2014年度名古屋大・理系数学

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えりかふくだ
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1 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ空間内にある半径の球 ( 内部を含む ) を B とする直線と B が交わっており, その交わりは長さの線分である () B の中心ととの距離を求めよ () のまわりに B を回転してできる立体の体積を求めよ

2 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ実数 t に対して点 P( t, t ), Q( t+, ( t+ ) ) を考える t が t 0の範囲を動くとき, 線分 PQ が通過してできる図形を図示し, その面積を求めよ

3 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ xy 平面の y 0 の部分にあり, x 軸に接する円の列 C, C, C, を次のように定める C とC は半径の円で, 互いに外接する正の整数に対し, C + はC とC + に外接し, C とC + の弧および x 軸で囲まれる部分にある円 C の半径を r とする () 等式 = + を示せ + + () すべての正の整数に対して = s + t が成り立つように, によらない定数,, s, t の値を一組与えよ () のとき数列 { } が正の値に収束するように実数の値を定め, そのときの極限値を求めよ

4 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ a 負でない整数 N が与えられたとき, a = N, a + = é ù ê ë ú û ( =,,, ) として数列 { a } を定めるただし [ a ] は, 実数 a の整数部分 ( a<+ となる整数 ) を表す () a = となるような N をすべて求めよ () 0 0 N< を満たす整数 N のうちで, N から定まる数列 { a } のある項がとなるようなものはいくつあるか () 0 から 00 までの 00 個の整数から等しい確率で N を選び, 数列 { a } を定める次の条件 (*) を満たす最小の正の整数 m を求めよ (*) 数列 { a } のある項が m となる確率が以下となる 00 4

5 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説問題のページへ () 半径の球 B の中心から直線に垂線を下ろすと, その足は長さの線分の中点となり, B の中心ととの距離 d は, ( ) d = = () 直線を x 軸とすると, () から B の球面は, ( ) x + y + z = さて, B を x 軸に垂直な平面 x = で切断したときの断面は, を連立して, ( ) y + z = これより, 断面は平面 x = 上で, 点 (, 0, ) を中心とする半径の円であることがわかるなお, yz 平面に関する対称性より, 以下, 0 で考える (i) 0 のとき断面を平面 x = 上で, x 軸のまわりに回転すると, 半径 + の円板となり, その面積 S( ) は, = ( + ) = ( + ) S( ) 4 (ii) のとき断面を平面 x = 上で, x 軸のまわりに回転すると, 外径 + で内径のドーナツ形となり, その面積 S( ) は, ( ) ( ) S( ) = + = (i)(ii) より, 求める立体の体積を V とすると, 対称性を考えて, ( ) 0 4 ò ò V = + d+ d 0 ( ) ( ) = é ù 4 4 úû = + ( + ) + ( ) = ( + ) 4 4 z y x [ 解説 ] 立体の回転体の求積についての頻出問題です要演習の題です電送数学舎 04

6 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説問題のページへ点 P( t, t ), Q( t+, ( t+ ) ) を通る直線の方程式は, ( t+ ) t y t = ( xt), ( t+ ) t まず, (*) の x の値を x ここで, y = f ( t ) とおくと, f ( t ) = (t+ ) at t y = (t+ ) xt t (*) = aと固定し, y のとり得る値の範囲を求める t (a ) t a = t a + a + 4 = + + ( ) さて, t が t 0の範囲を動くとき, (i) a のとき a= f (0) f ( t) f ( ) =a (ii) 0 a のとき a= f (0) f ( t ) f a ( ) = a + 4 (iii) 0 a のとき a= f () f ( t) f a ( ) = a + 4 (iv) a のとき a= f ( ) f ( t) f (0) = a (i)~(iv) より, 直線が通過してできる領域は, x y x ( x のとき ), x y x + 4 x 0のとき x y x + ( 0 x のとき ), x y x ( x のとき ) 4 ( ) これを利用すると, 線分 PQ が通過してできる図形は, 直線が通過してできる領域の放物線 y = x の上側にある部分なので, 図示すると y 右図の網点部であるただし, 境界は領域に含むこの図形の面積 S は, y 軸に関する対称性より, S = ò ( x + x ) dx+ ( xx ) dx 0 4 ò O x = + é x x ù 7 4 úû = + = 4 4 [ 解説 ] 線分の通過領域についての頻出問題です文系と同一内容ですが, 理系では誘導が付いていません電送数学舎 04

7 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説問題のページへ () 円 C, C +, C + の中心から x 軸に垂線を下ろし, その足をそれぞれ H, H +, H + とおくと, + = = rr + HH ( ) ( ) 同様にして, H+ H+ = + + C + HH + = rr + H すると, HH + = H+ H+ + HH + より, rr + = rr + 両辺を rr + + で割って, = () a r = とおくと, r = r = から a = a = となり, より, a = a + a, a a a = ここで, 次方程式 x p =, q = + となる + + x = 0 のつの解を x = p, q ( p< q) とおくと, すると, を変形して, a+ pa+ = q( a+ pa) から, a+ pa = ( a pa) q = ( p) q = + q = q 同様に, より, a+ qa+ = p( a+ qa) となり, a+ qa = ( a qa) p = ( q) p = p = p 4 4より, ( p+ q) a = p + q から, a = p + q すると, 条件から a = s + t なので, 定数,, s, t の値のつとして, = p =, = q = +, s =, t = () () より, = より, = ( s + t ) ( s + t ) r まず, 0 のとき, 明らかに im が正の値に収束する場合はないそこで, > 0 として, = { s( ) + t( ) } さて, < < より, < < = となり, (i) > のとき im = 0 となり, 正の値に収束しない C H + H + C + x 電送数学舎 04

8 r (ii) 0< < のとき im (iii) = ( = ) のときこのとき, = { s ( ) + t} (i)~(iii) より, 数列 { } り, このとき im = である 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 = となり, 正の値に収束しないとなり, が正の値に収束するのは, < から, im = = t = = のときであ [ 解説 ] ときどき見かける有名な構図の問題で, () までは定番といってもよいものです 4 電送数学舎 04

9 04 名古屋大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ a () a = N 0, a + = é ù ê ë ú û に対して, a = とすると, é a ù = ûú から a =, すると, a = のとき é a ù = ú から a û = 4,, a = のとき é a ù = ú から û a = 6, 7 となり, まとめると, a = N = 4,, 6, 7 である () 一般的に, 負でない整数 i, j ( i< j) に対して, i é x ù j úû < を満たす整数 x は, x = i, i +, i +,, j すなわち, i x< jとなり, j i個の x が存在するさて, ある正の整数に対して, a = とすると, a = 4, となり, 4 < 6, 8 <, 6 < 4,, a a 0 a a < ここで, 条件から 0 N< すなわち 0 a < より, =,,,, 9 よって, a = となる整数 N の個数は, 9 9 å( ) 9 = å = = = = () ある正の整数に対して, a = mとすると, a = m, m+ となり, m a < ( m+ ), 4m a < 4( m+ ),, m a < ( m+ ) 00 さて, 0 N において, m < ( m+ ) と仮定すると, 0 m < m+ 0 まとめると, 0 m かつm> となり, これを満たす整数 m は存在しないこれより, a = mとなる確率は, 整数 N の個数に注目して, { ( m+ ) m} 00 å = 00 å = = = 0 00 条件から, より, = 8 + = + となり, =,,,, よって, 9 のとき 0 N に含まれ, 94 のとき N> となることから, 求める正の整数 m の条件は, 00 9 < m 7 すると, m の最小値は m > より, 9 = 7 m = = 8 である [ 解説 ] ()() は実験で具体的に計算すればよいだけですが, それをベースにした () の設問はかなり難度が高く, 記述も容易とはいえないものになっています電送数学舎 04

2011年度筑波大・理系数学

2011年度筑波大・理系数学 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ O を原点とするy 平面において, 直線 y= のを満たす部分をC とする () C 上に点 A( t, ) をとるとき, 線分 OA の垂直二等分線の方程式を求めよ () 点 A が C 全体を動くとき, 線分 OA の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それを図示せよ -- 0 筑波大学 ( 理系 ) 前期日程問題解答解説のページへ

2014年度 名古屋大・理系数学

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