DVIOUT-熱力

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1 気体の分子運動 ( 改訂 1.0) 気体はいつも PV = nrt 気体分子の運動エネルギー E = 1 2 mv2 = 3RT 2N A 導けるようにすることが必要 1 枚の壁での力と圧力一辺の長さが l である立方体の容器の中で気体が運動していると する まず, 分子の速度を v = (v x, v y, v z ) とし,x 成分だけに注 目する 壁と気体分子とは弾性衝突とすると, 速度の壁に垂直な成 分 v x は衝突の前後で変わらない 1 つの壁に 1 回衝突するのにかかる時間は 2l 往復する時間で, 2l となり 1 秒での衝突回数は v x v x 2l 回になる 1 回の衝突で 2mv x の力積を壁に加えるので,1 秒間で 分子が壁に与える力の大きさは 1 秒間の力積と等しいから, F = 2mv x v x 2l = mv2 x l 力を面積で割ると圧力になるので, この分子 N 個 が壁に与える圧力は,v x を平均として P = F l 2 = Nmv2 x l 3 分子の速さは v 2 = v 2 x + v 2 y + v 2 z であるが, 分子が無 数にあるときは各成分の平均は等しいと仮定する す ると v 2 x v2 y v2 z となることより,v2 x = 1 3 v2, 体積 を l 3 = V として, P = Nm 3V v2 v 2 = 3P V Nm v = (vx, v y, v z ) 内部エネルギー分子の運動エネルギーの総和を内部エネルギーとよぶ 分子が N 個あるので, 内部エネ ルギーは 1 個のエネルギーを N 倍した値で表される 分子 1 個の運動エネルギーは 1 2 mv2 = 3P V 2N である モル数 n, アボガドロ数 N A, 分子の数 N は N = N A n の関係があるので, 上の式に代入すると運動エネルギー E と内部エネ ルギー U は次のようになる E = 1 2 mv2 = 3P V 2N A n = 3RT U = 3 ) ( 2N A 2 nrt n = NNA これは誘導がなくても自分で導けるようにしてもらいたい また, ここまでの理論は分子 の形が球体の単原子分子ということが前提である ボルツマン定数たまに k = R N A とおくことがある この k をボルツマン定数とよび,1 個の運動エネルギーは次のように表すこともある 1 2 mv2 = 3 2 kt p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

2 比熱と熱容量 物質 1g を 1 変化させるエネルギーを c[j/g K] 比熱が小さいものは熱しやすく冷めやすい式は Q = mc t 比熱の意味鉄と水はどちらの方が温まりやすいだろうか? 経験上鉄と分か るだろう 温まりにくさを比熱という 正確には, 物質 1g を 1 変 化させるときに出入りするエネルギーのことで, 単位は [J/g K] で ある 比熱 c[j/g K] の物体 mg を t[k] 上昇させるのに必要な熱 Q[J] は Q = mc t のようになる 計算上使う温度を絶対温度といい, 273 を 0K( ケルビンと読 む ) とし,0 = 273K,15 = 288K のように, 温度に 273 を足したものとなる しかし t は温度変化なので,20 から 30 まで 10 上がったことを絶対温度で表現すると 293K から 303K まで 10K 上がったと, 同じである 例水の比熱を 4.2[J/g K] とする 20 の水 100g と 80 のお湯 50g を混ぜると何 になるだろうか 解答 混ぜたあと,t[ ] になるとおく すると水は t 20[K] 上昇し, お湯は 80 t[k] 下降したことになる 水が得たエネルギー Q 1 = (t 20) お湯が失ったエネルギー Q 2 = (80 t) 物理の問題では基本的に熱の出入りは考慮しないことが多いので,Q 1 = Q 2 とすればよい t を求めると 40 熱容量たまに出てくるので知っておいてほしい 物体を 1 上げるのに必 要な熱量を熱容量といい, 単位は [J/K] で表す 例 温度変化の無視できないカップに 10 の水 100g が入っている ここに 60 に熱した鉄球 150g を入れると水温は 20 になった カッ プの熱容量を求めよ 解答 熱容量を C[J/K] とする カップも 10 上昇したことに なるのでカップの得た熱は 10C[J] 水は J の熱を得て, 金属は J 失った よって 10C = C = 480J/K これが熱容量である 一般的に, 質量と比熱をかけて 1 つにしたものが熱容量である 例 えば 100g の水の熱容量は = 420J/K と表すことができる このタイプの問題はグラフを描いて考えると立式ミスがなく安全に解くことができる も ちろん右上図のように大まかでよい p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

3 水銀と圧力 水銀が鉛直に 1mm あるときその部分がもつ重力による圧力は 1mmHg 要は水銀の長さ m,cm,m に Hg をつけ, つり合いの式 トリチェリの実験化学をやっている人なら知っているだろうが, 水銀 Hg は原 子番号 80, 密度 13.6g/cm 3 の有毒な液体金属である 水槽に 水銀を溜めて細長い試験管を沈める それを底を上にして鉛直 に立てる 管の口が水銀面から出ないようにすると管内の水銀 がちょうど 76cm になったときそれより上は真空となり, それ以上水銀は上昇しない これ は大気圧の力は単位面積あたり水銀を鉛直に 76cm だけ持ち上げる力に相当すると分かる 1 気圧 (1atm) を 760mmHg と定義する 水銀を x[mm] 押し上げる力を面積で割った圧力が x[mmhg] と定義される ボイル シャルル則の利用右図のように断面積が同じコップ A,B の底に穴を開け, 2 つをつなぐ A は口を閉め,B は開放しておく 大気圧を 760mmHg とする 図 1 のように水銀面の高さを揃えれば大 気圧とつり合う 図 1A 内の圧力は 760mmHg である 次に図 2 のようになったとき,A 内の気体が水銀を押し上 げているので A の方が B より水銀 4cm(40mm) 分だけ強いの で,A の圧力は 800mmHg となる また図 1 と図 2 の温度が等しいならボイルの法則が使え るため, 図 2A の空気部の長さを x, 断面積を S( 単位は考えない ) とすると, 図 1A の体積 は 8S, 図 2A の体積は xs となるから, 760 8S = 800 xs x = 7.6cm 次に図 3,4 を考える 空気の入った片方が閉鎖されてい る直線型のガラス管に水銀を 8cm 分詰める 図 3 のように管口を上にして鉛直に立てたとき, 空気部の長さが 5.0cm になったとする これを図 4 のように水平に倒したところ, 空気部の長さが 7.0cm になったとする 大気圧を 760mmHg とする 図 3 で水銀柱のつり合いを考える 図 4 の場合に おける管内の空気の温度を求めてみたい まず図 3 で管内圧力を P i [mmhg] として水銀柱のつり合いを考えると, P i = 0 P i = 840mmHg 図 4 のように水平にすると水銀の重さは関係なくなるので外気圧とつり合い,760mmHg と なる 管内空気の温度を T [K] とおいて管内空気についてボイルシャルルの式を立てる 840 5S 760 7S = T = 380 より T p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

4 熱力学第一法則 ( 改訂 2.0) 内部エネルギーの変化 U 気体のした仕事 W 与えた熱 Q Q = U + W もらった熱 Q で, 温度を上げ ( U) 残りの熱で仕事 W をする 根底はエネルギー保存熱力学はその名の通り, 力学に熱がついたものであり, 基本 は力学である 熱力学でもつり合いの式やエネルギー保存の式 を扱えるようになればきっと余裕だろう 扱うものがおもりや 小球ではなく, 気体になるだけである 気体に熱 Q を与えた場合, 温まり, 膨張することは人生経験 より分かると思う ここから熱力学第一法則が導かれる 内部エネルギー温度によるエネルギーを内部エネルギーといい, 絶対温度 T, 気体のモ ル数 n, 定積モル比熱 C V, 気体定数を R とすると次のようになる U = nc V T 単原子分子のとき U = 3 2 nrt 内部エネルギーは温度に比例する だから内部エネルギー変化というのは, 温度変化に比 例し, 変化分に ( デルタ ) をつけると, U = nc V T 気体の仕事 仕事は力と距離の積である 大まかな計算をすると, 気体の力は別の項で 扱うが圧力と面積の積で P S である この力で l だけ進むとすると, 気体がする仕事は W = P S l, ここで面積と高さの積は体積なので V = S l であり, 仕事は P V 変化の名前に注意実際の問題では 断熱圧縮 等温膨張 など, 色々な変化 を考える 重要なのはこの前 2 文字であり, 定積, 定圧, 等温, 断熱の 4 つがある 熱力学を制覇するには変化によって熱力学 第一法則の式を変形して使いこなすことである 定積体積が変わらない 内部気体がどのようにあがいても 仕事をしたことにならないので, W = 0 より Q = nc V T 定圧 圧力 P が一定, つまり内部気体の力が変わらないの で,P V = W となる 外気圧とつり合わせながら気体の体 積を変化させると定圧変化となる Q = nc V T + P V 等温温度変化がなし つまり T = 0 なので, U = nc V T = 0 より Q = W 断熱 熱の出入りがないので, 気体は熱をもらわない つまり Q = 0 となる よって第 一法則は 0 = nc V T + W となる このように, どれが 0 なのかを考えれば, すぐに求めたいものが分かる また, 内部エネ ルギーは何変化であっても定積モル比熱を使うように これは定義である p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

5 熱力学第一法則 物理 I 版 気体がした仕事を W 内部エネルギー増加量を U 気体が受け取った熱量を Q とすれば Q = U + W もらった熱の使い方は 2 通り 内部エネルギー増加量気体の分子は絶えずに動き回っている これを熱運動という すべての熱運動が停止したときの温度を絶対零度といい, 273 になる これを 0[K]( ケルビン ) と定義し,0 は 273K,10 は 283K のようにする K で表記する温度を絶対温度といい, 熱力学ではこの絶対温度で 話を進める その絶対温度とモル数に比例するエネルギーを内部エネルギーという U = nc V T 分子が単原子なら U = 3 2 nrt ここで,R は気体定数,n は気体のモル数,C V は定積モ ル比熱という比例定数である 物理 I だけの人は必要ない が, 物理 II も使う人は覚えてほしい 内部エネルギーとは, 位置エネルギーのようなもので, 仕事や運動エネルギーに代えることができる 密閉された 気体の場合は温度のみに比例する 温度が上がれば内部エ ネルギーは増え, 温度が下がれば減るが温度が一定なら膨 張しても圧縮しても内部エネルギーは変化しない 気体の仕事気体は膨張するとき外部に仕事をする ピ ストンのついたシリンダーの中にある気体をイメージして ほしい 気体はピストンに体当たりして押すことしかしないため, 気体がピストンを引く 力, つまり自らを圧縮する力などないのである だから体積が増えるときは気体分子の押す 力 とピストンの進行方向が同じなので中の気体は正の仕事を, 体積が減るときは中の気 体は押されるので中の気体は負の仕事をすると覚えればよい 熱力学第一法則エネルギー保存の法則の一種である 気体は熱 ( エネルギー )Q をもらった場合, その熱の用途は内部エネルギー U と仕事 W に使う こう考えると Q = U + W の式が成立する 仕事によってスペースを広くし, 残りは温度 上昇に使って溜めておくというイメージをしてもらいたい な お, この表記のとき,W は内部気体が外にした仕事である この式より, 温度が上がって 体積が増えるような状況の場合, 外部から熱が入ってくると分かる また, 温度が下がって 体積が減った場合は外部へ熱が逃げていくということが分かる 教科書によっては W を 内部気体がされた仕事 となっている場合がある そのときの 表記は U = W + Q となっているので公式だけで騙されないように p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

6 気体のモル比熱 ( 改訂 2.0) 定積モル比熱体積一定のとき Q = nc V T 定圧モル比熱圧力一定のとき Q = nc p T 内部エネルギー変化は U = nc V T 状態方程式と第一法則熱力学で重要な概念となるのがこのあたりである 液体や固体 の場合, 体積はほぼ一定であるため質量比熱を使うが, 気体の場 合はそうはいかない モル比熱というものを使うことになる 液 体や固体と同様気体も物質量が多いと温まりにくくなる 状態方程式 P V = nrt や第一法則 Q = U + W をうまく使 うことがこの分野をマスターするカギとなる 比熱一般的に比熱というのはその物質 1g を 1 上昇させるために必要なジュール熱のことで あるが, 気体の場合, モル比熱を用いる 気体 1mol を 1 上昇させるために必要なエネル ギーのことである 定積変化 これは比較的簡単である 体積を一定に保った状態 で n[mol] の気体を温度 T [K] 上昇させるエネルギーを考えると き, 比熱を C V とおく すると必要な熱量は Q = nc V T このときの C V の単位は [J/mol K] である この値を定積モル比 熱という また第一法則から Q = U + W の W = 0 となること より, このときの内部エネルギーは受け取ったエネルギーに等し い 内部エネルギーの変化量は U = nc V T となる この内 部エネルギー変化量は定積, 定圧, 断熱変化のいずれでも必ず定 積モル比熱を使うことを覚えてもらいたい 定圧変化 n[mol] の気体を T [K] 上昇させたとき, ついでに 体積も V [m 3 ] 増えてしまった場合を考える 圧力 P は変化しな いとする このときのエネルギー Q は比熱を C p とすれば Q = nc p T この C p を定圧モル比熱という これと第一法則を使うと Q = nc p T = U + W ここで は内部エネルギー変化量は U = nc V と表せて, 仕事は W = P V であるが, 状態方程式 より P V = nr T なので次の関係が成り立つ nc p T = nc V T + nr T C p = C V + R ところで, 問題文のどこかに 単原子分子理想気体 との記述があった場合のみ定積モル 比熱としては C V = 3 2 R, 定圧モル比熱は C p = 5 2 R を使う だから, 内部エネルギーの変 化と見た瞬間に U = 3 nr T とやってはいけないのである 2 p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

7 気体の圧力演習 ( 改訂 2.5) 気体の力 F = P S 第一法則 Q = U + W 状態方程式 PV = nrt ボイル シャルルの法則 力学との融合断面積 S の円筒形シリンダーに単原子分子理想気体を詰 めて断面積が同じ円形で質量 m のピストンをはめる ピス トンの上端にはバネ定数 k のバネを取り付け, バネのもう 一端を天井に取り付ける バネが自然長となったとき, ピ ストンの位置は底面から 2l の距離, 温度は T 0 となった 大 気圧を p 0, 重力加速度の大きさを g とし 何がオモロてこ PV T = 一定 んな意味分からんことすんねん とはツッコまずに以下の問いに答えよ (1) このときのシリンダー内の気体の圧力 p を m,s,p 0,g を用いて表せ (2) シリンダーを加熱したところ, ピストンは初期状態から l だけ上昇した このときのシ リンダー内気体の温度を求めよ (3) ピストンを上げる時, シリンダー内の気体がした仕事を求めよ 解答 (1) 気体の圧力は面を押す力であり, 決して引く方向ではない 圧力と 面積の積が力になるので, つり合い式を立てる p 0 S + mg ps = 0 p = p 0 + mg S (2) 体積が 2lS から 3lS になったので, 最終的にボイル シャルルの法 則を用いればよいが, 圧力も変化しているのでまずそちらを先に求め る 膨張後のシリンダー内の圧力を p 1 とすると, ばねの力 kl を追加し, kl + mg p 0 S + kl + mg p 1 S = 0 p 1 = p 0 + ( ) S 次に温度を T 1 としてボイル シャルルの法則を用いる p 2lS = p 1 3lS T 1 = 3p 1 T 0 T 1 2p T 0 = 3(p 0S + mg + kl) 2(p 0 S + mg) (3) P -V グラフの面積で考えるのが通常である 圧力が p p 1 に変わ るとき, 体積が膨張するとバネを押すことになるのでシリンダー内の圧力が増える これは 1 次関数的に増える ( マークの式より ) ので,P -V グラフは右のようになる これは台形なので, このアミカケの部分の面 積を求めると (p + p 1 ) ls 1 2 = p 0lS + mgl kl2 熱力学の問題では密閉された気体を膨張させたり圧縮したりすることが多い 基本はボ イル シャルルと F = P S を用いて立式することである 自分で P -V グラフを描いて問題 を解く習慣をつけてほしい ボイル シャルルの法則や熱力学第一法則を使うタイミングが きっと分かるはずである T 0 p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

8 熱機関物理 I 版 変化は定積 定圧 等温 断熱熱力学第一法則を考える Q = U + W P -V グラフを読むだけではなく, 自分で作れるようにする 毎回何変化かの見極め円筒シリンダーにピストンをはめ, それを棒によって自由に押し 込んだり引いたりする まず, 温度 T 0, 圧力 P 0 のとき, 体積が V 0 になったとする これを状態 A とする 以下, 圧力を P, 体積を V, 温度を T の文字で表す A B: 定積変化 状態 A でピストンを押さえながら加熱する と, 体積は変わらず温度, 圧力が変化する この状態を状態 B と し, 温度が T B, 気体の圧力が B になったとする 温度が上がっているので内部エネルギーは増えている このとき, ボイル シャルルの法則から次の式が成り立つ P 0 = P B T 0 T B B C: 等温変化温度を変えないようにゆっくりと膨張または 圧縮させることを等温変化という 状態 B からピストンの固定を 外して温度が変化しないようにゆっくりとピストンを上に上げる 温度が一定の時は圧力 P と体積 V は反比例する このとき, 状態 C の圧力と体積を P C,V C とすると, ボイルの法則より, P B V 0 = P C V C 体積が増えるので内部の気体は正の仕事をした 温度が変わってい ないので, 内部エネルギーの変化は 0 である C D: 断熱変化シリンダーを断熱材などで覆い, 強引にピス トンを押し込んだり引いたりする反応である 熱の出入りを防ぎな がら中の圧力が状態 A と同じ P 0 になるまでピストンを引っ張る この状態を状態 D とする 断熱変化のグラフは等温変化よりも急 激ということを覚えておけば十分である ( 詳しくは物理 II の範囲 ) 同じく体積が増えるので内部の気体は正の仕事をした 断熱膨張は劇的に温度が下がり, また断熱圧縮は劇的に温度が上がる D A: 定圧変化 圧力が P 0 に戻ったところで断熱材を外して放置すると状態 A に戻っ た 圧縮されているので内部気体は負の仕事をしたといえる 等温曲線圧力と体積のグラフで等温変化の曲線は反比例曲線になる 原点 に近いほど低温, 離れるほど高温である k を定数とする P V T = k P = kt (T が大きいほど原点から離れる ) V p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

9 熱機関 ( 改訂 2.0) 熱力学第一法則を利用膨張した時, 内部の気体は正の仕事をする温度が上がると内部エネルギーが増加する グラフの意味入試問題で熱力学が出題される時, よく題材にされるのがこの熱機関である 問題も解法 もある程度はパターン化されている 加圧, 減圧, 膨張, 圧縮, 冷却, 加熱のいずれかであ り, 複合された場合もある また, 圧力, 温度, 体積のいずれかを固定して他のものを変化 させることが多い とにかく, 熱力学第一法則をうまく使えれば全く恐れることはない シリンダー ( 筒 ) に断面積の同じピストン ( フタ ) をはめ, 中に 理想気体を閉じ込める 初期状態の内部気体の温度を T 1, 圧力を p 1, 体積を V 1 とし, 状態 A とする 定積モル比熱を 3 2 R とする 定積変化 ピストンを動かないように押さえながら内部気体を 加熱し, 体積がそのままで圧力が p 2 である状態 B にした この とき A B は定積といえる 膨張しないということは, 内部の 気体がピストンを押しても動かない 移動距離が 0 ということは 気体は仕事をしないので仕事は W = 0 となり, 温度が T 1 T 2 と変化したとすれば 等温変化 Q A B = U = 3 2 P V 1 = 3 2 V 1(p 2 p 1 ) 次に温度一定の状態で圧力を下げ, 膨張させながら 体積 V 2, 圧力 p 1 の状態 C にした B C は等温なので, 内部エ ネルギー変化がなくなる U = 0 となり, 与えた熱がすべて仕 事となる また, ボイルの法則が成立する Q B C = W B C p 2 V 1 = p 1 V 2 このときの仕事を求める方法は数 III レベルの積分を実行すれば 解決するが, 高校物理ではまずその必要はないのでご安心を 定圧変化 次に圧力を一定にしながらゆっくりと圧縮する そ のまま初めの状態 A に戻す 定圧変化の時の仕事は計算しやすい P V, つまりその時の 内部気体の圧力と体積の変化量をかけ算するだけである C A は定圧変化だが, 圧縮さ れているので, 内部気体の仕事は負となる 熱効率 仕事は負であり,W C A = p 1 V = p 1 (V 1 V 2 ) = p 1 (V 2 V 1 ) Q C A = 3 2 nr T + P V = 3 2 p 1(V 1 V 2 ) + p 1 (V 1 V 2 ) = 5 2 p 1(V 2 V 1 ) 熱効率 µ は, 機関のもらった熱の仕事に使った割合 である 今回は変化 A B, 変化 B C で熱をもらっている が,C A は廃熱となる 右のように表にまとめると便利であ る 分母には正の熱のみ, 分子には仕事をすべてでよい µ = W B C + W C A Q A B + Q B C p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

10 熱機関演習 第一法則 Q = U + W 定積 定圧 等温 断熱変化しかし内部エネルギーだけはいつでも定積モル比熱を使う P -V グラフの面積は気体のした仕事 グラフを描きながら今回, 右図のような熱機関を考える ピストン ( 動くフタ ) 付き のシリンダー ( 筒 ) 内に単原子分子理想気体を詰めたところ, 圧力 が P 0, 体積が V 0, 温度が T 0 になった これを状態 A とする こ こで気体が膨張しないようにピストンにストッパーを取り付けて押 さえながら気体を加熱し, 圧力を 3P 0 にした ( 状態 B) その後, ス トッパーを外してゆっくりと気体を膨張させ, 圧力を P 0 に戻した ら体積は 3V 0 となった ( 状態 C) その後, 冷却して圧力を P 0 に保 ちながら体積を V 0 にして状態 A に戻した 解 (1) A B で気体が受けた熱量を求めよ (2) B における温度を T 0 を用いて答えよ (3) B C で気体がした仕事を求めよ (4) C A で気体が放出した熱量を求めよ 答単原子分子との文言があるので, 内部エネルギーの変化量 は U = 3 2 nr T = 3 2 (P V P V ) を用いればよい (1) A B は定積変化であり, 仕事が 0 よって Q = U なので, U = 3 2 V 0(3P 0 P 0 ) = 3P 0 V 0 (2) T とする ボイル シャルルの法則より, P 0 V 0 = 3P 0V 0 T = 3T 0 T 0 T (3) B C では前後で温度は変わらないが 温度一定で という文言 が無いため, 等温変化ではない さらに等温変化なら P -V グラフは反 比例曲線になるはずであるが, 今回は直線になっている 気体のした 仕事は P -V グラフの面積で求められる しかし今回は積分などは要ら ない 台形の面積でよい W = (3P 0 + P 0 ) 2V 0 = 4P 0 V 0 2 (4) C A は圧縮なので気体のした仕事は負になる また温度が 3T 0 から T 0 に下がるので, 内部エネルギーも減る U も Q も負になる 結局, 定圧変化なので, Q = 5 2 nr T = 5 2 P 0 V = 5 2 P 0( V 0 3V 0 ) = 10P 0 V 0 10P 0 V 0 また, このサイクルを T -V グラフで描くと右上図のようになる B C は上に凸放物線の 一部となる p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理

11 断熱変化 ( 改訂 1.0) 断熱変化で成り立つ式 ( PV γ = 一定 γ = C ) p C V 単原子分子のときは PV 5 3 = 一定内部エネルギー変化の求め方がカギ 断熱変化シリンダーに空気を詰めてピストンをはめ込む その状態で思 い切りピストンを引いたり押し込んだりすれば, 外界と熱のやり とりを阻止できる これを断熱変化という 断熱変化は熱力学第 一法則で見ると Q = U + W の Q = 0 であり, U = W と なる では具体的に断熱変化の計算をしてみたい ある単原子分子を ピストンに詰め, 体積 V 0, 圧力 P 0, 温度 T 0 の状態 A から断熱的 に体積を 8 倍に膨張して状態 B にした場合を考える また, 断熱変化のときはポアソンの関係式 P V 5 3 = 一定が成り立つとする ちなみにポアソンの式は国立大や難関私大でよく出題されるが, 問題文に書いてあるので覚える必要はないが, 使えるようにしておくべきである このとき,(1) 状態 B での気体の圧力と (2) 気体がした仕事と (3) 状態 B における気体の温度を求めてみる (1) まずポアソンの式を使ってみる B における圧力を P とおけば, P 0 V = P (8V0 ) 5 3 P = 1 32 P 0 (2) 断熱変化なので W = U であるから, 要は内部エネルギー変化を求めればよい 状 態方程式 P V = nrt を使う 3 2 nr(t B T A ) = 3 2 nrt B nrt A = 3 2 P BV B P AV A W = 3 ( ) P0 (8V 0 ) P 0V 0 = 9 8 P 0V 0 (3) 状態 B における温度 T B は, ボイルシャルルの法則で求 められる P 0 V 0 T 0 = P 0/32 8V 0 T B T B = 1 4 T 0 このように断熱変化は温度が大きく変化する 空気の塊が 上昇して上空に行くと温度が下がるのはこの断熱変化が関係 している 断熱変化におけるポアソンの式の使い方と, 断熱変化の内部エネルギー変化の求 め方は慣れておいてもらいたい 難関大ではよく見かける また,P -V グラフでは等温変 化と同じような曲線になるので見間違えないように p 新快速のページ講義ノートシリーズ物理