7 渦度方程式総観規模あるいは全球規模の大気の運動を考えるこのような大きな空間スケールでの大気の運動においては鉛直方向の運動よりも水平方向の運動のほうがずっと大きいしかも水平方向の運動の中でも収束発散成分は相対的に小さく低気圧や高気圧などで見られるような渦つまり回転成分のほうが卓越

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あかりたけすえ
5 years ago
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1 7 渦度方程式総観規模あるいは全球規模の大気の運動を考えるこのような大きな空間スケールでの大気の運動においては鉛直方向の運動よりも水平方向の運動のほうがずっと大きいしかも水平方向の運動の中でも収束発散成分は相対的に小さく低気圧や高気圧などで見られるような渦つまり回転成分のほうが卓越しているそこで回転成分に着目して大気の運動を論じる 7.1 渦度大気の回転成分を定量化する方法を考えてみる図のような反時計回りに回転する渦を考えてみる南北風に注目すると西 ( 図の左 ) のほうでは北風 ( 0 ) になっているが東のほうでは南風 ( 0 ) になっているこれを偏微分で表すと 0 となるまた東西風に注目すると南 ( 図の下 ) のほうでは西風 ( 0 ) になっているが北のほうでは東風 ( 0 ) になっている偏微分で表せば 0 となるこのように考えるととなすことができそうであるそこで渦と渦度は反時計回りの回転の度合いを表しているとみを渦度 (orici) と定義することにする以下ではこの点に留意しながらプリミティブ方程式系における運動方程式の成分 ( の時間変化についての式 ) 38

2 39 の微分や成分 ( の時間変化についての式 ) の微分を計算し渦度についての方程式を導いてみる 7. 渦度方程式プリミティブ方程式系を用いて大気の運動の回転成分を考える第 6 章の (1) () より F f (1) F f () (1) をで偏微分し () をで偏微分すると F d df f (3) F f (4) (4)-(3) より F F d df f (5) ここで渦度 ( 相対渦度 (relaie orici)) を (6) と定義しさらに d df (7) とすると F F f D D (8) (8) の左辺第項はベータ項とよばれ惑星渦度 (lanear orici) の南北移流

3 の効果を表している右辺第 1 項は発散項 (diergen erm) である f は惑星渦度と相対渦度の和であり絶対渦度 (absole orici) とよばれるは水平発散である右辺第項は傾斜項である全球規模総観規模ではこの項の寄与は小さく無視できる右辺第 3 項は粘性項である (8) で傾斜項と粘性項を無視すると f D (9) D となるこのように渦度の時間変化を記述した方程式を渦度方程式 (orici eqaion) という 7.3 非発散の渦度方程式中高緯度での総観規模の大気の運動においては水平風の発散成分は回転成分より小さいがより大きな空間スケールである全球規模ではこの傾向はますます顕著になるそこで渦度方程式 (9) において水平風が発散成分を含まないつまり 0 と仮定するこのとき水平風, は流線関数 (sream fncion) を用いてと表すことができ相対渦度は, (10) (11) と書ける実際に (10) で定義された, は常に 0 をみたしているしたがって (9) は D D 0 (1) と表せる流線関数の等値線は流線 (sreamline)( 接線が流速ベクトルと平行になっているような曲線 ) と一致するこのように非発散という条件のもとで導かれた渦度方程式を非発散順圧渦度方程式 (non-diergen baroroic orici eqaion) または非発散渦度方程式 (non-diergen orici eqaion) という 40

4 中緯度の対流圏では西風が卓越するそこで南北風がなく西風が定常かつ一様に吹いている基本場を仮定しこのような基本場の中で微小なじょう乱を考えてみる流線関数は基本場についての流線関数 0 とじょう乱場についての流線関数 ' に分けて ' と書くことができる同様に 0 U ' ' とするこのとき (1) は ' 0 0 (13) U ' ' ' 0 と書ける基本場には南北風はないので 0 はのみの関数であるまた東西 d d 風 U 0 は南北方向には変化しないから 0 d 0 であるしたがって d (13) は ' U ' ' ' 0 (14) となるここで微小振幅であることを考慮して微小量どうしの積を無視すると (14) は U ' ' 0 (15) と書ける 7.4 定常ロスビー波水平風が鉛直風より卓越しかつ水平風の発散成分が非常に小さい中高緯度での全球規模の大気の運動は (15) をみたすことが期待される以下ではどのような型のじょう乱が (15) をみたすか考える (15) において波型の解を仮定して i ' Re ˆ e k l (16) とおくただし ˆ は定数 ( 複素数 ) でありは角振動数 (anglar freqenc) k は東西波数 (zonal waenmber) l は南北波数 (meridional waenmber) であると k l との関係を求めるために (16) を (15) に代入すると U ˆ ei k l ˆ ei k l 0 (17) となるここで 41

5 ˆ ei k l iˆ ei k l ˆ ei k l ikˆ ei k l ˆ ei k l k ˆ ei k l ˆ ei k l l ˆ ei k l が成り立つから (17) においては i にはik に l に置きかえることができては k に i iku k l ˆ ei k l ik ˆ ei k l 0 (18) と表せるしたがってつまり i iku k l ik 0 Ukk l k 0 (19) k Uk (0) k l が得られるこのように波動の角振動数を波数の関数として表した式を分散関係式 (disersion relaionshi) という定常解つまり位相速度がゼロで k ある解を考えて 0 とすると k k l U (1) となるこれが定常ロスビー波 (saionar Rossb wae) の分散関係式である K k l を全波数といい波長はで求められる K 全球規模の大気の運動を傾圧不安定波の時間スケールよりもじゅうぶんに長い時間で時間平均すると定常ロスビー波を検出することができる次の図の例では偏西風が南北に蛇行しながら吹いていることがわかるは 4

6 NCEP/NCAR の客観解析データを用いて作成定常ロスビー波の例 (1 月の月平均 500hPa 高度場 [m]) 43

7 問 7.1 次のような風の場において渦度を計算せよ (1) () 課題 7.1 式 (1) から (15) を導出するときに基本場の東西風 U を一様とは仮定しないで南北方向の変化を考慮に入れたら式 (15) はどのように書きかえられるかただし東西方向には一様とする基本場の南北風はゼロとしてよい問 7. 基本場の西風を 35 m/s として北緯 45 度における定常ロスビー波の波 5 6 長を求めよ地球の自転角速度は /s 地球の半径は m とする式 (1) を用いてよい R e 問 7.3 次の図のように夏季には定常ロスビー波の波数が大きく ( 波長が小さく ) なっているこれはなぜか定常ロスビー波の分散関係式を用いて夏季においては西風が弱くなっていることと関連づけて説明せよ 44

8 NCEP/NCAR の客観解析データを用いて作成定常ロスビー波の例 (8 月の月平均 500hPa 高度場 [m]) 45

3 数値解の特性 3.1 CFL 条件を前の章では波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めたここではこのようにして得られた数値解の性質を考

3 数値解の特性 3.1 CFL 条件を前の章では波動方程式 f x= x0 = f x= x0 t f c x f =0 [1] c f 0 x= x 0 x 0 f x= x0 x 2 x 2 t [2] のように差分化して数値解を求めたここではこのようにして得られた数値解の性質を考 3 数値解の特性 3.1 CFL 条件を前の章では波動方程式 f x= x = f x= x t f c x f = [1] c f x= x f x= x 2 2 t [2] のように差分化して数値解を求めたここではこのようにして得られた数値解の性質を考えるまず初期時刻 t=t に f =R f exp [ik x ] [3] のような波動を与えたときどのように時間変化するか調べる