応用数学Ⅱ 偏微分方程式(2) 波動方程式(12/13)

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1 偏微分方程式. 偏微分方程式の形 偏微分 偏導関数 つの独立変数 をもつ関数 があるとき 変数 が一定値をとって だけが変化したとす ると は だけの関数となる このとき を について微分して得られる関数を 関数 の に関する 偏微分係数 略して偏微分 あるいは偏導関数 pil deiie といい 次のように表される についても同様な偏微分を定義できる あるいは あるいは - あるいは あるいは - これらをさらに あるいは について偏微分すると 二階の偏微分 偏導関数 が得られる さらに高階の偏微分 偏導関数 についても同様に定義することができる -3 偏微分方程式 一般に独立変数... の関数... 及びその偏導関数 の間の関係 F...;...; を偏微分方程式 pil dieenil eqion と言う ここで F は与えられた関数である この 方程式を恒等的に満たす関数... を偏微分方程式の解 solion あるいは積分inel とい う 微分方程式に含まれている導関数の最高階数が n であるとき n 階の偏微分方程式という 偏微分方程式が関数 とその導関数に関して一次式の時は線形偏微分方程式といわれる 例えば b c d -5 は線形の二階偏微分方程式である さらにこの方程式において 右辺が の時 方程式は線 形かつ同次 homoeneos と言われる ならば非同次 inhomoeneos と言われる 最高階の偏導関数についてだけ一次式である方程式は 準線形 qsi-line と言われる 例えば b -6 は準線形の二階偏微分方程式である また 最高階偏導関数の係数に未知関数が含まれていないときは 特に半線形 semi-line といわれる ここでは 一般的に独立変数が 個の場合を取り扱う 多くの場合が一次元波動方程式 あるいは一 次元熱伝導方程式に代表されるように 時間的な変数 と空間的な変数 を各 つ含む 空間的な変数 を含む場合の偏微分方程式の解 は空間内の曲面として解釈できる 一般の多変数 n 階の偏微分方程式の解析的な初期値問題に対しては 解の存在と一意性に関する定 理 コーシー コワレフスカヤの定理 がある

2 . ポアソン方程式とラプラス方程式 物質の密度分布 の二階偏微分方程式 が与えられたときの重力ポテンシャル関数 に関する線形非同次 4G - この式の形は ポアソン方程式とよばれている 特に右辺が である時 同次方程式となるが - これは ラプラス方程式とよばれている この方程式を満足する関数は調和関数 hmonic ncion とよばれる 左辺の微分演算子に関しては 後のベクトル解析においても述べられるが -3 と書き これをラプラス演算子 またはラプラシャン Lplcin という また d -4 は ナブラ nbl とよばれる ラプラシャンとナブラの間には 算 という関係がある ポテンシャル関数 に対し d の 各方向における勾配を表している また ベクトル d の方向 m への成分 d m は その方向の の勾配を表している すなわち m を単位ベクトルとして ベクトルm の方向の変数を m で表すと d m m d -5 m と書くことが出来る d は等ポテンシャル面 =consn に垂直である ベクトル解析においてさらに学ぶ は 3 d ベクトルの内積演 m 境界条件と初期条件 偏微分方程式の解を求める際には 方程式だけでなく他の条件 が課せられることがある その つが境界条件 bond condiion とよばれ ある領域の内部で問題が与えられたときに その境界上で関数値ないしはその導関数 あるいはそれらの両方 が指定される 例えば 方程式が長方形領域で定義されていると きには上下の辺や左右の辺で特定の値 ディリクレ問題 ある いは法線方向の微分値が特定される ノイマン問題 時間 が独立変数として含まれている場合には 初期 での関数値や道 関数値が指定される 初期値問題 コーシー問題 b b b b

3 3. 方程式の誘導 波動方程式 弦の振動 軸上の 点間に聴力 で張られている弾性弦を考える 単位長さあたりの弦の重さと分布加重の大 きさを とする さらに 以下の仮定を行う 運動は平面内で起こり 平面内では各質点は弦の平衡状態の位置に対して直角方向に運動する 弦のたわみは十分小さく 弦の長さの変化は張力 に影響を与えない 長さ方向にのみ力を伝える 弦のたわみ曲線の傾きは非常に小さく 接線の傾角をαとする時 sin n とすることが出来る m 以上の仮定に基づくと運動方程式は 式 3 を 次元の波動方程式という の次元は [ 力 ] [ 重力加速度 ] [ N] [ L / [ 重さ / 単位長さ] [ N / L] ] L 3

4 ねじれ振動単位体積重量がρ 剪断弾性係数 Es 軸構造物を考える 軸の一端から距離 における断面積 と その断面において重心周りの極慣性モーメント J が既知である また その軸構造物には 単位長さ あたりには大きさ のトルクの分布荷重が作用しねじれが生じているとする θがそのねじ れ角の大きさを表している さらに次のように仮定する 軸構造物のすべての断面はその回転中 平面を保持する 各断面はその重心の周りに回転する 断面の形はほぼ円である 距離 だけ離れた つの断面に囲まれた微少要素を考える その質量と回転半径は 従って その慣性モーメントは 3-6 の位置での断面に作用するトルクの大きさを として Neon の法則を適用すると 3-7 材料力学でのねじれの定義から 3-8 また J が定数であり が恒等的にである場合には 3-9 4

5 5 薄膜振動 平面上の閉曲線 C の上に薄膜が張られ 単位面積あたり の力が作用して 方向に振動している 張られた後の薄膜の単位面積あたりの重さ は既知である さらに 次のように仮定する 各粒子は 平面上に垂直に動く 単位長さあたりの張力は全ての方向に対して等しい薄膜の微小要素 に作用する力を考える 外力は 張力 は n n n n

6 熱伝導方程式 断面積が一定均質材で 側面が断熱性のまっすぐな棒の中の温度分布を以下の仮定のもとに考える 物体内部の点 の近傍での密度が 比熱を 体積要素 V とするとき 質量 V 度を だけ変化せせるのに必要な熱量は V として与えられる 時間 の間に断面積 を通過する熱量 qは の法線方向の温度勾配と に比例し 熱伝導率を K とするとき q K / と表される 任意の断面 と に挟まれた部分における温度変化と熱の出入りを考える 断面 における微小要素の質量は であり の間にそこの温度が だけ増加したとすると そこでの熱量の増加 Q は の温 という関係があるので 従って 任意の部分 における熱量の増加は 単位質量あたり 単位時間あたりの発熱量を F としたときの 時間で発生する熱量 3-9 と両端での熱の流出入 3- との和に等しい V m K K 6

7 7 3 Q Q Q から σ F K hee dd dd K dd F dd 3-3- 式 8 を熱伝導方程式という 媒質が一様である時には 3-3 次元 3 次元の場合の熱伝導方程式は それぞれ 3-4 ラプラス演算子 を用いると式 9 は 3-5 が物質の濃度であるときには 拡散方程式という

8 8 演習問題 梁の縦振動縦方向 に振動している梁の一般断面の変位が であるとするとき 振動の方程式は E として与えられることを示せ は軸の断面積 E はヤング率 弾性定数 は単位体積重量 梁の横振動梁の軸方向を たわみ方向を とする を軸の断面積 I を中立軸周りの慣性モーメント 断面二次モーメント E をヤング率 弾性定数 を単位体積重量とし 梁には外部より既知の大きさを持つ分布荷重 も作用しているとする 曲げ振動の方程式が EI として与えられることを示せ 3 拡散方程式液体がある面積を通して拡散する割合は その面積及びその面に対する法線方向の濃度に比例することを利用して 液体の濃度に関する拡散方程式を誘導せよ 4 流体の連続方程式時刻 における点 での液体の密度を 速度を とするとき 速度成分は連続の式 を満足することを示せ 5 円筒座標系直交座標におけるラプラス方程式 が置換 sin cos によって円筒座標系では となることを証明せよ

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