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1 00 年 月 9 日 ( 金 第 時限 平成 年度物質科学解析第 7 回 複素数 冨田知志 0. なぜ複素数か?. 虚数単位. 複素数の計算. オイラーの公式. 複素平面 5. 級数での複素数 ( オイラーの公式 の活用 6. 量子力学で出てくる複素数の例

2 0. なぜ複素数か? 量子論 ( 量子力学 で不可欠だから参照 : 光ナノサイエンスコアI 古典論や電気回路でも複素数は使うただしそれはあくまでも数学的道具 ( まあ それはそれで良いのですが 量子力学は複素数を使わないと記述不可能 自然科学における数学の不合理なまでの有効さ T unrasonabl ffcvnss of mamacs n naural scncs Eugn Paul Wgnr

3 . 虚数単位 - - -

4 - - -

5 . 複素数 複素数 z a b R[ z ] a :z の実部 Im[ z ] b :z の虚部 z の共役複素数 z * a b z z * ( a b ( a b a b

6 . 複素数の加減乗除 - ( ( - ( ( - ( ( -

7 - ( ( ( ( ( ( - ( ( 5 ( ( 5 ( (

8 - ( ( ( { ( } ( { 6 8 ( } をただの数のようにみなし 普通に計算すれば良い 必要に応じて - を用いる

9 - 分母の共役複素数を分母 分子にかける ( ( ( ( 6 9 7

10 -5

11 -5-5

12 . オイラーの公式 ( 恒等式 θ cos θ sn θ. 788 : 自然対数の底 複素共役 cos θ sn θ θ

13 θ cos θ sn θ ( 発展 公式集の式 (.0 (. (. を用いて オイラーの公式を導いてみる -5( 発展 オイラーの公式を用いて 三角関数の和の公式 (.0 (. 導いてみる

14 - cos sn 0 - cos sn 0 - cos sn 0

15 . 複素平面 ( ガウス平面 z a b Im z: 虚軸 b P(a,b O a R z: 実軸

16 z a b r cos θ r sn θ r (cos θ sn θ θ r brsnθ θ O Im z: 虚軸 r θ P(a,b arcosθ R z: 実軸 r z :z の絶対値 絶対値 θ:z の偏角

17 z a b r cos θ r sn θ r (cos θ sn θ r θ θ r z an a b a Im z: 虚軸 b r P(a,b b θ R z: 実軸 O a r z :zの絶対値 θ:zの偏角

18 - を複素平面上に図示せよ Im R

19 - Im 5 / R

20 - を複素平面上に図示せよ - を複素平面上に図示せよ

21 - cos sn Im / R

22 - 0 Im / 複素数の掛け算は 複素平面上での回転 のイメージ / R

23 5. ライプニッツの級数

24 5. ライプニッツの級数 sn n n n

25 5. ライプニッツの級数 n sn n n n0 まで n00 まで n n n000 まで n000 までの和を / で割る n n

26 5. いろんな級数 n sn 5 7 n n ライプニッツ (67 オイラー (75 バーゼル問題 n 6 ζ n (

27 5. オイラーの級数 オイラー (7 sn sn sn sn ( n n n ただし 0 < <

28 5. オイラーの級数 sn sn sn sn

29 sn sn sn sn sn sn

30

31 n sn n n5 ( n.5 n n n n n

32 5. オイラーの級数の証明 S ( S ( ( S ( よ ( S S S ( ( ( よって ( S S S ( ( ( S ( S (

33 ( 0 ( ( ( ( 0 0 S ( ( ( オイラの sn cos sn cos オイラーの公式 ( cos ( cos cos sn cos ( sn cos ( (

34 ところで S ( ( cos cos cos ( sn sn sn よって より cos cos cos 項別に不定積分し sn sn sn C 三角関数の積分 C: 積分定数

35 / を代入し sn / を代入し C sn sn sn ライプニッ ツの級数 C 7 5 C 7 5 以上より sn sn sn 以上より sn

36 オイラーの級数 (7 は フーリエ級数 (807 の原型 フーリエ級数 : 周期関数を三角関数の和で表す フーリエ変換 : フーリエ級数を非周期関数に拡張

37 6. 量子力学で出てくる複素数 弦を伝わる横波 y y(x, 波長 λ 振動数 νc/λ 振幅 A 速さ c x 波動方程式 ( 弦の微小部分の運動方程式 y y x c

38 弦を伝わる横波の波動方程式 y y y c x y その解 x A x y ν cos, ( 波長 λ A x y ν λ cos, ( 波長 λ 振動数 νc/λ の正弦波 x A x y ν λ λ sn x A y ν λ ν sn x λ λ x A x A y ν ν cos cos λ A A x y ν λ λ ν λ λ λ cos cos x x y x A x A y ν λ ν ν λ ν ν cos cos

39 量子力学では 電子は粒子であると同時に波である 電子の波 : 電子ビーム を考えてみる 電子が空間を波として伝わる様子を表す波動関数 ϕ( x, A cos px E を用いて 波動方程式がかけるはず 波動関数は 全ページの解に以下を代入して求まる λ E E p, ν, E p p m

40 E px p A sn ϕ E px E A y sn x E px p A x cos ϕ E px E A cos ϕ しかし 実際は書けない運動のパラメータである E や p が残ってしまうよって 波動関数を複素数としてみる

41 E px E px A x sn cos, ϕ( E px E px, ϕ( A A E px E px A E ϕ E px A p x ϕ EA A p E px E px ϕ ϕ EA A m x m x m ϕ ϕ 次元の自由粒子のシュレディンガー方程式

42 参考文献 本講義資料 : 物質 WEB> 量子物性 > 冨田 > 講義情報 p://mswbs.nas.jp/labs/opcs/oma/jpn/lc_j.m 物理数学全般について数学 物理を学び楽しむために 田崎晴明暫定版 ( 学習院大物理学科 WEB より PDF 入手可能 第 章だけでも良いので読んでみることをお勧めする 複素数理工系の複素関数論殿塚勲 河村哲也 ( 東大出版会 量子力学岩波基礎物理シリーズ量子力学原康夫 ( 岩波 量子力学 ( 上 シッフ ( 吉岡書店

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