえて考察する場面が多いが, 空間概念が未熟なままでの 2 次元での考察は無理がある そのために, いろいろな立体の模型をつくる 立体がどんな平面図形で構成されているのか面の状態はどうなっているか面と面の出あったところはどうかなど, 立体を詳しく調べる 立体の見取り図をそれらしく書く などの作業を通して, 空間における直線や平面について考察していき, 空間図形に対する見方やとらえ方を豊かにしていきたい ステップコースでの指導にあたっては, 課題場面の視覚的な提示や既習事項の掲示, ペアで説明しあう活動を通して理解や意欲を高め, 定着をはかる ジャンプコースでの指導にあたっては, 実際の計算過程を通して, その手順について理解し, 説明ができるようにしていきたい 5 単元の目標と評価規準 (1) 単元の目標 観察, 操作や実験などの活動を通して, 空間図形についての理解を深めるとともに, 図形の計量につ いての能力を伸ばす ア空間における直線や平面の位置関係を理解することができる イ空間図形を直線や平面の運動によって構成されるものととらえたり, 空間図形を平面上に表現して平面 上の表現から空間図形の性質を読み取ったりすることができる ウおうぎ形の弧の長さと面積並びに基本的な柱体, 錐体及び球の表面積と体積を求めることができる (2) 単元の評価規準 ア数学への関心 意欲 態度イ数学的な見方や考え方ウ数学的な技能 1 身のまわりの立体に関心をもち, それらを観察し, 分類 整理しようとしている 2 空間における直線や平面の位置関係に関心をもち, 立体の観察, 操作や実験を通して調べようとしている 3 直線や平面の運動によって空間図形が構成されることに関心をもち, どのような空間図形が構成されるかを考えようとしている 4 空間図形を投影図に表そうとしたり, 空間図形の性質をよみとったりしようとしている 5 おうぎ形の弧の長さや面積と中心角の関係に関心をもち, それを観察, 操作や実験を通して調べようとしている 6 柱体や錐体の表面積の求め方に関心をもち, それを立体の観察, 操作や実験を通して調べようとしている 7 球の体積や表面積の求め方に関心をもち, それを実験を通して調べようとしている 1 いろいろな立体の特徴を調べ, 共通点や相違点を見つけ説明することができる 2 空間における直線や平面の位置関係について, 観察, 操作や実験を通して, どのような場合があるかを考えることができる 3 柱体や錐体, 球などを, 直線や平面図形の運動により構成されているという見方ができる 4 図形の観察際, 投影図を目的に応じて用い, 空間図形の性質を平面図形に帰着させて見いだし, 考察することができる 5 具体的な問題を解決するとき, 展開図を活用できる 6 おうぎ形の弧の長さや面積が中心角に比例することを利用して考えることができる 7 観察, 操作や実験などを通して, 柱体や錐体の表面積の求め方を考えることができる 8 球の体積と表面積の求め方を, 円柱をもとにして導くことができる 9 球の体積と表面積の関係を説明することができる 1 作った立体の見取図をかいたり, 正多面体の辺の数や頂点の数をいうことができる 2 空間における直線や平面の位置関係を, 用語を用いて説明したり, 記号で表したりすることができる 3 直線や平面図形の運動によって構成された空間図形を, 見取図に表したり, 母線や回転体などの用語を用いて説明したりすることができる 4 空間図形の投影図をかいたり, 投影図からどのような空間図形を表しているのかを読み取ったりすることができる 5 空間図形の展開図をかいたり, 展開図からどのような空間図形を表しているのかを読み取ったりすることができる 6 円錐の側面になるおうぎ形の中心角やおうぎ形の弧の長さや面積を求めることができる 7 柱体や錐体の表面積を求めることができる 8 球の体積や表面積を求めることができる エ数量 図形などについての知識 理解 1 多面体, 角錐, 円錐の意味やそれぞれの立体の特徴を理解している 2 空間における直線や平面の位置関係を理解している 3 直線や平面図形の運動によって空間図形が構成されることを理解している 4 母線, 回転体の意味を理解している 5 投影図の意味や, 空間図形を投影図に表す方法を理解している 6 展開図の意味や空間図形を展開図に表す方法を理解している 7 側面になるおうぎ形の中心角の求め方やおうぎ形の弧の長さや面積の求め方を理解している 8 柱体や錐体の表面積の求め方を理解している 9 球の体積や表面積の求め方を理解している

3 6 指導と評価の計画 ( 全 19 時間 ) 次 学習内容 ( 時数 ) いろいろな立 体 (3) 直線や平面の 平行と垂直 (3) 面の動き (1) 立体の投影図 (1) 立体の展開図 (4) 表面積 (2) 本時 1/2 体積 (2) 球の体積と表 面積 (1) 章のまとめ (2) 評価 関見技知評価基準評価方法 〇 ア1 身のまわりの立体に関心をもち, それらを観察し, 分類 整理しようとしているイ1いろいろな立体の特徴を調べたり, 共通点や相違点を見つけ説明することができる ウ1 作った立体の見取図をかいたり, 正多面体の辺の数や頂点の数をいうことができるエ1 多面体, 角錐, 円錐の意味やそれぞれの立体の特徴を理解しているア2 空間における直線や平面の位置関係に関心をもち, 立体の観察, 操作や実験を通して調べようとしている イ2 空間における直線や平面の位置関係について, 観察, 操作や実験を通して, どのような場合があるかを考えることができる ウ2 空間における直線や平面の位置関係を, 用語を用いて説明したり, 記号で表したりすることができる エ2 空間における直線や平面の位置関係を理解している ア3 直線や平面の運動によって空間図形が構成されることに関心をもち, どのような空間図形が構成されるかを考えようとしている イ3 柱体や錐体, 球などを, 直線や平面図形の運動によって構成されているという見方でみることができる ウ3 直線や平面図形の運動によって構成された空間図形を, 見取図に表したり, 母線や回転体などの用語を用いて説明したりすることができる エ3 直線や平面図形の運動によって空間図形が構成されることを理解している 4 母線, 回転体の意味を理解している ア4 空間図形を投影図に表そうとしたり, 空間図形の性質をよみとったりしようとしている イ4 図形を観察する際, 投影図を目的に応じて用い, 空間図形の性質を平面図形に帰着させて見いだしたり, 考察したりすることができる ウ4 空間図形の投影図をかいたり, 投影図からどのような空間図形を表しているのかを読み取ったりすることができる エ5 投影図の意味や, 空間図形を投影図に表す方法を理解している ア5おうぎ形の弧の長さや面積と中心角の関係に関心をもち, それを観察, 操作や実験を通して調べようとしている イ5 具体的な問題を解決するとき, 展開図を活用することができる 6おうぎ形の弧の長さや面積が中心角に比例することを利用して, その求め方を考えることができる ウ5 空間図形の展開図をかいたり, 展開図からどのような空間図形を表しているのかを読み取ったりすることができる 6 円錐の側面になるおうぎ形の中心角やおうぎ形の弧の長さや面積を求めることができる エ6 展開図の意味や空間図形を展開図に表す方法を理解している 7 側面になるおうぎ形の中心角の求め方やおうぎ形の弧の長さや面積の求め方を理解している ア6 柱体や錐体の表面積の求め方に関心をもち, それを立体の観察, 操作や実験を通して調べようとしている イ7 観察, 操作や実験などを通して, 柱体や錐体の表面積の求め方を考えることができる ウ7 柱体や錐体の表面積を求めることができる エ8 柱体や錐体の表面積の求め方を理解している ア6 柱体や錐体の表面積の求め方に関心をもち, それを立体の観察, 操作や実験を通して調べようとしている イ7 観察, 操作や実験などを通して, 柱体や錐体の表面積の求め方を考えることができる ウ7 柱体や錐体の表面積を求めることができる エ8 柱体や錐体の表面積の求め方を理解している ア7 球の体積や表面積の求め方に関心をもち, それを実験を通して調べようとしているイ8 球の体積と表面積の求め方を, その球がちょうど入る円柱の体積, 表面積をもとにして導くことができる ウ8 球の体積や表面積を求めることができる エ9 球の体積や表面積の求め方を理解している イ9 球の体積と表面積の関係を説明することができる エ8 柱体や錐体の表面積の求め方を理解している 9 球の体積や表面積の求め方を理解している レポート小テスト

4 7 本時について (1) 目標柱体や錐体の表面積を求めることができる (2) 評価規準 ウ 7 柱体や錐体の表面積を求めることができる ( 数学的な技能 ) (3) 授業仮説ステップコース 表面積を求めるために必要な情報を整理 させれば, 思考する手順がより明確になり, 生徒は 表面積を求める力 が高まるであろう ジャンプコース 表面積の求め方について, 展開図の利用を示すこと をすれば, 立体を構成する平面が理解でき, 生徒は 表面積の具体的な求め方を考える力 が高まるであろう

5 (4) 展開ステップコース 入題把握導人思考課人思考個まとめ ふりかえり学習活動 既習事項の復習に取り組む (5 分 ) 円の面積 円周の長さ おうぎ形の面積 弧の長さ 課題場面をつかむ (5 分 ) 展開図の面積が大きい立体はどれだろう 表面積, 側面積, 底面積について知る (5 分 ) 必要な情報を考え, 表面積を計算する (5 分 ) 分かったこと 分からないことについてヘ アで 確認する (5 分 ) 求め方を全体で確認する (10 分 ) 必要な情報を整理し, 表面積の求め方を確認 する 円周率を 3.14 として,3 つの立体の表面積 を比較する 確認問題を解く (5 分 ) 指導上の留意事項 < 個に応じた指導の工夫 > 全員発声から個別指名 T2 がノート点検 三角柱 円柱 円すいについ て視覚的にとらえ, 予想させ る 学習のめあて 立体の表面積を求めることができる 3 三角柱 円すいの表面積を求めよう 本時で目指す生徒の姿 本時のまとめ (5 分 ) 問題練習に取り組む (5 分 ) 表 教 展開図を示し, 円柱の表面積 の求め方を例示する 側面積 3 (2π 2)=12π 底面積 π 2 2 =4π したがって表面積は 12π+4π 2=20π 答 20π cm 2 どの立体も既習事項の組み合 わせであることを確認する 既習事項を提示し, 適用させる T1 と T2 で演示 円柱や円すいでは, 底面の情 報が側面積に必要な情報とな ることをおさえる 情報を整理し表面積を求めることができる 展開図をもとに立体の表面積を求めることができた 四角形や三角形, 円やおうぎ形などの既習の面積を組み合わせるとよい 考 集団思考個評価規準 ( 評価方法 ) 表面積を求めることができ る ( ウ 7)( ノート )

6 (5) 板書計画ステップコース 学習のめあて 立体の表面積を求めることができる 円柱三角柱円すい 3 側面積 3 (2π 2)=12π 底面積 π 2 2 =4π したがって表面積は 12π+4π 2=20π 答 20π cm 2 側面積 4 (5+4+3)=48 底面積 4 3 2=6 したがって表面積は =60 答 60 cm 2 側面積 4 (2π 3) 2=12π 底面積 π 3 2 =9π したがって表面積は 12π+9π=21π 答 21π cm 2 およその値 =62.8 およその値 =65.94

7 入題把握導人思考課集団思考個まとめとふりかえり (4) 展開ジャンプコース 学習活動 前時の内容の復習 本時の内容の予習につ 指導上の留意事項 < 個に応じた指導の工夫 > 用語の確認と本時の内容につい 評価規準 ( 評価方法 ) いて確認する (5 分 ) て確認をする 立体の表面積とはどのような面積なのか, 予 習内容から発表をする (5 分 ) 関 学習のめあて 立体の表面積を求める事ができる どのようにすれば, 簡単に表面積を求めていく事 全体でどのような求め方がある ができるのか, 発表する (5 分 ) 底面積 考 のかを確認する 側面積 底面積 課題場面を確認する (5 分 ) 柱の表面積を求め, 求め方について説明しよう 具体的な立体を用いて, 表面積を求め, その求め つまずきのあるある生徒に対し 方について説明をする (5 分 ) て, 展開図を用いる事を示す 角柱 円錐 既習内容の確認 全体で求め方の確認をする (5 分 ) 様々な立体について表面積を求める練習を 表面積の求め方について理解で する (10 分 ) きているか, 机間指導をし確認 求め方について, その考え方を説明する する (5 分 ) 発展 錐の側面 側面 底面 表 表面積を求める事ができる ( ウ 7)( プリント ) 表面積の求め方を理解している ( エ 8) 本時で目指す生徒の姿 立体の表面積を求めることができる立体の表面積の求め方を説明することができる 本時のまとめ (5 分 ) 立体の表面積を求めるには, 側面積と底面積の和を求める 展開図を用いる事で, よりわかりやすく求める事ができる

8 (5) 板書計画 ジャンプコース 基本用語の確認 多面体とは? 学習のめあて 立体の表面積を求める事ができる 立体の名称 どのように求めていけばいいか? 展開図とは? 側面積と底面積とに分けて考える < 考え方 > たしかめ 2 問 1 表面積とは底面積と 側面積の和である 本時のまとめ