PowerPoint Presentation

Transcription

1 Non-linea factue mechanics

2 き裂先端付近の塑性変形 塑性域 R 破壊進行領域応カ特異場 Ω R R Hutchinson, Rice and Rosengen 全ひずみ塑性理論に基づいた解析 現段階のひずみは 除荷がないとすると現段階の応力で一義的に決まる 単純引張り時の応カーひずみ関係 ( 構成方程式 ): ( ) ( ) n () y y y ここで α,n 定数, / y y E

3 全ひずみ塑性理論とミーゼスの降伏条件を用いると () 式に帰着する応カーひずみ一般形は : 3 S ( ) S () e n pp E 3E E y で表わされ 除荷はないものとする ここで σ フロネッカーデルタ : S kk 3 3 e SS 偏差応力 相当応力 (3) 平面応力では 3 e 3 平面ひずみでは e ( ) 3 4 物体力, 慣性力, 熱ひずみを無視する

4 Aiyの応カ関数 (,θ) を用いると ( ) で 応カが表わされるので 応カの釣合方程式 : ( ) 0 0 を満たす ここで :, 式 (4) を式 () (3) に代入し 各ひずみ成分をの関数として表わし ひずみ適合条件に代入する (4) (5)

5 ( ) ( ) 0 (6) 平面応力下では 4 n 6 n ( e e ) n e n e 0 ( )( ) 4 をで級数展開して 0 としたとき は次式で表わされるとする : K ( ) (7) (8) (9)

6 (9) 式を (7) 式に代入すると (7) 式の第 項は微小量となるので 無視できる n n( s ) ( 3) e s s n n( s ) n( s ) e s(s 3) n n s s e 6 ( ) ( ) 0 (0) ここで e は 関数である s e K ( ) e で表わしたときに現われるの

7 平面ひずみでは n e n( s ) n( s ) s( s) n 4( s ) n( s ) ( e ) 0 () モードIを考え き裂面に表面力が働いていないとすると 境界条件 ( 0で 0, で 0) は (0) (0) 0 ( ) ( ) 0 (9) 式を (),(3),(4) 式に代入することにより O s n( s) ( ), O( ) 積分の径路独立性を利用すると O ( ) ()

8 であることがわかる ( s ) n( s ) s n n (3) ( ) は (0) 又は () を () の境界条件のもとで数値的に解くことによって得られる 従って き裂先端付近 (/a<<) の応カ ひずみ 変位は (HRR) 解 n K ( ) e n n n n ( ) K ( ) i K u K u i e ( ) K は塑性応力拡大係数 K は塑性ひずみ拡大係数 (4)

9 O 半径 の小円でき裂先端に中心がある (5) 積分が有限であるためには に関して ui ( WdX Ti d) X と同じオーダで O ( ) Wはひずみエネルギー密度であり W u d T およびは表面力および変位であり それぞれ応力 i i およびひずみと次の関係がある 0 (6) T n i j ( u u ) / i, j j, i (7) n j j は曲線の外向き単位法線の X 方向成分であり (,j)= / X jを示す

10 積分の積分経路独立性 y C C A A 積分の積分経路独立性 ここで x u u ( WdX T d) ( WdX T d) i i () () i i X X ui ( WdX Ti d) X き裂面上では dx=0であり かつ仮定により Ti=0であるから は閉曲線を形 C C づくるので Gaussの発散定理を用いて線積分を面積分に変更すると W u () () ( ) da A A X X X X dx i j n d および式 (7) を用いた 式 (6) より 材料は X 方向には均質で W W X X X 物体力および慣性力を無視して 0 X j 式 (9) より W (8) (9) (0) () () 0

11 積分とき裂先端付近の力学量の関係 O 半径 の小円でき裂先端に中心がある いま ui ( W cos Ti ) d x () 積分が有限であるためには に関して と同じオーダで O ( ) 上で HRR 解が成立しているとすると K ( ) n Y Y Y In K ( ) K σ と K ε を で表わすことにして 式 () を で表示する : [ ] ( ) ( ) n n Y YYIn n n n n Y[ ] ( ) ( ) Y YIn Y Y Y n n In () (HRR) 解 (3)

12 弾性域にむける K 支配領域内に円形の積分径路 をとり K 3 cos sin sin 塑性域 弾性域 3 sin sin 33 3 sin sin を () 式に代入すると モード I に対して (4) g g E KI E K I 平面ひずみ 平面応力 (5)

13 (5) 式を () 式に代入すると モード Ⅱ に対して g g K E KII E II 平面ひずみ平面応力 K III E 各モードが重ね合わさっている場合には (6) モードⅢに対して (7) ( I II ) III K K K (8) 積分と結合力モデル : u Ti d u u dx X i 0 ( ) X 0 dx X 0 [ ( ) d ] dx ( ) d 0 0 X 0 (9) Dugdaleモデル Y 0 平面応力 Y 0 m (30) (3)

14 積分の評価方法 (Rice の方法 ) FEM 物体 き裂の形状一寸法 外荷重 三点曲げ試験片 : 非線形弾性体に対して 積分はエネルギー解放率であると 考える P B a B P ( ) d o 0 0 ( ) a P dp (3) 曲げ試験片に対して 変位角に置き換えて B nocack cack 0 M ( ) b cack M dm M f ( ) bb (33)

15 M P Δ ψ A 荷重 P によってリガメント部にモーメントが生じる場合 M M M ( ) ( ) f ( ) ( ) b b b B b B b M cack cack M M 3 b cack cack A Md 0 cack Pd 0 cack bb bb bb (34) (35)

16 積分の簡便評価式

17 破壊開始条件 破壊進行領域の大きさ po が HRR 解の支配的 な領域の大きさ HRR に比べて非常に小さい場 合 すなわち po HRR (36) が成立する場合には 小規模破壊進行領域 を考えて 破壊進行領域内の微視過程は HRR の特異応力場の強さによって規定されると考 えられる 積分の値が一定の臨界値に達すると破壊 が開始する モード Ⅰ の破壊開始条件は 式 (5) から Ic Ic (37) K (38) Ic E

18 鈍化を考慮にいれたき裂先端付近の強変形域の大きさを仮に po と等しい o (39) 塑性変形が進行した状態では HRR 解の支配的な領域の大きさ HRR は き裂長さaやリガメント長さbなどに比例する 式 (36) は Ic M a, b (40) flow 塑性拘束の小さい中央き裂引張試験片は三点曲げ試験片より HRR もが 小さい 0

19 き裂の安定成長と不安定破壊 ひずみの変化は の変化 d と a の変化 da によって生じる 式 (3) より n d k d ( ) k da [ ( )] n n n n n n n n n X /( ) / ( ) n n kn a Y a YY In ここで (4)

20 ここで sin cos ( ) ( )( ) X n/( n) n d da d kn( ) [ ( ) ( )] n (4) (43) ( ) ( n/ ( n))cos ( ) sin ( ( ) / ) (44) 比例負荷によるひずみの変化が支配的となる HRR 解が良い近似解となるため の必要条件は da d 塑性変形が進行した状態では HRR 解の支配する領域の大きさ HRR は き裂長さ a やリガメント長さ b などに比例する 上式の を b に置き換える ただし b d da (45) (46)

21 ( a, p) ( a) (47) mat

22 有限なコンプライアンスをもつ荷重機構とき裂材 (48) mat mat d a da d a da (49) 不安定安定 mat mat T T T T 不安定安定 (50) T Y mat mat T Y E T a E T a (5)

23