<4D F736F F F696E74202D20836F CC8A C58B858B4F93B982A882E682D1978E89BA814091B28BC68CA48B E >

Size: px

Start display at page:

Download "<4D F736F F F696E74202D20836F CC8A C58B858B4F93B982A882E682D1978E89BA814091B28BC68CA48B E >"

すずりだいほうじ
4 years ago
Views:

1 バットの角度打球軌道および落下地点の関係 T999 和田真迪担当教員飯田晋司

2 目次 1. はじめに. ボールとバットの衝突 -1 座標系 -ボールとバットの衝突の前後でのボールの速度 3. ボールの軌道の計算 4. おわりに参考文献

3 はじめにこの研究テーマにした理由は好きな野球での小さい頃からの疑問であるバッテングについて角度が変わればどう打球に変化が起こるのかが大学で学んだ物理と数学んだ物理と数学を使って判明できると思ったから

4 ボールとバットの衝突 ŷy ピッチャーバッター ẑ 原点 : バッターの位置 x ˆ 軸 : ピッチャー方向 yˆ 軸 : 鉛直上向き衝突前のボールの速度 v = v ( cos θ, sin θ,) θ ˆx

5 ボールとバットの衝突 ˆx X ボールバット Z θ ẑ Y Z X Y Z 軸を鉛直上向きにとり軸をボールとバットの衝突時のバットに沿った水平方向にとり軸を軸と軸と直交にとるこの座標系での速度ベクトル v θ θ θ θ cos sin v v ˆ ˆ cos sin v X x x X =, =, v = v θ θ θ θ Y v sin cos v v sin cos Z zˆ zˆ v Z yˆ

6 ボールとバットの衝突 v cosα sinα v X x = v sin α cos α v Y y v cosα sinα v x X = v sinα cos α v y Y,. y軸をバットの中心とボールの中心を結んだ直線 Z 軸はにとり X 軸をy 軸とZ 軸に垂直にとる Z 軸と同じつの座標系の間の回転角度 αとボールとバットの中心がどれだけずれているかを表す D の間に次の関係式がある cos α = R D + r

7 ボールとバットの衝突 V, V, V, v, v, v, ω, ω, ω を求める x y z x y z x y z ここではボールとバットの衝突直後のボールの速度と角速度を求める次の関係式を使う運動量の保存 mv + MV = mv + MV, mv + MV = mv + MV, mv + MV = mv + MV x x x x y y y y z z z z 跳ね返り係数 ( ) v V = e v V y y N y y 跳ね返り係数は参考文献 [3] に載っていた式を速度の単位 m/s に直して用いる e =.54 ( v V 6.67) 67) / N y y 衝突点のまわりの角運動量の保存 Iω mrv = Iω mrv, Iω = Iω, Iω mrv = Iω mrv x z x z y y z x z x ここで ωとω は衝突の前後でのボールの角速度 Iはボールの慣性モーメントを表す x, z 衝突後の方向のボールとバットの相対速度がという条件 v + rω = V, v rω = V x z x z x z

8 ボールとバットの衝突衝突後のボールとバットの速度と角速度を求める運動量の保存の式 ( mv + MV = mv + MV ) と y y y y ( ) 跳ね返り係数 ( v V = e v V ) の式を用いる y y N y y V = y m (1 + e ) v + ( M me ) V N y N y m+ M m(1 + e ) v + ( M me ) V N y N y V = = ( ) + を跳ね返り係数 ( v V e v V ) に代入 y y y N y y m M v = y ( m Me ) v + M(1 + e ) V N y N y m + n

9 ボールとバットの衝突衝突後のボールとバットの速度と角速度を求める運動量の保存の式( mv + MV = mv + MV ) と x x x x 衝突後の x方向のボールとバットの相対速度がという条件 ( v + r ω = V ) の式を用いる ( M+ mv ) x + Mrω z = mv x + MV x v x z x 運動量の保存の式( mv + MV = mv + MV ) と z z z z 衝突後の x方向のボールとバットの相対速度がという条件 ( v r ω = V ) の式を用いる v z x z ( M + mv ) z Mrω x = mv z + MV z

10 ボールとバットの衝突衝突後のボールとバットの速度と角速度を求める ( M+ mv ) z Mrω x = mv z + MV z と衝突点のまわりのボールの角運動量の保存 ( I ω mrv = I ω mrv ) を連立方程式と考えて解く x z x z v = z IMrω + IMV + v m( Mr + I) x z z mmr + ( m + M ) I V = z m I r ω + miv + MV ( I + mr ) x z z mmr + ( m + M) I ω = x ( m + M) Iω + mmrv ( v ) x z z mmr + ( m + M) I

11 ボールとバットの衝突衝突後のボールとバットの速度と角速度を求める ( M + m) v x Mrω z = mv x + MV x と衝突点のまわりのボールの角運動量の保存 ( Iω mrv = I ω mrv ) を連立方程式と考えて解く z x z x v = v x IMrω + IMV + v m( Mr + I ) z x x mmr + ( m + M) I V = x m I r ω + miv + MV ( I + mr ) z x x mmr + ( m + M) I ω = z ( m + M) Iω + mmr( V v ) z x x mmr + ( m + M ) I

12 ボールの軌道の計算ボールにはたらく力 FGは重力 FDは進む向きと逆向きに働く抵抗力 F M はボールが回転によって上向きにいこうとするマグナス力 vは速さ ωは角速度であるボールの運動方程式は dv ( t ) m = F + F + F dt D M g

13 ボールの軌道の計算ボールの運動方程式で用いたた FF, D M は参考文献 3 よりそれぞれとし 1 F = 1 D C D ρ Av( t) v ( t) FM = C L ρ Av()( t ω() t v ()) t F g はボールに働く重力である F g = (, mg,) ρは空気の密度, A= πr はボールの断面積, C D とC L は参考文献 3 に載っている値を用いる [3]M.K. McBeath et.al, Paradoxical pop-ups, Am. J. Phys. 76, 73( 8)

14 ボールの軌道の計算 3 m =.1446 kg, r =.363 m, R =.3 m, A =.4144 m, ρ = 1.13 kg/m, ω = 16 rad/s, g = 9.8 m/s. ω ボールの初速度を v = 35 m/s 入射角をθ = 8.6 とする v = v cos θ, v = v sin θ, v = xˆ yˆ zˆ θ v ボールの角速度は ω =, ω =, ω = ω xˆ yˆ zˆ バットは速さV = m/sで水平から上向きに θ =1 で振る xˆ 1 V = V cos θ, V = V sin θ 1 yˆ 1 V θ 1 初期値をxˆ() =, yˆ() = 1.8 m, zˆ () = とする

15 打球の軌道と落下地点 θ の値は 1~ + 1で刻みで表し D の値を変更していく D =.6m ω =, ω =, ω = ω xˆ yˆ zˆ

16 打球の軌道と落下地点 D=.5m

17 打球の軌道と落下地点 1 5 D=.5m

18 ω 打球の落下地点ボールの角速度を変化させスライダーを想定してみる ω =, ω = ω, ω = 1 xˆ yˆ zˆ D = 6.6m D =.5m

19 打球の落下地点 D=.5m Dの値が.6mのときどのθ についても飛距離が最大である

20 打球の飛距離と D の関係飛距離 θ = θ = θ = D

21 おわりにストレートとスライダーを想定して行った結果ライト方向に打つ場合もレフト方向に打つ場合も最大の飛距離となるDの値はあまり変わらなかった考えうる回転すべてで研究を行ってみたかった

22 ご静聴ありがとうございます

Taro-解答例NO3放物運動H16

Taro-解答例NO3放物運動H16 放物運動解答のポイント初速度, 水平との角度 θ で高さの所から投げあげるとき秒後の速度 =θ =θ - 秒後の位置 =θ 3 ( 水平飛行距離 ) =θ - + 4 ( 高さ ) ~4 の導出は基本問題参照 ( 地上から投げた場合の図 : 教科書参照 ) 最高点の高さ最高点ではにおいて = 水平到達距離より最高点に到達する時刻を求め 4に代入すると最高点の高さH 地上では