数学 19 1 平面図形立体 6 1 解答解説 ライブ授業 ( 第 1 部 ) 授業内小テスト 1 (1) ( ) 1 ( 12) ( ) 1 ( 12) を計算せよ ( ) 12 = = 2 (3-2 2

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1 ライブ授業 ( 第 部 ) 授業内小テスト () ( ) ( ) 6-8 ( ) ( ) 6 を計算せよ ( ) 6 (- )- -8 () 二次方程式 (-)(+)(-) + を解け ± (-)(+) (-) ± () n -6n+が素数になるような自然数 nをすべて求めよ n,9 素数になる n-8 と n-8 がともに負の数の場合 n<8 で, n-8<-0 n-8- となるのは, n のとき このとき,n-8-8- だから,(n-8)(n-8) は素数になる よって, 求める自然数 n は, と 9 である () (-)+(+) の値が素数となる確率を求 めよ が奇数のとき,(-)+(+) は 以上 の偶数になるから素数ではない よって,,,6 のとき,(-)+(+) は 0 以上の の倍数 になるから素数ではない よって,(-)+(+) の値が素数となるのは次の 0 通り 8 (,)(,),(,),(,),(,6),(,),(,), (,6),(6,),(6,),(6,) さいころの目の出方は全部で,6 66( 通り ) よって, 求める確率は, n -6n+(n-8)(n-8) n -6n+ (n-8)(n-8) が素数になるとき, n-8 と n-8 は同符号で,n-8 と n-8 のどちらかが または - である n-8 と n-8 がともに正の数の場合 n>8 で, n-8>0 n-8 となるのは, n 9 のとき このとき,n-89-8 だから,(n-8)(n-8) は CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

2 () この図をもとにして,つの頂点すべてが円周上にあり,つの辺のうちつの辺がどちらも直径 ABに平行である正方形を, 定規とコンパスを用いて作図せよ (), -n +n より,-n n + で, は 桁の素数だから,n は偶数 n のとき, n6 のとき, さは となる 直径 AB と正方形の対角線のなす角の大き 演習問題 () 8,9,0, +<6 より, < よって,8,9,0, () より, + (+)( 0-) 00-0 CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

3 ライブ授業 ( 第 部 ) 演習問題 6cm ABC で,ABcm, BCcm,CAcm より, H ACB90 辺 BE,CF 上に, G BGCHADcm となる点 G,H をそれぞれとる 求める体積は, ( 三角柱 ABCDGH)+( 四角錐 D-EFHG) + {(-)+(-)} +6(cm ) () 8 cm 点 D から辺 GH,FG に垂線 D,DQ をそれぞれひく DH で, D DH -H Q DG で, DG D +G DH -H +G 8 DQG で, DQ DG -GQ 8- DQ>0 より,DQ cm ( 台形 AFGD) (+6) 8 (cm ) () ア cm 点 B から 線分 FH に垂線 BR をひく 正方形の対角線 だから, BD cm FH6 cm よって,FR cm,hr cm BRF で, BR BF -FR 6 -( ) 8 BRH で, BH BR +HR 8+( BH>0 より,BH cm () イ cm ) 60 IBD IHF で, 相似比は : だから, BI BH (cm) () cm JAB JFE で, 相似比は : だから, JF AF DG FL (cm) よって, JFL で, R JL JF -FL ( ) (cm) CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

4 () 点 L より 辺 EH に垂線 LS を ひく 立体 JK-EFGH は, 底面が JLS で高 cm さが JK の三角柱と, つの合同な四角錐に分けられる JKFG-FL6- (cm) 立体の高さは, BR (cm) よって, 求める体積は, (cm ) () l0 右の展開図の F で, F90, A F 8cm,F+ 6(cm) だから,0cm よって,l0 B C S 8cm Q E D cm F の延長の交点を O とする ( 三角錐 O-ABC) ( 三角錐 O-DN) で, 相似比は : だから, 体積比は : 8: よって, ( 立体 ABC-DN) ( 三角錐 O-ABC) 8 ABC OA 8 ABC 8 ABC ( 三角錐 Q-ABC) ABC QA ABC ABC ( 三角錐 Q-DN) DN DQ ABC ABC ABC (cm ) より, 求める体積は, ( 立体 ABC-DN) -( 三角錐 Q-ABC)-( 三角錐 Q-DN) ABC- ABC- ABC (cm ) ( 別解 ) ( 立体 Q-BN) ( 三角柱 ABC-DEF) -( 三角錐 Q-ABC)-( 三角錐 Q-DN) -( 四角錐 B-NFE)-( 三角錐 N-BCF) () cm () cm AD, B,CN O と重なる 秒後,A 6(cm) で, 点 は頂点 B CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

5 点 G から辺 BC に垂線 GI をひくと, BCG 60,GC6cm より, CIcm,GI cm BI-9(cm) よって, H BI +GI +GH () 9 +( ) +6 (cm) 辺 BC の中点を N とする AE は正三角形だから, AE60 よって, D60 AD//BC より, B60 N90,N6cm より,N cm BF の底辺を B6+ (cm) とすると, 高さは, よって, BF ( 立体 -BF) (cm) BF AB (6+ ) (cm ) ( 答え ) (8+8 )cm I () 秒後 点 Q が出発してからの時間を 秒とする 0 6 のとき, 点 は C D を, 点 Q は G H E を同じ速さで移動するから,Q6cm 6< 9 のとき, EQ-(cm) 点 E から辺 AD に垂線 EJ をひくと, EJ cm J-(cm) よって, Q EQ +EJ +J (-) +( ) +(-) ( -+99) (-6)(-) 0 6< 9 より, 秒後は問題に適している J Q A AB 6cm, DAE60 より, AE は正三 角形となるから, AE D B60 90,60,0 の直角三角形の辺の比が :: あることを使う N で CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

6 家庭学習 ( 第 部 ) のとき, で 通り () ( ( ( 8) ( ) 0 )( ) - )( ) - 8 のとき, 6 で 通り のとき, 6 で 通り 6 のとき, 6 で 通り < となるのは,++ ( 通り ) さいころの目の出方は全部で,6 66( 通り ) よって, 求める確率は, 6 () () -,- (+)( +) +6 D (+)( +) 0 よって,-,- () n9 ACD ACB 0 AC60 となる半直線 C をひき, AC の二等分線と D 06 (n+) 96 n+ n+ 辺 AB との交点を D とする ( 奇数 ) よって,n+96 n9 () < より, < のとき, で 通り のとき, で 通り CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

7 家庭学習 ( 第 部 ) LEVEL () cm Dcm とすると,ADcm AD で, 三平方の定理より,A cm よって, より, AD (cm) () 8 6 cm 点,N はそれぞれ辺 CD,EF の中点だか ら,ANNGGA NCF cm,ag cm より, ( ひし形 ANG) N AG8 6 (cm ) () cm 四角錐 B-ANG を面 ABG で つの三角錐に分 ける ( 四角錐 B-ANG) ( 三角錐 G-AB)+( 三角錐 G-ABN) 6 (cm ) ( 別解 ) ( 四角錐 B-ANG) 6 ( 立方体 ABCD-EFGH) -( 三角錐 B-NFG)-( 三角錐 G-CB) 辺の長さが の正方形の対角線の長さは 各面の重心を頂点とする立体は立方体で, 辺の長さ は, よって, 体積は,( ) LEVEL () 秒後, cm AC6 cm A-A AC- AC (cm) 8 点 Q は線分 FH の中点に重なるから, Q6cm, Q90 よって, 9 Q Q (cm ) () 9 6πcm B cm 秒後, 点 は中点 に重なるから, FQFH-HQFH- FH (cm) 6 辺 BF の延長と辺 Q の延長との交点を R とすると, B:FQ: より,BRBF8(cm) よって, 求める体積は, π ( ) 8-6π(cm ) CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

8 () 立体 H-Q の体積が 6 6(cm ) と 6 なるのは, 点 が頂点 A を出発してから t 秒後とする 0<t 6 のとき, ( 立体 H-Q) HQ HQ 6 A-A t -t t-t 0<t のとき, t(-t)6 (t-) 0 t 0<t を満たしている <t 6 のとき, t(t-)6 t - t-0 t± <t 6 より,t+ 6<t 8 のとき,HQ6 cm より, 9(t-)6 t 6<t 8 を満たさない よって, 秒後と (+ ) 秒後 つくる ( 答え ) 秒後,(+ ) 秒後 HQ を底面, を高さとして, 方程式を () cm 頂点 から対角線 AC に垂線 H をひき, 線分 AL との交点を I とす る 点 H から線分 AL に平行にひいた直 線と辺 C との交点を J とする HJ で,IIH,IL//HJ より,LLJ CAL で,AHHC,AL//HJ より,LJJC よって,LLJJC だから, AL AC AC H (cm ) () 9 cm AL cm,n BD cm N AL より, ( 四角錐 -ALN) ( 三角錐 -AL)+( 三角錐 N-AL) AL N (cm ) 9 A I H L J C () () cm : 辺 GH,AB の Q 正方形 ABCD を 本の対角線の長さが cm のひし形と考えると, 中点を, それぞれ Q,R とする N ( 四角錐 -ABCD) () (cm ) Q//R,Q:R: より, N:N: R CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

9 () IJ//CD,N:: より, () cm OAB の直角をはさむ 辺の比が : だ IJ () CD 立体 V の高さは, BF また, 立体 V は辺 IJ を高さ とする三角柱 と, 点 I,J をそ れぞれの頂点 とする底面, 高さが等しい つの四角錐に分けられる から, ( 立体 V) + () 6 9πcm 秒後,OOD 8(cm) よって, 求める体積は, I π 8 99π(cm ) J 6 から, 辺の比は :: よって,AB BF AB(cm) OA(cm) 点 G は直角三角形 DFB の斜辺 BF の中点だから, DGFGBG BF (cm) ( 別解 ) 点 G から辺 OB に垂線 GI をひく IG//DF より, DI BD(cm) IG DF (cm) よって,IG:DI:DG:: より, DG IG (cm) () 秒 円 D の円周の長さは,π 6π(cm) FG cm より, 求める時間は, 6π+ π+ ( 秒 ) 0 () π+ 0 円 C の半径は 6cm だから, CQ 6 CC(cm ) I G CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

10 よって,C が最大のとき, CQ の面積は最大にな る 点 が O B C にかかる時間は,+6( 秒 ) 点 Q が最初に点 E に達するまでの時間は, 9+8π+ ( 秒 ) 点 Q が点 H に達するまでの時間は, +8π+6π +π ( 秒 ) +8π +π 6- > 6- より, のとき C は最大になる よって, 求める面積は, CQ 6-.8(cm ) +8π +8π.6 C が最大になる時間に着目する ( 答え ).8cm 頂点 A を出発してから t 秒後に平行になるとする 点 Y から辺 GH に垂線 YI をひく 点 X,Y,I が一直線上にあるとき,AE//XY となる t のとき, 点 X は点 D に, 点 Y は点 G に重なる GY(t-),GQ:GH: より, GI GY(t-)(cm) DX(t-)cm,DX+GI8 より, 6 (t-)+(t-)8 t 6 6 秒後は問題に適している ( 答え ) 秒後 AE 面 ABCD より, 面 ABCD に垂直な直線は辺 AE と平行になる X Y I () 8cm () cm より,A0cm 直角三角形 AB で,AB8cm,B6cm 秒後, AX (cm),ay (cm) 点 Y から辺 AB にひいた垂線の長さは, AY (cm) よって, 求める体積は, () (cm ) AE//XY のとき,XY 面 ABCD よって, 点 X は辺 CD 上, 点 Y は線分 GQ 上にある EA,KX,N の延長 の交点を O とする 四角形 OKL はひし形 AGQ を上に cm 平行移動した図形 だから, 面積は, L Q AG (cm ) OXN: OK : : より, 求める面積は, - 6 (cm ) ( 別解 ) NX,LK の延長の交点を I, XN,L の延長 の交点を J とすると, 求める面積は, LIJ- KIX- JN K O N CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます

11 CBenesse Corportion 0 All rights reserved. このページに記載の内容を無断で複写 ( コピー ) 複製 転載することを禁じます 平面図形 立体 6 9 計算演習 () とおくと, () とおくと, () 6 () () (6) 6 6

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