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そよいりぐら
4 years ago
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1 == 1 階線形微分方程式 == 次の形の常微分方程式を1 階線形常微分方程式といいます. '+P()=Q() (1) 方程式 (1) の右辺 : Q() を 0 とおいてできる同次方程式 ( この同次方程式は, 変数分離形になり比較的容易に解けます ) '+P()=0 () の1つの解をとすると, 方程式 (1) の一般解は =( Q() +C) (3) で求められます. 参考書には上記のの代わりに, e P() =e ( Q()e +C) (3') のまま書いてと書かれているのが普通です. この方が覚えやすい人は, これで覚えるとよい. ただし, 赤と青で示した部分は, 定数項まで同じ 1 つの関数の符号だけ逆のものを使います. 筆者は, この複雑な式を見ると頭がクラクラ ( 目がチカチカ ) して, どこで息を継いだらよいか困ってしまうので, 上記の (3) のように同次方程式の解をとして, 段階で表すようにしています. ( 解説 ) 同次方程式 () は, 次のように変形できるので, 変数分離形です. '+P()=0 d = P() d = P() 両辺を積分すると d = P() log = P() +A A =e =e e =Be とおく =±Be =Ce (4) 理論の上では上記のように解けますが, 実際の積分計算が難しいかどうかは =e や Q() がどんな計算になるかによります. Q() すなわち, P() やの形によっては, 筆算では手に負えない問題になることがあります. 右に続く続き (4) 式は, C を任意定数とするときに () を満たすが, そのままでは (1) を満たさない. このような場合に, 同次方程式 '+P()=0 の一般解の定数 C を関数に置き換えて, 非同次方程式 '+P()=Q() の解を求める方法を定数変化法という. なぜ, そんな方法を思いつくのか? 自分にはなぜ思いつかないのか? などと考えても前向きの考え方にはなりません. 思いついた人が偉いと考えるとよい. 定数変化法は, 数学史上に残るラグランジェの功績ですが, 後からついていく我々は, ラグランジェが発見した方法のおいしいところをいただいて, 節約できた時間を今の自分に必要なことに当てたらよいと割り切るとよい. ただし, この定数変化法は階以上の微分方程式において, 同次方程式の解から非同次方程式の解を求める場合にも利用できるなど適用範囲の広いものなので, 今度出てきたら, 真似してみようと覚えておく値打ちがあります. (4) 式において, 定数 C を関数 z() に置き換えて =e は () の1つの解 =z() (5) とおいて, 関数 z() を求めることにする. 積の微分法により : '=(z)'=z'+z' だから,(1) 式は次の形に書ける. z'+z'+p()=q() (1') ここでは () の1つの解だから '+P()=0 z'+p()z=0 z'+p()=0 そこで,(1') において赤で示した項が消えるから, 関数 z() は, またしても次の変数分離形の微分方程式で求められる. z'=q() dz =Q() Q() dz= z= Q() +C (5) に代入すれば, 目的の解が得られる. =( Q() +C) 例題 1 微分方程式 ' = の一般解を求めてください. この方程式は,(1) において, P()= 1, Q()= という場合になっています. == 定数変化法の練習も兼ねて, じっくりやる場合 == はじめに, 同次方程式 ' =0 の解を求める. d = 指数法則よく使う例題微分方程式 '+=3e の一般解を求めてください. この方程式は,(1) において, P()=, Q()=3e う場合になっています. == 定数変化法の練習も兼ねて, じっくりやる場合 == はじめに, 同次方程式 '+=0 の解を求める. d = とい

2 d = d = e f= g'=e =e e log =+C1 +C =e 1 C =e 1 e =Ce ( e C 1=C =±Ce =C3e ( ±C =C3 次に, 定数変化法を用いて, C 3=z() とおいて =ze ( z はの関数 ) の形で元の非同次方程式の解を求める. =ze のとき '=z'e +ze となるから元の方程式は次の形に書ける. z'e +ze ze = z'e = dz e = dz= =e e dz= z= e e 右のようにを微分する側に選んで, 部分積分によって求める. fg' =fg f 'g により +C 1 C 1 f '=1 g= e e = e + e = e e +C4 z=( e e +C 4) に戻すと =( e e +C 4)e = +C e = +Ce ( 答 ) 4 ==(3) または (3') は公式と割り切って直接代入する場合 == P()= 1 だから, =e =e Q()= だから, Q() = = e e =( e e )+C =e { ( e e )+C}= +Ce ( 答 ) d = d = log = +C1 +C =e 1 C =e 1 e =Ce ( e C 1=C =±Ce =C3e ( ±C =C3 次に, 定数変化法を用いて, C 3=z() とおいて =ze ( z はの関数 ) の形で元の非同次方程式の解を求める. =ze のとき '=z'e ze となるから元の方程式は次の形に書ける. z'e ze +ze =3e z'e =3e dz e =3e 6 dz=3e e =3e dz=3 z=3 e e = 1 6 e +C4 に戻すと =( 1 6 e +C 4 )e = 1 e +Ce ( 答 ) ==(3) または (3') は公式と割り切って直接代入する場合 == P()= だから, =e =e Q()=3e だから, =3 e = 1 6 e +C 6 6 3e e 6 =e { 1 6 e +C }= 1 e +Ce ( 答 ) 正しい番号をクリックしてください. それぞれの問題は暗算では解けませんので, 計算用紙が必要です. ブラウザによっては, 番号枠の少し上の方が反応することがあります. 問題微分方程式 ' cos+sin =1 の一般解を求めてください. 1 = sin +Ccos = cos+csin 3 = sin +Ctan 4 =tan +Csin 問題 1 5 微分方程式 ' =e の一般解を求めてください. 1 = 1 3 e +Ce = 1 5 e +Ce 3 3 = 1 6 e +Ce 4 = 1 3 e +Ce 5 5

3 問題 3 微分方程式 ' = + の一般解を求めてください. 1 =(+ log +C) =(+ log +C) 3 =(+ log +C) 4 =( + log +C) 問題 4 微分方程式 '+= cos の一般解を求めてください. 1 =( sin +cos +C)e =( sin cos +C)e 3 = sin + cos +Ce 4 = sin cos +Ce

微分方程式の解は, =f() の形のについて解かれた形 ( 陽関数 ) になるものばかりでなく, + =C のような陰関数で表されるものもあります. もちろん, =f() の形でがで表される場合もありえます. そうすると, 場合によってはをの関数として解くことも考えられます. 例題 3 微分方程式 ( )'=1 の一般解を求めてください.

4 微分方程式の解は, =f() の形のについて解かれた形 ( 陽関数 ) になるものばかりでなく, + =C のような陰関数で表されるものもあります. もちろん, =f() の形でがで表される場合もありえます. そうすると, 場合によってはをの関数として解くことも考えられます. 例題 3 微分方程式 ( )'=1 の一般解を求めてください. この方程式は, '= 1 と変形できますが, 変数分離形でもなく線形微分方程式の形にもなっていません. しかし, d = 1 = '+= d と変形すると, についての線形微分方程式になっており, これを解けばがで表されます. d = 1 = '+= と変形するとが d の線形方程式で表されることになるので, これを解きます. 同次方程式 : = を解くと d = d = d log = +C1 +C =e 1 C =e 1 e C =±e 1 e =Ce 非同次方程式の解を =z()e の形で求める積の微分法により &apos=z'e ze となるから, 元の微分方程式は z'e ze +ze = z'e = 両辺に e を掛けると z'=e I= e は, 次のよう z= e d =e e +C, 解は =(e e +C)e = 1+Ce に部分積分で求めることができます. f= f '=1 g'=e g=e I=e e d=e e +C 問題 5 微分方程式 ( +)'= の一般解を求めてください. 1 =+C = +C 3 =+ log +C 4 = log +C

5 問題 6 微分方程式 (e )'= の一般解を求めてください. 1 =(e +C) =e C e 3 = 4 = +C e +C 問題 7 微分方程式 (+ log )'= (>0) の一般解を求めてください. 1 = log +C = ( log ) +C 3 =( log +C) 4 =(( log ) +C)

å–¨å¾®å‹ƒæŒ¹ç¨‰å¼‘

å–¨å¾®å‹ƒæŒ¹ç¨‰å¼‘ == 全微分方程式 == 全微分とは変数の関数 z=f(, ) について,, の増分を Δ, Δ とするとき, z の増分 Δz は Δz z Δ+ z Δ で表されます. この式において, Δ 0, Δ 0 となる極限を形式的に dz= z d+ z d (1) で表し, dz を z の全微分といいます. z は z のに関する偏導関数で, を定数と見なして, で微分したものを表し, 方向の傾きに対応します.