<4D F736F F F696E74202D AB97CD8A E631318FCD5F AB8D5C90AC8EAE816A2E B8CDD8AB B83685D>

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1 弾塑性構成式 弾塑性応力 ひずみ解析における基礎式 応力の平衡方程式 ひずみの適合条件式 構成式 (), 全ひずみ理論 () 硬化則 () 塑性ポテンシャル理論の概要 ひずみ 応力の増分, 速度 弾性丸棒の引張変形を考える ( 簡単のため 公称 で考える ). 時間増分 dt 時刻 t 0 du u 時刻 t t 時刻 t t のひずみ, 応力 u, 微小な時間増分 dt におけるひずみ増分, 応力増分 du d, d d dt 0 としたときのひずみ, 応力の増加率 ひずみ速度, 応力速度 u& &, & & 弾性変形では, なぜ増分 ( 速度 ) か?. 塑性変形の非線形性 d 塑性変形では, なぜ増分 ( 速度 ) か?. 塑性変形の非線形性 d d H H d d d d d d d d d d d 時々刻々変化する応力増分 ひずみ増分関係を考慮する必要がある. H d d なぜ増分 ( 速度 ) か?. 塑性変形の履歴依存性 薄肉円筒の引張 ねじりを考える. A: 一定の割合で引張りながらねじる B: まず引張り, その後ねじる 弾性変形の場合,A,B とも同じ応力状態になる., G 塑性変形の場合,A と B で応力状態が異なる.( 履歴依存性 ) 後述 変形中のひずみ経路 ( どのようなひずみ増分が積算されて最終状態に至ったか ) を考える必要がある. 次元弾塑性体において, 時刻 t から t +dt の変形を考える物体中のある点 A(, y) の変位ベクトル u { u uy} その微小変化 du { du du } 時刻 t における変位 uuuur AA' u { u u } 時刻 t +dt までの変位増分 uuuuur A' A'' du { du du } y y y

2 dt 時間中のひずみ増分 ひずみ増分 (strain increment) ( du ) ( duy ) ( ) ( y ) du du d, d, d y + y y 物体中の微小線素の単位長さあたりの伸び 縮み 次元問題の場合のひずみ増分 互いに直交していた 本の微小線素の変形による角度変化 ( du ) ( du ) i di + i 物体中のある点 A(, y) の速度 ( 単位時間当たりの変位 ) ひずみ速度 (strain rate) ひずみ速度 次元問題の場合のひずみ速度 i & i + i du du du y { u& u& y} dt dt dt y y &, &, & y + y y ( ドット ) は時間微分をあらわす ( 弾塑性分解 ) 弾性部分 塑性部分 ひずみ増分 ( あるいはひずみ速度 ) は弾性部分と塑性部分に分けられる d d + d e i i i e (& & + & ) i i i t t t t+dt d d d e d 応力増分 単軸引張りにおけるひずみ増分の弾性部分 塑性部分 物体要素の回転速度 次元問題の場合の回転速度 物体回転速度 y & ωy y i & ωi i スピンテンソル (sin tensor) 一般に空間座標系で定義されたひずみ増分 ( du ) ( du ) i di + i をそのまま積分した量は物理的な意味を持たない 応力増分 応力速度 時刻 t における応力時刻 t +dt における応力 i + d i i 物体中の微小線素は変形に伴って回転する ( 材料固定座標が回転し, 座標軸のなす角度も変わる ) ため. 応力増分 応力速度 (stress increment) (stress rate) d i d i & i dt

3 と全ひずみ理論 (strain increment theory) d λ i sid ( dλ: 正のスカラー値 ) 塑性ひずみ増分 d i の方向は偏差応力 s i の方向に一致するとした塑性構成式 (Reuss, 90) 流れ理論 (fow theory) とも呼ばれる ; 各方向の塑性ひずみ増分 d i と偏差応力 s i の比は同じ値 dλ になる. di d d d d y d d dλ s s s s s s s i y z z 塑性体積一定条件の成立 d i s dλ ; この式は塑性体積一定条件を満足している i d + d + d ( s + s + s ) dλ 0 Q ( + + ) / m ( dλ: 正のスカラー値 ) s + s + s ( ) + ( ) + ( ) m m m m 弾性のフックの法則との比較 () di sidλ + + d ( m) dλ dλ dλ ( + ) フックの法則 e d { d ν ( d + d d i 弾性のフックの法則との比較 () s dλ i フックの法則 d dλ d d y y e y y dλ d G y y プラントル - ロイス (Prandt-Reuss) の式 d { d ν ( d + d + dλ{ ( + 弾性ひずみ増分 塑性ひずみ増分 d { d ν ( d + d + dλ{ ( + ( フックの法則 ) ( ) d { d ν ( d + d + dλ{ ( + d y d d z d y + ydλ, d + dλ, d z + zdλ G G G 弾性ひずみ増分 d e i も考慮した弾塑性構成式の具体形 レヴィー - ミーゼス (Levy-Mises) の式 d dλ{ ( + d dλ{ ( + d dλ{ ( + d dλ, d dλ, d dλ y y z z 弾性ひずみ増分 d e i を無視した剛塑性体 ( di di ) の構成式の具体形

4 と全ひずみ理論 全ひずみ理論 (tota strain theory) 全ひずみ理論 全ひずみ理論の一般的表現 比例変形 (roortiona deformation) の場合を考える 変形中, 各ひずみ成分間の比が常に一定 Λ i si ( Λ: 正のスカラー値 ) 簡単のため, 垂直応力 とせん断応力 y のみが作用する場合を考えると d Ad, A また, 増分理論から s y y s y y y As Λ s ( Λ: 正のスカラー値 ) 全塑性ひずみ i の方向は偏差応力 s i の方向に一致するとした塑性構成式 (Hencky, 94) 変形理論 (deformation theory) とも呼ばれる より取り扱いが簡単 比例変形, あるいは比例変形に近い場合に限り適用可能 非比例変形の場合は適用不可 ( この場合は ) 比例変形と非比例変形 比例変形 : ひずみ ( 増分 ) の各成分の間の比が常に一定 ひずみ経路が直線非比例変形 : ひずみ ( 増分 ) の各成分の間の比が変形中に変化 ひずみ経路が非直線 d d 比例変形 ひずみ経路 constant, 全ひずみ理論の双方が適用可能. d d 非比例変形 ひずみ経路 constant のみ適用可能. 加工硬化の表現 () 相当応力 (equivaent stress) 多軸応力状態 ( i ) における降伏条件を単軸引張り降伏応力 によって表現する. ( ) こような応力成分 ( i ) のスカラー関数 を相当応力という. 多軸応力状態 ( i ) における応力レベルを単軸応力状態に相当する応力値に換算する関数ともいえる. 有効応力 (effective stress) とも呼ばれる. i 相当応力が になったら降伏する ミーゼスの降伏条件の場合 ミーゼスの降伏条件 { ( ) + ( ) + ( ) } + ( + + ) 0 y z ( i ) 相当応力をこのように定義すれば, ( ) 相当応力が になったら降伏 i ( ) 相当応力 ミーゼスの降伏条件に基づく相当応力 s s i i i {( ) ( ) ( ) } ( y z ) 一般に広く使われる代表的な相当応力 降伏条件がミーゼスの条件と異なる場合には, 相当応力の 定義も上記の式とは異なるものになる. 4

5 加工硬化の表現 () 相当塑性ひずみ増分 (equivaent astic strain increment) 相当塑性ひずみ増分 d は, 塑性仕事増分を用いて次のように定義される. 塑性仕事増分 (astic work increment) dw d s d d i i i i 各応力成分 塑性ひずみ増分によってなされる塑性仕事増分 相当応力 相当塑性ひずみ増分によってなされる塑性仕事増分 d ( s + δ ) d s d + ( δ d ) s d i i i i m i i i m i i i i 塑性体積一定条件 : δ i d i 0 定義 : より : 相当塑性ひずみ増分 に基づく表現 () dw d s d d i i i i λ λ dw sid i sisid d d d d dλ d 加工硬化係数 d の係数 dλ (strainhardening coefficient) または塑性接線係数 (tangent moduus of asticity) 相当塑性ひずみ増分 に基づく表現 () および前出の式より : d di di d di di sisidλ d d {( d ) ( d ) ( d ) } {( d y ) ( d ) ( d z) } 相当塑性ひずみ (equivaent astic strain) d 相当塑性ひずみ増分を積分したもの 相当塑性ひずみ 全ひずみ理論に基づく表現 () 全ひずみ理論における相当塑性ひずみ ( D) i i {( ) ( ) ( ) } {( y ) ( ) ( z) } 比例変形のもとで相当塑性ひずみ増分を積分したものに等しい 相当塑性ひずみ 全ひずみ理論に基づく表現 () 全ひずみ理論 Λ の係数 Λ 塑性セカント係数 (secant moduus of asticity) i si Λ S S 加工硬化の表現 () 加工硬化に関する仮説 塑性変形における ( 降伏時の ) 相当応力 は相当塑性ひずみ の一義的関数となる. または相当応力 は塑性仕事 w の一義的関数となる. ( w ) ( ) w dw d 多軸応力状態 ( i ) における加工硬化の程度は相当応力 の大きさで表すことができる. 5

6 加工硬化に関する仮説の実験的検証 塑性変形における ( 降伏時の ) 相当応力 は相当塑性ひずみ の一義的関数となる. 軟鋼に種々の比例的多軸応力を作用させた場合の, 相当応力 - 相当塑性ひずみの関係 変形様式に関わらず, 相当応力 - 相当塑性ひずみ関係は単一の曲線になっている 方向の単軸引張りにおける相当応力 ミーゼスの降伏条件の場合, 相当応力は次式となる. ( ) ( ) ( ) ( y z ) { } 方向単軸引張りにおいては, 応力 以外は存在しないので, y z 0 よって, { ( ) + ( ) } 方向の単軸引張りにおける相当塑性ひずみ 比例変形なので, 相当塑性ひずみは次式で与えられる { ( ) ( ) ( ) } {( ) ( ) ( ) y z } せん断ひずみは存在しないので, 0 塑性体積一定条件と等方性より, よって, y z ( ) ( ) ( ) + + y 方向の単純せん断における相当応力, 相当塑性ひずみ 応力 y ( y ) 以外は存在しないので, 0 z よって, ひずみの y, y 成分以外は存在しないので, 0 z よって, y y 相当応力 - 相当塑性ひずみ曲線 単軸引張試験の応力 - 塑性ひずみ曲線 相当応力 - 相当塑性ひずみ曲線 単純せん断の相当応力 - 相当塑性ひずみ曲線 単軸引張試験の相当応力 - 相当塑性ひずみ曲線 (, ) (, ) 加工硬化に関する仮説の意義 () ミーゼスの降伏条件にしたがう線形硬化塑性体 ( 単軸引 張において + ) の変形について考える 単軸引張では, よって, + H 0 y (, ) y, 相当応力は相当塑性ひずみ の一義的関数となる この関係は一種類の実験 ( 通常, 単軸引張試験 ) のみ によって決定できる. 6

7 単軸引張では, 加工硬化に関する仮説の意義 () + H 単純せん断では, + ' + H + 単軸引張の 曲線と単純せん断の 曲線の間には定まった関係が成立 加工硬化に関する仮説の意義 () 相当応力は相当塑性ひずみの一義的関数. ( ) この関数 は単軸引張試験で決定できる. 単軸引張の 曲線と単純せん断の 曲線の間には, この関数に基づいた, ある定まった関係が成立する. 単軸引張 + ( ) ( ) + H 単純せん断 単軸引張における応力 - ひずみ関係さえわかれば, 任意の変形における応力 ひずみが計算できる. + 0 (0) 加工硬化の表現 (4) 加工硬化と降伏曲面 { ( ) + ( ) + ( ) } + ( y + + z ) 0 初期 { ( ) ( ) ( ) 降伏曲面 + + } ( ) ( y z ) ( ) 0 後続降伏曲面 ( ) 与えられた応力経路に対するひずみ経路 () ミーゼスの降伏条件にしたがう弾線形硬化塑性体を仮定 + 作用する応力は と y のみ 応力経路 I A D 応力経路 II B C D 比例負荷 非比例負荷 それぞれの経路に沿う負荷を受けたとき, 最終点 D におけるひずみ ( D, D ) を求める 与えられた応力経路に対するひずみ経路 () 偏差応力 : ミーゼスの降伏条件に基づく相当応力 : 相当応力増分 : s, s y y + y d d + d y y ( d + yd y ) 与えられた応力経路に対するひずみ経路 () から, 各塑性ひずみ増分は以下のようになる. ( ) d d + yd y d sdλ ( ) d d + yd y d y sydλ y これらを応力経路に沿って積分すれば, 最終点 D の塑性ひずみ ( D, D ) が求められる. 7

8 応力経路 I ( 比例負荷 ) の場合 経路 I A D ( 積分範囲 A D) / y D / D α D d D[I] d A D A 0.49 D d y D[I] d y A ( D A) D[I] 0.85 応力経路 II ( 非比例負荷 ) の場合 経路 II B C D ( 積分範囲 B C + C D) D[II] D[II] 積分を行うのは降伏曲面の外側 ( 塑性域 ) だけであることに注意 得られた塑性ひずみ経路 全ひずみ理論の場合 D[Deformation] D[Deformation] 塑性ひずみは負荷履歴 ( 応力経路 ) に依存する 全ひずみ理論の場合, 応力経路 I( 比例経路 ) と同じ解になる. 非比例負荷の場合 ( 経路 II) には, 全ひずみ理論の結果との結果は異なる 8