2019年度 千葉大・理系数学

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1 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ a, a とし, のとき, a+ a + a - として数列 { a } () のとき a+ a a a - が成り立つことを証明せよ () åai aaa + が成り立つような自然数 を求めよ i を定める --

2 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ 三角形 ABC は AB+ AC BCを満たしている また, 角 A の二等分線と辺 BC の交点を D とするとき, AD である さらに, 三角形 ABC の内接円の半径は 4 である このとき以下の問いに答えよ () BAD とするとき i の値を求めよ また, A BAC とするとき, i A と co A の値を求めよ () 辺 BC の長さを求めよ --

3 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへコインが 枚ある さいころを振って出た目によって, これらのコインを 枚ずつ つの箱 A, B, C のいずれかに入れていく 出た目が であればコインを 枚, 箱 A に入れる 出た目が か であればコインを 枚, 箱 B に入れる 出た目が 4 か か であればコインを 枚, 箱 C に入れる さいころを 回振ったとき, 次の問いに答えよ () 箱 A と箱 B にコインがそれぞれちょうど 枚ずつ入っている確率を求めよ () A, B, C いずれの箱にもコインが 枚以上入っている確率を求めよ () 試行の後に箱 A を開けるとちょうど 枚のコインが入っていた このとき箱 B にコインがちょうど 枚入っている確率を求めよ --

4 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 4 解答解説のページへ 座標平面上の円 C は, 点 (, ) を通り, 中心が直線 x+ y 上にあり, さらに双曲 線 xy と接する このとき, 円 C の方程式を求めよ ただし, 円と双曲線がある点 で接するとは, その点における円の接線と双曲線の接線が一致することをいう -4-

5 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程問題 解答解説のページへ を正の整数とする () () ta d + ta d を の式で表せ 7 ta d を求めよ --

6 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () a, a, a + a + a - ( ) で定められる { a } に対して, a+ + a( a + ) ( ) より, において, a + + ( a + ) a a a a a a a a a a よって, a+ aa a - が成り立つ () のとき, より, a a - a + となり, を利用すると, + åai a + åai + å( ai+ - ai + ) + i i i ここで, 条件より, 9 + a - a + ( - ) 9 + ( aa a -)- + - aa a + + åai aa a + 4なので, i aa a + + aa a +, + よって, 9 となり, この値は を満たしている なお, のとき, 条件 4は + となり, 成立しない [ 解説 ] 少しスパイスの効いた漸化式が対象です () は数学的帰納法でも示せますが, 結論をみてという変形をしています 解法の詳細は ピンポイントレクチャー を参照してください -- 電送数学舎 9

7 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () ABC に対して, AB c, BC a, CA b とおく ま A た, A の二等分線と辺 BC の交点を D として, c b+ c a, AD b さて, ABC は内接円の半径が 4 より, その面積を S とおくと, より, S ( a+ b+ c ) 4 a a また, BAD CAD から, を用いて, S b ADi + c ADi ( ) i b + c a i 4 4より, ai aとなり, i すると, A から, co A co - i ( ) (+ 7)(-7) i A - 4 () より, S bci A bcとなり, に代入すると, bc a, bc 7 a 7 a 7 また, ABC に余弦定理を適用して, を利用すると, a b + c -bccoa ( ) 7 b + c - bc - bc 4a - 84 bc 8 78 より, a 4a - 84 aとなり, 7 BC a 4 B a aから, D a C [ 解説 ] 三角比の応用問題です 試行錯誤が少し必要ですが, () の結論と () のプロセスとの繋がりを見つけるのがポイントになっています -- 電送数学舎 9

8 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () 条件より, さいころを 回振ってコインを 枚, 箱 A, 箱 B, 箱 C に入れる確率は, それぞれ,, である さて, さいころを 回振ったとき, 箱 A, 箱 B, 箱 C にコインがそれぞれ 枚, 枚, 枚入っている確率は,! ( )( )!! 8 () さいころを 回振ったとき, 箱 A, 箱 B, 箱 C にコインが少なくとも 枚入っている事象をそれぞれ A, B, Cとし, その確率を P ( A ), P ( B ), P ( C ) とおくと, P( A ) ( + ) ( ), P( B ) ( + ) 4 ( ) P( C ) ( + ) ( ), P( AÇ B) ( ), P( BÇ C) ( ) P( CÇ A) ( ), P( AÇBÇ C) すると, 箱 A, 箱 B, 箱 C いずれにもコインが 枚以上入っている確率は, P ( AÇBÇ C) -P( AÇBÇ C) -P( AÈBÈ C) ここで, P ( AÈBÈC) の値は, P ( A) + P( B) + P( C) -P( AÇB) -P( BÇC) -P( CÇ A) + P( AÇBÇ C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) よって, より, P( AÇBÇ C) () さいころを 回振ったとき, コインが箱 A に 枚入っているのは, 箱 B または C には 枚入っていることなので, その確率は,! ( )( ) 4 +!! すると, 箱 A に 枚のコインが入っていたとき, 箱 B にもコインが 枚入っている条件付き確率は, を利用して, [ 解説 ] 確率の標準的な問題です () は余事象の確率と和事象の確率を組み合わせた有名な解法で記述しました -- 電送数学舎 9

9 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 4 問題のページへ 円 C は中心が直線 x+ y 上にあるので, これを y P( t, -t) とおくと, 半径は OP t + (- t) t と Q なり, その方程式は, ( x- t) + ( y+ t) t x + y - tx + ty ここで, C と双曲線 xy すなわち y との接 x 点を Q (, ) とおくと, Q は 上にあることより, t ( ) -t t O x P + t さて, 線分 PQ の傾きは, ¹ tで + t -t ( -t) y - か x ら, Q における接線の傾きは- である そこで, Q における双曲線の接線と線分 PQ が垂直であることより, + t 4 ( - ) -, + t - t, ( + ) t ( + )( - ) ( -t) よって, t - - 4となり, この式は ¹ tを満たす 4をに代入すると, ( ) から, 4-4 +, (i) + のとき + + となり, 4より, 複号同順で, t (+ -) + (ii) - のとき - - となり, 4より, 複号同順で, t (- -) - (i)(ii) より, t, - となり, 円 C の方程式は, から, ( x- ) + ( y+ ) 4, ( x+ ) + ( y- ) 4 [ 解説 ] 円の中心と接点を設定して, その結果として得られる連立方程式 4を解いて結論という流れです ただ, 計算はやや繁雑でした -4- 電送数学舎 9

10 9 千葉大学 ( 理系 ) 前期日程解答解説 問題のページへ () I ta d とおくと, () () より, + I ta + + d となり, + (ta ta ) + I + I + d I 7 + ta ta d é ù ê co ë + ú û 7 ta d となり, 7 すると, I - I + - I + 9, I - I + - I + ここで, I ta d の値を求めると, ta ( ta ) d + ( ) I + + (,,, ) I I - I I I i d -élog co ù co ê ë ú û -log - log log すると, I - log +, I 9 log - + log + となり, 4 4 I 9 7 -log- + - log+ 4 4 [ 解説 ] 漸化式を立て, それをもとに定積分の値を求める頻出題です ただ, 本問は誘導つきですので, 考え込むことはないでしょう -- 電送数学舎 9