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1 時系列解析 () ボラティリティ 時変係数 AR モデル 東京 学数理 情報教育研究センター 北川源四郎

2 概要. 分散 定常モデル : 線形化 正規近似. 共分散 定常モデル : 時変係数モデル 3. 線形 ガウス型状態空間モデル

3 分散 共分散 定常 3 地震波 経 5

4 定常時系列のモデル 4. 平均 定常 トレンド, 季節調整. 分散 定常 線形 ガウスモデル ( カルマンフィルタ ) で推定するためには 近似が必要 ( 線形化 + 正規近似 ) 線形 ガウス型状態空間モデルを使うと直接的なモデリングが可能 3. 共分散 定常 時変係数モデル

5 ( 線形モデルによる ) 時変分散の推定 5 r, ~ N (0,) r 乗 r log r 対数 log r log log 変換により分散変動の推定問題はトレンド推定の問題に変換される ただし, ノイズは正規分布ではない

6 ( 線形モデルによる ) 時変分散の推定 6 分散変化のモデル ( 例 ) log log log log ランダムウォーク型 ( 定数付き )AR 型 時変分散のモデル ( 例 ) log log log r log log

7 状態空間表現 7 log log log r log log x log, y log r, log とおくと x y x x 状態空間表現 は正規分布には従わない 正規近似 カルマンフィルタ 正規分布 ガウス型フィルタ

8 種類のデータ変換 8 r y r y ( r r )/ z log r z log y

9 9 log の分布 : 重指数分布 y ~ N(0,) x y ~ ( カイ 乗分布 ) log x x x g( x) exp e p( ) exp ( 重指数分布 ) y f ( y) exp x x exp x h( y) y y h h dh x h( y) y h ( x) x x dx dh x g( x) ( x 0,) x exp dx x d log p( ) g( h ( )) d d log ( e ) exp d e ( ) exp e

10 重指数分布 (Gumbel 分布 ) y ~ N(0,) s y y ( ) / ~ ( 由度 の χ 分布 = 指数分布 ) log s g ( s) exps de p( ) g ( h ( )) d e exp exp e p( ) exp e : 重指数分布 e h( s) log s s h h ( ) h e 注 :p( ) は Gumbel 分布 0

11 重指数分布の正規分布による近似 log ~ exp e N (, / ),.7036 log ~ exp e N (, / 6), Euler 定数 log- ピリオドグラムの平滑化 Wahba (980) 時変分散 ボラティリティ Kitagaa & Gersch (985) Nelso (988), Harvey, Ruiz, Shepard (994)

12 重指数分布と正規近似 log 近似 True log( y ) e g( ) exp log 近似 True log( y y ) m m g ( ) exp e 正規近似が良くなる 分散が /3 データ数が /

13 分散変動 ( 時変分散 ) モデル 3 k t m v m z t m m m h( ) exp e N(, ) h( ) exp ( e ) ~ N, 6 ( ) - 型 - 型

14 時変分散の推定 : MYEF 4 - 型, トレンド次数 = = 6.6x0-6, = 9.7x0 - log-lkhd = AIC=

15 時変分散の推定とデータの等分散化 変換したデータ Time # a earthquake ave data data(myef) # tvvar(myef,, 6.6e-06,.0e-06) tau e-06 sigma 9.78e-0 log-likelihood aic 時変分散 等分散化したデータ

16 AR 型の分散変動モデル 6 ランダムウォークモデル log log r log log v log AR 型モデル log log log r log log

17 時変スペクトル 7 AR モデル 共分散スペクトル 時変係数 定常時変 時変係数 AR モデル y m j a j y j, ~ N (0, ) 時変係数回帰モデル

18 時変係数 AR モデルの推定 8 m y a y a j j j j, は時間とともに変動 係数変化のモデル k a v v N j j, j ~ (0, ) 状態空間表現 x Fx Gv y H x v ~ N(0, Q) ~ N(0, R) x, F, G, H, Q, R を定める

19 時変係数 AR モデル Kroecker 積 () () () H G F 0, 0, 0 () () () H G F B a B a B a B a b b b b a a a a B A m m pq p q m m JSV(983), IEEE-AC(985) 9 ( ) ( ) ( ), (,, ), (,, ) (,,, ) k k m m k m m T k m F F I G G I H H y y Q I R x a a I B B () (), m m m m m m I I F I I F I I O

20 状態空間表現 (k = の場合 ) 0 a a, v, a m a m, v m, a y y,, y a m m Q, R

21 状態空間表現 (k = の場合 ) a a v, a m a m a a v m, a a m m y y,, y,0,,0 m a a a a m m Q, R

22 システムノイズの等分散仮定について Q = diag{,, }: の仮定は妥当か? j ijf m k k ijf A( f, ) aje j f で 乗積分 m k k A( f, ) df ( a ) j j A( f, ) a e, f AR係数のフーリエ変換 p ( f) A( f, ) A( f, ) の時間変化の滑らかさに関する評価 周波数領域 - m j 各次数を同じ割合で加算しているので k j j j a v, v ~ N(0, ) AR モデルを 化フィルタと考えたときの周波数応答関数

23 時変係数 AR モデルの AIC 3 m k= k= m k= k=

24 R による時変係数 AR モデルの推定 4 data(myef) # a earthquake ave data z <- tvar(myef, tred.order =, ar.order = 8, spa = 0, tau.ii = 6.6e-06, delta =.0e-06) z tau.60000e-06 sigma.4307e+0 log-likelihood aic

25 時変スペクトル ) (0, ~, N y a y j m j j ( ) m j ijf j p f e a 時変係数 AR モデル時変スペクトル 5

26 R による時変スペクトルの計算 6 z <- tvar(myef, tred.order =, ar.order = 8, spa = 0, tau.ii = 6.6e-06, delta =.0e-06) # 時変スペクトル spec <- tvspc(z$arcoef, z$sigma) plot(spec, theta = 30, phi = 40, expad = 0.5)

27 係数の急激な変化について 7 トレンドモデルによる変化はゆっくりした変化を仮定している 地震波などでは突然別のモデルに変化することがある 対応 変化点既知の場合 k=の場合 : その時点で を きくすればよい k=の場合 : それだけでは屈折点となる x - とV - を初期化するかV - の対 成分に きな値を れる 対応 : ガウス型モデルを利 する ( 変化点未知でよい )

28 R による時変係数 AR モデルの推定 ( 構造変化を仮定 ) 8 z <- tvar(myef, tred.order =, ar.order = 8, spa = 40, outlier = c(630, 06), tau.ii = 6.6e-06, delta =.0e-06) 構造変化の時点

29 R による時変スペクトルの推定 ( 構造変化を仮定 ) 9 # =630 と 06 の か所で構造変化があったと仮定 # z <- tvar(myef, tred.order =, ar.order = 8, spa = 40, outlier = c(630, 06), tau.ii = 6.6e-06, delta =.0e-06) # # 時変係数 AR モデルから時変スペクトルを計算 # 時変スペクトルを 3 次元表 # spec <- tvspc(z$arcoef, z$sigma) plot(spec, theta = 30, phi = 40, expad = 0.5)

30 時変係数と時変スペクトル 30 時変係数 AR 局所定常構造時変係数 AR

31 時変スペクトル 3

32 3 本と同様の 3 次元プロット ( 未公開 ) ########################################## # 時変スペクトルの 3 次元表 ########################################## # seismic data data(myef) z <- tvar(myef, tred.order =, ar.order = 8, spa = 0, outlier = c(630, 06), tau.ii = 6.6e-06, delta =.0e-06) spec <- tvspc(z$arcoef, z$sigma) ######################################### # 最初のスペクトル (=0) f <- 0 dt <- dy <- 0. f <- f-dt t <- :f tt <- :f plot(t,spec$z[,],type="l", xlim=c(,50),ylim=c(-,8)) y <- spec$z[,] z <- y # 瞰図 (=,80) rep <- :80 for (i i rep){ par(e=t) t <- t+dt for (j i :f) z[j] <- spec$z[j,i]+dy*(i-) for (j i tt){ # z[j] <- max(spec$z[j,i]+dy*(i-),y[j+dt]) z[j] <- max(z[j],y[j+dt]) } y <- z plot(t,y,type="l", xlim=c(,50),ylim=c(-,8),xaxt='',yaxt="")

33 スペクトルの滑らかさの制約 k A( f, ) k f m k k j j R df ( ) j a k ( k) ( k) k j j j k a u, u ~ N(0,( j ) ) 4 0 a u, u ~ N(0,( j ) ) j j j a a, u a a u m m, m y y y ym a 0 u am 0 um v 0 ~ N, v 0 m 0 u 0 ( ) 0 ~ N, u 0 4 m ( m ) 0 33

34 34 時系列解析 () 線形 ガウス型状態空間モデル 東京 学数理 情報教育研究センター 北川源四郎

35 線形 ガウス型フィルタ 35 拡張カルマンフィルタ ガウス和フィルタ ガウス型フィルタ 粒 フィルタ アンサンブルカルマンフィルタ

36 ガウス型モデリングの必要性 36 構造変化 対称分布 異常値 ( 外れ値 ) 線形性 x f ) ( x v 離散過程

37 状態空間モデルの拡張 37 線形 ガウス型 x y Fx Hx Gv 線形 ガウス型 x f ( x, v) y h( x, ) 関数 : 線形分布 : ガウス型

38 線形 ガウス型状態空間モデル 38 x f ( x, v ) y h( x ) y x v : 状態 : : : 時系列システムノイズ観測ノイズ v ~ q( v) ~ r( )

39 観測モデルの拡張 39 y h( x, ) ただし,h(x,) の逆関数 g(y,x) が存在して g( y, x ) y で微分可能 ( g/ yが存在 ) ( 例 ) x y e x e y g y e x ボラティリティのモデリングなどで必要

40 線形 ガウス型状態空間モデル 線形関数の例 x f ( x, v ) y h( x, ) f(x) f(x,v) 線形変換積型 h(x,) 積型 (e x など ) y=h(x,) から=k(y,x) と 書ける必要がある h(x)+ の が簡単 ガウス型分布の例 0.7 コーシー分布 px ( ) ( x ) ピアソン分布族 px ( ) C ( x) b 0 0 b ( b) C 重指数分布 混合分布 px x x ( ) (, ) ( ) (, ) b

41 状態推定 4 カルマンフィルタ 線形 初期値 予測 x V, p ( x Y ) 予測 フィルタ x, V p ( x Y ) y フィルタ

42 ガウス型予測の導出 p ( x ) Y p( x, x Y ) dx p ( x) p( x, y) dy px (, x Y ) px ( x, Y ) px ( Y ) px ( x ) px ( Y ) p( x, y) p( y) p( x y) p( x x, Y ) p( x x ) px ( Y ) px ( x ) px ( Y ) dx 4

43 ガウス型フィルタの導出 p( x Y ) p( x Y, y ) p( y, x Y ) p( y Y ) p( y x, Y ) p( x Y ) p( y Y ) p( y x ) p( x Y ) p( y Y ) Y { y,, y } { Y, y } p( x, y) p( x y) p( y) p( y x) p( x) p( y) p( y x, Y ) p( y x) px ( Y) p( y x ) p( x Y ) p( y Y ) 43

44 ガウス型平滑化の導出 px (, x Y ) px ( Y ) px ( x, Y ) N N N p( x, y ) p ( y ) p( x y ) px ( Y ) px ( x, Y) N p( x x, Y ) p( x x, Y ) N px ( Y ) N px (, x Y) px ( Y) p( x z) p( z, x) p( z) px ( Y ) N p( x x, Y ) p( x Y ) px ( Y) p( z x) p( x) p( z) px ( Y ) N px ( x) px ( Y) px ( Y) px ( x, Y) px ( x) p( x Y ) p( x, x Y ) dx N N p( x x ) p( x Y ) p( x Y ) dx N p( x Y) 44

45 ガウス型フィルタ 平滑化 期先予測 px ( Y ) px ( x ) px ( Y ) dx フィルタ p( x Y ) p( y x) p( x Y ) p( y Y ) 平滑化 px ( Y) px ( Y) px ( x) px ( YN) dx px ( Y) N Kitagaa(987) 45

46 分布の近似 True 0. 線形 正規モデル近似カルマンフィルタ 平滑化. 正規分布近似拡張カルマンフィルタ 平滑化. 区分線形 ( 階段 ) 近似 ガウス型フィルタ 平滑化 3. 混合正規分布近似ガウス和フィルタ 平滑化 3. 粒子近似 遂次モンテカルロフィルタ 平滑化 正規近似. 区分線形近似階段関数混合正規 46 46

47 拡張カルマンフィルタ 予測 x f ( x ) T T V FV F G Q G フィルタ T T K V H ( H V H R ) x x K ( y h ( x )) V ( I K H ) V F G H f x g x h x x x x x x x 47

48 密度関数の数値近似 48 密度関数 近似 記号 p(x Y - ) {d;t 0,,t d ;p,,p d } p(t) p(x Y ) {d;t 0,,t d ;f,,f d } f(t) p(x Y N ) {d;t 0,,t d ;s,,s d } s(t) q(v ) {d+;t -d,,t d ;q -d,,p d } q(t)

49 数値積分による実現 次トレンドモデルの場合 t y t t 期先予測 j j j v 0 d p pt ( ) qt ( s) f( sds ) i i i t d d t t q f t j t qt ( s) f( sds ) i i j j ( 数値積分 : 畳み込み積分 ) フィルタ f i f ( t ) i r( y t ) p C t 0 j j r( y t ) p( t ) i i j i i C d C r( y t) p( t) dt t d d t t j r( y t) p( t) dt t r( y t) p 各ステップの後で密度関数の全積分が になるように規格化する j 49

50 数値積分による実現 ( 平滑化 ) 50 平滑化 td qt ( i usu ) ( ) si s( ti) f ( ti) du t0 pu ( ) f ( t ) t i d j f ( t ) i t t j j d j qt ( i usu ) ( ) du pu ( ) q i j j p j s 各ステップの後で密度関数の全積分が になるように規格化する

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