交流 のための三角関数 1. 次の変数 t についての関数を微分しなさい ただし A および ω は定数とする 1 f(t) = sin t 2 f(t) = A sin t 3 f(t) = A sinωt 4 f(t) = A cosωt 2. 次の変数 t についての関数を積分しなさい ただし

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1 交流 のための三角関数 1. 次の変数 t についての関数を微分しなさい ただし A および ω は定数とする 1 f(t) = sin t 2 f(t) = A sin t 3 f(t) = A sinωt 4 f(t) = A cosωt 2. 次の変数 t についての関数を積分しなさい ただし 積分定数を 0 とすること 1 f(t) = sin t 2 f(t) = A sin t 3 f(t) = A sinωt 4 f(t) = A cosωt 3. 次の計算をしなさい ただし 2 および 3 は二倍角の公式を用い sin2t または cos2t を用いて表すこと 1 sin 2 t + cos 2 t 2 sin t cos t 3 sin 2 t 4 A sin t + B cos t( 三角関数の合成 ) 交流 電圧と電流が変動して相互に向きが変わる電気を ( ) という 交流の発生

2 発電所の交流発電機は 次のような原理で交流の電圧を発生させている 一様な磁界 ( 磁束密度 B[T]) 中に面積 S[m 2 ] 巻数 N のコイルを置く 時刻 t=0[s] において コイルの面が磁界 と垂直 ( コイルの法線と磁界が同じ向き ) であるとすると コイルを貫く磁束 Φ[Wb] は Φ=( 表される このコイルを一定の角速度 ω[rad/s] で回転させる t[s] 後のコイルの面の法線は 磁界に対して角度 ( ) だけ傾いているので 時刻 t においてコイルを貫く磁束 Φ(t)[Wb] は Φ(t) = ( ) と表される 磁束が時間変化するので 電磁誘導の法則により コイルには誘導起電力 V(t)[V] = N ΔΦ Δt が発生する Φ(t) を t で微分すると V(t) = ( ) = ( ) と表される ただし V0 = ( ) は起電力の最大値を表す コイルの角速度 ω を 交流の ( ) といい f = ω/2π を交流の ( ) という ( 単位 : ヘルツ [Hz]) f を用いて 交流の周期 T[s] は T = ( ) と表される 交流発電機から電流を取り出すと コイルはその運動と逆向きに力を受けるため コイルを回転させ続けるため には 外から力を加え続けて仕事をしなければならない ( エネルギーの変換 ) エネルギー源として 火力 ( 熱エ ネルギー ) 水力 風力 ( 力学的エネルギー ) 原子力 ( 核エネルギー ) などが用いられている ) と 抵抗を流れる交流と実効値 図のように 交流電源に抵抗 R[Ω] を接続する 交流電源の電圧 V(t)[V] が 正弦関数を用いて V(t) = V0 sinωt (1) のように変化するとき オームの法則より 抵抗 R を流れる電流 I(t) は

3 = ( ) (2) のように変化する ただし I0 = ( ) は電流の最大値を表す (1),(2) より 電圧と電流は同じように時間変化する これを ( ) が一致しているという このとき 抵抗の消費電力 P(t)[W] は P (t) = V(t) ここで 三角関数の公式 を用いると P (t) = ( ) sin 2 θ = 1 (1 cos2θ) 2 と表されるが cos2ωt を十分長い時間 t について平均すると 0 だから 電力 P(t) の時間平均 P [W] は P = ( ) = ( ) = ( ) となる ここで I e I, 2 V 0 V 0 e とおくと P は Ie Ve を用いて 2 P = ( ) = ( ) = ( ) と表される Ie Ve をそれぞれ 交流の電流や電圧の ( や V(t) を 交流の ( ) という Ie と Ve との間には オームの法則と同様 ( ) の関係が成り立つ 抵抗の発熱量 Q[J] は P および時間 t[s] を用いて Q = ( ) と表される ) という それに対して 各瞬間の電流や電圧の値 I(t) 練習 ) 電圧 電流が (1) (2) のように時間変化するとき V(t) および I(t) のグラフをかけ ただし 周期 T=2π/ω とする V(t),I(t) V 0 I 0 T/2 T t

4 問題 ) 時刻 t[s] における電圧が V(t) = 42 sin( 6.28 t )[V] のように変化する交流電源を 10 [Ω] の抵抗に接続した (1) 交流の周期 周波数 角周波数をそれぞれ求めよ (2) 抵抗を流れる電流の最大値 最小値および実効値をそれぞれ求めよ コンデンサを流れる交流 電気容量 C[F] のコンデンサに V(t) = V0 sinωt で時間変化する電圧 V(t)[V] を加える このとき コンデンサに蓄えられる電気量 Q(t)[C] は Q(t) = CV(t) = ( ) と表される ここで 回路を流れる電流 I(t)[A] は Q(t) の時間変化 ( 微分 ) に等しい つまり I(t) = dq(t)/dt 微分の公式 (sinωt) = ωcosωt より cosωt = sin(ωt+π/2) を用いると これより 電流の位相は電圧より ( )[rad] だけ ( 進んでいる 遅れている ) ことがわかる 電流の最大値 I0 は V0 を用いて I0= ( ) と表される オームの法則と比較すると 抵抗に相当する ( ) を コンデンサの ( ) といい 単位はオーム [Ω] を用いる 練習 )V(t) および I(t) のグラフをかけ ただし 周期 T=2π/ω とする

5 コイルを流れる交流 自己インダクタンス L[H] のコイルに V(t) = V0 sinωt で時間変化する電圧 V(t)[V] を加える このとき コイルには電流の変化を妨げる逆起電力 -LdI/dt [V] が発生する コイルの抵抗を無視すると キルヒホッフの第 2 法則より V(t)+(-LdI/dt)=0 これを満たす I(t) は -cosωt = sin(ωt-π/2) を用いると これより 電流の位相は電圧より ( )[rad] だけ ( 進んでいる 遅れている ) ことがわかる 電流の最大値 I0 は V0 を用いて I0= ( ) と表される オームの法則と比較すると 抵抗に相当する ( ) をコイルの ( ) とい い 単位はオーム [Ω] を用いる 練習 )V(t) および I(t) のグラフをかけ ただし 周期 T=2π/ω とする コンデンサやコイルでの消費電力 電気容量 C[F] のコンデンサに V(t) = V0 sin t で時間変化する電圧 V(t)[V] を加える このときコンデンサに流れる電流 I(t)[A] は

6 = ( ) で表される よってコンデンサにおける消費電力 P(t)[W] は P(t) = V(t) ここで 三角関数の 2 倍角の公式 sinθcosθ = 1 2 sin2θ を用いると P(t) = ( ) となるので P(t) の時間平均値は ( )[W] となる これは コンデンサは充電と放電によって電源との間でエネルギーをやりとりするだけで 電気エネルギーを消費しないことを表している コイルにおける消費電力も同様に計算すると ( )[W] となる したがって コイルにおいても電気エネルギーの消費はない 電気振動 図の回路で スイッチを A 側に入れて電気容量 C[F] のコンデンサを充電し 電源の電圧を V0[V] とすると 最初コンデンサに蓄えられるエネルギー U0[J] は U0 = ( ) である その後 スイッチを側に切り替えると 自己インダクタンス L[H] のコイルの両端の電圧 V(t)[V] および回路を流れる電流 I(t)[A] は時間とともに変化する このような現象を ( ) という コイルやコンデンサに抵抗がないとすると V(t) = V0 cos 0t I(t) = I0 sin 0t で与えられる 0[rad/s] は振動の角周波数である このとき 電流の最大値 I0 と電圧の最大値 V0 の関係は I0 = ( ) = ( ) (1) これより 0[rad/s] および周波数 f0[hz] は L および C を用いて 0 = ( ) (2) f0 = 0/2π=( ) と表される f0 を回路の ( ) という 電気振動は コンデンサに蓄えられる電界のエネルギー UC(t)[J] とコイルに蓄えられる磁界のエネルギー UL(t)[J]

7 とが 互いに入れ替わることによって生じる現象である それぞれ UC(t) = 1 2 C{V(t)}2 = ( ) UL(t) = 1 2 L{I(t)}2 = ( ) と表されるが (1) (2) を用いると コンデンサとコイルに蓄えられているエネルギーの和 Utotal(t)[J] は Utotal(t) = UC(t) + UL(t) = ( ) = ( ) = U0 となって コンデンサとコイルに蓄えられているエネルギーの和は保存する ( 時間によらない ) ことがわかる 問題 ) 図の回路で V0=10[V] C=0.50[μF] L=2.0[H] とする (1) 回路に蓄えられるエネルギーを求めよ (2.5x10-5 [J]) (2) 振動の固有周波数を求めよ (1.6x10 2 [Hz]) (3) コイルに蓄えられるエネルギーが最初に最大になるのは 何 [s] 後か また そのときコイルに流れる電流を求めよ (1.6x10-3 [s] 5.0 x 10-3 [A]) RLC 直列回路と共振 図のように 抵抗 R[Ω] 電気容量 C[F] のコンデンサ および自己インダクタンス L[H] のコイルを直列に接続して交流電圧 V(t)[V] をかける 回路を流れる電流 I(t)[A] が I(t) = I0 sin ωt のように時間変化するとき 抵抗 コンデンサ コイルのそれぞれにかかる電圧はどうなるだろうか 抵抗にかかる電圧を VR(t) とすると VR(t) の位相は I(t) の位相と一致し VR(t) = ( ) と表される コイルにかかる電圧を VL(t) とすると 電圧の位相は電流よりも位相が ( ) だけ ( 進んで 遅れて ) いるので VL(t) = ( ) または

8 VL(t) = ( ) コンデンサにかかる電圧を VC(t) とすると 電圧の位相は電流より ( ) だけ ( 進んで 遅れて ) いるので VC(t) = ( ) または VC(t) = ( ) と表される よって RLC 直列回路の全体の電圧 すなわち電源の電圧 V(t) は V(t) = VR(t) + VC(t) + VL(t) =( ) = I0Z sin(ωt+θ) ここで Z = ( ) tanθ = ( ) と表され Z を ( 角周波数 ω および周波数 f が ) という θ は電流と電圧との位相のずれを表す ω = ( ) f = ( ) のとき Z は最小値 ( ) をとり そのとき 回路を流れる電流の振幅は最大となる この現象を ( ) といい このときの f を ( ) この回路を ( ) という f は電気振動の固有周波数 に等しい 問題 ) 図の回路で V0=5.0V R=25Ω C=5.0μF L=20H とする 共振周波数 f0 はいくらか またそのとき 回路を流れる電流の最大値 I0 はいくらか (16Hz, 0.20A) 電磁波 これまで学習したように 磁界の変動によって電界が生じ また 電界の変動 ( 電流 ) によって 磁界が生じる このようにして 電界の振動と磁界の振動が真空中あるいは物質中を波として伝わっていく これを ( ) という 光 ( 可視光線 ) は電磁波の一種である 電磁波は横波であり その進行方向 電界の振動方向および磁界の振動方向の三者は互いに直交する 電界およ び磁界が同一面内で振動し 進行方向から見て振動方向が変わらないのが 直線偏光であり ( 下図 ) 電界の方向 と磁界の方向が互いに直交したまま回転して進んでいくのが 円偏向である

9 真空中における電磁波の速さ c( 光速度 ) は一定であり その値はおよそ ( ) m/s である 電磁波の振動数 ν[hz] 波長 λ[m] 光速度 c [m/s] の間には ( ) の関係が成り立つ 電磁波は波長 ( 振動数 ) によって その物理的性質が異なり 名前も変わる 電磁波の名称 波長 λ[m] 性質 用途 γ( ガンマ ) 線 < 原子核から放出 透過力が強い X( エックス ) 線 10-12~10-8 原子から放出 健康診断など 紫外線 10-9~ 殺菌作用がある 可視光線 ~ 目に見える光 光学機器等 赤外線 ~ 10-4 物体の加熱 乾燥など 電波 10-4 ~ 10 5 ラジオ テレビ放送 レーダーなど 問 ) 1 THz ( テラヘルツ =10 12 Hz) の電磁波の波長は何 m か (λ=c/ν= / = m) 電磁波 ( 光 ) は波としての性質をもつ一方 粒子としての性質をもつ 粒子としての光を光子という 光子 1 個 のもつエネルギー E[J] は 光の振動数 ν[hz] およびプランク定数 h= [J s] を用いて E = ( )=( ) と表される 問 ) 緑色の光 (λ=530nm) の光子 1 個のエネルギーはおよそ何 J か (E = hc/λ= / J) 波動方程式 電荷密度および電流密度のない真空中において マクスウェルの方程式は E = 0 (1) B = 0 (2) E = B t (3) B = 1 c 2 E t (4) (3), (4) より

10 ( E) = B ( B) = = 1 2 E t t c 2 t 2 一方 (1) およびベクトル解析の公式より よって E= 1 c 2 2 E t 2 (5) ( E) = ( E) E = E これを波動方程式という 磁場 B についても同様である 波動方程式の解を考えよう +z 方向に進む波 ( 電磁波 ) を考えると一般解は の実部となる ただし E(z, t) = E 0 exp[i(kz ωt)] B(z, t) = B 0 exp [i(kz ωt)] B 0 = k ω z E 0 であり z は z 方向の単位ベクトルである したがって磁場ベクトルは常に電場ベクトルに直交 しており その大きさは電場ベクトルの大きさの k ω = 1 c 倍である なお E 0 および B 0 は複素 数ベクトルである E 0 x ( またはy ) のとき 直線偏光という このとき 電場ベクトルおよび磁場ベクトルの方向は変わらず 光の進行に伴って単振動する E 0 = x E 0, B 0 = y B 0 より E(z, t) = x E 0 cos[(kz ωt)] B(z, t) = y B 0 cos[(kz ωt)] E 0 x ± iy のとき 円偏光という 電場ベクトルおよび磁場ベクトルは 互いの直交性を保ったま ま xy 平面において回転する E(z, t) = x E 0 cos[(kz ωt)] y E 0 sin[(kz ωt)] B(z, t) = ±x B 0 sin[(kz ωt)] + y B 0 cos[(kz ωt)] 問題 ) 以下の関係を確かめなさい (E(z, t) およびB(z, t) を単にEおよびBと表す ) (1) E B = 0 ( 電場と磁場は直交 ) (2) E 2 + B 2 = E B 2 0 ( = 一定 )