1 2 1 No p. 111 p , 4, 2, f (x, y) = x2 y x 4 + y. 2 (1) y = mx (x, y) (0, 0) f (x, y). m. (2) y = ax 2 (x, y) (0, 0) f (x,

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ゆゆこはぎにわ
5 years ago
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1 No... p. p. 3, 4,, f (, y) y 4 + y. () y m (, y) (, ) f (, y). m. () y a (, y) (, ) f (, y). a. (3) lim f (, y). (,y) (,)... (, y) (, ). () f (, y) a + by, a, b. + y () f (, y) 4 + y + y 3 + y..3. (, ). y (, y) (, ), () f (, y) +y (, y) (, ). y log( + y ) (, y) (, ), () f (, y) (, y) (, ). (.)..4.. y y (, y) (, ), () f (, y) +y (, y). (, y) (, ), () f (, y) +y + +y (, y)... r cos θ, y r sin θ (, y) (, ) r f (, y) f (r cos θ, r sin θ) r 3 cos θ sin θ r 4 cos 4 θ + r sin θ r cos θ sin θ r cos 4 θ + sin θ (r ) (θ y, θ, θ. ). (). f (, y) h(r) θ h(r) h(r) (r ) lim (,y) (,) f (, y).

2 m 3.. () f (, m) 4 + m m + m m (, y) () f (, a a 4 ) 4 + a a 4 + a y a (, y) ( ) y m a. +a (3) (), () (, y) (, y). lim (,y) (,) f (, y). () y a (, y) a. +a a a lim f (, y) (,y) (,)... () r cos θ, y r sin θ (, y) (, ) r. f (r cos θ, r sin θ) ar cos θ + br sin θ, f (r cos θ, r sin θ) r a cos θ + r b sin θ r( a + b ) (r )., lim f (, y), lim f (, y). (,y) (,) (,y) (,) () r cos θ, y r sin θ (, y) (, ) r. f (r cos θ, r sin θ) r cos 4 θ + r sin θ cos θ + r sin 3 θ r + r (r ),..3 lim (,y) (,) f (, y), lim () r cos θ, y r sin θ., f (, y) f (r cos θ, r sin θ) r3 cos θ sin θ r f (, y). (,y) (,) r cos θ sin θ f (r cos θ, r sin θ) r cos θ sin θ r (r ) lim f (, y) f (, ) (,y) (,) f (, y) (, ). () r cos θ, y r sin θ f (, y) f (r cos θ, r sin θ) r cos θ sin θ log r. f (, y) r cos θ sin θ log r r log r ( r ) lim r log r log r lim r r r (log r ) lim lim r ( ) r r r r lim r 3 r ( r ) (r ). lim f (, y) f (, ) f (, y) (, ) (,y) (,)...4 () f (r cos θ, r sin θ) r cos θ sin θ cos θ r (r ), lim f (, y) (,y) (,) f (, )., f (, y). () f (r cos θ, r sin θ) r cos θ r+r r cos θ +r r +r., f (, y). (r ), lim (,y) (,) f (, y) f (, )

3 3 No.. p.5 p. 7 6, 7, 8 3, z e (sin πy + cos πy). f (, y) y y y 3. f (, y), f f f (, y). + f y..3. f (, y). () f (, y) log + y ( (, y) (, ).) () f (, y) tan y (.). f..4. f (, y) + y (, ). y..5. f (, y) +y (, y) (, ), (, y) (, ). () f (, y). () f (, y)...6. tan y ( ), f (, y) ( ) f y (, y) u f (, y, z), u, u f (, y, z) + f yy (, y, z) + f zz (, y, z)., u, u. u f (, y, z) + y + z.

4 4.. z e (sin πy + cos πy), z y πe (cos πy sin πy)... f (, y) 3 + 5y y, f y (, y) 5 y 3y f (, y) 36, f y (, y) 5 y, f y (, y) 5 y, f yy (, y) 6y...3 () f (, y), f +y y (, y), y f (, y) y, f ( +y ) yy (, y) y. f f (, y). ( +y ) () f (, y) y, f +y y (, y) y, y f +y (, y), f ( +y ) yy (, y) y. f f (, y). ( +y )..4 f (h, ) f (, ) ( h ) ( ) h f (, ) lim lim lim h h h h h h h + h. f (, h) f (, ) ( h ) ( ) h f y (, ) lim lim lim h h h h h h h + h. f (, ) f y (, ) f (, y) (, )...5 () y (, y), f (, )., y (, y), f (, ) , (, y) f (, y) f (, y)., lim f (, y) f (, ), f (, y) lim (,y) (,). (), f (, ) lim h f (h, ) f (, ) h (,y) (,) y +y, f y (, ) lim h f (, h) f (, ) h, f (, y)...6 f (, y) tan y y y, +y f y (, y) + ( y ) ( + y ) y y y ( + y ) ( + y ). m, y m f (, y), 4 + 3m 4 lim f y (, y) lim ( + m ) + 3m ( + m ). m., f y (, y)...7 u ( + y + z ) 3/,., u y + z ( + y + z ) 5/ u y z + y ( + y + z ) 5/, u z + y z ( + y + z ) 5/., u., u.

5 3 5 No.3.3 4, 3 3, 4, 5, 7 5, f (, y) log( + y + ). () f (, y). () f (, y). (3) f (, y)..3.. y sin ((, y) (, ) ), f (, y) +y ((, y) (, ) ) () z e +y () z sin log( + y ) (3) z y.3.4. z f (, y) + y (,, ) : : 3. /, y (, y) (, ), f (, y) +y (, y) (, ). (.)

6 () lim f (, y) f (, ), f (, y). (,y) (,) f (h, ) f (, ) () f (, ) lim h h f (, h) f (, ) ), f y (, ) lim h log( + h ) lim h h h lim h log( + h ) h h ( lim ( + ) lim f (, y). h h (3) ϵ(h, k) f (h, k) f (, ) f (, )h f y (, )k., (), ϵ(h, k) log(+hk+h ϵ(r cos θ,r sin θ) ). h r cos θ, k r sin θ, log(+r cos θ sin θ+r cos θ). h +k r +r cos θ sin θ+r cos θ +r, log( r ) r log( r ) lim lim( r) log( r ) log( + r ) r r r lim r r r r e ϵ(r cos θ,r sin θ) h +k log(+r ) r. lim r log(+r ) r r ϵ(h, k) lim., f (, y) (h,k) (,) h + k..3., f (, ), f y (, ). ϵ(h, k) f (h, k) f (, ) f (, )h f y (, )k, ϵ(h, k) hk sin. h r cos θ, k r sin θ, h +k ϵ(r cos θ, r sin θ) r 3 cos θ sin θ sin r cos θ+r sin θ h + k r r (r ), lim (h,k) (,) ϵ(h, k)., f (, y). h + k.3.3 () f (, y) e +y, f y (, y) ye +y dz e +y d + ye +y dy. () z cos log( + y ), z + y y y cos log( + y ), + y dz cos log( + y ) d + y cos log( + y ) dy. + y + y (3) z y y, z y y log, dz y y d + y log dy..3.4 f (, ), f y (, ) z ( ) + (y ),, y z..3.5 z,, y, z + y. z + y, z y y + y, dz + y d + y + y dy. 5, y, d /, dy /, dz , 7/3(.37 ) (), f (, y)., f (, y). lim (h,k) (,) ϵ(h, k), f (, y). h + k

7 4 7 No.4.4 9(p.9), 5,, (p.3). (.) z f (, y) 3 + 3y + log y, t, y t 3 Chain Rule dz dt z e +y, tan uv, y u + v z v z f (, y) C., r cos θ, y r sin θ., z r, θ, z r, z θ, z rr, z rθ, z θθ z f (, y) C. r cos θ, y r sin θ. () z yy r, θ, z r, z θ, z rr, z rθ, z θθ. () z z + z.. y z z r + z r r + z r θ (3 ) 3 r sin θ cos ϕ, y r sin θ sin ϕ, z r cos θ. r, θ, ϕ r, θ π, ϕ π., (, y, z) r θ ϕ (r, θ, ϕ) y y y det r θ ϕ α, z f (, y) u cos α v sin α, y u sin α + v cos α, ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z + + y u v. z r z θ z ϕ

8 dz dt z d dt + z dy y dt (3 + 3y) t + (3t 4 + 3t 3 ) t + (3t + t ) 3 ( 3 + ) 3t y 3t 6t 5 + 6t 4 + 9t t 6t5 + 5t t..4. z v.4.3,, z v + z y y v ( e +y u cos uv + v e+y u + v etan uv+ u +v u cos uv +, z z r r + z θ θ z rr + z θ θ. ) v. u + v r + y, θ tan y, z z r r + z r r + z θ θ + z θ θ (z rr r + z rθ θ )r + z r r + (z θr r + z θθ θ )θ + z θ θ z rr (r ) + z rθ θ r + z θθ (θ ) + z r r + z θ θ. (.) r + y cos θ, θ y + ( y ) y + y sin θ. r r (.), + y +y + y θ + y ( + y ) 3/ r r cos θ r 3 y ( + y ) r sin θ cos θ r 4 sin θ cos θ r. sin θ, r z z rr cos θ + z θθ sin θ r z rθ r sin θ cos θ + z r sin θ r + z θ r sin θ cos θ..4.4 () z y z r r y + z θ θ y. z yy z ry r y + z r r yy + z θy θ y + z θ θ yy r + y, θ tan y r y (z rr r y + z rθ θ y )r y + z r r yy + (z θr r y + z θθ θ y )θ y + z θ θ yy z rr (r y ) + z rθ θ y r y + z θθ (θ y ) + z r r yy + z θ θ yy. (.) y + y sin θ, θ y + ( y ) + y cos θ. r

9 4 9 y r yy cos θ sin θ cos θ, θ yy r r. (.),. z yy z rr sin θ + z θθ cos θ r + z rθ sin θ cos θ r + z r cos θ r z θ sin θ cos θ r. ().4.3 z z rr cos θ + z θθ sin θ r z rθ sin θ cos θ r + z r sin θ r + z θ sin θ cos θ r. ()..4.5 (, y, z) (r, θ, ϕ) z + z yy z r + z r r + z r θ (3 3.) sin θ cos ϕ r cos θ cos ϕ r sin θ sin ϕ det sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ cos θ r sin θ r sin θ cos θ cos ϕ + r sin 3 θ sin ϕ + r sin 3 θ cos ϕ + r sin θ cos θ sin ϕ r sin θ cos θ + sin 3 θ r sin θ θ π sin θ., sin θ sin θ.,.4.6, (,y,z) (r,θ,ϕ) r sin θ. z u z u + z y y u z z cos α + sin α, y, z v z v + z y y v z z ( sin α) + cos α. y ( ) z + u ( ) z v ( ) z cos α + z ( ) z z sin α cos α + sin α y y ( ) z + sin α z ( ) z z sin α cos α + cos α y y ( ) ( ) z z +. y

10 5 No f (, y).,. () f (, y). () 3 f (, y)..5.. f (, y) e log( + y). () f (, y). () f (, y). (3) f (, y) f (, y) sin( + y). () f (, y). () f (, y). (3) f (, y) 3. (4) f (, y) 4. 3

11 5.5. (), θ (, ), f (, y) f (, ) + f (θ, θ y) + y f y (θ, θ y). (), θ 3 (, ), f (, y) f (, ) + f (, ) + y f y (, ) +! ( f (, ) + y f y (, ) + y f yy (, )) + 3! (3 f (θ 3, θ 3 y) + 3 y f y (θ 3, θ 3 y) + 3y f yy (θ 3, θ 3 y) + y 3 f yyy (θ 3, θ 3 y))..5. () f (, y) e log( + y), f y (, y) e (), +y eθ f (, y) e θ log( + θ y) + y + θ y (), θ (, ), ( < θ < ). f (, y) f (, ) + f (, ) + y f y (, ) +! ( f (θ, θ y) + y f y (θ, θ y) + y f yy (θ, θ y)). f (, y) e log( + y), f y e, f +y yy e, (+y) f (, y) y + ) ( e θ log( + θ y) + y eθ + θ y e θ y ( + θ y) (3) ( < θ < ). f (, y) e log( + y), f y (, y) e + y, f yy(, y) e ( + y ), f yyy(, y) e ( + y) 3 (), ) f (, y) y+y ( y + 3 e θ3 log( + θ 3 y) + 3 y eθ θ 3 y e θ3 3y ( + θ 3 y) + e θ3 y3 ( + θ 3 y) () f (, y) f y (, y) cos( + y), ( < θ 3 < ). f (, y) cos θ ( + y) + y cos θ ( + y), ( < θ < ). () f (, y) f y (, y) f yy (, y) sin( + y), f (, y) + y! ( + y) sin θ ( + y) ( < θ < ). (3) f (, y) f y (, y) f yy (, y) f yyy (, y) cos( + y), f (, y) + y 3! ( + y)3 cos θ 3 ( + y) ( < θ 3 < ). (4) f (, y) f y (, y) f yy (, y) f yyy (, y) f yyyy (, y) sin( + y), f (, y) + y 3! ( + y)3 + 4! ( + y)4 sin θ 4 ( + y) ( < θ 4 < ).

12 6 No f (, y) + y + y 4 y. f (, y) 4 y + y 4. f (, y) + y + y 3. f (, y) 4 4y + y. f (, y) e y (π + ey ).

13 f (, y) + y 4 () f y (, y) + y () f (, y). () (), y,., (, ). f (, y), f y (, y), f y (, y), f yy (, y) (, ) 3 <, f (, ) >., f (, y) (, ) f (, ) f (, y) 4 3 y () f y (, y) + 4y 3 () f (, y). (), y 4 3. (), 56 9 ( )( + )( + )( ).,, ±., (, y) (, ), (, ), (, ). f (, y), f y (, y), f yy (, y) y, (, y) 44 y. (, ). (±, ± ) 8 <, f (±, ± ) 3 >, (±, ± ) (, y) f (, y), f y (, y) y+3y 3y(y + )., (, y) (, ), (, ). f 3 3 (, y), f y (, y), f yy + 6y, (, y) 4( + 3y). (, ) 4 >, 3 (, ). (, ) 4 <, 3 f (, ) >,..6.4 (, y), f (, y) 4 3 4y, f y (, y) 4 + 4y., (, y) (, ), (, ), (, ) 3., f (, y), f y (, y) 4, f yy (, y) 4, (, y) (, ) 6 >,. (±, ±) 3 <, f (±, ±) >, (±, ±)..6.5, f (, y) e y (π π ey ), f y (, y) ye y (e π ey )., (, y) (, ), (, ±), (±, ) 5., f (, y) 4 e y (π π ey ) + e y (π 3π ey ), f y (, y) 4ye y (π π ey ) 4eye y, f yy (, y) 4y e y (e π ey ) + e y (e π 3ey ). (, ) 4πe <, f (, ) π > f (, ). (, ±) 8(π e)e > (, ±). (±, ) 8π(e π)e <, f (±, ) 4πe <, (±, ) π/e.

14 7 4 No g(, y) + 3y, f (, y) + y...7. g (, y) 4, g y (, y) 6y, (g (, y), g y (, y)) (, ) (, y) (, ).., g(, y), (g (, y), g y (, y)) (, ).,. (, y) : f (, y) λg (, y) 4λ () f y (, y) λg y (, y) 6λy () g(, y) + 3y (3) (), λ. (), (),, y. (3), 4λ 6λ ( ) ( ) + 3 4λ 6λ., λ 5, λ ± λ, 4 3, y 4 3., λ 5, 3, y ,, (, y) ( ± 3, ± ) 3 5. ( 3, 3 ). 5 g y (, y) 6y, g y ( 3, 3 ) 6 3 g(, y) ( 3, 3 ) y φ(). φ() f (, φ()),, + 3(φ()).,, 4 + 6φ ()φ() () 4 + 6φ ()φ() + 6(φ ()) (). 3 y 3, φ( 3 ) 3. () 5 5 3, 3 + 6φ ( 3 ) 3, 5 5 φ ( 3 ). () 3, 4 + 6φ ( 3 ) ( ), φ ( 3 ) p() f (, φ()), p() + φ()., p () + φ (), p () φ ()., p ( ), p ( ) φ ( ) 5 3 <. 6, z f (, y) ( 3, 3 ) 5 f ( 3, 3 ) , ( 3, 3 ) 5 f ( 3, 3 ) 3 ( ; ). 5 6

15 f (, y) 3 + y 3 y (, ).7.3. () f (, y) C, (a, b) f (a, b), f y (a, b)., (a, b) f (, y) y φ() φ () d y d f fy f y f f y + f yy f fy 3. () a + by + cy y φ(), y, y a >, 3 + y 3 a 3., y, y y, f (, y) + y y, f (, y) 3 + y 3., y, f (, y) a + by + cy.,., a c b., II.

16 f y (, y) 3y, f y (, ), f (, y) (, ) y φ(). f (, y) 3 y, f (, ), φ ().,, y ( ),, y (), y φ() C dy d f (, y) f y (, y).,,. d y d d f (, y) d d y (, y) d, d d f(,y) y d f d y (, y) f (, y) d f y(,y) d. ( f y (, y)) f (, y) + f y (, y) dy d f (, y) f y (, y) f (, y) f y (, y), f y (, y) + f yy (, y) dy d f y(, y) f yy (, y) f (, y) f y (, y) φ () d y d f f y f y f f y + f yy f f 3 y. () f (, y) a + by + cy, f (, y) a + by, f y (, y) b + cy, b + cy f y (, y)., b + cy., y f (, y) f y (, y) a + by b + cy., f (, y) a, f y (, y) b, f yy (, y) c (), y a(b + cy) b(a + by)(b + cy) + c(a + by) (b + cy) 3 ac b (b + cy) f (, y) 3 + y 3 a 3. f (, y) 3 3, fy (, y) 3 y 3, 4 (, y) (, ±a), (±a, ) f (, y) C. 4,, ( y ) y 3., (), y ( )( 3 y 3 ) + ( 9 y 4 3 )( 3 3 ) 8 7y ( ) a y

17 g(, y) 3 + y, g (, y) 6, g y (, y) 4y, (g (, y), g y (, y)) (, ), (, y) (, ).., (g (, y), g y (, y)) (, ),. λ, f (, y). f (, y) λg (, y) 6λ, f y (, y) λg y (, y) 4yλ ( yλ). λ, 6λ, y λ., λ 7 λ ± 7 3,., (, y) (±, ± 3 7 ).. g(, y) 3 + y, f (, y) + y, f (, y),.,,. f (±, ± 3 7 ) ± 3, f (, 3 7 ) f ( 3, 3 7 ) g(, y) + y, g (, y), g y (, y) y, (g (, y), g y (, y)) (, ), (, y) (, ).., (g (, y), g y (, y)) (, ),. λ, f (, y). f (, y) λg (, y) (3 λ), f y (, y) λg y (, y) y(3y λ).,, λ 3 y, λ. (, y) (, ) 3, (, y) (, λ), ( λ, ), ( λ, λ) (, y) (, λ), λ ± 3., (, y) (, ±). (, y) ( λ, ) 3 3, λ ± 3., (, y) (±, ). (, y) ( λ, λ) 3 3 λ ± 3., (, y) (±, ± )., (, y) (, ±), (±, ), (±, ± ) 6. g(, y) + y, f (, y) 3 + y 3, f (, y),. 6 f (, ) f (, ), f (, ) f (, ), f (, ), f (, ), f (, ) f (, ), f (, ) f (, ) g(, y) + y, g (, y), g y (, y) y, (g (, y), g y (, y)) (, ), (, y) (, ).., (g (, y), g y (, y)) (, ),. λ R, f (, y). f (, y) λg (, y) a + by λ, f y (, y) λg y (, y) b + cy λy., a λ b b c λ y. (, y) (, ), det O. (, y) (, ) a λ b b c λ 4 f (, ), f (, ).

18 7 8., λ (a + c)λ + ac b., (a + c) 4ac + 4b (a c) + 4b >, λ {(a + c) ± (a c) + 4b }. λ, λ., A : a b. λ, λ v, v i + y i y y b c (i, ). (, y ), (, y ). g(, y) + y, f (, y) a + by + cy,,.. Av i λ i v i, a i + by i λ i i, b i + cy i λ i y i. i + y i, f ( i, y i ) a i + b i y i + by i i (a i + by i ) + y i (b i + cy i ) i λ i i + y i λ i y i λ i ( i + y i ) λ i, f (, y ) λ {(a + c) (a c) + 4b }, f (, y ) λ {(a + c) + (a c) + 4b }.

19 8, 9 No.8., p.53 3, 4, () I yddy, {(, y) R y, y y}. () I e +y ddy, {(, y) R, y }. (3) I 3 ( + y + )ddy, {(, y) R, y }. (4) I 4 ( + y)ddy, {(, y) y y + } (5) I 5 ddy, {(, y) y, y 4}. + y... 3 y,, y π 3,. I sin y ddy...3. a >, y a, y a, a.,. I (y + y 3 )ddy, I ( + y)ddy...4. ay y a.,. I ( + y)ddy, I ( + y )ddy.

20 8,.. (), y [ I yddy y 3 3 y 3 (), (y y 7 )dy 3 [ 3 y3 9 y 9 ] y dy y 3 y 3 (y y 3 )dy ] ( 3 3 ) 9 7. I [e + e e +y dyd ] (e e ] y [e +y d ) y ( e (e + e )d ) e e +. (3), I 3 ( + y + )dyd [ ] [ y + ] y y + y d y ( ) d (4), y y., {(, y) y, y y + } ( ), I 4 ( y+ y ) ( + y)d dy [ ] y+ + y dy y { (y + ) + y(y + ) } y4 y 3 dy 89. (5), 4 y 4 I 5 + y d dy [ + y ] 4 y dy ( )ydy ( [ ) y ] 4 5 ( )... {(, y), y π }.,. ( π I sin y ) dy [ y ] π d cos d [ ]...3 {(, y) a,. () a y a} I a a (y + y 3 )dyd 4 + a 3 + d 4 4 [ y + 4 y4] a a d [ a ] a 4 ( a5 5 + a5 + 3 a3 ) 3 4 a5 + 6 a3.

21 8, () I a [ + y)dyd y + a ( y] a d a [ a + a a (a ) ] d [ a ] a a d a d 5 a3 + 6 a3 ( a 3 a + ) d a d. ( a ) + a 4 d a a sin θ, a d π π a a ( + sin θ) cos θ a cos θdθ a a3 8 a3 4 π π π a3 4 π ( + sin θ) cos θdθ a3 8 cos θdθ π π cos θdθ + a3 8 ( ) [ a ( + y)dyd y + /a a y] a d /a a ) ( 4 a 3 a + a d [ 5 a 4 4a a ] a ) ( a3 4 a a3 5 a3 4a ) 3 a3 4a 3 a3. π π sin θ cos θdθ a3 6 π ( 7., I 3 π ) a , {(, y) R a a, a y a }.,. I {(a ) + (a ) 3 a } 4 d a I a ( a3 a a a /a ( + y )dyd a [ y + 3 y3] a } { (a )3 (a ) a 6 d 3a ( 3 6 3a 4 3 a a 4a + 8a3 3 [ 7 a 5 3 5a a 3 3 a + 8a3 3 ] a ( ) + 6 a a4. /a d ) d a a

22 9 No () () (3) (4) (5) y a..3.. e y dy, I f (, y).,. f (, y)dyd f (, y)dyd f (, y)ddy a f (, y)dyd (a.) 4 f (, y)dyd e y dyd. f (, y).,. a 3a a y a..4. I f (, y)ddy + f (, y)ddy + dyd. + y a a y f (, y)ddy... I, {(, y) R, y }. {(, y) R y, y}., I y e y ddy [ ] y e y dy [ ] yey dy 4 ey (e ). 4

23 9 3.. () {(, y) R, y } {(, y) R y 4, y y}, f (, y)dyd 4 y y f (, y)ddy. () {(, y), y } ( ) {(, y) y, y y}, f (, y)dyd y y f (, y)ddy. (3) {(, y) R y, y } {(, y) R, y }, y f (, y)ddy f (, y)dyd. (4) {(, y) R a, a y a } {(, y) R a y a, a a 4 y a a + 4 y }, a a f (, y)dyd / a/ a + 4 y a a 4 y f (, y)ddy. (5) {(, y) R, y 4 } ( )., {(, y) R y, y y 4 } 4 f (, y)dyd y /4 y / f (, y)ddy...3, y + a,, a + y a 4., {(, y) R a, a y + a}...4 I y y + y d +a a f (, y)dyd [ log( + y ) ] y dy y {log( + y) log y log }dy log. {log(y + y ) log y }dy

24 4 No () I + y + ddy, {(, y) R + y }. { () I ( + y )ddy, (, y) R + y } (a, b > ). a b (3) I 3 e +y ddy, {(, y) R + y 4}. (4) I 4 ( + y) sin( y)ddy, {(, y) R + y π, y π}. (5) I 5 y ddy, {(, y) R + y a, y } (a > ). (6) I 6 y ddy,. + + y

25 5 π r.3. () I drdθ π [ + r ] ( )π. + r () ar cos θ, y br sin θ, (,y) abr, (r,θ) I π (a r sin θ + b r cos θ)abrdrdθ ab 4 π (a sin θ + b cos θ)dθ., π sin θdθ π π π sin θ( cos θ) dθ [ sin θ cos θ] π + cos θdθ ( sin θ)dθ π π sin θdθ π cos θdθ, π (3) sin θdθ π cos dθ π., I 3 π I π 4 ab(a + b ). [ ] e r rdrdθ π er π(e 4 e). (4) u + y, v y, u+v, y u v, I 4 π π u sin v π3 dudv 3. (,y) (u,v)., (5) r cos θ, y r sin θ, E {(r, θ) θ π, r a cos θ}., I 5 π cos θ r 4 cos θ sin θrdrdθ π/ 6 a6 cos 8 θ sin θdθ ( π/ 6 a6 cos 8 θdθ π/ ) cos θdθ ( 7 6 a π π ) (6) a cos θ, y r sin θ, 7 37 πa6. I 6 π r + r rdrdθ. r t, I 6 π t + t dt π t t dtdθ π [ sin t + t ] ( π ) dθ π.

26 6 No < α <, R >, {(, y) R + y R },..4.. {(, y) R + y },.4.3. {(, y) R, y, + y },.4.4. {(, y) R + y }, ddy ( + y ) α log( + y )ddy ddy + y. ddy y {(, y) R + y a,, y }, sin y + y ddy. (, a >.).4.6. {(, y) R, y },. ) ddy. (, p, q p yq

27 7.4. n {(, y) R n ddy lim ( + y ) α n π lim n [ n + y R } { n } n ddy ( + y ) lim α n r α ( α).4. n {(, y) R n ] R /n π R π α lim n /n r rdrdθ π lim α n ) ( R α n α log( + y )ddy lim log( + y )ddy lim n n R /n r α dr π α R α. + y } { n } n. 4π lim r log rdr 4π lim n /n n π n /n ( log n n 4 + 4n log(r ) rdrdθ log. lim lim ( log n lim. log( + y )ddy 4π ) π. n n n {(, y) R, y, + y } { n n } n. ddy ddy π/ lim + y n n + y lim n /n r rdrdθ π ( lim ) π n n..4.4 n {(, y) R + y }, { n n} n. ddy y lim n n lim π [ r ] n lim n n π ddy y lim n π n ( n) π. ). r rdrdθ.4.5 n {(, y) R n + y a}, { n } n. sin sin θ θ, sin y π/ ddy lim θrdrdθ π + y n /n 8 lim n (a n ) π a ddy p y lim q n n {(, y) n, y n}, { n } n. n n ddy p y q lim n [ ( p) p ] n [ ( q)y q ] n ( p)( q).

28 3 8 No V {(, y, z) R 3 + y + z 4, z }.,, 3. ddydz I. V ( + y + z ) V {(, y, z) R 3 + y + z a, z }.,, 3. I z ddydz. V.5.3. V {(, y, z) R 3 + y 4, z 4 y }. 3. I 3 ( + y )ddydz V {(, y, z) R 3 3. V + y + z a } (a > )., I I 5 y z e ddydz. R 3 V ddydz + y + z.

29 r sin θ cos φ, y r sin θ sin φ, z r cos θ I π π/ r r sin θdrdθdφ π r 3 dr sin θdθ π [ ] 3 dφ π 5 r π( 5 3 ). r sin θ cos φ, y r sin θ sin φ, z r cos θ I π π r cos θ r sin θdrdθdφ 5 πa5 π/ sin θ cos θdθ [ ] π/ 5 πa5 3 cos3 θ 5 πa r cos θ, y r sin θ, z z (r, θ, z) Ṽ {(r, θ, z) r, θ π, z 4 r }. I 3 π 4 r r 3 dzdrdθ π r 3 (4 r )dr π (4r 3 r 5 )dr 3 3 π..5.4 V n {(, y, z) R 3 n. I 4 lim n V n ddydz + y + z lim n + y + z a } {V n } n V π π n [ ] a r r sin θdrdθdφ lim 4π n r πa. /n.5.5 V n {(, y, z) R 3 + y + z n } {V n } n R3. I 5 π lim n 4 lim n 3 π 4 lim n 3 π 3 4 π n ( [ n r sin θ cos φe r r sin θdrdθdφ lim r3 e ] n r + 3 n ) ( r 4 3 e r dr lim n 3 π π 3 e r dr 4 3 π 3 4 π n π sin 3 θdθ π [ r e r ] n cos φdφ ) e r dr n n r 4 e r dr. ( 6 4.)

30 3 3 II No.3.6 3,. () R ddy. () G R 3 G G ddydz G. (3) C z f (, y) S S {(, y, f (, y)) R 3 (, y) } S + ( f (, y)) + ( f y (, y)) ddy.,..6.. V {(, y, z) R 3 + y a, + z a } ( a > ). V {(, y, z) R 3 a y a, a z a, a}, V dzdyd V a a a a a dyd 4 a ) 8 [ a 3 3] a 8 ( a 3 a3 3 a dzdyd a 6 3 a3. (a )d 8 (a )d

31 y + z a b ( < b < a ). S {(, y, z) R 3 + y + z a, z b}. + y + z a z b + y a b {(, y) R + y a b }. z a y, z b >, z f (, y) a y. S + z + z yddy a y + y a y ddy a a y ddy. y ddy a y r cos θ, y r sin θ, θ π, r a b, S a π a b a r rdrdθ πa[ a r ] a b πa(a b) V {(, y, z) R 3 + y, z + y }. { ( ) ( y ) ( z }.6.4. V (, y, z) R (a, b, c > ). a b c).6.5. z + y z V.

32 r cos θ, y r sin θ, z z (r, θ, z). Ṽ {(r, θ, z) r, θ π, z r}.6.4 V π r rdzdrdθ π r dr [ ] π 3 r3 π 3. ar sin θ cos φ, y br sin θ sin φ, z cr cos θ (, y, z) (r, θ, φ) abcr sin θ. V π π abcr sin θdrdθdφ 3 abc π 4π 3 abc..6.5 V z z z z {(, y) R + y z}. πz ( ) V ddy dz πzdz π.

(1) D = [0, 1] [1, 2], (2x y)dxdy = D = = (2) D = [1, 2] [2, 3], (x 2 y + y 2 )dxdy = D = = (3) D = [0, 1] [ 1, 2], 1 {

(1) D = [0, 1] [1, 2], (2x y)dxdy = D = = (2) D = [1, 2] [2, 3], (x 2 y + y 2 )dxdy = D = = (3) D = [0, 1] [ 1, 2], 1 { 7 4.., ], ], ydy, ], 3], y + y dy 3, ], ], + y + ydy 4, ], ], y ydy ydy y y ] 3 3 ] 3 y + y dy y + 3 y3 5 + 9 3 ] 3 + y + ydy 5 6 3 + 9 ] 3 73 6 y + y + y ] 3 + 3 + 3 3 + 3 + 3 ] 4 y y dy y ] 3 y3 83 3