Microsoft PowerPoint - 第３回２.ppt

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1 講義内容 講義内容 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 ベクトルの直交性 3 関数の直交性 4 まず, 次元の場合. 3 次元の場合も同様にして, [ ], [ ] とする. ここで 3, は転置を意味する. との内積はに対して, が直交であるとは, [ ], 33 と同値である. と書ける., と同値である. [ ] [ ] とが直交であるとは, 一般に, 次元ベクトル,が直交とは, ii のことである. i 3 いま, 連続関数 とg を, 十分細かくサンプリングして, ベクトルで以下のように表す. g g g g つのベクトルが直交しているなら, g である. サンプリング間隔を無限に細かくしていけば上式の総和は積分となり, 直交なら g と書ける. g 対応する値どうしを掛けて足す

2 正規直交基底 5 正規直交基底 6 大きさがで, 互いに直交するベクトルの集合を正規直交基底とよぶ. 正規性 omliy 直交性 orhogoliy つの基底ベクトルを, としたとき, i i, i δ i i δ i はクロネッカーのデルタ. の正規直交基底での展開 : 右図のとおり, ベクトルは に沿ったベクトルと に沿ったベクトルとの和で表すことができる. α α ここで, α はを に射影したときの ベクトルの長さと方向を表すスカラーであり, と の内積で与えられる. 実際, 上式の両辺と との内積をとると,, α α α α α の正規直交性より α α α α 任意に回転した直交ベクトルはすべて正規直交基底. となる. 同様に, α である. 以上のことは, 次元空間に拡張しても成り立つ. フーリエ級数 7 三角関数の直交性 8 周期的な波形は, 複数の周波数の正弦波と余弦波の組み合わせで表現することができる. この表現をフーリエ級数展開といい, 次式で表される. ただし si si π / or or or or m m m m or rirry igr m, m m si si m 3 si si m 4 si m 5 この展開における各係数 フーリエ係数と呼ばれる はどのように決まるだろうか. これを調べる前に, まず三角関数の直交性を調べてみる....

3 9 フーリエ係数 si si この展開における各係数はどのように決まるだろうか. si si 試みに, 両辺に をかけて, 周期にわたって積分してみる. これより, を得る. 余弦波の項についても同様に計算して以下を得る. si この項のみ残る ベクトルの展開とフーリエ級数展開の類推 si si 3 3 α α α 3 α α α 3 3 展開係数は, 対応する基底ベクトル 基底関数 と信号 との内積を計算することで得られる.... フーリエ級数 si si 3... フーリエ級数のおさらい si si π ただし フーリエ級数の複素数表示 / p p π *,, 三角関数を用いたフーリエ級数展開を, 複素数の指数関数を使って表すこともできる. si si をオイラーの式を使って以下のように書き直す. あらためてとおけば, 以下のように指数関数による展開の形で表すことができる.

4 複素フーリエ級数の基底関数 3 複素フーリエ級数展開と係数 4 π π p π π si π si,,...,,,,..., 級数展開 : 展開係数 : p π / / p π / / π π si π π si 展開係数の導出 : / m p π / / m / / / p π / p πm / / p π / p πm / π π si π p,,...,,,,..., の正規直交性を利用した. 周期関数から非周期関数への拡張 5 フーリエ級数からへ 6 展開係数 : 級数展開 : p π / / / / / / / p π / これまで扱ってきた周期関数 周期関数の非周期関数への拡張 非周期関数を, 無限に大きな周期をもつ周期関数と解釈する. フーリエ展開係数に関する修正 : / / p π / いま, の逆数をと書き, 周波数と定義する. / / 周期 の周期関数は, 基本周波数 Δ / の 整数倍の周波数にスペクトルのパワーをもつ. Δ 3 はに関する関数であり, 周波数 における関数である. いま, 周波数 における係数として F を定義すると, 式 より, F と書ける. / / / / p π / p π 4 Δ

5 フーリエ級数からへ 7 フーリエ級数からへ 3 8 フーリエ展開係数に関する修正 : F は, F / / / / と修正される. p π / 周期 を限りなく大きくしていくと スペクトルの間隔は限りなく小さくなっていく. Δ このとき, どんな周波数 でも値をもつことになり, フーリエ係数の式 p π 4 p π 5 離散的 連続的 / / Δ を広げていけばスペクトルの間隔は密になっていく. フーリエ級数展開に関する修正 : p π / フーリエ級数展開に式を以下のように書き直す. p π / F T Δ F p π p π 6 Δ ここで, 周期を無限大にもっていく. すなわち, Δ lim p このとき, フーリエ級数展開は, Δ F π Δ 右のように積分形に修正される. F p π 7 注意 : 縦軸の値は複素数なので本来はこのような表示は不適当. F p π の式 Forir 変換の整理と意味合い 9 フーリエ積分 F { } p π フーリエ逆変換 F { F } F p π {} : の演算を意味する記号とする の意味合い 模式図 : [ π siπ ] π siπ 原信号 F F 周波数 の余弦波 周波数 の正弦波 講義内容 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散

6 デルタ関数 デルタ関数 つづき ディラックのデルタ関数 Dir l io 全積分は で, 原点で無限大の大きさをもつ関数. デルタ関数の性質 δ δ 例 ガウス関数の極限 δ lim p σ πσ σ σ σ 応用 例 矩形関数 r 関数 の極限 δ lim r / / デルタ関数は超関数と呼ばれ, 厳密な意味での関数ではない. しかし, システムのインパルスを表すのに便利であり, 頻繁に用いられる. δ デルタ関数 δ を掛けて積分することは での関数値を抽出 サンプリング する効果がある. δ 原点から だけずれた点でサンプリングする場合の表現 デルタ関数 つづき 3 代表的な対 4 デルタ関数の性質 δ δ 導出 / δ lim r lim r r lim r / lim / / lim / δ si π r si π p π p π π { δ δ } om / om ただし om / δ

7 代表的な対 5 代表的な対 6 δ F δ { δ } δ p π p π F siπ r F si π siπ F si r π F δ p π δ p π p π p π rg F π ガウス関数のはやはりガウス関数 代表的な対 7 代表的な対 V 8 π F { δ δ } π om / F om whr om / δ om / δ F om δ / siπ F { δ δ } siπ δ δ δ δ / δ

8 9 の諸性質 3 講義内容 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 線形性 liriy horm 線形性 重ね合わせの理が成り立つこと. { { } { 相似則 similriy horm } { / } F } 対称性関数 が実関数なら, F はエルミート性をもつ. F F * F F シフト則 shiig horm { } p π F 微分の F π F F π F F π F 4π F コンボリューション定理 g h τ τ τ h * G F H 実空間でのコンボリューション フーリエ空間での積 相似則 3 相似則の具体例 3 相似則 similriy horm: 余弦波 π F { δ } δ { / } F / 倍 拡大 > ゆったりした変化 倍 / 倍 F F 縮小 低周波成分への集中 矩形波 π F { δ } δ r / r / / / siπ F π si π F π

9 シフト則 波形の平行移動 : 証明 : F{ } p π { } p π F p π 線形位相 p π p π F p π F p π F F 33 p π 線形時不変システムで見るコンボリューション δ ディラックのデルタ関数 : インパルス関数 Lir, imivri sysm O h 34 デルタ関数入力に対する応答 : インパルス応答 F 絶対値 F 入力信号 出力信号 g p π F 同一でない 絶対値 同一! F 出力信号は入力信号とインパルス応答とのコンボリューションで表される. τ g h τ τ τ h * コンボリューションの幾何学的な説明 35 コンボリューション定理 36 連続系での定義 h τ g h * h τ τ τ τ h τ τ だけシフト τ 3 τ とh τ の積 h τ τ τ hτ τ hτ を反転 h τ τ コンボリューション定理 : 実空間で, コンボリューションの関係にあるとき, すなわち, g h τ τ τ h * フーリエ空間では, それぞれのの積であらわされる. G F H 重要なまとめ 証明 : G G ここで g p π H F h τ τ τ p π τ ' とおけば ' 積分範囲は-からで変わらず. h ' τ τ p π ' τ h 'p π' ' τ p πτ τ h 'p π' ' τ p πτ τ g 4 積分する コンボリューション 積積 コンボリューション h H F h H * F

10 サンプリング定理を理解する 37 サンプリング定理を理解する 38 オリジナルの連続関数 標本化の操作 * om / F om * 離散関数 om / s si / F s F om フィルタをかける r / / 離散関数 om / s F s F om オリジナルの連続関数を復元 エリアジング 39 4 元の連続信号 サンプリングの関数 離散信号 om / s 掛け算 om / 対 切り出し不可! F om F s / / F om F F r s 講義内容 次元ベクトル 関数の直交性フーリエ級数 次元代表的な対の諸性質コンボリューション たたみこみ積分 サンプリング定理 次元離散 次元空間周波数の概念 次元代表的な 次元対 次元離散 エリアジングの発生 Nyqis rq.

11 離散の概念 4 元の連続信号 対 F サンプリングの関数 om / 掛け算 om / / 離散信号 s om / F s F om D D N 周期 Dの正弦波 F p π / N 余弦波 の成分 N Dの範囲に対して, 基底関数を掛けてフーリエ成分を計算しているということは, 暗黙のうちに上記のような実空間信号の周期性を仮定していることになる.