Microsoft Word - 素粒子物理学Ｉ.doc

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いおりおいもり
5 years ago
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1 6. 自発的対称性の破れとヒッグス機構 : 素粒子の標準模型 Dc 方程式.5 を導くラグランジアンは ϕ ϕ mϕϕ 6. である [H] Eu-nn 方程式を使って 6. のラグランジアンから Dc 方程式が導かれることを示せ 6. ゲージ対称性 6.. U 対称性 :QED ディラック粒子の複素場 ψに対する位相変換 ϕ ϕ 6. に対してラグランジアンが不変であることを要請するこれは簡単に示せる更に空間の各点での位相 α に対して変換 6. が成り立つとすると ϕ ϕ を式 6. に代入しても ϕ α ϕ ϕ となりラグランジアンは不変となっていないここで Dc 方程式に電磁場を加えた時に方程式中で p p qa D A 6.4 と置き換えたことを思い出す同様に電磁場 A を加えた共変微分を導入するラグランジアンを不変にするためには Dϕ Dϕ 6.5 と変換すればよいつまり電磁場 A が A A α 6.6 と変換すればよい言い換えると 6.6 のように変換するベクトル場が存在すればよい 6. のラグランジアンは ϕ D ϕ mϕϕ ϕ m ϕ ϕ ϕa 6.7 ここで 6.7 の最終項は A ja でディラク粒子のカレントと電磁場の相互作用 ϕ ϕ を表している注 : 電磁場の運動エネルギー項は省略している 59/67

2 6/67 6. の局所位相変換を局所ゲージ変換と言いベクトル場 A をゲージ粒子というここでは QED の U ゲージ群におけるゲージ変換を取り上げた 6.. SU 対称性 : 弱い相互作用弱い相互作用では SU 変換で局所ゲージ対称性を持つためには ν ν α 6. の変換に対し注 : はパウリ行列共変微分 D 6.9 を成り立たせるゲージ場, が存在する必要があるゲージ場は α α 6. と変換する必要があるこれより弱い相互作用のラグランジアンの一部は D 6. となる第項は粒子の弱カレント式参照と弱ベクトルボソンの相互作用を表してる 6.. U SU: 電弱相互作用 5. 章の議論を思い出し SU 変換に対して不変な弱ハイパー苛カレントがもつハイパー荷を使って U ゲージ変換と SU ゲージ変換に対する変換は β β α ν ν 6. で共変微分は D 6. でラグランジアンの一部ゲージボゾンの運動エネルギーや相互作用はなしは 6.4 となるここで - - であるラグランジアン 6.4 は U SU ゲージ変換に対して不変であるここで 6.4 が質量項 mψ ψ を含んでいないことに注意実は質量項は U SU ゲー

3 ジ変換対称性を破る実際質量項は 5 5 mϕ ϕ mϕ ϕ m ϕϕ ϕϕ 6.5 の形をしており ψ はアイソスピン重項 ψ はアイソスピン重項に属しているのでゲージ対称性を破っている {6. 式参照 } つまり U SU ゲージ理論のラグランジアンはあらわな質量項を許さないではどうやって質量項を含んだ理論にするのか Hs 機構がそこを説明する 6. 自発的ゲージ対称性の破れとヒッグス機構 6.. U 対称性の破れ複素スカラー場ラグランジアンは T V * * に対しポテンシャル * * * λ 6.6 V λ を持つで U ゲージ対称性 6. に対して不変である λ> < の場合ポテンシャル V は下図のような形になるポテンシャル V を最小にするの値は λ を満たす変数の円周場にあるこの円周上ではどこでもポテンシャル V は最小であるが実際にラグランジアンを V 最小の点近傍真空の周りで展開するためにの点を選ぶこの場合, η ξ 6.7 6/67

4 として展開するこの選択により一般性を失うことはないがこの選択を行ったことは U ゲージ対称性を破ることと等しいつまりは成り立っていないこの操作を自発的対称性の破れというつまり基底状態では対称性が見えなくなる { 例は教科書を参照 } 次に 6.7 を 6.6 に代入すると ξ η η η, ξの次以上の項 4 η, ξ は真空の周りの微小変化量なので次以上の項を無視する 6. m なのクラインゴードン方程式を導くスカラー場のラグランジアンはで 6. 式はη 場が質量 m を獲得したことを示しているまたξ 場は質量がとなっている図で説明この自発的に対称性が破れる際に現れる質量のスカラー粒子を南部ゴールドストンボソンと言う 6.. SU 対称性の破れ次に SU 対称性の自発的対称性の破れについて考えるこの場合は SU 重項の複素スカラー場 α β を導入しポテンシャル T V λ 6. を考えるここでは SU 変換に対して不変である共変微分 6.9 を用いて SU のゲージ場を導入するとは SU 対称性のもと 6. 式のように変換するここで 6.. 章の結果の考察から λ> < の場合にのポテンシャルの真空としてをとりその真空の周りで 6. h を展開する注正確には 6.. 章同様と展開すべきであるが南部ゴールド h 6/67

5 6/67 ストンボソンは h h のようにゲージ変換の自由度に吸収される Q ページ 4 6. を共変微分で書くと λ で 6. 式を代入すると [ ] 6. という項が現れる式 6. から弱い相互作用のゲージボソンが質量 M を獲得したことを示しているつまりゲージボソンは自発的対称性の破れ真空がと選ばれたことによりにより質量を獲得したこれをヒッグス機構というまた最後に残った場 h がヒッグス粒子を表しているヒッグス粒子の質量は 6.. 章 6. 式より m h λ 6. であるただし λ が任意なのでヒッグス粒子の質量を予言することはできない 6.. U SU の破れこれまでの 6.. 章 6. 章の議論を参考にしながら U SU ゲージ変換の自発的対称性の破れを考える SU 重項の複素スカラー場を U 対称性を考慮してハイパー荷となるようにととり真空期待値としてを選ぶここでハイパー苛は 5.5 式の関係 T Q を満たす今までと同様にゲージ不変性を保つために共変微分を使うとラグランジアンは

6 64/67 λ でありラグランジアンは [ ] [ ] 式の最終段の第式は荷電ゲージボソンが質量 M 6.6 を獲得したことを表しているまた 6.5 の中段の式の第項からとの線形結合が質量を獲得していることがわかる場を規格化して Z 6.7 を定義すると 6.5 の中段の式の第項から Z ボソンは質量 M Z 6. を獲得したことが分かるまたとの線形結合で Z ボソンに直行している成分 A 6.9 は質量ゼロの光子を表しているここで式を思い出して Z A cos sn sn cos cos sn 6.6 と 6. を比べると

7 M cos 6. M Z である [H] 式 6. からの質量.4GV/c Z の質量 9.GV/c をもとにワインバーグ角 sn を求めよ G [H] フェルミ定数 G は 4. 式と定義され G.66-5GV - M M.4GV/c と分かっている 6.6 式を使って真空の期待値を求めよ 6. フェルミオンの質量とヒッグス粒子最後にヒッグス機構でフェルミオンの質量がどのように生成されるかを考える 6.. 章 6.5 式よりフェルミオンの質量項はゲージ不変性を破るので直接ラグランジアンに組み込むことはできなかったここでゲージ不変なフェルミオンレプトンを取り上げるとスカラー場の相互作用項 G ν ν 6. をラグランジアンに組み込む再び対称性を自発的に破って 6. 式のように真空期待値の周りで展開すると G G h 6. となる 6. 式の第項は探していた質量項でありこの質量項は 6.5 式で見かけ上ゲージ不変性を破っているがこれは対称性を自発的に破ったために現れたのでありもともとのラグランジアン 6. はゲージ不変であるよってレプトンの質量は m G 6. となるただし G は,, は各レプトンごとに任意の値であり実際の質量を予言することはできない式 6. の第項はヒッグス粒子とレプトンの相互作用項であり 6. よりヒッグスとレプトンの相互作用の強さ G m は各レプトンの質量に比例することが分かるよってヒッグス粒子の性質として各レプトンとそのレプトンの質量に比例した結合定数を持つ相互作用を行う 65/67

8 クォークの質量に関してもほぼ同様の議論をすることでヒッグス粒子とクォークの相互作用の強さがその質量に比例することがわかる 6.4 標準模型 Gshow-nb-Sm 模型最後に標準模型のラグランジアンを記すこのラグランジアンの U SU ゲージ対称性を自発的に破ることでゲージボソン ± Z が質量を獲得しかつ光子 A は質量ゼロのゲージ粒子として存在する Z A は U のゲージ粒子と SU のゲージ粒子との線形結合で表され A Z の変換をつなぐ回転行列の回転角がワインバーグ角であるレプトンクォークも質量を獲得するヒッグス粒子が現れヒッグスは各フェルミオンに対してフェルミオン質量に比例した相互作用結合定数を持つただしヒッグス粒子の質量は予言できない現在の標準素粒子模型において唯一つの未発見粒子であり自発的対称性の破れの根源であるヒッグス粒子の発見は素粒子物理学の最も重要な課題の一つであるこの目的のために 7 年度からヨーロッパ CEN 研究所で HC 実験が開始される予定である 66/67

9 7 最後に 6 年度執筆予定 67/67

: (a) ( ) A (b) B ( ) A B 11.: (a) x,y (b) r,θ (c) A (x) V A B (x + dx) ( ) ( 11.(a)) dv dt = 0 (11.6) r= θ =

: (a) ( ) A (b) B ( ) A B 11.: (a) x,y (b) r,θ (c) A (x) V A B (x + dx) ( ) ( 11.(a)) dv dt = 0 (11.6) r= θ = 1 11 11.1 ψ e iα ψ, ψ ψe iα (11.1) *1) L = ψ(x)(γ µ i µ m)ψ(x) ) ( ) ψ e iα(x) ψ(x), ψ(x) ψ(x)e iα(x) (11.3) µ µ + iqa µ (x) (11.4) A µ (x) A µ(x) = A µ (x) + 1 q µα(x) (11.5) 11.1.1 ( ) ( 11.1 ) * 1)