Microsoft PowerPoint - 画像工学2007-5印刷用

Size: px

Start display at page:

Download "Microsoft PowerPoint - 画像工学2007-5印刷用"

れんかあきます
4 years ago
Views:

1 教室 : 4- NOVEMBER 6 画像工学 7 年度版 Imging Scinc nd Tchnolog 画像工学 7 年度版 5 慶応義塾大学理工学部教授中島真人

2 3. 画像のスペクトラム 3-. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念 3-. 簡単な図形のフーリエ変換 3-3. フーリエ変換の重要な性質 3-4. MTF と画像の評価今週と来週はあまり面白くない. でも後の講義を理解するために, 重要です. 耐えてください! 3-. 画像のフーリエ変換と空間周波数の概念時間空間上画像空間軸上信号の形 f ( ),g ( )... f (, ),g (, )... 周波数 ν (Hz: 回 / 秒 ) 空間周波数 ξ,η (lin/mm: 本 /mm) 角周波数 =πν (rd) 角空間周波数 =πξ (rd) =πη (rd)

3 時間軸上での波形 () = sin f 周波数軸上の波形 ν = (Hz: 回 / 秒 ) T T : 角周波数 ( = πν ) F ( ) = f ( ) d - = πν 画像空間での周波数 ( 空間周波数 ) + Sil Frqnc... f (,) f π T (, ) = sin = sin : 角空間周波数 T 3

4 画像を回転してみよう T,T : 周期 ξ,η: 空間周波数 T T,: 角空間周波数 π = πξ = T = πη = π T ( ) π π f (, ) = sin, = sin, T T 画像を回転してみよう T,T : 周期空間周波数 T ξ,η: 空間周波数単位長さ当たりの,: 角空間周波数濃淡変動の回数 π = πξ = ただし方向性がある! ただし方向性がある T! ( ) π π f (, ) = sin, = sin, T T T = πη = π T 4

5 頭を柔らかく! 画像は, 縞の合成とも言えるのではペン画例これより画像を定量的に取り扱っていくために必要な数学的知識を身につけていただく! 5

6 3-. 簡単な図形のフーリエ変換形 ( ) デルタ関数 : :δ ( ),δ (, ) [ 時間関数の場合 ] δ ( ) δ ( ) d = δ j ( ) d δ ( ) = δ ( ) F [δ ( ) ] δ (, ) : 次元のデルタ関数 il 数学的には大きさ小明るさ大の光の点. 画像工学的には大きさil 明るさの点とする. δ (, ) dd = δ ( + ) j (, ) dd δ (, ) = δ (, ) F [δ (, ) ] = or consn. 6

7 ( )rc 関数 :rc: ( ),rc (, ) [ 時間関数の場合 ] rc sinc ( ) rc j d = sinc ( ) = sin sin = rc sinc ( ) ジンク関数 : () sinc = sin rc, b b rc, b j +, b ( ) dd = b sinc (, b ) rc b sinc (,b ) rc, sinc (, b ) b 7

8 rc, b b rc, b j +, b ( ) dd = b sinc (, b ) rc b sinc (,b ) rc, sinc (, b ) b 元画像スペクトラム rc, b ちょっと一言 b 画像 f (, ) は, 普通 rl & non-ngi その Forir 変換たる ( 振幅 ) スペクトラム F (, ) は, 普通 coml j + rc, dd = b sinc, b b すなわち, 図に描けない! ( ) ( ) そこで, 以降, 本講義で図示されるスペクトラムは, 全て rc パワースペクトラム, F ( b, sinc ) (,b ) b であると思っていただきたい. rc, sinc (, b ) b 因みに, 原点対象図形の ( 振幅 ) スペクトラム F (, ) は Rl である. (non-ngi ではない ) 元画像スペクトラム 8

9 ( 3 )circl 関数 :circl: circl( r ) r 次元特有の関数 ( 次元では rc 関数に同じ ) ( ) J ( ρ ) r j + circl dd = ρ r = + ここで ρ = + circl r J ( ρ ) ρ circl J ( ) r J ( ρ ) ρ

10 circl J ( ) r J ( ρ ) ρ circl r J ( ρ ) ρ circl r

11 circl r J ( ρ ) ρ circl r ちょっと, コメント circl r J ( ρ ) ρ モアレ縞が出ている! circl r モアレ縞とは何か?

12 ちょっと, コメントちょっと, コメントピッチの近い縞が浅い角度で重なると, 元画像にはない新たな縞模様が見えてしまう現象を, モアレ現象という. デジタル画像は, モアレ縞を取り除くのが, けっこう難しい! 例えば, ディスプレイの画素ピッチと表示画像の縞模様の間でモアレ縞が発生する.

13 ( 4 )gss 関数 : [ 時間関数の場合 ] j d = ガウス関数はフーリエ変換してもガウス関数となとなるる. 3

14 ( + b ) ( ) ( ) + + b j + b dd = b ( + b ) ( + ) b b ( + b ) ( + b ) ( + ) b b 4

15 ( + b ) ( + b ) ( + ) b b ( 5 )comb 関数 : comb ( ) [ 時間関数の場合 ] comb ( ) comb () = comb = δ( i ) comb( ) i= comb j d = comb / ( ) comb comb ( ) Comb 関数もフーリエ変換しても comb 関数である. 5

16 q comb, q / q / q comb (,q) q comb, q j +, q ( ) dd = qcomb (, q ) comb q comb (,q) q comb, q / q / q comb (,q) q, q comb q comb (,q) q /q / 6

17 f (, ) comb, q 画像のサンプリングについては, また後でじっくり学びます! q f (, ) comb, F (, ) q comb (, q ) ( 6 ) 双曲関数 : [ 時間関数の場合 ] j d = 双曲関数もフーリエ変換しても双曲関数である. 7

18 ここで r r = + ρ ρ = + r j ( + ) dd = ρ r ρ ここで r r = + ρ ρ = + r ρ 8

19 ( 7 ) 正弦波関数 : sin cos [ 時間関数の場合 ] cos ( ) + δ ( ) δ + - cos j d = δ ( ) + δ ( + ) δ ( ) + δ ( + ) cos ただし画像では負は生じない. ( 7 ) 正弦波関数 : sin cos [ 時間関数の場合 ] cos cos + c δ ( ) + δ ( ) δ + ( ) ( ) + cδ ( ) + δ + - 直流分 cos j d cos = δ ( ) + δ ( + ) - δ ( ) + δ ( + ) ただし画像では負は生じない. 9

20 (, ) c cos + T + T j ( [ cos (, ) c ] ) + dd + δ (, ) + ( +, + ) = δ T = π / T = π / (, ) cos δ (, ) + δ ( +, + ) 今日はここまで 7 年度画像工学第 5 回講義おわり

第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2

第 4 週コンボリューションその 2, 正弦波による分解教科書 p. 16~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題問 1. 以下の図にならって,1 と 2 の δ 関数を図示せよ δ (t) 2 第 4 週コンボリューションその, 正弦波による分解教科書 p. 6~ 目標コンボリューションの演習. 正弦波による信号の分解の考え方の理解. 正弦波の複素表現を学ぶ. 演習問題問. 以下の図にならって, との δ 関数を図示せよ. - - - δ () δ ( ) - - - 図 δ 関数の図示の例 δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) δ ( ) - - - - - - - -