偶数ゼータの公式

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のぶのすけかせ
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1 4 偶数ゼータの公式ゼータ母関数で得られた偶数ゼータは下位のゼータで表された自己同型な公式であった本章ではこれらから下位のゼータを取り除いて陽表的な公式を得る 4 cot x 系ゼータの公式公式 4 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とし n を自然数とするとき 0< x <2 について次式が成立する ( 2n ) = x r= 特に x= のとき ( 2n ) = n B 2n ( 2) 2n () s B 2 2 ( rx) sin rx B 2n x 2n 2 2n 2 2n 2 2 x 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマンゼータが得られた ( 2 ) = x r= ( 4 ) = x r= ( 6 ) = x r= ( 8 ) = x r= sin rx x 2 r 3 2 3! 2 sin rx x 4 r 5 2 5! 2 x 2! x 3 x 2 () 2 4! 3! sin rx x 6 x 5 x 2 x 4 r 7 () 4 () 2 2 7! 2 6! 3! 5! sin rx x 8 x 7 x 2 x 4 x 6 r 9 () 6 () 4 () 2 2 9! 2 8! 3! 5! 7! これらの ( k) n ( 2n ) = r= x ( ) s C s x sin rx () n n C 2 s は次のような有理数である C 0 =, C =, C2 = 3! 5! 3!3! C 4 = 9! x 2n x 2n ( 2n )! ( 2n )! 5!3!, C 3 = 7! 3!5! 3!7! 5!5! 7!3! 3!3!5! 3!5!3! 5!3!3!, 3!3!3! 3!3!3!3!

2 これらは次式で計算できる 2 2 C s = B,,2, これを上式に代入するとここで ( 2n ) = x r= n n ( ) 2 n () s 2 2 B x sin rx n x 2n n 2 2B x 2n n 2 2B ( 2n )! ( 2n )! 2 2B 2 2n 2B 2n = ( 2n )!! 2 2B = ( 2n )! であるからこれらを上式に代入すれば ( 2n ) = x r= n 2 2n 2B 2n 0! () s B 2 2 ( rx) sin rx n x 2n 2 2n 2B 2n 2 2n 2B 2n x ( ) 2 公式 4 2 ベルヌイ数 B 2r 及びオイラー数 E 2r をそれぞれ B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, B 8 =/30, E 0 =, E 2 =, E 4 =5, E 6 =6, E 8 =385, とするとき 0< x <2 について次式が成立する ( 2n ) = r= 特に x= のとき n ( 2n ) = 2 2n 2 E ( rx) r= n cosrx E 2n x 2n 2 E ( r) () r 証明公式 4 3 ( 4 ) で次のリーマンゼータが得られた ( 2 ) = r= ( 4 ) = r= cosrx x 2 r 2 2 2! 2 cosrx x 4 r 4 2 4! 2 x! x 3 x 2 () 2 3! 2! 2 2n 2 2n B 2n x 2n E 2n 2n 2

3 ( 6 ) = r= ( 8 ) = r= cosrx r 6 2 6! cosrx r 8 2 8! x 6 x 5 x 2 x 4 () 4 () 2 2 5! 2! 4! x 8 x 7 x 2 x 4 x 6 () 6 () 4 () 2 2 7! 2! 4! 6! これらの ( k) n ( 2n ) = r= Cs x cos rx () n x 2n n 2 はつぎのような有理数である C 0 =, C =, C2 = 0! 2! 4! 2!2! C 4 = 8! 6!2! 4!4! 2!6! () s C s ( ) ( 2n )!, C 3 = 6! n x 2n n 2 4!2! 2!4! 4!2!2! 2!4!2! 2!2!4! () s C s ( 2n )! 2!2!2! 2!2!2!2!, そしてこれらは次式で計算できる E E C s = () s = これを上式に代入すれば ( 2n ) = r= n E x cosrx () n x 2n n 2 E ( 2n )! ここで () n x 2n n 2 E ( 2n )! n n E 2n E = ( 2n )! E = ( 2n )! であるからこれらを上式に代入すれば E ( rx) ( 2n ) = r= 特に x= のときは i.e. n ( 2n ) = r= ( 2n ) = r= n n E ( r) E ( r) 2 2n 2 2n B 2n cosrx E 2n x 2n 2 cosr E 2n 2n 2 2n 2 2n B 2n x 2n ( 2) 2n B 2n 2 2n cosr E 2n 2n 2 2n ( 2n) 3

4 これより ( 2n ) = 2 2n 2 r= n E ( r) () r E 2n 2n 例 ζ(6) x= の公式に従いこの計算を行った級数を 8,400 項まで計算したところ有効数字 0 桁が得られた副産物 n n 2 2B = ( 2n )! E = ( 2n )! 2 2n 2B 2n 0! 2 2n 2 2n B 2n 4

5 4 2 tan x 系ゼータの公式公式 4 2 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とするとき 0< x について次式が成立する 2 2n ( 2n ) = 2 2n 2 r= 特に x= のとき ( 2n ) = n B 2n ( 2) 2n () s B 2 2 ( rx) 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレイータが得られた ( 2 ) = x r=( ) r ( 4 ) = x r=( ) r ( 6 ) = x r=( ) r ( 8 ) = x r=( ) r sin rx r 3 2 sin rx r 5 2 sin rx r 7 2 sin rx r 9 2 x 2 3! x 4 x 2 () 2 5! 3! () r sin rx B 2n ( ) x 6 x 2 x 4 () 4 () 2 7! 3! 5! これらの ( k) x 8 x 2 x 4 x 6 () 6 () 4 () 2 9! 3! 5! 7! 2x 2n n ( 2n ) = x r= () s C s ( rx) () r sin rx () n x 2n n C s 2 ( 2n )! 2 2 は公式 4 と同じ係数であり C s = B で与えられるよってここで ( 2n ) = r= n を代入すれば n () s 2 2B ( rx) 2 2B 2 2n 2B 2n = ( 2n )!! ( 2n ) = r= n () s B 2 2 ( rx) () r sin rx () n x 2n n 2 2 2B ( 2n )! () r sin rx 2 2n 2 B 2n x 2n 5

6 2 2n 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n ) = ( 2n 2 2n 2 2n ) 2 を適用して i.e. 2 2n r= ( 2n ) = 2 2n 2 2 2n ( 2n ) = 2 2n 2 r= n n () s B 2 2 ( rx) () s B 2 2 ( rx) () r sin rx 2 2n 2 2n 2 B 2n 2 2n 2 x 2n 2x 2n () r sin rx B 2n ( ) 例 ζ(6) x=/64 としてこの計算を行った級数を32 項まで計算したところ有効数字 0 桁が得られた公式ベルヌイ数 B 2r 及びオイラー数 E 2r をそれぞれ B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, B 8 =/30, E 0 =, E 2 =, E 4 =5, E 6 =6, E 8 =385, とするとき 0< x について次式が成立する ( 2n ) = 2 2n 2 特に x=/2 のとき ( 2n ) = 2 2n 2 2 2n r= n E ( rx) () r cosrx E 2n x 2n r 2n r= n E ( r) () r 証明公式 5 3 ( 5 ) で次のディリクレイータが得られた ( 2 ) = () r r= ( 4 ) = () r r= cosrx 2 r 2 cosrx 2 r 4 x 2 2! x 4 x 2 () 2 4! 2! E 2n 2n 6

7 ( 6 ) = () r r= ( 8 ) = () r r= cosrx r 6 2 cosrx r 8 2 x 6 x 2 x 4 () 4 () 2 6! 2! 4! これらの ( k) x 8 x 2 x 4 x 6 () 6 () 4 () 2 8! 2! 4! 6! n ( 2n ) = r= Cs x () r cosrx () n x 2n n 2 E は公式 4 2 と同じ係数であり C s = () s n E ( rx) () ( 2n ) = r cosrx () n x 2n n r= 2 ここで n を代入すれば ( ) E 2n E = ( 2n )! 2n = r= n E ( rx) 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n 2 2n ) 2 () r cosrx を適用して与式を得る E 2n () s C s ( 2n )! で与えられるよって x 2n E ( 2n )! 7

8 4 3 csc x 系ゼータの公式公式 4 3 B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, をベルヌイ数とするとき 0< x について次式が成立する 2 2n r= ( 2n ) = 2 2n n () s B 2 2 {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n 2 2n B 2n x 2n 2 特に x= のとき ( 2n ) = B 2n ( 2) 2n 証明公式 6 3 ( 6 ) で次のディリクレイータが得られた ( 2 ) = x r= ( 4 ) = x r= ( 6 ) = x r= ( 8 ) = x r= 2r x} x 2! 4 sin {( ) ( 2r) 3 sin {( 2r) x} x 3 x 2 ( 2r) 5 () 2 4! 4 3! sin {( 2r) x} x 5 x 2 x 4 ( 2r) 7 () 4 () 2 6! 4 3! 5! sin {( 2r) x} x 7 x 2 x 4 x 6 ( 2r) 9 () 6 () 4 () 2 8! 4 3! 5! 7! これらの ( k) ( 2n ) = r= n () s C s x ( 2r) 2n sin( ) 2r x ( ) n x 2n n は公式 4 と同じ係数であり C s = B で与えられるよってここで 2n = r= ( ) n () s 2 2B {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n () n x 2n n 4 C s ( 2n )! 2 2B ( 2n )! 8

9 n を代入すれば 2 2B = ( 2n )! ( 2n ) = x r= n 2 2n 2B 2n 0! () s B 2 2 {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n 2 2n 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n 2 2n ) = ( 2n) 2 2n 2 2 2n r= ( 2n ) = 2 2n n 2 2n 2 B 2n x 2n 4 を適用して () s B 2 2 {( 2r ) x} sin( 2r) x ( 2r ) 2n 公式ベルヌイ数 B 2r 及びオイラー数 E 2r をそれぞれ B 0 =, B 2 =/6, B 4 =/30, B 6 =/42, B 8 =/30, E 0 =, E 2 =, E 4 =5, E 6 =6, E 8 =385, とするとき 0< x について次式が成立する 2 2n ( 2n ) = 2 2n r= 特に x=/2 のとき ( 2n ) = n B 2n ( 2) 2n E {( ) 2r x} cos( 2r) x ( 2r ) 2n 4 証明公式 6 3 ( 6 ) で次のディリクレラムダが得られた ( 2 ) = r= ( 4 ) = r= ( 6 ) = r= ( 8 ) = r= 2r x} x! 4 cos{( ) ( 2r) 2 cos{( 2r) x} x 3 x 2 ( 2r) 4 () 2 3! 4 2! cos{( 2r) x} x 5 x 2 x 4 ( 2r) 6 () 4 () 2 5! 4 2! 4! 2 2n B 2n x 2n 2 cos{( 2r) x} x 7 x 2 x 4 x 6 ( 2r) 8 () 6 () 4 () 2 7! 4 2! 4! 6! 2 4n B 2n x 2n 9

10 これらの ( k) ( 2n ) = r= n C s x ( 2r) 2n cos( 2r) x( ) n x 2n n () s 4 Cs ( 2n )! E s E = で与えられるは公式 4 2 と同じ係数であり C s = ( ) よってこれに ( 2n ) = r= n を代入すれば n E = ( 2n )! ( 2n ) = r= n 2 2n これに ( 2n ) = ( 2n 2 2n ) E x ( 2r) 2n cos( 2r) x () n x 2n n 4 2 2n 2 2n B 2n E x ( 2r) 2n cos( 2r) x () n 4 を適用して所望の式を得る E ( 2n )! 2 2n 2 2n B 2n x 2n 例 ζ(6) x=/64 としてこの計算を行った級数を25 項まで計算したところ有効数字 0 桁が得られた宇宙人の数学 K. Kono 0

奇数ゼータの公式

3 奇数ゼータの公式ゼータ母関数で得られた奇数ゼータは下位のゼータで表された自己同型な公式であった本章ではこれらから下位のゼータを取り除いて陽表的な公式を得る 3 cot 系ゼータの公式公式 3 B 0, B /6, B 4 /30, B 6 /4, をベルヌイ数とし H t するとき 0< < について次式が成立する ( + ) () 0 +( ) 特にのとき B ( ) i ( )!