図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます等しいことは当然のように見えますが証明とは

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ゆずさみやのじょう
5 years ago
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1 図形と証明 1 対頂角 a = b a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます等しいことは当然のように見えますが証明とはそれを筋道立てて説明することです a も b も角度を使った式で同じ式になるということを述べるのがこの証明です 2 同位角直線 l と m が平行ならば a = b 同位角が等しいことは証明しません同位角が等しいことはきまりなのです 3 錯角直線 l とm が平行ならば c = b 対頂角は等しいので a = c 同位角は等しいので a = b 1 2 1,2 から c= b 1

2 4 三角形の内角三角形の内角の和は a + b + c = 180 a + d + e = 180 錯角は等しいので d= b 錯角は等しいので e= c ,3 より 1 の d, e を b, c に置き換え a + b + c = 三角形の外角三角形の外角は a + b = d 三角形の内角の和より a+ b+ c= 内角と外角の和より d+ c= ,2 の式から a + b = d 6 多角形の内角 n 角形の内角の和は 180 (n-2) n 角形の対角線は 1つの頂点から (n-3) 本ひくことができるこのことから n 角形は (n-2) 個の三角形に分割することができる n 角形の内角の和は (n-2) 個の三角形の内角の和と同じなので 180 (n-2) となる 2

3 1 つの頂点から隣の頂点へ対角線をひけませんということは 1 つの頂点と両隣の頂点以外の点に向けて対角線がひけるわけですだから本数は (n-3) となります次に (n-3) 本の線で 1 多い数 (n-2) 個の三角形に分かれます 7 多角形の外角 n 角形の外角の和は 360 多角形の1つの頂点で ( 内角 )+( 外角 )=180 であるしたがって n 角形のすべての内角と外角の和は 180 n となるそこで 180 n から内角の和をひくと 180 n (n-2) = となるよって外角の和は 360 である 8 合同な三角形の性質 ⅰ 合同な三角形の対応する角の大きさは等しい ⅱ 合同な三角形の対応する線分の長さは等しい ABC DEFならば A= D, B= E, C= F AB=DE,BC=EF,CA=FA 9 合同な三角形の条件 ( 合同条件 ) ⅰ 3 辺がそれぞれ等しい三角形は合同である ⅱ 2 辺とその間の角がそれぞれ等しい三角形は合同である ⅲ 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しい三角形は合同である 3

4 10 二等辺三角形の性質 2 辺が等しい三角形 ⅰ 二等辺三角形の底角は等しい ⅱ 二等辺三角形の頂角の 2 等分線は底辺を垂直に 2 等分する ABC の頂角 A の 2 等分線と BC との交点を P とすると BAP= CAP 1 二等辺三角形なので AB=AC 2 APは共通の辺なので AP=AP 3 1,2,3から 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので BAP CAP したがって B= Cから ABC の底角は等しい (ⅰ) APB= APC=90,BP=CPから頂角の2 等分線 APは底辺を垂直に2 等分する (ⅱ) 11 2 角が等しい三角形 2つの角が等しい三角形は二等辺三角形である ABC の頂角 A の 2 等分線と BC との交点を P とすると BAPと CAPの内角はそれぞれ等しいので BAP= CAP 1 BPA= CPA 2 APは共通の辺なので AP=AP 3 1,2,3から 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので BAP CAP したがって ABC は AB=AC の二等辺三角形である 4

5 12 直角三角形の合同条件 ⅰ 斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい三角形は合同である ⅱ 斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい三角形は合同である ( 証明 ⅰ) ABC と DEFで直角三角形なので C= F=90 1 1つの鋭角が等しいので B= E 2 1,2から A= D 3 斜辺が等しいので AB=DE 4 2,3,4から 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので ABC DEF ( 証明 ⅱ) ABC と DEFで直角三角形なので C= F=90 1 AC=DFから2 辺を重ねると C= F=90 から BEを底辺とする ABEができる斜辺が等しいので AB=DE 2 ABEは二等辺三角形で底角は等しいので B= E 3 2,3から斜辺と1つの鋭角がそれぞれ等しいので ABC DEF 5

6 13 正三角形の性質 3 辺が等しい三角形正三角形の内角は a = b = c = 60 正三角形の3 辺は等しいので AB=ACの二等辺三角形であることから B= C 1 AB=BCの二等辺三角形であることから C= A 2 1,2と三角形の内角の和は 180 であることから a + b = c= 平行四辺形の性質向かい合う辺が平行な四角形 ⅰ 平行四辺形の向かい合う辺は等しい ⅱ 平行四辺形の向かい合う角は等しい ⅲ 平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる ( 証明 ⅰ,ⅱ) ABDと CDBで AB // CDから ABD= CDB 1 AD // BCから ADB= CBD 2 共通の辺なので BD=DB 3 1,2,3から 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので ABD CDB したがって AB=CD,AD=BCから向かい合う辺は等しい (ⅰ) 合同な三角形なので A= C また 1,2より B= D になるので向かい合う角は等しい (ⅱ) 6

7 ( 証明 ⅲ) ABOと CDOで AB // CDから ABO= CDO 1 BAO= DCO 2 平行四辺形の向かい合う辺は等しいので AB=CD 3 1,2,3から 1 辺とその両端の角がそれぞれ等しいので ABO CDO したがって AO=CO,BO=DOから平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる (ⅲ) 15 平行四辺形になる条件 ⅰ 向かい合う辺が等しい四角形は平行四辺形である ⅱ 向かい合う角が等しい四角形は平行四辺形である ⅲ 対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は平行四辺形である ⅳ 1 組の向かい合う辺が等しく平行な四角形は平行四辺形である ( 証明 ⅰ) ABD と CDB で AB=CD 1,AD=CB 2 共通の辺なので BD=DB 3 1,2,3から 3 辺がそれぞれ等しいので ABD CDB したがって ABD= CDB から錯角が等しいので AB // DC ADB= CBD から錯角が等しいので AD // BC 向かい合う辺が平行なので四角形 ABCDは平行四辺形である 7

8 ( 証明 ⅱ) A+ B+ C+ D=2( A+ B)=360 から A+ B=180 また Bの外角を CBE とすると CBE+ B=180 したがって A= CBE から同位角が等しいので AD // BC 同様に Dの外角を CDFとすると A= CDFから同位角が等しいので AB // DC ( 証明 ⅲ) ABOと CDOで AO=CO 1,BO=DO 2 対頂角は等しいので AOB= COD 3 1,2,3から 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので ABO CDO したがって ABO= CDO から錯角が等しいので AB // DC 同様にして BCO DAO したがって BCO= DAO から錯角が等しいので AD // BC ( 証明 ⅳ) ABD と CDB で AB=CD 1,AB // CD から ABD= CDB 2 共通の辺なので BD=DB 3 1,2,3から 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので ABD CDB したがって ADB= CBD から錯角が等しいので AD // BC 向かい合う辺が平行なので四角形 ABCDは平行四辺形である 8

9 16 ひし形の性質 4 辺が等しい四角形ひし形の対角線は垂直に交わる ABOと ADOで 2 辺は等しいので AB=AD 1 対角線はそれぞれの中点で交わるので BO=DO 2 共通の辺なので AO=AO 3 1,2,3 から 3 辺がそれぞれ等しいので ABO ADO したがって AOB= AOD=90 から対角線は垂直に交わる 17 長方形の性質 4つの内角が等しい四角形長方形の対角線は等しい ABCと DCBで ABC= DCB=90 1 四角形の向かい合う辺は等しいので AB=DC 2 共通の辺なので BC=CB 3 1,2,3から 2 辺とその間の角がそれぞれ等しいので ABC DCB したがって AC=DBから対角線の長さは等しい 18 正方形の性質 4 辺が等しく 4つの内角が等しい四角形正方形の対角線は等しく垂直に交わる四角形 ABCDは 4 辺が等しいので対角線は垂直に交わる ( ひし形の性質 ) 四角形 ABCDは 4つの内角が等しいので対角線は等しい ( 長方形の性質 ) したがって対角線は等しく垂直に交わる 9

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2

二等辺三角形の性質 (2) 次の図のの大きさを求めなさい () = P=Q P=R Q 68 R P (2) (3) 五角形は正五角形 = F 50 F (4) = = (5) === = 80 2 二等辺三角形の頂角の外角を底角を y で表すとき y をの式で表しなさい y 2-5-2 三角形四角形二等辺三角形の性質 () 二等辺三角形と正三角形二等辺三角形 2つの辺が等しい三角形( 定義 ) 二等辺三角形の性質定理二等辺三角形の底角は等しい定理 2 二等辺三角形の頂点の二等分線は底辺を直角に2 等分する正三角形 3 辺が等しい三角形 ( 定義 ) 次の図で同じ印をつけた辺や角が等しいときの大きさを求めなさい () (2) (3) 65 40 25 (4) (5)

図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように 交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます 等しいことは 当然のように見えますが 証明とは

図形と証明 1 対頂角 a = b ( 証明 ) a+ c= 180 なので a = c b+ c= 180 なので b = c 1 2 1,2 から a = b a と b のように交わる直線の向かい合う角を対頂角といいます等しいことは当然のように見えますが証明とは