物性基礎

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1 水素様原子 水素原子 水素様原子 エネルギー固有値 波動関数 主量子数 角運動量 方位量子数 磁気量子数 原子核 + 電子 個 F p F = V = 水素様原子 古典力学 水素様原子 量子力学 角運動量 L p F p L 運動方程式 d dt p = d d d p p = p + dt dt dt = p p = d dt L = 角運動量の保存則 ポテンシャルエネルギー V = 4πε = x, y, = x + y + ハミルトニアン y H = p x シュレディンガー方程式 h x + y + ψ ψ = Eψ θ = = x, y, y ϕ x x = sin θ cos ϕ y = sin θ sin ϕ = cos θ 極座標 直交座標 x, y, x y 極座標, θ, ϕ θ π ϕ π = x + y + x + y θ = actan ϕ = actan y x 極座標での微積分 x = sin θ cos ϕ cos θ cos ϕ + θ sin ϕ sin θ ϕ y = sin θ sin ϕ cos θ sin ϕ + θ + cos ϕ sin θ ϕ = cos θ sin θ θ x = sin θ cos ϕ y = sin θ sin ϕ dx dy dfx, y, = cos θ = d π sin θdθ π F, θ, ϕ = f sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ dϕf, θ, ϕ

2 中心力ポテンシャル H = h x + y + + V H = h { h sin θ θ sin θ θ V = sin θ ϕ ポテンシャルが原点からの距離だけの関数 中心力ポテンシャル のときはいつでもこの変換を行なうことができる + V 角運動量 p 角運動量演算子 L p L =x,y, p =p x,p y,p = L =L x,l y,l i x, i y, i L x = yp p y = y i y L y = p x xp = i x x L = xp y yp x = x i y y x 角運動量演算子の極座標形式 L x = yp p y = h i = i h sin ϕ θ L y = i h y y + cot θ cos ϕ ϕ cos ϕ + cot θ sin ϕ θ ϕ L = h i ϕ { L = h sin θ sin θ θ θ sin θ ϕ { = h sin θ L sin θ θ θ sin θ h H 角運動量とハミルトニアン = h { h sin θ θ { L = h sin θ θ sin θ θ sin θ θ sin θ ϕ sin θ ϕ + V 古典力学の遠心力ポテンシャルに相当 = h L H + + V シュレディンガー方程式 = h L H + { = h L sin θ θ L = h i ϕ sin θ θ H, θ, =E, θ, + V sin θ L h, θ, = RY θ, = RP cos θφ L の固有値 固有関数 L Φϕ = λφϕ h Φϕ = λφϕ i ϕ Φϕ = C ī h λϕ 境界条件は Φϕ + π = Φϕ Φϕ + π = C ī h λϕ+π = C ī h λϕ πi λ h = C ī h λϕ λ = h Φ ϕ = C iϕ π L Φ ϕ = hφ ϕ Φ ϕ = iϕ π πi λ λ h = π = π =, ±, ±, ± h Φ ϕφ ϕdϕ π = C dϕ = π C =

3 角運動量と磁気量子数 L の固有値 固有関数 円電流 磁束 L Φ ϕ = hφ ϕ Φ ϕ = iϕ π =, ±, ±, ± 磁気量子数 L の固有値 固有関数 { h sin θ θ 条件は sin θ θ θ πで正則 Y θ, ϕ = P cos θφ ϕ sin θ L h Y θ, ϕ = λy θ, ϕ ξ = cos θ とおくと L Φ ϕ = hφ ϕ =, ±, ±, ± { ξ ξ ξ ξ P ξ = P ξ λ h ξ ただし { ξ ξ ξ ξ P ξ = λ h P ξ は λ = h =,,,, かつ のときだけ ξ で正則な解 ルジャンドルの陪多項式 をもつ =,,,,,, 重縮退 一つの に対して 通りの の値が存在する 縮退 なし 重 5 重 7 重 P ξ = ルジャンドルの陪多項式 d dξ ξ P ξ = ξ d dξ P ξ =, ±, ±, ± P ξp ξdξ = P ξ = P ξ = ξ P ξ = ξ P ξ = ξ P ξ = ξ ξ P ξ = ξ +!! δ, 球面調和関数 L L の固有値 固有関数 λ h = =,,,, λ = h Y θ, ϕ = P cos θφ ϕ Y, θ, ϕ = C, P cos θ iϕ 球面調和関数 L Y, θ, ϕ = h Y, θ, ϕ L Y, θ, ϕ = hy, θ, ϕ =,,,, 方位量子数 =, ±, ±,, ± 磁気量子数 Y, θ, ϕ = + π π +! π +! P Y,θ, ϕy, θ, ϕ sin θdθdϕ = δ, δ, Y, θ, ϕ = 4π Y, θ, ϕ = 4π cos θ Y,± θ, ϕ = 8π sin θ±iϕ cos θ iϕ 5 Y, θ, ϕ = 6π cos θ 5 Y,± θ, ϕ = π sin θ ±iϕ 5 Y,± θ, ϕ = sin θ cos θ±iϕ 8π

4 方位量子数の異なる状態 x = sin θ cos ϕ y = sin θ sin ϕ = cos θ = Y, = const. s 状態 縮退無し p 状態 Y, cos θ = p 状態 重縮退 p 状態 x = Y, sin θ iϕ Y, + Y, sin θ cos ϕ = x Y, sin θ iϕ Y, Y, sin θ sin ϕ = y p 状態 = d 状態 5 重縮退 y { h ハミルトニアンの固有値 固有関数 ψ, θ, ϕ = RY, θ, ϕ { [ h + L ψ, θ, ϕ = Eψ, θ, ϕ とおくと L Y, = h Y, より R = ER 条件は = で正則かつ, 境界条件 i R = を満たす = f 状態 7 重縮退 動径方向のシュレディンガー方程式 { [ h h = エネルギー長さ R = ER = エネルギー 長さ 4πε 長さ ε h ボーア半径 = 5. [ =.5 [n =.5 [Å エネルギー = = [J = 7. [V 4πε 動径方向のシュレディンガー方程式 { [ h ε h E = 4πε ε = E ρ = E [ ρ ρ ρ ρ + R = ER ボーア半径 とおくと ε + ρ ρ Rρ = [ ρ ρ + ε + ρ ρ ρ Rρ = ρ uρ とおくと u + ρ ρ ρ の極限では u ρ + u ρ + εu = ρ Rρ = ε + u = ρ ρ で uρ となるためには ε < uρ ερ α = ε x = αρ uρ = αρ yx とおくと [ x y y + [ x x x + y = α ラゲールの陪微分方程式 ただし ラゲールの陪微分方程式 x y y + [ x x α = n n =,,, α のときのみ無限遠で有界な解をもつ. < n yx = L + n+ x =,,,, n でなければならない [ x + y = ラゲールの陪多項式 は

5 ラゲールの陪多項式 エネルギー固有値 n n = n n =,,, α L x = yx = L + n+ x L x = x 4 L x = 6 < n L x = x 9x 8 =,,,, n L 4x = x 6 L 5 5x = 5 n L + n+ x = k+ {n +! n + k! + k! xk k= L + n+ x E = ε h ε = E α = ε 4πε E = n n =,,, α E = E ε = E α = 4πε n E n = n =,,, 主量子数 h 4πε n E R = h =.6 [V 4πε E n = E R n リュドベリー定数 動径波動関数 水素様原子のまとめ ρ = Rρ = ρ a uρ uρ = αρ yx x = αρ B α = n yx = L + n+ x n! R n, = n n[n +! n L + n+ na B n = のとき R, = R, = R, = Hψ n,,, θ, ϕ = E n ψ n,,, θ, ϕ ψ n,,, θ, ϕ = R n, Y, θ, ϕ E n = E R n =,,, 4, 主量子数 n n 重縮退リュドベリー定数ボーア半径 E R = =.6[V =.5[n =.5[Å 4π L ψ n,,, θ, ϕ = h ψ n,,, θ, ϕ L ψ n,,, θ, ϕ = hψ n,,, θ, ϕ =,,,,, n 副量子数 重縮退 方位量子数 =, ±, ±, ±,, ± 磁気量子数 E n = E R n,, n =,,, 4, n =,,,,, n E =, ±, ±, ±,, ± s 状態 s 状態 p 状態,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, d 状態 s 状態 E R,, 基底状態 p 状態,,,, = = = = 全縮退度 s 縮退度 s p 4 s p d 5 9 4s 4p 4d 5 4f 7 6 水素 = の場合,, = πa B,, = πa B,, = πa B 波動関数の例 s,, = 64πa a B sin θ iϕ B,, = 64πa a B sin θ iϕ B s cos θ p,, +,, p x i,,,, p y

6 波動関数 = の場合 ψ,,, θ, ϕ πa B. 4 5 / s s = 基底状態での平均値 = π π = 4 πa B πa B x x dx πa B d ab x x dx = πa B sin θddθϕ x = x n x dx = n! s s 基底状態での平均値 = = 8 πa B πa B 4 d ab x 4 x dx x 4 x dx = a B s = s s s s = a B = 確率密度 = の場合 4π ψ,,, θ, ϕ / = s =. 4 5 / 基底状態での平均値 = s s = = πa B πa B x x dx d ab x x dx 基底状態での平均値 = E n = 4πε n H s = E s E s = = s H s 4πε = s = s 4πε s s = V s 4πε E = T + V T s = E s V s = 4πε 4πε = 4πε

2.2 h h l L h L = l cot h (1) (1) L l L l l = L tan h (2) (2) L l 2 l 3 h 2.3 a h a h (a, h)

2.2 h h l L h L = l cot h (1) (1) L l L l l = L tan h (2) (2) L l 2 l 3 h 2.3 a h a h (a, h) 1 16 10 5 1 2 2.1 a a a 1 1 1 2.2 h h l L h L = l cot h (1) (1) L l L l l = L tan h (2) (2) L l 2 l 3 h 2.3 a h a h (a, h) 4 2 3 4 2 5 2.4 x y (x,y) l a x = l cot h cos a, (3) y = l cot h sin a (4) h a

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