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1 地盤数値解析学特論 防災環境地盤工学研究室村上哲 Mrakam, Satoh. 地盤挙動を把握するための基礎. 変位とひずみ. 力と応力. 地盤の変形と応力. 変位とひずみ 変形勾配テンソルひずみテンソル ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Green-Lagrange のひずみテンソルと Alman のひずみテンソル 微小変形状態でのひずみテンソル ひずみテンソルの物理的な意味 ひずみテンソルの不変量 体積ひずみとせん断ひずみ ひずみ速度テンソル変形勾配テンソルの分解 ひずみテンソルと回転テンソル微小体積要素の変化率 Jacoban( ( ヤコビアン ) 微小変形理論と有限変形理論でのひずみの違い土の移動とひずみ 注意 ) 引張を正にとります 変形勾配テンソル +d 物体 Bが基準配置 B ( 時刻 t) から現在配置 B t ( 時刻 t) へと変位したときを考える 基準配置において位置 に存在していた物質点 が 現在時刻 tにおいて位置 を占めるものとする 物質点 が から に移動する関係式は 次のようにあらわすことができる d (,t) (,,, t ) t + d d tt 位置 の近傍 +d に存在する物質点 は 位置 +d に移動する 微小材料線素 d がd に変わるという関係式として d Fd で定義される 階のテンソル Fを変形勾配テンソルと呼ぶ

2 変形勾配テンソル +d 変形勾配テンソル F: がの関数,,, t 関数 を全微分すると次式を得る d d d + d + d d t +d d tt d Fd より F 微小材料線素 d がd に対応している関係式として 上の逆関係が存在する d F d ( F ) ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Green-Lagrange のひずみテンソル 線素の長さの変化が変形前の線素 dに参照される場合 ( d) ( d ) dd d d ( Fd) ( Fd) dd ( df ) ( Fd) dd + d df FddI d d d( F FI) d +d d d( E) d tt k k t E ( F F I) E δ Green-Lagrange のひずみテンソル ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Alman のひずみテンソル 線素の長さの変化が変形後 dの線素に参照される場合 d d dd d d dd ( F d) ( F d) dd d ( F ) ( F d) +d d di dd( F F) d +d d d I ( F F) d tt d( A) d t A { I( F F) } k k A δ Alman のひずみテンソル +d ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Green-Lagrange のひずみテンソルと Alman のひずみテンソル 変位ベクトル d d t + d d tt + δ + δ

3 ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Green-Lagrange のひずみテンソルと Alman のひずみテンソル Green-Lagrange のひずみテンソル k k E δ k k δ + δ + δ k k k k k k δ δ + δ + δ + δ k k k k k k δ δ k k + + k k E + + Alman のひずみテンソル k k A δ k k δ δ δ k k k k k k δ δ δ + δ δ + k k k k k k δ δ k k + k k A + ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Green-Lagrange のひずみテンソルと Alman のひずみテンソル Green-Lagrange のひずみテンソル k k E + + 変形が微小であるとき : 変位勾配が k + k Alman のひずみテンソル k k A + とみなせる 基準配置と現在配置でも同じ かつ E A + ε k + k ひずみテンソル ( 微小ひずみテンソル ) ひずみテンソルの物理的な意味 ε +, のとき ε +, のとき ε +, のとき ε + d d 線素 の 方向の伸び率 線素 の y 方向の伸び率 線素 の回転角 θ 線素 の回転角 θ d + d θ θ d d + d d d + d d d d + d d d d tanθ d + d d tanθ d + d ひずみテンソルの物理的な意味 ε + のとき 垂直ひずみ のとき ε γ + γ : 工学せん断ひずみ ひずみテンソルの対称性 ε ε d d d + d d d + d d + + ε

4 の不変量 体積ひずみ ε ε tr ( ε ) せん断ひずみ γ 偏差ひずみテンソル ε ε ε + ε + ε ひずみテンソルの 次の不変量 e ε tr ε I e ε εδ 偏差ひずみテンソルの 次の不変量 J ε ee 4 γ ee J ε 三軸圧縮試験で用いられるせん断ひずみ γ ( ε ε a r) ε ε a ε J e e { e + e + e + e + e + e } { e + e } ε ε + ε ε ε ε ε + ε ε ε ε ε ( ε + ε ) ε ( ε + ε ) + ε ( ε + ε ) ( ε + ε ) + ( ε + ε ) ( ε + ε ) ( ε + ε ) ( ε + ε ) ( ε + 4ε ε + 4ε ) 4 ε ε ε + ε { ε ε ε + ε } ( ε ε ) ( ε ε a r ) 体積ひずみとせん断ひずみ ( 土 ) 要素の変形 変形する前 変形した後 変形 大きさの変化 + 体積ひずみ ε tr ε ε ( ε ) ひずみテンソルの 次の不変量 形の変化 せん断ひずみ γ γ ee J ε 偏差ひずみテンソルの 次の不変量 ひずみとひずみ速度 ひずみ速度テンソル ε ε + 体積ひずみ速度 ε tr ε 偏差ひずみ速度テンソル せん断ひずみ速度 ε ε ε + ε + ε ひずみ速度テンソルの 次の不変量 e ε tr ε I γ ee J ε t e ε εδ J ε ee : 変位速度 偏差ひずみ速度テンソルの 次の不変量 変形勾配テンソルの分解 変位勾配テンソル 変位勾配テンソルの分解 ε + 回転テンソル ω F F + + ε + ω ε ε ω ω 対称テンソル 反対称テンソル 変形速度勾配テンソルの分解 変位速度勾配テンソル F 変位速度勾配テンソルの分解 F + + ε + ω ひずみ速度テンソル ( ストレッチングテンソル ) ε + ε ε 対称テンソル 回転速度テンソル ( スピンテンソル ) ω ω ω 反対称テンソル 4

5 微小体積要素と Jacoban( ( ヤコビアン ) 微小体積要素 dc db d c db d A d a dv da db dc ( e AB eˆ ) ( C eˆ k k m m ) e AB C eˆ eˆ e AB C δ k m km e AB C k m k m k k dv J dv J det( F) Jacoban ( a b) c ( FdA) ( FdB) ( FdC) dv d d d e F A F B eˆ F C eˆ e F A F B F C eˆ eˆ k q q rm m k r e F A F B F C δ k q q rm m kr e F A F B F C k q q km m e F F F A B C k q km q m e A B C det F ( k q q k) ( rm m r) qm q m 微小変形理論と有限変形理論でのひずみの違い 線素の初期の長さを 変形後の長さを とする Cahy ひずみ ( 工学ひずみ ): 微小変形理論 C ε ひずみの重ね合わせができない Green-Lagrange ひずみ G ε + Alman ひずみ A ε Hencky ひずみ ( 対数ひずみ ): 有限変形理論 H ひずみの重ね合わせができる ε ln Hencky ひずみ Cachy ひずみ 土の移動と変位 ひずみ 土を構成する物質 土粒子と間隙流体 ( 水と空気 ) 変形する前 変形 土の移動と変位 ひずみ 土を構成する物質 土粒子と間隙流体 ( 水と空気 ) 土粒子部 ( 土骨格 ) の変位と変形 土粒子は変形しないと仮定 土粒子の配置の変化が土の変形となって現れる 地盤内の変位は土骨格部の変位と考える ひずみテンソル ε + + ひずみ速度テンソル ε + + 添え字 は土骨格部という意味 変形した後 大きさの変化 + 形の変化 間隙流体の移動 * *a 間隙水と間隙空気の ( 真の ) 移動速度を と とする 地盤内のある断面を横切る ( 見かけの ) 移動速度として 次の速度で表わす * a a * a θ θ 添え字 と a は間隙水と間隙空気という意味 a θ とθ はそれぞれ土要素体積に対する間隙水と間隙空気の体積の比 θ ns r n ( ) θ n S r : 間隙率 S : 飽和度 (のとき飽和 のとき乾燥 ) r このように定義される移動速度を地盤工学では間隙水あるいは間隙空気の流速と呼ぶ メリット : 地盤内の任意断面を横切る流量の計算が容易になる 等 間隙流体の非圧縮性 また 圧縮されない状態での地盤の挙動では 間隙流体の変形は考えなくてよい 間隙流体のひずみは定義しない 5

6 . 変位とひずみ < まとめ >. 力と応力 変形勾配テンソルひずみテンソル ひずみテンソル : 材料線素の長さの 乗の変化量の尺度 Green-Lagrange のひずみテンソルと Alman のひずみテンソルが 微小変形状態では一致する そのテンソルをひずみテンソルと呼ぶ ひずみテンソルの物理的な意味 直ひずみとせん断ひずみ の不変量 ひずみテンソルの 次の不変量 : 体積ひずみ 偏差ひずみテンソルの 次の不変量 : せん断ひずみ ひずみ速度テンソル の時間微分で与えられる変形勾配テンソルの分解 ひずみテンソルと回転テンソル微小体積要素の変化率 Jacoban( ( ヤコビアン ) 微小変形理論と有限変形理論でのひずみの違い土の移動とひずみ 土を構成する物質 土粒子部の移動とひずみ 間隙流体の移動 力 物体力と表面力 応力ベクトル 応力テンソル 定義 応力テンソルの対称性 応力テンソルの不変量と主値 偏差応力テンソル 偏差応力テンソルの不変量と主値 注意 ) 引張を正にとります 力 外力 物体力 Δf b lm Δ V ρδv 例 ) 重力 ( 慣性力 ) 表面力 Δf t lm Δ S ΔS 例 ) 載荷重 水圧 内力 : 応力 Δf Δf ρ 密度 ΔS ΔV 応力ベクトル 物体内部の任意の点に作用している力 点を横切るような任意の面 ( 曲面でもよい ) を仮定仮定した面上の微小面に作用する力と定義 t t t t 点 Pで法線ベクトルが一致する仮想面であれば応力ベクトルは等しくなる 点 Pで法線ベクトルが一致しない仮想面では 異なる応力ベクトルとなる 点 P を横切るような仮想な面 ΔS t P 6

7 応力 応力ベクトル 応力 応力テンソル 軸方向の力の釣り合い tds ds + ds + ds nds+ nds+ nds ds C ds C t ( t t t) ds C ds t ( t t t) t n + n + n 同様に t n + n + n t n + n + n ds A OBC 面の面積 S ds nds OCA 面の面積 S ds nds OAB 面の面積 S ds nds B A n ds B ds A OBC 面の面積 S ds nds OCA 面の面積 S ds nds OAB 面の面積 S ds nds B t n t n t n t n t n 応力テンソル 応力 応力テンソル 応力の成分は 9 個 のとき 垂直応力 のとき せん断応力 応力の対称性 ( 静的状態 ) モーメントの釣合いより 同様に 対称性を考慮すると応力の独立な成分は6 個 作用方向 作用する面 地盤工学では圧縮を正にとる 7

8 応力テンソルの不変量 応力テンソル 以降は 対称性を考慮して上記のように書くことにする 最大主応力 中間主応力 最小主応力 平均応力 ( 静水圧 ) 次の不変量 ( ) I tr 次の不変量 I 次の不変量 I det I ( ) ( + + ) 主応力状態では 応力テンソルの不変量 主応力空間における平均応力 応力テンソルの不変量 eˆ ( ) q 静水圧軸 平均応力 ( ) ( 静水圧 ) + + ( ˆ ) e eˆ ( + + ) eˆ 主応力空間における応力点静水圧軸におろしたベクトル つの成分となる q から の 等方的な応力成分を除いた分 偏った応力成分 ( 偏差応力成分 ) 偏差応力テンソル 応力テンソルの偏った成分 偏差応力テンソル 応力テンソル 応力テンソルの等方成分 I ( ) δ q 静水圧軸 偏差応力テンソル 偏差応力テンソルの不変量 一次の不変量 ( ) 二次の不変量 J ( ) 三次の不変量 δ J tr δ J det よく使う関係式 δ eˆ 偏差応力テンソルの主値 ( ) ( ) 8

9 偏差応力テンソル 偏差応力テンソルの不変量 一次の不変量 ( ) 二次の不変量 J ( ) 三次の不変量 偏差応力テンソルの主値 δ J tr δ J det ( ) ( ) よく使う関係式 δ 応力テンソルの不変量 ( まとめ ) 応力テンソル 第一不変量 第二不変量 第三不変量 偏差応力テンソル 第一不変量 I tr J I I det ( ) δ 第二不変量 J 第三不変量 J det. 力と応力 < まとめ > 力 物体力と表面力 応力ベクトルから応力テンソルを規定 応力テンソル 定義 応力テンソルの対称性 応力テンソルの不変量と主値 偏差応力テンソル 偏差応力テンソルの不変量と主値. 地盤の変形と応力 地盤内応力と応力分担 全応力 有効応力 間隙水圧 間隙水圧 有効応力テンソル 有効応力の原理 ( 応力分担式 ) 有効応力テンソルの 次の不変量 偏差応力テンソル 偏差応力テンソルの 次の不変量 全応力と有効応力の速度表示 諸関係式 排水条件と応力速度の分担式 注意 ) 引張を正にとります 9

10 地盤内応力と応力分担 土要素の変形は土骨格の変形 土要素に作用する応力 : 全応力 土骨格の変形に寄与する応力 : 有効応力 土骨格の変形には関係しない応力 : 中立応力 飽和した土の場合 : 中立応力 間隙水圧 ' + 乾燥した土の場合 : 中立応力 間隙空気圧 ただし 大気と連続な場合は ゼロ ' 間隙水圧 ( 間隙水に作用する応力 ) せん断応力はなし 等方的に作用 I 成分表示 δ 注意 ) 引張を正にとっています 有効応力 ( 土骨格に作用する応力 ) 有効応力の原理 ( 応力分担式 ): 飽和土を対象 ' ' Ι δ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' 土要素の形を変える応力の成分 変形 大きさの変化 + 形の変化 力を受ける前 力を受けた後 + 等方的な応力による形の変化 偏った応力による形の変化 + 等方成分偏差成分

11 土要素の形を変える応力の成分 平均有効応力 ' tr( ' ) ' 有効応力テンソルの 次の不変量 ( ) 平均 ( 全 ) 応力 I tr ' tr( ) 有効応力の原理 ' + Ι より ( I) { ( ) ( I) } { } tr + tr + tr + + 等方的な応力による形の変化 等方成分 土要素の形を変える応力の成分 偏差応力テンソル ' ' ' I ' ' ' δ 偏差応力テンソルの 次の不変量 ( ') J tr ' + + 偏った応力による形の変化 ( ' ) ( ' ) ( ' ) + + ' ' ' 土要素の形を変える応力の成分 偏差応力テンソル 偏った応力による形の変化 有効応力でも全応力でも偏差応力テンソルは同じ 土要素の形を変える応力の成分 偏差応力テンソルの 次の不変量 J 偏差応力 地盤力学でよく用いられる q J r a 偏った応力による形の変化 q a a r r 軸圧縮試験条件では 偏差応力 q は 軸差応力 q a となる q q a

12 ( まとめ ) 地盤力学でよく用いられる応力変数 平均有効応力 ' tr ' 偏差応力 q I J 土を強くする 土を壊そうとする 平均有効応力と偏差応力で土の応力状態を把握 例 ) 有効応力経路 q 土を壊す 土を強くする ' 引張を正としているのでマイナスがついている 土要素の形を変える応力の成分 変形 大きさの変化 + 形の変化 変形 大きさの変化 + 形の変化 + + 等方的な応力偏った応力 q ( 平均有効応力 ) ( 偏差応力 ) ダイレイタンシーせん断変形に伴う体積変化体積膨張を正のダイレイタンシー体積収縮を負のダイレイタンシーと呼ぶ 体積ひずみ ε 平均有効応力 ダイレイタンシー せん断ひずみ γ 偏差応力 q

13 全応力と有効応力の速度表示 ( 全 ) 応力速度テンソル 有効応力速度テンソル 速度型の応力分担式 平均応力速度 平均有効応力速度 偏差応力速度テンソル + I + δ tr( ) tr( ) I I δ δ 全応力と有効応力の速度表示 土の排水条件と応力速度の分担式 + I 間隙水圧の増加速度がゼロの場合 飽和状態にある土の間隙水圧が増加しないように外力が作用したとき ( 間隙水の出入りが自由 ): 完全排水状態 乾燥状態にある土の間隙空気圧が増加しないように外力が作用したとき 偏差応力速度 Dq D q Dt Dt J ( ) ( ) D J J J J Dt q D qdt q 間隙水圧の増加速度がゼロでない場合 飽和状態にある土の間隙水が移動できないとき : 非排水状態 飽和状態にある土の間隙水の移動が瞬時に行われないとき : 部分排水状態. 地盤の変形と応力 < まとめ > 地盤内応力と応力分担 全応力 有効応力 間隙水圧 間隙水圧 有効応力テンソル 有効応力の原理 ( 応力分担式 ) 有効応力テンソルの 次の不変量 : 平均有効応力 偏差応力テンソル 偏差応力テンソルの 次の不変量 : 偏差応力 全応力と有効応力の速度表示 諸関係式 排水条件と応力速度の分担式