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1 ベクトル ベクトル関数 ベクトル場とは何か t dt t d dt t d dt t d dt t d t dt t d dt t d dt t d dt t d t t t t t t t t t t t t v ベクトル関数 : ベクトル場スカラー関数 t : スカラー場東京理科大学 8 物理数学 ガイダンス

2 次元直角座標での

3 ニュートンの運動方程式の積分 m p mv mv dt dt dv m dt 運動量保存エネルギー保存 E d mv mvdv d dt dt dv mv dt dt d dt dv mv v dt dv m

4 位置エネルギー ポテンシャル mg 力 d d mg 次元では?

5 重力下における質点の運動 v 初期位置初速度力のベクトル場スカラー場 ポテンシャル 質点の位置ベクトル ˆ ˆ mm G mm G mm G dt d m O

6 地球重力場での水平投射の軌道 Unvest Phscs

7 座標系を定めると dt d m dt d m dt d m 右手直交直線座標系直交曲線座標系

8 / / / / mm G mm G mm G mm G mm G

9 ジェットコースターの設計 enet-seetの公式どのようにスリルを演出するかどのくらいの加速度? 速度と空間曲線の曲率で遠心力が決まる UJIYM

10 ジェットコースター垂直ループ?

11 高速道路での快適なドライブ カーブが円の一部 円弧 だと enet-seetの公式曲率半径が からρに不連続に変化ハンドルを急激に切らなければならない ρ どうするか? ジェットコースターの設計でも

12 ベクトル場の例

13 電気力線 E: 電場 Unvest Phscs

14 電磁波 sn sn sn E E E t t t t t 平面波 Unvest Phscs

15 地上での有効重力加速度 Unvest Phscs

16 地球のしくみ 磁気圏

17 地球の大気循環 速度場 地球のしくみ

18 地球のしくみ 表層海流 速度場

19 地球のしくみ 深層海流 速度場

20 地球のしくみ マントルの温度分布 スカラー場

21 高層大気の温度分布 スカラー場 地球のしくみ

22 地球のしくみ プレートの動き 速度場

23 電位 電場 E 等電位面 勾配 gd スカラー場 gd 地図の等高線 h Unvest Phscs

24 ベクトルとは? ベクトル : 大きさと向きを持つ m d dt スカラー関数 P

25 O = = d m dt スカラー関数 P = P

26 スカラー関数 P = P = P = P = = = = = θ O cos sn sn cos dt d m

27 θ O cos sn sn cos 座標変換でベクトルは座標と同じように変換する

28 cos sn sn cos cos sn sn cos dt d m dt d m dt d m dt d m dt d m 座標系を回転しても不変座標系によらず同じ運動方程式

29 次元空間 次元空間 テンソル 空間のベクトル に対してその値がベクトルである関数 T があり T が次の線形条件を満たす : 任意の数 と任意のベクトル について以下が成り立つ T T T スカラー : 階のテンソル T T ベクトル : 階のテンソル座標系を定めるとテンソル : 階のテンソル : 階のテンソル 単なる数字の並び 行列 でなく 各成分は座標変換によってある定まった変換をする

30 はテンソル cos sn sn cos cos sn sn cos ' ' T

31 テンソルの物理例 分極率テンソル α P E E P P : 分極ベクトル + 電場 E によって物質に電気双極子が誘起される 単位体積あたりの平均的な誘起双極子を分極という 一般に E と P は平行でない 座標系を決めると -

32 適当な座標変換をすると T T 座標変換でテンソルの成分 T は以下のように変換される : 直交行列 T T T T T T ' T s s s s

33 電場を印加すると 物質中の電荷が変位

34 電場を印加すると 物質中の電荷が変位 E P E P

35 電場を印加すると 物質中の電荷が変位 E P P E 結晶軸の方向によって電荷の変位のし易さが違う異方性 結晶軸方向の電場に対しては P E

36 座標軸を結晶軸に取ると E E P E E E θ 回転した座標系では sn cos cos sn cos sn sn cos cos sn sn cos cos sn sn cos T ' 等方的なときスカラー

37 方解石 clcte CCO 屈折率 n o =.66 n e nm 複屈折

38 注意 : 通常 分極率 α は原子 分子の ミクロな分極について定義される p E 結晶などマクロな物質については 電気感受率 χ で記述 P E

39 ベクトル積 : : : その他の奇置換添え字がの偶置換添え字がレビ チビタの記号

40 sn sn cos cos

41 ベクトル積 v E q m 4 ˆ q v 4 ˆ d I d l 4 ˆ d I l I ot-svt の法則直線電流がつくる磁場任意の電流分布電流要素 Idl 速度 v で動く荷電粒子が作る磁場 v<<c の場合

42 次元空間での回転 無限小回転角 d d sn d n d d d d v n dt dt d ω n n dt v ω X Z n θ dφ dφ d Y

43 XYZ 軸のまわりの回転 XYZ 軸まわりの回転無限小回転 Z Y X Z Y X cos sn sn cos cos sn sn cos cos sn sn cos Z Z Z Z Z Y Y Y Y Y X X X X X Z Z Z Y Y Y X X X

44 X Y X Y X Y X Y Y Y X X Y X X Y Z Y X X Y X Z Y Z X Y X Z Y Z Z Y X 無限小回転のベクトルを定義できる θ X Y Y X X X Y Y X X Y X Y Y Y X cos cos sn cos sn cos sn cos sn sn sn cos θ 無限小回転のベクトル X 軸 Y 軸のまわりに無限小回転一方有限の回転ではベクトルは定義できない 次の微小量を無視

45 θ X Y X Z Y Z X Y X Z Y Z ω t X Y X Z Y Z t fo t t ベクトルの無限小回転とベクトル積

46 力のモーメント トルク θ sn snθ τ

47 テンソル積 e e e e e e e Γ e e e e e e e e e e e e e e e e e e Γ e e e e e e e e e e e n m n m n m n m I I : : : tce : の対角和テンソルの縮約

48 ハミルトンの 4 元数 d c uv u v u v u v u u とみなすを次元のベクトル

49 ジャイロスコープ はずみ車 地球ごま が角速度 ω で回転しているとき 回転軸を水平にして一端で支えて放すと はずみ車の回転軸は角速度 Ω で歳差運動 pecesson する Unvest Phscs

50 自転しているとき dl τ dt はずみ車 地球ごま が角速度 ω で回転しているとき 回転軸を水平にして一端で支えて放すと はずみ車の回転軸は角速度 Ω で歳差運動 pecesson する 軸の周りに回転する Unvest Phscs

51 地球の重力を 積分で求める 多重積分 Gm ddd V s 極座標を使うと簡単になる V V ddd ddd は何を表す?

52 地球コアへの旅 Unvest Phscs

53 Unvest Phscs 静水圧 p スカラー

54 浮力 p p p p p ddd V Unvest Phscs

55 Unvest Phscs 層流 速度場

56 揚力と循環 線積分 循環 v ds C

57 流束 単位時間当たりの流量 流束 flu dv v vcos dt volume flow te エネルギー流束 エネルギー密度 [J/m d EV Ev [J/s] dt eneg flow te E [m /s] ] Unvest Phscs

58 電束 磁束 電束 E E electc flu 磁束 Β mgnetc flu 流束を面積で割ったもの流束密度 単位時間 単位面積当たりの流量 : 磁束密度

59 閉曲面から流れ出す流束 d nds 電束 磁束 n: 曲面 S の面積要素 ds に垂直な単位ベクトル Unvest Phscs

60 マックスウェル方程式 encl lw fo Guss's E S E E Q d S s lw fo Guss' S S d t dt d I d E ε l encl E lw s mpee' t dt d d E l E d's lw v E p q dt d Equton of moton

61 ガウスの法則 面積分 E d E S q q : 閉曲面内の全電荷 : 真空の誘電率 Unvest Phscs

62 双極子場の場合 E d q q E C Unvest Phscs

63 速度 vの荷電粒子が作る磁場 v c qv 4 ˆ Unvest Phscs

64 電流要素 Idl が作る磁場 d I dl 4 ˆ Unvest Phscs

65 Unvest Phscs ソレノイドの磁場

66 地球のしくみ 地球の磁力線

67 静電場下で電荷を動かしたときの仕事 線積分 dl const. 始点と終点でのみ決まり 経路によらない Unvest Phscs

68 湧き出し dv= があるか? Intoducton to Electodnmcs

69 回転 ot= があるか? Intoducton to Electodnmcs

70 積分定理 C S S V ds d dv ds ストークスの定理ガウスの定理 n n E E n E n E V V S S dv q dv ds q ds より 空間の各点で成り立つ式

71 ガウスの法則の直観的説明 Unvest Phscs

72 E nds 4 q R 4R q E d E d ds Ecos cos EdS E Ecos E E ds dcos

73

74 アンペールの法則の直観的説明 Unvest Phscs I I d l I d I d I d d dl dl d cos cos l l

75 図版の出典 地球のしくみ 新星出版社 Young & eedmn Unvest Phscs wth Moden Phscs th Ed Peson Educton D.J. Gffths Intoducton to Electodnmcs d Ed Pentce-Hll