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1 工業数学 Ⅰ 第 7 章多変数関数の微分 2. 実多変数の実数値関数 千葉大学工学部機械工学科担当者武居昌宏 教科書 工科系の数学 (4) [ 単行本 ] マイベルク ファヘンアウア著 及川正行訳 出版社 : サイエンス社 (1996/12) ISBN-10:

2 第 7 章多変数関数の微分 2. 実多変数の実数値関数 2.1 基礎 多変数の実数値関数変数が2つ以上の n 変数関数定義域がn 次元空間である関数を多変数関数値域は一つの実数値 -> スカラー関数 = [ 1, 2 ] T R R から一つの実数 z R への写像を2 変数関数と呼び,z= f() と表記する 注意 zとfはスカラーなので細字 はベクトルなので太字 参照 P82 4 節ベクトル値関数 fももベクトルなので太字 スカラー場 : スカラー物理量 ( 温度 T 圧力 p 密度 ρ など ) が存在する場 development 図スカラー関数の例 図ベクトル値関数の例 ベクトル場 : ベクトル物理量 ( 速度 u など ) が存在する場 鳴門の渦潮 u()=u(,y)

3 成る 2 点間の距離と近傍 境界 D aのr 近傍 : 点集合 Ur(a) O r -a a 例 n=2の近傍 境界 開集合 閉集合

4 極限値と連続 和集合 ( または ) 境界 反例 : 多変数の場合ベクトル の近づき方は無限にある 連続とは すべての近づき方に対して成り立つ y = y 0 で固定して f, y 0 は連続 = 0 で固定して f 0, y は連続 ( 0, y 0 ) で f, y が連続であるとは限らない

5 ひとつの方向の連続性から全体の連続が言えない例 University of Rhode Island Web ページに任意の数式のグラフを 3D で描くコンテンツ (3D Function Grapher) あり f(,y) y

6 有界とコンパクト

7 2.2 極限と連続性 連続と微分可能連続 関数のグラフがつながっている 微分可能 グラフが滑らか y= は連続だが (=0 で ) 微分可能でない微分可能だが C 1 級でない例 f() = 2 sin(1/) ( 0) f (0) が不連続 C 0 級 f(,y): 連続 0 (=0) 偏微分可能 C 1 級関数 : f() が微分可能かつf () が連続 C 1 級 C 1 級だがC 2 級でない例 y = 2 ( 0) 2 (<0) C 2 級微分可能で f ()=2 となり連続 C 1 級しかしf () は=0で微分不可能 C 級 : 全ての多項式, sin, cos, e 多変数関数のC k 級 : k 階の全種類の偏導関数が存在しかつ連続 f(,y) がC 2 級 偏導関数 f, fy, fy, fyyが存在し全て連続 k 回連続微分可能 = k 回偏微分可能 + 偏導関数がすべて連続 微分不可能な連続関数 ( コッホ曲線 )

8 連続微分可能 A: 原点で偏微分可能だが原点で不連続 f (,y) = y 2 + y2, (, y) 0,0 0 (, y) = 0,0 B: 原点で偏微分可能だが C 1 級ではない関数 f(,y) = 2 + y 2 1 sin (, y) 0,0 2 + y2 0 (, y) = 0,0 A C k 級関数 : 連続偏微分可能で偏導関数が連続 C 0 級 f(,y): 連続 偏微分可能 B C 1 級 C 2 級

9 f y f y の例 O y f 0,0 = f y 0,0 = 0 が成立, y (0,0) のとき 偏微分して

10 2.3 偏導関数 勾配 偏微分係数 偏導関数 (1) e i : 単位方向ベクトル, t : 微小の値

11 高階の偏導関数 k 回連続微分可能 = k 回偏微分可能 + 偏導関数がすべて連続 すべての関数が f y と f y が等しいとは限らない

12 時間を固定した偏微分と t 位置を固定した偏微分 波動方程式 : 2 p = t 2 c2 2 p p(,y,t): 圧力 t: 時間 c: 波の速度 [m/s] y p(z, t) = p 0 cos(ωt k 0 ), p(z, ω) = p 0 e jk0 ( フェーザー表示 ) y t=t 1 p t : 位置 (,y) を固定して p( 色 ) の時間変化を見よう ttp:// p : 時間 t を固定して p ( 色 ) の 方向変化を見よう

13 勾配スカラー関数 f() の偏導関数をベクトルにまとめたもの富士山は富士宮ルートが一番勾配が大きい!! 富士宮ルート勾配 : 32.6% 御殿場ルート勾配 : 22.1% 富士山は R 2 微分演算子 での表現 grad f = f = f() 1 R 3 の勾配の例 e 1 + f() 2 = 1, e 2 + f() 3 2, 3,, e n f n T e n )

14 2.4 全微分と線形近似 1 変数関数の微分 f f 0 lim = f ( 0 0 ) 0 f f 0 + f ( 0 )( 0 ) lim = 関数 f() が点 0 で微分可能 傾きf ( 0 ) の接線がただ一つ存在 f ( 0 )( 0 ) 右図 軸を逆にとっている 理由は後 D o 記号 C 誤差 o k 0 = R, 0 B R() 誤差 A = R() = g() g() 傾きf ( 0 ) E f() 0 f( 0 ) ( 0 ) f( 0 ) g() f() O (3) と 0 は太字 k( 次数 ) が付く

15 1 変数の近似の種類 0 次近似 k = 0, R = o 1 線形近似 k = 1, R = o 0 1 f() B B f() g() g() C 0 0 A,A,C 図 169(a) 図 169(b) f ( 0 )=1 二次近似 k = 2, R = o 0 2 f() g() 0 B C A 図 169(c) lim 0 f = 0 ならば 1 f() = 0 + o 1 で近似できる g() lim 0 f 0 1 = 0 ならば f 1 = + o 0 で近似できる g() f 2 + lim = 0 ならば f = o 0 で近似できる g()

16 1 変数の線形近似 = g() f ( 0 )( 0 ) D R() 誤差 C B A g() 傾きf ( 0 ) E f( 0 ) g() f() f() f( 0 ) 0 O ( 0 ) 1 次近似のときは k=1 であることに注意 この図の場合 f ( 0 ) が - であるが気にしない

17 2 変数関数の全微分の定義 lim,y ( 0,y 0 ) f, y f 0, y 0 f ( 0, y 0 ) 0 + f y ( 0, y 0 ) y y 0 grad f( 0 ) ( 0 ) - をつけないのが一般的 y y 0 2 関数 f(,y) の点 ( 0,y 0 ) における全微分係数 : f ( 0,y 0 ) 全微分係数はベクトル f 0, y 0 = (f ( 0, y 0 ), f y ( 0, y 0 )) = (a, a y ) 接平面の特徴 :1) 0 点における接平面はひとつ 2) gradf( 0 ) は接平面内にある f ( 0 )( 0 ) g() 傾きf ( 0 ) R() 誤差 D C B A E f( 0 ) g() f() f() f( 0 ) O 0 ( 0 ) A(,y) = (a, a y ) 接平面の法線ベクトル D B f() C = g() E gradf( 0 ) f( R() 誤差 0 ) O = 0 この点線は接平面内にない -y 平面と平行な面内にある!! 面 z = f(, y) この線は接平面内にある D: -y 平面 grad f( 0 ) は D 内にない!! 図は D 内にあるように見えるが

18 全微分係数 (2 変数関数の微分係数 ) について補足偏微分係数にdとdyをかけるとわかりやすい!! f(,y) f 0 =grad f( 0 ) E 点の接平面内 曲面 f(, y) 傾き f y 傾き f E 0 f y dy f d ルになる!! f 0, y 0 = (f ( 0, y 0 ), f y ( 0, y 0 )) 0 R n ならば f 0 =grad f( 0 ) f y dy f d df は各偏導関数に d,dy をかけた高さ 0 R n を考えるので df を grad f( 0 ) ( 0 ) とも表記する df = f f d+ dyの直観的な意味ここは内積 y 厳密には 関数 f(,y) の点 (0,y0) における全微分係数 f 0, y 0 はベクト 太字ベクトル注意

19 2 変数関数の平面近似と誤差 2 変数関数 z = f 0, y 0 f 0 + f y y y 0 z = f(, y) は, y ( 0, y 0 ) のとき y y 2 0 = 0 より高次の無限小を除いて関数 f(,y) を近似している grad f( 0 ) ( 0 ) D B f() A(,y) C E gradf( 0 ) f( R() 誤差 0 ) O = grad f( 0 ) ( 0 ) C 点の高さ g() D 点と E 点の高さ C 点 D 点間の高さ o 記号 B 点 C 点間の高さ

20 多変数の線形近似 a: 全微分係数 P25 の (1) 参照あらゆる方向 v に対して偏微分可能

21

22 2.6 方向微分 勾配 合成微分則問題 : 右図は地表の 2 次元温度分布 T(,y) を示し 今 最高温度の赤点にいるとします 熱いのでここから逃げたいと思います どの方向に逃げれば温度を急激に下げられますか? ただし 逃げる速度は方向で異なります 答えは 方向微分を勉強するとわかります y O v 1 v 0 v 2 v 温度 偏導関数の定義式 (1) と比較 v は太字 f() 偏微分係数は座標軸 e i の方向である必要はない!! i

23 = 0 + tv n=2のときの方向微分係数の直観的な意味 (t): v 方向の直線を含むz 軸に平行な平面 Sとf(,y) との交線 B 点 t 秒後の点 高さ h t = f( 0 + tv) A 点 t=0 の点 高さ h 0 = f( 0 ) 平面 S A 交線 (t) B A 点 ( 0, y 0, f( 0, y 0 )) におけるv 方向の接線ベクトル O 0 図 174 方向微分係数 直線 0 + tv ここは t=0 前ページ式 (9) の定義よりこれが方向微分係数 0 R 2 ならば gradf 0 = (f ( 0, y 0 ), f y ( 0, y 0 )), v = (( 0 ), (y y 0 ))

24 方向微分係数の具体的な例 y v =v( 0,y 0 ) T=f(,y) 場所 ( 0,y 0 ) の v 方向の温度変化率 v 1 v 0 v 2 v 3 注意 v = 1 のとき v f() は位置 における v 方向の f の方向微分係数 v 1 のとき v f() は位置 における v 方向の f の変化率

25 方向微分係数の具体的な求め方 内積の意味 : grad f() の v 方向の成分だけを取り出す 行ベクトル 列ベクトル 2 次曲面のひとつ楕円放 物面 f(, y) = 2 + y2 2a 2 2b 2 の特殊な形 ( 球面 )a=b=1 f(, y) grad f(1,1) O v y f(, y) y y O 0 f( 0 0, y 0 ) y 0 f( 0, y 0 ) v

26 注意 v 1 対称行列 (11) 次ページ2 次形式の定義より明らか式 (11) の2 番目の式の q() : スカラー値 式 (11) の一番目の式から q + tv = + tv T A + tv = T A + tv T A + tv = T A + tv T A + T Atv + tv T Atv = T A + t v T A + T Av + tv T Av = q v A + Av 0 = A v + A v 下 枠参照 v T A = v A = A v 0 T Av = va T = va = Av = (A) v

27 q(,y) q(,y) q(,y) q(,y) 2 次形式の復習 2 次形式は行列で表される非対角要素 2 2 a c / 2 T q(, y) a by cy y A c / 2 b y 対角要素 A:2 次形式の係数行列 対称行列 は列ベクトルで定義 a c / 2 T T T T y A A A A A y c / 2 b 内積でも表される deta>0 放物面 q(,y) = a 2 + b y 2 det A<0 双曲面 q(,y) = a 2 b y 2 y q(,y)= 2 +y 2 回転放物面 y q(,y)=5 2 +y 2 楕円放物面 y q(,y)= 2 y 2 鞍 ( あん ) 点 : (,y)=(0,0) 双曲放物面 deta=0 放物筒 q(,y)=a 2 y q(,y)=2 2 放物筒

28 合成微分則 t で微分 f は の関数 は t の関数 ここは内積 f() を n で偏微分 n を t で微分 式 (A) 式 (A) と公式 (7) を比較

29 合成微分則の実際例 前ページ式 (12) と比較 = f((r, φ)) (A) 左下の赤 の演算 (B) F r をf((r,φ)) と思い (C) 左下の赤 の演算 (D) (r, φ) = (rcosφ, rsinφ) f((r, φ)) = gradf() r f((r, φ)) = gradf() φ (r, φ) r (r, φ) φ (E) f, y = f(rcosφ, rsinφ) F(r, φ) O y O r, φ, y r, φ = (rcosφ, rsinφ) y

30 前ページ (A) 式と (B) 式より 前ページ (C) 式と (E) 式より (13)

31 復習 球座標 z rsinθ (, y, z) rcosθ rsinθcosφ r θ φ rsinθ y rsinθsinφ